Tọa độ giao điểm của đồ thị của hai hàm số là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số mà mỗi phương trình của hệ là một phương trình của hàm số.. Các phương pháp giải hệ phương trì
Trang 1I Phương pháp Chứng minh và Áp dụng giải Toán ĐẠI SỐ
o O o
Vấn đề 1: So sánh các số
o O o
-
Ôn tập giáo khoa:
Với hai số dương a, b Ta có:
2 2
b a b
a > ⇔ > - a >b⇔ a > b - a >b⇔a±m>b±m
-
<
<
>
>
⇔
>
0 c nếu bc ac
0 c nếu bc ac b
a - a >b, b>c⇔a>c -
b a b
a > ⇔ 1 < 1
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
3 2 2 3
12 3
2
18 2
3
3 2 và 2 3
>
=
=
3 -3 48 4 1
1 3 1 nên 3 2
1 3 3 3 -3
1 3 48 4 1
3 -3 và 48 4 1
>
−
>
>
−
=
⋅
=
c) ( ) ( )
3 2 2 3
0 3 3
2 2 3 2 1
3 và 2 1
3 2 và 2 3
2 2
+
>
+
+
=
+
= +
+
+ +
d) 5 2+ 75 =5 2+5 3 = 50+5 3 d) 2 2 < 2⋅2 = 4 =2=1+1< 2+1
2
1 3 2
1 3 4
1 3 4
3 2 4 2
3 2 2
3
1
2
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
1 3 1
3
1 3 3
6
10
3
2
2
+
+
= +
+
= +
+
Bài 2:
a)
0 a.b với
a b) a3.b3 =a.b a.b vớia.b≥0
c) a2(b−1)2 =a(1−b) vớia≥0, b≤1 d) ( ) ( ) ( )( )
2
1 a b, a với 1 2 1
4
4 2
a
Bài tập tự rèn luyện:
1 So sánh các số sau (không dùng máy tính):
d) 2 3 và 3 2 ; e) 4 5 và 5 3 f) 2 + 3 và 3 + 2;
g) 4 − 3 và 6 − 5; h) 3 − 10 và 2 − 5
2 So sánh 2 số sau đây( không dùng máy tính):
a) và 26 b) 4 và 7 c) 3 10 và 4 5
d) 2 2 và 3 5 e) 2 6 và 5 f) 7 −2 2 và 4
g) 2+ 5 và 6− 2 h) 3 2− và 5−2 3 i)
3 So sánh các số sau:
a) 26 + 17 + 10+ 5+ và 15
1 2
1 1998
1999
1 1999
2000
1
+ + + +
+
Trang 2Vấn đề 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức, chứng minh biểu thức
thỏa điều kiện
o O o
Ôn tập giáo khoa:
Ôn luyện về Căn bậc hai
1.Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a là một số mà lũy thừa bậc hai bằng a
2.Dấu hiệu nhận biết:
( )
=
=
≥
⇔
=
a a x
x x
2
0
3.Điều kiện tồn tại: a có nghĩa khi a ≥0
a)
4.Các tính chất:
A
A2 = b) A.B= A BvớiA≥0,B≥0 c) = vớiA≥0,B>0
B
A B A
5.Các phép biến đổi:
0 B với
A
B B A
−
=
B A M B
A
Ôn luyện về Căn bậc ba
1.Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là một số mà lũy thừa bậc ba bằng a
2.Dấu hiệu nhận biết: 3 a =x⇔x3 =( )3 a 3 =a
3.Điều kiện tồn tại: 3 a có nghĩa với mọi a là một số thực
a)
4.Các tính chất:
A
b) 3 A.B =3 A.3 B
c) 3 =33 vớiB≠0
B
A
B
A
I Rút gọn, Thực hiện phép tính,…
Bài tập áp dụng:
Bài 1: a) (2− 2) (2 + 2−1)2 = 2− 2 + 2−1 =2− 2+ 2−1=1
b) ( 3−5) (2 + 1− 3)2 = 3−5+1− 3 =5− 3+ 3−1=4
c) ( 7−2) (2 + 7−5)2 = 7−2 + 7−5 = 7−2+5− 7 =3
Bài 2:
6
6 5 2
6 3
6 2
3 3
= x
6
25
2 =
6
6
5 6
25 6 1 6
A
4 3
2 3 2 3 2 2 3 2
3
2 3 2
2 2
2
2 2
+
−
=
−
+
=
−
=
−
−
= +
−
x
x x
x
2
