giáo trình GIải tích : Ôn thi cao học : ôn thi thạc sĩ toán học

Ôn thi cao học toán

Mở đầu

Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giảitích Hàm được tác giả biên soạn trong chương trình xây dựng bộ giáo trình hoànchỉnh cho sinh viên hệ Đại học sư phạm ngành Toán Trường Đại học Tây Bắc

Học phần Giải tích Hàm hiện nay đang được giảng dạy tại Trường Đại học

Tây Bắc trong năm đơn vị học trình Điều kiện tiên quyết là sinh viên đã họcxong các học phần Lý thuyết tập hợp và Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính

vi phân - tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến,Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân Khi biên soạn giáo trìnhnày, chúng tôi đã chú ý nhiều đến yếu tố sư phạm để đảm bảo cho việc trình bàycác vấn cơ bản vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo được hàm lượng kiếnthức cần thiết nhất, đồng thời chúng tôi chú ý nhiều đến việc hình thành cho sinhviên những phương pháp và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuậtchứng minh các định lý, mệnh đề quan trọng và qua việc sưu tầm, phân loại một

hệ thống bài tập phong phú kèm theo hướng dẫn giải và lời giải chi tiết Ngoài

ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặtchẽ với nhiều kiến thức toán học quen thuộc nên chúng tôi có thể tin tưởng giáotrình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình họctập

Nhân dịp giáo trình được đưa vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn đốivới những người thầy tôn kính đã dạy dỗ trực tiếp cũng như gián tiếp qua nhữngtài liệu quý báu của họ mà tác giả đã sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo chínhcủa giáo trình, qua đó tác giả đã được trang bị những tri thức, phương pháp luận

và sự tự tin sẵn sàng chia sẻ những kinh nghiệm và tri thức trong NCKH dẫn

đến một trong các kết quả của sự dạy dỗ đó là chính là sự ra đời của giáo trìnhnày Tác giả xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin,trường Đại học Tây Bắc đã dạy thực nghiệm và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp

hoàn thiện giáo trình Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản

lý khoa học và Quan hệ quốc tế, các đồng nghiệp và sinh viên Khoa Toán - Lý

- Tin trường Đại học Tây Bắc về sự giúp đỡ quý báu cũng như sự tạo điều kiệnthuận lợi để giáo trình này được đưa và sử dụng Do kinh nghiệm khoa học củatác giả còn nhiều hạn chế, chắc chắn tài liệu không thể tránh khỏi những thiếusót Tác giả mong muốn tiếp tục nhận được nhiều góp ý để tác giả hoàn thiệngiáo trình, góp phần tốt hơn trong việc nâng cao chất lượng giảng dạy và học tậpcủa sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Trường Đại học Tây Bắc

Sơn La, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Phạm Minh Thông

Mục lục

1 Định nghĩa và ví dụ 9

1.1 Chuẩn trên không gian vector 9

1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach 11

1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn 13

1.4 Một số ví dụ về không gian Banach 14

2 Không gian các hàm khả tích bậc p 1 22

2.1 Bất đẳng thức Holder 22

2.2 Bất đẳng thức Minkowski 23

3 Chuỗi trong không gian định chuẩn 26

3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi 26

3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 29

4 ánh xạ tuyến tính liên tục 31

4.1 Định nghĩa và các tính chất 31

4.2 Không gian L(E; F ) 34

4.3 Một số ví dụ về ánh xạ tuyến tính liên tục 39

5 Không gian con và không gian thương 45

5.1 Không gian con 45

5.2 Tổng trực tiếp tô pô 46

5.3 Siêu phẳng 48

5.4 Không gian thương 50

6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 52

6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 52

6.2 Không gian khả li 57

7 Bài tập chương 1 59

2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 64 1 Nguyên lý bị chặn đều 64

