Tài liệu ôn thi đại học đại số sơ cấp

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC... Phương trình và bất pt quy về bậc hai Ví dụ 1... vì bất phương trình này luôn có nhiều hơn một nghiệm nên không tồn tại a để BPT có nghiệm duy nhất... Thử lại

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC

2 '

- Nếu y1 y2 thì [ ]x1 [ ]x2 và x122x x1[ ]+1 x1m  0;x222x x2[ ]+2 x2m  , trừ vế 0

Phương trình và bất pt quy về bậc hai

Ví dụ 1 Tìm m để pt : (x m x)   mx       , cos 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn m

Giải

thảo một trong các TH sau :

2

1

2 2

Ví dụ 2 Tìm m để pt : x33mx23x 2m 0có 3 nghiệm thỏa mãn x1   1 x2  2 x3.

giải

- TH3 :   ' 0 m 0, pt (2) vô nghiệm dẫn đến pt (1) vô nghiệm

Bài 2 Tìm a để pt : 16ax4 ax     a x ax      cos 4 nghiệm PB lập thành một cấp số nhân

3 3

-

2 2

2

2 2

(đúng với mọi

x x

Vậy nghiệm của bất pt là :

12

x x

2

x y

Bài 13 Giải pt (1).

3 2

52

x x





Giải

3 2 3

3 2 3

vì bất phương trình này luôn có nhiều hơn một nghiệm nên không tồn tại a để BPT có nghiệm duy nhất

Giải

Chia hai vế của pt cho

212

x

a a

x x

-

1cos

ĐK :

cos sintan

tan

x

x x x



Giải

Bài 6 Cho P x n   n( ), thỏa

4 1

8

0 3 4 1

8

Đặt t  cos u ;(0   u  )

2 1

0 0

(1) (2)

2 2

1 1 1

Thử lại thấy (1; -1) là nghiệm của hệ

Mâu thuẫn với giả thiết Vậy hệ có nghiệm

Bài 11 Giải và biện luân hệ

(1) (2) (3)

P M

Bài 12 Giải hệ phương trình

1

1 ( )

z

x x

e e

Bài 13 Giải hệ phương trình 3 2 1 3 2 1

Thay x = 7 vào pt ta được y = z = 6

Vậy nghiệm của hệ là (7;6;6)

Bài 15 Cho hệ

2 2 2

0 ;

Suy ra (*) vô nghiệm hay hệ đã cho vô nghiệm

Bài 16 Tìm a sao cho:

a a

Bài 17 Giải hệ

(1) (2) (3) (4)

+ Với 1

0

0

x z

Lấy (*) + (**) ta được

2 2 2

Ta thấy x = y =z =0 là một nghiệm của hệ

Khi đó ta đưa hệ về dạng:

2 2 2

2 1 2 1 2 1

x y

x y z

y z x



Bài 1: Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác bất kì Tìm GTLN của biểu thức:

Bài 3 Cho x y x  , , 0 thỏa mãn xyz  1 Cmr :

2 2

2

12

y

f y

y y

x y

Khi đó bài toán chuyển thành:

Cho a b c  , , 0 và abc  1 Tìm min

2 3

Vậy P  82 Đạt được khi 3 2 1 1

t t

LUYỆN TẬP THÊM PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HỆ

2 2

p f

p p

Bài 2 Cho A B C, , là 3 góc của 1 tam giác thỏa tan2 tan2 tan2 2

2

A x

B

C m

2

14

+ Giải  2 : Ta thấy

2 2

32

m

m m

Đặt:

2 2

02

m P

m

m m

m S

Vậy nghiệm của phương trình là: 1 5

 

2 21

Với x  : 0

Giải

2 2

22

Vậy x  là nghiệm của phương trình 3

Giải Đk:x  

2 2

2 2

33

22

 3  

Giải Đk: x   2

2

32

Bài 9 Giải các phương trình, bất phương trình:

Ta có:

2 2

Vậy nghiệm của BPT là x  4

33

 

 

3 2

Nghiệm của BPT

3 2

72

25

 

Bài 14 Giải các phương trình:

3 2 33

loạiloại

 

0 : 1

x

333

+ t  3 x  3 y  x3y Thay vào  1 ta được:

1

t u X

y y

25

x y

x y

 

6 2

6 6

6

6 6

log 2 log 2

log 2

log 2 log 2

3

21

13.3

3

32

11

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 0,0 2 2,

*4

11

Bài 4 Cho  , thay đổi luôn thỏa sin sin 1

23

23

y y x

I x

x y

y x

8915

   

3 3

Bài 2 Giải các hệ phương trình:



3 3

2

32

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Bài 1: Giải phương trình và bất phương trình :

Thế x  1 vào phương trình (1) ( thoả mãn)

Lớp Sư Phạm Toán K07 _ ĐH Tây Nguyên - 103 -

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là:  1; 

0

x x



121

x x

x x

2 2

Lớp Sư Phạm Toán K07 _ ĐH Tây Nguyên - 110 -

x

x x



t t

2

t t

x x

21

x x

241

x x

t t t

t t

1

x x

+) Giải (3): Vô nghiệm

x x

uv uv

Biến đổi cơ bản:

vn v x x

2

2

2 2

1 loai3

 log2(log2x) – log2(log23) + log3(log2x) = log2(log2x)

 log3(log2x) = log2(log23)

 log2x = 3log2(log23)

 x =

log (log 3 )

2 2 3

+) m  : Bất phương trình vô nghiệm 0

+)m  : Tập nghiệm của bất phương trình 2 S  0;1

ĐẶT ẨN PHỤ

Giải:

13 Giải và biện luận bất phương trình : log 2x logx m

(2002-A) log23x  log23x  1 2m 1 0 (1)

a) Giải (1) khi m=2

b) Tìm m để (1) có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 3 3

3 3

2 2 4

Lớp Sư Phạm Toán K07 _ ĐH Tây Nguyên - 124 -

2 2

2 2

2 2

22

1 2 3

4

31

33

x x

x x

2 (2)3

x x

x x

t t

2 3

1

22

1

22

Giải (2): 2 2

3

2 3

2 3

6

t t

t t

x

x

t t

x x

2 2

x x

Ta có: 52 6 1



Đặt t (5 2 6) x22x , t > 0

10

t t

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được: x = 0

Vậy x = 0 là nghiệm của (1)

4

x x

18 4 14 4

44

x x

3 3

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

2 Giải các phương trình và bất phương trình

Nên (2) có nghiệm duy nhất x = 1

t x t x

x x

(*) nhận t=1 làm nghiệm mà VT (*) đồng biến, vế phải là hàm hắng  t=1 là nghiệm duy nhất

3 Giải các phương trình và bất phương trình

x y

Lớp Sư Phạm Toán K07 _ ĐH Tây Nguyên - 139 -

3 3

3 3

log 2

1 log 2 log 2

1 log 2

33

log 2 log 2 log 2 log 2

1 log 2 1 log 2 1 log 2 1 log 2

x

x y

y

y x

Lớp Sư Phạm Toán K07 _ ĐH Tây Nguyên - 144 -

x y

x y

x y

x y

x y

y x

x y

y x

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2 128 128 2

3 3

3 3

log 2

1 log 2 log 2

1 log 2

33

log 2 log 2 log 2 log 2

1 log 2 1 log 2 1 log 2 1 log 2

(2)1

x y

x y

x

x y

y

y x

x y

x y