1 2 2 2
2 2 1 1 2
1 1
2
1
− +
+ +
=
−
+
x
x
Trang 3d) ( ) ( ) ( )
( )
2
A 4.4 8 1 7
Bài 4: a) 4a+ (1−a)4 =4a+ (1−a)2 =4a+(1−a) (2 = 1+a)2
<
−
=
−
−
>
−
= +
−
=
−
− +
−
=
−
− +
−
2 a với a 1 1 a 2
2 a với 1 1 2 2
2 2
2
2 2
2
a
a a
a
a
2
= +
− +
= +
+
−
−
− +
= +
+ +
−
−
−
b a b a b
a
b a b
a
b a b a b
a
ab b
a b
a
b
a
3 2
3 2 1 3
2
1 2
1 2
1 3
2
1
+
+
=
− +
−
− + + + +
=
− +
+
−
+
a
a a
a a a
a a
a a
a
a a a
a a a
a a a
a
−
−
−
+
+ +
=
−
−
−
+
+
1 2
1 2 1
1
1 1
1 2
2 1 1 1
Bài tập tự rèn luyện:
1 Tính (rút gọn):
1 a) 2 3− 75+2 12− 147; b) 20+2 45−3 80+ 125;
c) 3 2− 8+ 50 −4 32
2 a)
6 2 5
1 6
2 5
1
−
−
2 5
2 2 5
2
+
−
5 3 5
3 3 3
6 7 2 7
+ +
+
−
−
7 1
7 7 7 1
7 7
6 1
5 2
3
3 2 2 3
+
−
−
5 a) 6 12− 20−2 27+ 125; b) −2 50+ 18+3 80+2 45
6 a) 3 +2 2 ; b) 7 −4 3 ; c) 14−6 5 + 14+6 5
2 Tính giá trị của biểu thức sau(sau khi rút gọn, nếu được):
1 A= a2 −12a+9− a−1với
2
1
a =
2 B= 4x4 −4x2 +1− x4 − x2+9với x = 2
3 Rút gọn ( loại bỏ dấu căn thức và dấu giá trị tuyệt đối):
1 a) (x −1)2 ; b) (2 −x)2 ; c) 2
x1
2 a) x2− x+4; b) 9− x+x2 ; c) − x2+ x−1
3 a)
1 x
1 x 2
x2
−
+
2 x
4 x
x2
−
− +
9 x 12 x 4
x 2 3
−
−
4 a) ( )
2 x
4 x 4 x 2
−
+
− +
4 Cho biểu thức 33 22 22 33
y xy y x x
y xy y x x A
−
− +
+
−
−
=
a Rút gọn biểu thức A b Tính các giá trị của A khi cho x = 3 và y = 2
Trang 4c Với giá trị nào của x và y thì A = 1
5 Cho biểu thức
x 2
1 6 x x
5 3
x
2 x
−
+
− +
− +
+
a Rút gọn biểu thức B b Tính giá trị của B, biết
3 2
2 x
+
=
c Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
− +
+
⋅
+
−
− +
−
x 1
x 1 x x 1
x 1 : x 1
x 1 x
2 2
a Rút gọn biểu thức C b Tính giá trị của C khi x= 3+2 2
c Tính giá trị của x để cho 3.C = 1
x x
x x : x 2
x 2 4 x
x
4 x 2
x 2 D
−
−
+
−
−
−
−
−
+
=
a Rút gọn biểu thức D b Tính giá trị của D khi x−5 =2
4 x 9
1 x 1 x 1 x 4
−
− + +
−
=
a Rút gọn biểu thức E b Tìm x để E > 0
9 x x
3 x 2 x 4 9 x
+
−
− +
−
−
=
a Rút gọn biểu thức F b Tìm các giá trị nguyên của x sao cho F là một số nguyên
−
+
−
− +
+
−
−
−
+
=
1 x
2 x 1
x 1 x
1 : 1 x
1 x 1 x
1 x
a Rút gọn biểu thức G b Tính giá trị của biểu thức G khi x= 4+2 3
c Tìm giá trị của x để G = –3
11 Cho biểu thức
1 x
x x x 1 x
1 x
1 x
1
−
− +
+
−
+
−
−
=
a Rút gọn biểu thức H b Tính giá trị của biểu thức H khi
7 2 9
53 x
−
=
c Tình giá trị của x khi H = 16
−
− +
−
−
+ +
=
1 x x x x
x 2 1
x
1 : 1 x
x 1 K
a Rút gọn biểu thức K b Tính giá trị của biểu thức K khi x=4+2 3
c Tìm giá trị của x để K > 1
−
+
⋅
−
+
−
+
=
a
b b a
b a b
a b a
b a : b a
b a L
2 2 2
2 2
a Rút gọn biểu thức L b Tính giá trị của biểu thức L khi 2
b
a =
+ +
− +