1.1 Nửa chuẩn liên tục 64

2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng 68

2.1 Định lý ánh xạ mở 69

2.2 Định lý đồ thị đóng 72

3 Định lý Hahn- Banach 73

3.1 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực 73

3.2 Định lý Hahn- Banach đối với không gian vector phức 76

3.3 Một số hệ quả quan trọng của định lý Hahn-Banach 79

4 Bài tập chương 2 81

1 Toán tử liên hợp 84

2 Toán tử compact 88

3 Toán tử hữu hạn chiều 92

4 Phổ của toán tử 94

4.1 Một số khái niệm cần thiết 94

4.2 Phổ của toán tử trong không gian Banach 96

4.3 Phổ của toán tử compact 103

5 Bài tập chương 3 112

4 Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert 116 1 Dạng hermite 116

1.1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản 116

1.2 Hai bất đẳng thức quan trọng 118

2 Tích vô hướng và không gian Hilbert 119

3 Hệ trực giao, trực chuẩn và phép chiếu trực giao 124

3.1 Hệ trực giao và trực chuẩn 124

3.2 Phép chiếu trực giao 127

4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert 131

5 Cơ sở trực chuẩn 133

6 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 138

7 Toán tử tự liên hợp và toán tử compact trong không gian Hilbert 143 7.1 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert 143

7.2 To¸n tö tù liªn hîp compact- §Þnh lý Hilbert-Schmidt 148

8 Bµi tËp ch−¬ng 4 151

5 H−íng dÉn gi¶i bµi tËp 157 1 Ch−¬ng 1 157

2 Ch−¬ng 2 172

3 Ch−¬ng 3 182

4 Ch−¬ng 4 197

Chương 1

Không gian định chuẩn và không

gian Banach

Trong suốt tài liệu này chúng ta kí hiệu K là trường số thực R hoặc trường

số phức C và các không gian vector được nói đến đều là không gian vector trêntrường K

1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.1 Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một chuẩn

trên E nếu ρ thoả mãn các điều kiện sau:

1) ρ (x)  0 với mọi x ∈ E và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0,

2) ρ (λx) = |λ|ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E,

3) ρ (x + y)  ρ(x) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E.

Khi ρ thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’) ρ (x)  0 với mọi x ∈ E, thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E.

Mệnh đề 1.2 Giả sử ρ là một nửa chuẩn trên E Khi đó, với mọi x, y ∈ E ta có:

Cuối cùng, từ (∗) và (∗∗) ta có |ρ(x) − ρ(y)|  ρ(x − y).

Từ các tính chất của chuẩn và định nghĩa khoảng cách chúng ta có mệnh đềsau:

Cho E là không gian véc tơ và a, b ∈ K Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với

các mút a, b:

[a, b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 0  t  1}

Định nghĩa 1.4 Tập con X trong không gian vector E được gọi là:

a) Tập lồi nếu [a, b] ⊂ X với mọi a, b ∈ X.

b) Tập cân nếu λx ∈ X với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ K mà |λ|  1.

c) Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε > 0 sao cho λx ∈ X với mọi

Việc chứng minh B là lồi, cân và hút hoàn toàn tương tự.

Định nghĩa 1.6 Không gian vector E cùng với một chuẩn ρ xác định trên E

được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn.

Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn là không gian

định chuẩn.

Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x ∈ E ta viết ρ(x) = x và gọi số x là chuẩn của vector x.

Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng cách d sinh bởi chuẩn xác định bởi công thức:

d(x, y) := x ư y, x, y ∈ E.

Như vậy, trong không gian định chuẩn, khi nói tới các khái niệm về giới hạncủa dãy điểm, dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, về giới hạn của ánh xạ giữa cáckhông gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác thì chúng ta hiểu đó chính

là những khái niệm tương ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởichuẩn của không gian

Định nghĩa 1.7 Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian

Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric

đầy

Mệnh đề 1.8 Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x → x là liên tục đều trên E.

Chứng minh Trước hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh

xạ liên tục đều giữa các không gian metric Cho ε > 0 bất kì, chọn δ = ε Khi

đó, theo mệnh đề 1.3, với mọi x, y ∈ E, nếu d(x, y) = x ư y < δ thì

|x ư y|  x ư y = d(x, y) = δ = ε.