−
+ +
=
ab 2 b a
a b
a
a : a b
a b a
a
a Rút gọn biểu thức M b Tính giá trị của biểu thức M khi cho a=1+ 2 và b=1− 2
c Tìm các giá trị của a và b trong trường hợp
2
1 b
a= thì M = 1
15 Cho biểu thức
ab
b a a ab
b b
ab
a
−
+ +
=
a Rút gọn biểu thức N b Tính giá trị của biểu thức N khi a= 4+2 3 và b= 4−2 3
Trang 5c Chứng minh rằng nếu
5 b
1
a b
a +
+
= thì N có giá trị không đổi
(x 1) (x 3)
3 x 2 4 1 x 3 x
− +
−
−
−
−
=
a Rút gọn biểu thức P b Tính giá trị của biểu thức P khi x= 3+2 2
c Tìm các giá trị của x để P > 1
+
−
−
−
+ +
−
−
−
=
1 x 3
2 x 3 1 : 1 x 9
x 8 1 x 3
1 1
x 3
1 x Q
a Rút gọn biểu thức Q b Tính giá trị của biểu thức Q khi x=6+2 5
c Tìm các giá trị của x khi
5
6
Q =
18 Cho biểu thức
6 b 3 a 2 ab
ab 6 6
b 3 a 2 ab
b 3 a 2 R
+ + +
−
−
−
− +
+
=
a Rút gọn biểu thức R Chứng minh rằng nếu
81 b
81 b R
−
+
= thì khi đó
b
a là một số nguyên chia hết cho 3
−
−
−
− +
−
=
1 x
1 1 x : 1 x
1 3 x S
a Rút gọn biểu thức S b Tìm các giá trị của x khi S > 5
c Tính giá trị của biểu thức S khi x= 12+ 140
−
+
− + +
+ +
−
+
=
1 x
1 x 1 x x
1 x 1
x x
2 x : 1 T
a Rút gọn biểu thức T b Chứng minh T > 3 với mọi giá trị x > 0, x ≠ 1
21 Cho biểu thức
3 x
3 x 2 x 1
2 x 3 3 x 2 x
11 x 15 U
+
+
−
−
− +
− +
−
=
a Rút gọn biểu thức U b Tìm giá trị của x khi
2
1
U =
c Tìm giá trị lớn nhất của U và giá trị tương ứng của x
+
−
+ +
−
+ +
−
+
+
−
=
6 x 5 x
2 x x
3
2 x 2 x
3 x : x 1
x 1
V
a Rút gọn biểu thức V Tìm giá trị của x để V < 0
23 Cho biểu thức
1 x
1 x
1
1 x 1
1 : x 1
1 x 1
1 Y
+ +
+
−
−
+
+
−
=
a Rút gọn biểu thức Y b Tính giá trị của Y khi x=1+ 2
c Tìm giá trị của x khi
2
3
Y =
Vấn đề 3: Vẽ đồ thị, Tương giao của hai đưởng (D) và (P)
o O o
Ôn tập giáo khoa:
+ Hàm số y = ax + b
Tập xác định của hàm số y = ax + b là R
Hàm số y = ax + b đồng biến trong R nếu a > 0, nghịch biến trong R nếu a < 0
Đường thẳng y = ax đi qua O(0;0) và E(1;a)
Đường thẳng y = ax + b đi qua P(0;b) và Q(-b/a;0)
+ Hàm số y = ax 2
Tập xác định của hàm số y = ax2 là R
Trang 63 2 1 0 1 2 3
2 1
1 2 3 4 5
6 6
2
x
3
Nếu a > 0 hàm số y=ax2 đồng biến trong R+ nghịch biến trong R- và bằng 0 khi x=0
Nếu a < 0 hàm số y=ax2 đồng biến trong R- nghịch biến trong R+ và bằng 0 khi x=0
Đồ thị hàm số y=ax2 là một đường Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O, trục đối xứng Oy, nằm phía trên trục hoành nếu a > 0, và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0
+ Sự tương giao của đồ thị của hai hàm số
Tọa độ giao điểm của đồ thị của hai hàm số là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số mà mỗi phương trình của hệ là một phương trình của hàm số
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
=
=
⇔
=
+
−
⇔
−
=
=
1
1 1
2 1
2 2
y
x x
y
x x x
y
x
y
Dựa vào đồ thị ta cũng có nghiệm của hệ phương
trình là
=
=
1
1
y
x
Bài 2: Dùng phương pháp giải như bài tập 7 ta đưa
về được phương trình bậc hai, tìm được ∆, biện luận
∆ cho số nghiệm của phương trình, đưa về giải bất
phương trình hay phương trình ẩn số là m
Bài tập tự rèn luyện:
1 Cho hàm số (x)= x+2
1 Tìm tập giá trị của hàm số
2 Tìm giá trị của x để f(x) = 1
3 Chứng minh hàm số f(x) đồng biến trên tập xác định
2 Cho hàm số f(x) = (m + 1)x + 2
1 Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến
2 Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua A(1; 4)
3 Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp này
3 Xác định hàm số y = ax + b, biết:
1 Đồ thị hàm số đi qua A(1; –1) và có hệ số góc là 2
2 Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2 – 3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1
4 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(1; 4) và C(–2; 3)
5 Cho hàm số: y = – 2x
1 Chứng minh hàm số nghịch biến với x > 0 ; Đồng biến với x < 0
2
2 Vẽ đồ thị của hàm số
3 Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = x – 3
6 Vị trí tương đối của 2 điểm đối với các trục, đối với gốc O Đường thẳng qua gốc O
Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(2;1)
1 Tìm các điểm đối xứng của A qua trục hoành, trục tung, gốc hệ trục
2 Tính khoảng cách OA
3 Viết phương trình đường thẳng OA
4 Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với OA
7 Lập phương trình đường thẳng
Lập phương trình của đường thẳng (D) trong các trường hợp sau và vẽ các đường thẳng ấy trong mặt phẳng tọa độ:
1 (D) có hệ số góc a = 2 qua A(2; 1)
Trang 72 (D) có hệ số góc a = –1 và qua B(–1; 2)
3 (D) qua C(1; 1) và song song với đường thẳng (D’): y = x
2
1
4 (D) qua E(2; –1) và vuông góc với đường thẳng (D’): y = –2x + 1
5 (D) qua F(2; 3) và song song với trục tung
6 (D) qua G(-1; -2) và song song với trục hoành
7 (D) qua 2 điểm H(2; 1) và K(3; 3)
Các câu trên độc lập với nhau, có thể vẽ riêng
8 Toán tổng hợp về đường thẳng trong hệ trục:
Trong mặt phẳng toạ độ, gọi (D) là đường thẳng có phương trình: y – 2x – 2 = 0
1 Vẽ (D) qua giao điểm A của (D) với trục tung y’y và giao điểm B của (D) với trục hoành x’x
2 Viết phương trình đường thẳng (D1
3 (D
) qua C(1;0) và song song với (D)
1
4 Viết phương trình đường thẳng (D) cắt trục tung tại E Giải thích rõ tính chất đặc biệt của tứ giác ABEC 2