Chứng tỏ hàm . : E → R liên tục đều trên E.

Mệnh đề 1.9 Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E

là liên tục:

Chứng minh Nhờ các đánh giá dưới đây

(x + y) ư (x0+ y0)  x ư x0 + y ư y0

λx ư λ0x0  |λ|x ư x0 + |λ ư λ0|x0

với chú ý E ì E hay K ì E được xét như không gian metric tích của các không

gian metric với khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn và khoảng

cách trên K là khoảng cách Euclide thông thường

Định nghĩa 1.10 Tập con X trong không gian định chuẩn E được gọi là:

Tập con hữu hạn A ⊂ E thoả mãn b) gọi là một ε- lưới hữu hạn của X.

c) tập compact nếu: mọi dãy {x n } ⊂ X có một dãy con {x n k } hội tụ tới một

phần tử x ∈ X.

Nhận xét 1 Nếu X là tập hoàn toàn bị chặn trong E thì với mỗi ε > 0 đều có

thể chọn cho X một ε - lưới hữu hạn A gồm toàn các phần tử của X.

Thật vậy, cho ε > 0 có thể chọn cho X một ε/2 lưới hữu hạn A ⊂ E Khi đó

Với mỗi y ∈ A  , chọn z y ∈ B(y, ε

2) ∩ X Ta kiểm lại {z y : y ∈ A  } ⊂ X là ε- lưới

hữu hạn của X Cho x ∈ X, chọn y ∈ A để xưy < ε

2 Suy ra B (y, ε2)∩X = ∅ nên y ∈ A  và

x ư z y   x ư y + y ư z y  < ε

2+

ε

2 = ε

Nhận xét 2 Mọi tập hoàn toàn bị chặn đều là tập bị chặn Thật vậy, nếu X là

tập hoàn toàn bị chặn thì với ε = 1 tồn tại x1, x2, , x n là ε - lưới hữu hạn của

X Giả sử x ∈ X tuỳ ý, chọn 1  k  n để x ư x k  < 1 Suy ra

Định lý 1.11 (Hausdorff) Tập con X trong không gian Banach E là compact

nếu và chỉ nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn.

Ví dụ 1 Không gian Euclide n- chiều

Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệuKn là tích Descartes của n lần trường vô hướng

Ta sẽ chứng tỏ công thức (1) xác định một chuẩn trên Kn, gọi là chuẩn Euclide

Thật vậy, hiển nhiên hàm x → x thoả mãn các tiên đề 1) và 2) trong định nghĩa

chuẩn Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski sau đây

chúng ta có thể chứng minh tiên hàm . thoả mãn điều kiện 3) trong định nghĩa

x + y  x + y với mọi x, y ∈ K n

Nh− vậy, hàm . thoả mãn cả ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn nên nó là

một chuẩn trên Kn- gọi là chuẩn Euclide, đồng thờiKn với chuẩn Euclide là một

không gian định chuẩn - gọi là không gian Euclide n chiều.

Cuối cùng, với x = (x1, , x n ) ∈ K n , y = (y1, , y n ) ∈ K n ta có:

max

1in |x i − y i |  x − y  n max

1in |x i − y i |.

nên x − y → 0 ⇔ ∀i = 1, n, |x i − y i | → 0, suy ra, sự hội tụ trong K n là sự hội

tụ theo toạ độ và một dãy là dãy Cauchy trong Kn khi và chỉ khi tất cả các dãytoạ độ của nó đều là dãy Cauchy trong K Lại do K là không gian metric đầysuy ra Kn là không gian đầy Vậy Kn là không gian Banach

Ví dụ 2 Không gian các hàm liên tục

Ký hiệu C [a; b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b] Đặt:

f = sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C[a; b]

Dễ dàng thấy rằng hàm f → f xác định một chuẩn trên không gian C[a; b]

và với chuẩn đó, C [a; b] trở thành một không gian định chuẩn.

Ta sẽ kiểm lại C [a; b] là một không gian Banach: Cho {f n } là một dãy Cauchy

trong C [a; b], khi đó với mọi số ε > 0 cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho

với mọi m, n ∈ N ∗ , m, n  n0 ta đều có:

f n ư f m  = sup

x∈[a;b] f n (x) ư f m (x) < ε

Suy ra

(∀m, n  n0) |f n (x) ư f m (x)|  ε với mọi x ∈ [a, b]. (1.3)

Như vậy với mỗi x ∈ [a, b] cố định, dãy số {f n (x)} là một dãy Cauchy trong K.

Do K là không gian metric đầy nên dãy đó hội tụ trong K Đặt

f (x) = lim

n→∞ f n (x) ∈ K, x ∈ [a, b]

ta được hàm số f : [a; b] → K Ta sẽ chỉ ra f ∈ C[a; b] và dãy {f n } hội tụ đến

f trong C[a; b], nghĩa là f n ư f → 0 Thật vậy, giả sử x0 ∈ [a; b] là điểm tuỳ

ý, ta chứng minh f liên tục tại x0 Trong (1.3) bằng cách cố định x ∈ [a, b] và

đoạn [a; b], nghĩa là f ∈ C[a; b].

không gian định chuẩn Hơn nữa, có thể chỉ ra B(S) là không gian Banach.

Ví dụ 4 Không gian các dãy khả tổng bậc p Kí hiệu

|x n | p1

p

, x = (x1, x2, , x n , ) ∈ l p (1.8)

Để chứng minh l p là không gian vector và công thức (1.8) thực sự xác định một

chuẩn trên l p, trước tiên, chúng ta cần chứng minh các bổ đề quan trọng sau đây:

Bổ đề 1.12 Nếu p, q > 1 với 1p + 1q = 1 thì với mọi α, β ∈ R+ ta có:

α.β  α p

p +β

q

Chứng minh Trước hết, nếu α = 0 hoặc β = 0 thì bổ đề hiển nhiên đúng Giả

LÊy tæng hai vÕ theo n ta ®−îc

|x n + y n | (p−1)q1

= x p

∞ n=1

|x n + y n | pp−1

p

|x n + y n | ppư1

p

Chia hai vế bất đẳng thức trên cho

∞ n=1 |x n + y n | ppư1

p

ta được:

x + y p = x p + y p

Mệnh đề 1.15 Nếu p  1 thì l p là một không gian Banach.

Chứng minh Trước hết, hiển nhiên . p thoả mãn điều kiện thứ nhất trong định

nghĩa chuẩn Cho x, y ∈ l p và λ ∈ K theo bổ đề 1.14 ta có x + y ∈ l p và hiển

nhiên λx := (λx n ) ∈ l p, đồng thời ta có

λx p =

∞ n=1

|λ| p |x n | p1

p

= |λ|.

∞ n=1

|x n | p1

p

= |λ|.x p

Như vậy . p thoả mãn điều kiện thứ hai trong định nghĩa chuẩn Sử dụng bất

đẳng thức Minkowski ta có . p thoả mãn điều kiện còn lại Vậy l p là một khônggian định chuẩn với chuẩn . p

Bây giờ ta chứng minh l p là không gian Banach: Cho {x (k) } ∞

k=1 là dãy Cauchy

trong l p , x (k) = (x (k) n )∞ n=1 , khi đó, với mọi số ε >0 cho trước, tồn tại số tự nhiên

k0 sao cho với mọi k, l ∈ N ∗ : k, l  k0 ta đều có: Suy ra, với mọi m ∈ N ∗ ta có:

Suy ra, với mọi m  1 và k, l  k0 ta có:

Từ (1.12) suy ra với mọi n  1 dãy {x (k)

n } k1 là dãy Cauchy trong K Vì K là

không gian Banach nên tồn tại x n = lim

điều này chứng tỏ x (k) − x p → 0 khi k → ∞, nghĩa là x (k) → x trong l p

Ví dụ 5 Không gian l ∞ và không gian c0

Đặt

l ∞ = {(x n ) ∈ KN∗ : sup

n |x n | < +∞} và c0 = {(x n ) ∈ l ∞: lim

n→∞ x n = 0} Khi đó, l ∞= B(N∗) không gian các hàm bị chặn trên N∗ nên l ∞ là không gian