5 (D2) cắt (D1 ) qua A và vuông góc với (D)
9 Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số y = ax) tại F Tìm toạ độ của F; tính diện tích của tứ giác ABEF 2
Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P):
(a ≠ 0) và sự tương giao với y = ax + b
2
x
y = và đường thẳng (D): y = x + 2
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số y =x2
2 Vẽ (D)
3 Tìm tọa độ giao điểm của A và B của (P) và (D) bằng đồ thị và phép toán
4 Từ A và B vẽ AH ⊥ x’x; BK ⊥ x’x Tính diện tích của tứ giác AHKB
10 Xác định hàm số y = ax2
Cho hàm số
(a ≠ 0) Đặc điểm hình học qua tọa độ:
2
ax
y = có đồ thị (P)
1 Tìm a biết (P) qua điểm A(1; –1) Vẽ (P) với a vừa tìm được
2 Trên (P) lấy điểm B có hoành độ bằng –2, tìm phương trình của đường thẳng AB và tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung
3 Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác định toạ độ giao điểm C của (d) và (P) (C khác O)
4 Chứng tỏ OCDA là hình vuông
Vấn đề 4: Giải hệ phương trình, biện luận về số nghiệm
o O o
Ôn tập giáo khoa:
Định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số Số nghiệm của nó Các phương pháp giải hệ phương trình: Phương pháp đồ thị, phương pháp đại số (phương pháp cộng và phương pháp thế) Phương pháp đặt ẩn số phụ
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
nghiệm
vô 0 2 2
0 1 2
2
1
2
1
1
1
2
= + +
=
− +
⇒
−
≠
x
y x
Phương pháp dùng định nghĩa để chỉ rõ sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình (phương pháp này không xác định được nghiệm số bằng bao nhiêu)
1 4 2
3 2 1
3 4
2 2
1
=
−
=
−
⇒
≠
−
−
=
y x
y x
Bài 2:
a)
Ôn tập các phép biến đổi tương đương hệ phương trình Từ đó biến đổi hệ phương trình về dạng đơn giản nhất, sau đó áp dụng các phương pháp đã học để giải hệ phương trình :
=
=
⇔
=
−
= +
⇔
=
−
−
−
+
−
=
−
+
514
69 4
13 14
104 5
21
3
1 4
5 2
4
3
7
y
x y
x
y x y
x y
x
y x y x
Trang 8b) ( )( ) ( )( )
=
=
⇔
=
−
=
−
⇔
+
−
= +
−
+ +
= + +
23 67 23
9 15
3 16
7 2 3 2
6 5 3 7 5 3
2
8 1 5
3
y
x y
x
y x y
x y
x
y x y
x
=
⇔
=
−
−
−
=
⇔
=
−
= +
⇔
=
−
−
+
=
+
−
−
−
2
4 6
5 15 34 4
15 34 6
5 4
34 15 5
, 1 4
3 20
9
4
0 5
1 2
3
1
y
x y
y
y x
y x
y x y
x
x y
d)
=
−
=
⇔
−
= +
−
=
−
⇔
−
= +
−
=
−
⇔
+
= +
−
−
=
−
+
1
1 1
6 7
10 6
4 1 6 7
5 3 2 1 2 3 2
5
2
1 2
3
3
2
y
x y
x
y x y
x
y x x
x y y
x
y
x
Bài 12:
a)
Học sinh đặt ẩn số phụ để đưa hệ phương trình về những hệ phương trình đơn giản đã học
=
=
⇔
−
=
−
=
=
=
⇔
−
=
=
⇔
=
+
=
−
−
=
=
=
−
−
+
=
−
−
5 3 3 4
4
5 2
1 b
4
3 1 a
4 5 4
3 1
3
2
a
: có Ta 2
1 b
;
1 a Đặt
0 1 2
1
3
2 2
1
1
y x
y
x b
a b
a
b
y x
y
x
y
x
b)