Banach với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên l ∞

Có thể chứng minh rằng c0 là không gian con đóng của l ∞ nên c0 cũng làkhông gian Banach

2 Không gian các hàm khả tích bậc p  1

Cho X là tập đo được Lebesgue trongRk và μ là độ đo Lebesgue trên σ - đại

số Lcác tập đo được Lebesgue trên Rk Với mỗi p  1, ký hiệu L p (X) là tập tất cả các hàm khả tích (Lebesgue) bậc p trên X (hai hàm tương đương xem là một)

Việc chứng minh L p (X) là không gian vector và hàm L p (X)  f :→ f p ∈ R

là một chuẩn hoàn toàn tương tự như đối với không gian l p các dãy khả tổng bậc

p, thay cho phép lấy tổng là phép lấy tích phân Trước hết chúng ta chứng minh

các bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski trong L p (X) bởi các Bổ

Chứng minh Nếu f = 0 hoặc g = 0 thì f = 0 h.k.n hoặc g = 0 h.k.n Suy

ra f.g = 0 h.k.n và do đó fg1 = 0 Vậy bất đẳng thức Holder là đúng trong

tr−êng hîp nµy XÐt tr−êng hîp f p > 0, g q > 0 Víi mçi x ∈ X ¸p dông

|f p p + 1

q

|g q q

|g q q = 1

p +1

q = 1Suy ra

Suy ra f + g ∈ L p (X) HiÓn nhiªn λf ∈ L p (X) vµ

Định lý 2.3 L p (X) là không gian Banach với chuẩn

Chứng minh Bổ đề 2.2 chứng tỏ L p (X) là không gian vector và hàm f → f p

là một chuẩn trên L p (X), ở đây cần chú ý phần tử 0 ∈ L p (X) chính là hàm bất

kỳ bằng không h.k.n trên X Bây giờ ta chứng minh L p (X) là đầy, muốn vậy chỉ cần chứng minh mọi chuỗi trong L p (X) hội tụ tuyệt đối là hội tụ Thật vậy,

Bất đẳng thức này suy ra g p và vị vậy g là hữu hạn h.k.n Nh− vậy tồn tại tập

N ⊂ X với μ(N) = 0 sao cho

3 Chuỗi trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 3.1 Giả sử E là một không gian định chuẩn và {x n } n∈N ∗ là một dãy

các phần tử của E Ta gọi tổng hình thức sau:

Phần tử x n được gọi là phần tử tổng quát của chuỗi (3.1).

Với mỗi n ∈ N ∗ , phần tử s n = x1+ x2+ + x n được gọi là tổng riêng thứ

n và dãy {s n } n∈N ∗ được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (3.1)

Định nghĩa 3.2 Nếu dãy các tổng riêng {s n } hội tụ tới phần tử s ∈ E thì chuỗi

(3.1) được gọi là hội tụ về s và s được gọi là tổng của chuỗi Kí hiệu là:

∞



n=1

x n = s.

Trường hợp ngược lại, ta nói chuỗi (3.1) là phân kỳ.

Mệnh đề 3.3 Nếu chuỗi (3.1) hội tụ thì phần tử tổng quát dần đến 0, tức là

lim

n→∞ x n= 0

Chứng minh Giả sử ∞

n=1 x n = s, khi đó, gọi {s n } là dãy tổng riêng của chuỗi

thì theo định nghĩa ta có lim

n→∞ s n = s Do x n = s n ư s nư1 với mọi n > 1 nênlim

x n trong không gian Banach E hội

tụ khi và chỉ khi

(∀ε > 0)(∃n0) | (∀n  n0), (∀p  1)x n+1 + + x n+p  < ε

Thật vậy, vì E là không gian Banach nên chuỗi hội tụ nếu và chỉ nếu dãy các tổng riêng s n của nó là dãy Cauchy, tức là

∀ε > 0, ∃n0, ∀n > n0, ∀p  1 : s n+p ư s n  = x n+1 + + x n+p  < ε.

s n = αa n + βb n với mọi n ∈ N ∗ .

Theo giả thiết, tồn tại các giới hạn:

Theo định nghĩa chuỗi ∞

n=1 (αx n + βy n) hội tụ và:

n=1 x n hội tụ trong không gian định chuẩn E, có tổng là s

và 1  k1 < k2 < < k n < là một dãy tăng các số tự nhiên Khi đó chuỗi

Với tính chất trên ta nói có thể nhóm một cách tuỳ ý các số hạng của chuỗihội tụ.

Chứng minh Thật vậy, rõ ràng k n  n với mọi n ∈ N ∗ nên k n → ∞ khi n → ∞.

Gọi s n , t n theo thứ tự là tổng riêng thứ n của chuỗi ∞

n=1 x n trong không gian định chuẩn E gọi là hội tụ tuyệt

đối nếu chuỗi số ∞

n=1 x n  hội tụ.

Bởi vì chuỗi ∞

n=1 x n  là chuỗi số dương nên chuỗi ∞

n=1 x nhội tụ tuyệt đối nếu

và chỉ nếu dãy các tổng riêng của chuỗi số

Định lý 3.8 Trong không gian Banach mọi chuỗi ∞

n=1 x n hội tụ tuyệt đối đều hội

tụ Hơn nữa, tính chất hội tụ cũng như tổng của chuỗi không phụ thuộc vào thứ

tự các phần tử.

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh rằng chuỗi ∞

n=1

x n hội tụ Thật vậy, do E

là không gian Banach nên chỉ cần chỉ ra rằng dãy các tổng riêng của chuỗi là dãy

Để chứng minh khẳng định thứ hai chúng ta xét một hoán vị tuỳ ý σ của tập

các số tự nhiên N, nghĩa là một song ánh σ : N → N Đặt

Định lý sau đây có thể coi là định lý đảo của định lý 3.8

Định lý 3.9 Không gian định chuẩn E là đầy nếu mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt

đối là hội tụ.

Chứng minh Cho {x n } là dãy Cauchy bất kỳ trong E Nh− vậy với mỗi k  1

tồn tại n k  k sao cho

x p − x q  < 1

2k với mọi p, q  n k

n=1 hội tụ đến phần tử t + x n1 ∈ E khi n → ∞, chứng tỏ mọi dãy

Cauchy trong E đều hội tụ nên E là không gian Banach.

4 á nh xạ tuyến tính liên tục

ánh xạ f : E → F đ−ợc gọi là ánh xạ tuyến tính liên tục nếu:

a) f là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector, nghĩa là:

f (αx + βy) = αf(x) + βf(y) với mọi x, y ∈ E và với mọi α, β ∈ K,

b) f là ánh xạ liên tục trên E theo nghĩa ánh xạ liên tục giữa các không gian metric, nghĩa là, với x0 ∈ E tuỳ ý và với bất kỳ ε > 0 cho trước, tồn tại số

δ = δ(x0, ε) > 0 sao cho:

(∀x ∈ E) (x ư x0 < δ ⇒ f(x) ư f(x0) < ε).

Định lý 4.1 Giả sử f : E → F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian định

chuẩn E và F Khi đó các tính chất sau là tương đương:

a) f liên tục đều trên E;

b) f liên tục trên E;

c) f liên tục tại 0 ∈ E;

d) f bị chặn trên hình cầu đóng đơn vị, tức là

sup{f(x) : x  1} < +∞;

e) Tồn tại hằng số C  0 để f(x)  Cx với mọi x ∈ E.

Chứng minh a) ⇒ b) và b) ⇒ c) là hiển nhiên.

c)⇒ d) Do f liên tục tại 0 ∈ E và f(0) = 0 nên tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao

suy ra: sup{f(x) : x  1}  2δ < +∞, nghĩa là f bị chặn trên hình cầu

Suy ra f(x)  Cx Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng trong trường hợp

Từ bất đẳng thức trên suy ra tính liên tục đều của f trên E.