=
±
=
⇔
=
=
=
=
=
=
⇔
−
= +
=
−
⇔
=
=
−
=
=
=
−
=
−
−
0 y
2 x 0
4
:
đó
Do
0
4 12
b 9 3a
-12 4 3a 4
3b
-a
12 4
3a
: có Ta b
; a Đặt 4
3
0 12 4
3
2
2 2
2
y b
x a
b
a b
b
y x
y
x
y
x
Tương tự như bài tập 12 a, c Học sinh giải bài tập 12 b, d như sau: Chọn ẩn số phụ, đưa hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình đơn giản, giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp như: phương pháp cộng hoặc phương pháp thế (chú ý: Không dùng phương pháp đồ thị để giải, trừ trường hợp đề bài tập yêu cầu)
Bài tập tự rèn luyện:
11 Giải các hệ phương trình sau: a)
−
= +
= +
4 y x 2
1 y x
= +
=
−
5 y
4 x 3
1 y
1 x 1
12 Tìm m và n để hệ phương trình sau có nghiệm (–3; 2) :
−
= +
−
= +
m 5 7 ny x
11 n 6 y mx
13 Giải hệ phương trình:
= + + +
= + + +
4 2 y
6 1 x
5 2 y
3 1 x 2
14 Cho hệ phương trình:
−
= +
=
− 3 y ax
6 y 2 x
a) Giải hệ đã cho với a = 4;
Trang 9b) Tìm a sao cho hệ có nghiệm (x;y) thỏa y = x
4
3
15 Giải các hệ phương trình 2 ẩn x; y sau đây bằng đồ thị, kiểm tra lại bằng phép toán (cả 2 phương pháp cộng và thế)
a
+
=
=
1
x
y
x
y
; b
+
=
−
= x 1 y
1 x y
; c
= +
=
− 4 y x
2 y x
; d
= +
−
= + +
−
0 3 y x
0 1 y x
; đ
= +
−
= +
−
0 2 y 4 x 2
0 1 y x
Vấn đề 5: Giải phương trình và các phương trình quy về phương trình bậc hai, biện luận về số nghiệm theo tham số
o O o
Ôn tập giáo khoa:
a) Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm khi b lẻ
ax2 + bx + c = 0
∆ = b2 – 4ac
∆ < 0 : phương trình vô nghiệm
∆ = 0 : phương trình có nghiệm số kép x1 = x2
a
b 2
−
∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm số phân biệt
x1
a
b
2
∆ +
−
a
b 2
∆
−
−
b) Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn khi b chẵn
ax2 + bx + c = 0
∆’= b’2 – 4ac
∆’ < 0 : phương trình vô nghiệm
∆’ = 0: phương trình có 1 nghiệm số kép x1 = x2
a
b'
−
∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm số phân biệt
x1
a
b'+ ∆'
−
a
b' ∆− '
−
c) Tương quan về số nghiệm của phương trình bậc hai theo biệt số ∆:
∆ < 0 ⇔ phương trình vô nghiệm
∆ = 0 ⇔ phương trình có 1 nghiệm số
∆ > 0 ⇔ phương trình có 2 nghiệm số phân biệt
biệt phân dương số nghiệm hai
có trình phương
0
0
0
⇔
>
>
>
∆
S
P
biệt phân âm số nghiệm hai
có trình phương
0
0
0
⇔
<
>
>
∆
S
P
dấu trái số nghiệm hai
có trình phương
0 ⇔
<
P
hơn lớn đối tuyệt trị giá có âm nghiệm dấu,
trái số nghiệm hai
có trình phương
0
0
⇔
<
<
S
P
hơn lớn đối tuyệt trị giá có dương nghiệm dấu,
trái số nghiệm hai
có trình phương
0
0
⇔
>
<
S
P
nhau bằng đối tuyệt trị giá có nghiệm hai
dấu, trái số nghiệm hai
có trình phương
0
0
⇔
=
<
S
P