Sau này chúng ta sẽ gọi số

f = inf{C  0 : f(x)  Cx với mọi x ∈ E}

là chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục f : E → F

Nhận xét Từ định lý 4.1 ta thấy: Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính bị chặn thì ảnh qua f của mọi tập bị chặn trong E đều là tập bị chặn trong F Vì lý do

đó, một ánh xạ tuyến tính liên tục còn được gọi là ánh xạ tuyến tính bị chặn.

Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa chuẩn của một ánh xạ tuyến tính trong không

gian tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F Bổ đề sau đây giúp cho việc tính toán được linh hoạt hơn.

Bổ đề 4.2 Giả sử f : E → F là ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó ta có các

Chứng minh Ký hiệu các số trong đẳng thức (4.1) lần l−ợt là α, β, δ, η:

Ký hiệu L(E; F ) tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian

định chuẩn E đến không gian định chuẩn F Dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng L(E; F )

là không gian vector với hai phép toán cộng và phép nhân với vô hướng xác địnhtheo từng điểm sau đây:

Chứng minh Đầu tiên ta kiểm lại hàm f → f từ L(E; F ) đến R thoả mãn

các điều kiện trong định nghĩa của chuẩn:

+) Hiển nhiên f  0 với mọi f ∈ L(E; F ) Nếu f = 0 thì do với mọi

x ∈ E ta có f(x)  f.x = 0 suy ra f = 0 ∈ L(E; F ) Như vậy điều kiện

1) trong định nghĩa chuẩn thoả mãn

+) Điều kiện 2) thoả mãn một cách hiển nhiên

λf = sup{λf(x) : x  1} = |λ| sup{f(x) : x  1}

= |λ|.f với mọi λ ∈ K, ∀f ∈ L(E; F )

+) Cuối cùng ta kiểm tra điều kiện 3): ∀f, g ∈ L(E; F ) ta có:

f + g = sup{f(x) + g(x) : x  1}

 sup{f(x) + g(x) : x  1}

 sup{f(x) : x  1} + sup{g(x) : x  1}

= f + g

Như vậy L(E; F ) là không gian định chuẩn với chuẩn f → f.

Bây giờ giả sử F là không gian Banach và {f n } là dãy Cauhy trong L(E; F ),

nghĩa là:

(∀ε > 0)(∃n0) : (∀m, n ∈ N ∗ )(m, n  n0) ⇒ f n ư f m   ε)

Suy ra: (∀ε > 0)(∃n0) : (∀m, n ∈ N ∗)

m, n  n0 ⇒ f n (x) ư f m (x)  εx với mọi x ∈ E (1)

Từ bất đẳng thức (1) ở trên ta suy ra với mỗi x ∈ E dãy {f n (x)} là Cauchy trong

F Do F là không gian Banach nên tồn tại giới hạn

f (x) = lim n→∞ f n (x), x ∈ E Vì f n là tuyến tính với mọi n  1 nên f : E → F là tuyến tính Còn kiểm lại rằng f ∈ L(E; F ) và f n → f trong L(E; F ) Bằng cách cố định x ∈ E và

n  n0 cho m → ∞ trong (1) ta nhận được

f n (x) ư f(x)  εx và với mọi x ∈ E (4.3)Như vậy

f(x)  f(x) ư f n0(x) + f n0(x)  (ε + f n0).x với mọi x ∈ E

Suy ra f ∈ L(E; F ) Lại theo (4.3) ta có f n ư f  ε, chứng tỏ f n → f trong L(E; F ) Định lý được chứng minh.

Không gian liên hợp tôpô: Cho E là không gian định chuẩn trên trường K

Chúng ta kí hiệu E  = L(E, K) và gọi E  là không gian liên hợp tôpô của E Mỗi phần tử của E  gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E.

Chú ý - Từ bổ đề 4.2, trong không gian L(E; F ) ta có:

- Đối với các ánh xạ tuyến tính liên tục f ∈ L(E; F ) ta luôn có:

f(x)  f.x với mọi x ∈ E.

- Nếu f : E → F là song ánh tuyến tính thì ánh xạ ng−ợc f −1 : F → E cũng

là ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 4.4 Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính Khi đó:

a) f đ−ợc gọi là một đẳng cấu nếu f là song ánh tuyến tính liên tục hai chiều, nghĩa là f : E → F cùng với f −1 : F → E là liên tục Kí hiệu f : E  F Hai không gian định chuẩn E và F đ−ợc gọi là đẳng cấu nếu tồn tại phép

đẳng cấu giữa E và F Kí hiệu E  F

b) f đ−ợc gọi là phép đẳng cự nếu f là đẳng cấu bảo toàn chuẩn, nghĩa là f

Nhận xét 1 Mọi ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn f : E → F đều liên tục và là

đơn cấu Từ đó suy ra, nếu f : E → F là toàn ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn thì

f là phép đẳng cự.

Nhận xét 2 Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn thì f = 1.

Thật vậy, theo định nghĩa ta có:

f = sup

x1 f(x) = sup

x1 x = 1.

Nhận xét 3 Nếu f : E → F là đẳng cấu thì ảnh qua f của mọi tập hoàn toàn

bị chặn trong E là tập hoàn toàn bị chặn trong F ; nghịch ảnh qua f của mọi tập hoàn toàn bị chặn trong F là tập bị chặn trong E.

Mệnh đề 4.5 Giả sử f : E → F là song ánh tuyến tính Khi đó f là đẳng cấu

nếu và chỉ nếu tồn tại các số dương C1, C2 sao cho

C1x  f(x)  C2x với mọi x ∈ E

Chứng minh Giả sử f : E → F là đẳng cấu Khi đó

f(x)  f.x với mọi x ∈ E và f ư1 (y)  f ư1 .y với mọi y ∈ F.

Thay y bởi f (x) vào bất đẳng thức thứ hai ở trên ta được

C1y với mọi y ∈ F

suy ra f ư1 : F → E liên tục Vậy f là một đẳng cấu.

Mệnh đề 4.6 Với mọi không gian định chuẩn F tồn tại một phép đẳng cự chính

Dễ thấy ϕ là ánh xạ tuyến tính tuyến tính bảo toàn chuẩn vì với mọi f ∈ L(K, F )

Có thể kiểm tra trực tiếp thấy f y ∈ L(K, F ) và ϕ(f y ) = f y (1) = 1.y = y, nghĩa là

ϕ là toàn ánh Nh− vậy ϕ : L(K, F ) → F là toàn ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn

4.3 Một số ví dụ về ánh xạ tuyến tính liên tục

Ví dụ 1 Giả sử Kn là không gian Euclide n chiều Khi đó:

a) Với mỗi a ∈ K n cố định, ánh xạ f a: Kn → K xác định bởi:

f(a) = f a  = a với mọi a ∈ K n

Nh− vậy, f là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn nên f liên tục và là đơn cấu Hơn nữa, chúng ta sẽ chỉ ra f là toàn cấu Thật vậy, cho g ∈ (K n), đặt

Chứng minh a) Bằng định nghĩa, dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng f ξ là ánh xạ tuyến

chứng tỏ f bảo toàn chuẩn Nh− vậy f là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn nên

f liên tục và là đơn cấu.

Tiếp theo ta chứng minh f là toàn cấu: Cho g ∈ (l1) , đặt ξ n = g(e n ), n  1

nên ξ = (ξ n ) ∈ l ∞ Ta sẽ chỉ ra f (ξ) = g Thật vậy, với mọi m ∈ N ∗ ta có:

x n e n



= g

lim

xác định một phiếm hàm tuyến tính trên c0 thoả mãn f ξ  = ξ1 Hơn nữa, ánh

xạ f : l1 → (c0) đặt tương ứng mỗi ξ ∈ l1 với f ξ ∈ (c0) là đơn cấu tuyến tínhbảo toàn chuẩn

Chứng minh Bằng định nghĩa dễ dàng kiểm tra được rằng f ξ là ánh xạ tuyếntính