Để tìm tham số theo điều kiện của ẩn ta :
Trang 10Lập ∆ ; ∆’ ≷ 0
Giải phương trình hoặc bất phương trình theo tham số
Để chứng minh 1 phương trình có 0, 1, 2, nghiệm số ta:
Lập ∆ ; ∆’
Chứng tỏ ∆ ; ∆’ ≷ 0 hoặc bằng 0 để có 0, 1, 2 nghiệm
d) Hệ thức Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S= x1+x2
a
b
= - P= x1.x2
a
c = Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có dạng a+b+c =0 thì x1= 1, x2
a
c
= Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có dạng a-b+c =0 thì x1= -1, x2
a
c
−
= e) Dùng ẩn số phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình đã học
Các phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn số là:
Phương pháp giải phương trình tích như sau:
-Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi đa thức bên trái thành tích các thừa số, dùng tính chất của tích khi vế bên phải bằng 0 Tiến hành cho từng nhân tử bằng 0, Giải phương trình bậc nhất hay bậc hai tương ứng
Chú ý: Việc dùng hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành nhân tử là rất quan trọng
Phương pháp giải phương trình chúa ẩn số ở mẫu như sau:
-Tìm tập xác định của phương trình (hay tím điều kiện của phương trình) Quy đồng khử mẫu phương trình để đưa phương trình về dạng có hệ số nguyên đơn giản
Phương pháp giải phương trình trùng phương như sau:
-Đưa phương trình trùng phương về phương trình bậc hai một ẩn số bằng cách đặt ẩn số phụ:
y = x2
.f2 x +bf x +c= a
Mở rộng cho trường hợp sau:
Đặt y = f(x), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn số
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Học sinh nhận định thứ tự ưu tiên khi giải phương trình bậc hai một ẩn số: Nhẩm (Dùng định lý nghiệm hay định lý Vi-ét), dùng công thức nghiệm khi b lẻ, dùng công thức nghiệm thu gọn khi b chẵn
a) x2 –11x + 30 = 0 x1 = 5 x2 = 6 b) x2 –10x + 21 = 0 x1 = 3 x2 = 7
c) 0,3x2-2x+1,7= 0 ; x1=1 , x2
3
17
= d)x2 −(1− 2)x+ 2 =0; x1=1, x2= 2 Bài 2: Học sinh trả lời bài tập: Phương trình bậc hai một ẩn số có một nghiệm số thì ta thay ẩn số bằng giá trị mà đề bài tập đã cho Giải phương trình theo tham số cần tìm
Bài 3: Học sinh trả lời câu hõi sau: Phương trình bậc hai một ẩn số có hai nghiệm số trái dấu khi nào? Phương trình bậc hai một ẩn số không thể có hai nghiệm dương khi nào? Phương trình bậc hai một ẩn số có một nghiệm bằng 1 khi nào?
Học sinh lên bảng giải bài tập 15
Bài 4:
1 Giải trực tiếp phương trình bậc hai:
Học sinh: Dùng ẩn số phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình đã học
Học sinh lên bảng giải bài tập 16
Bài tập tự rèn luyện:
Giải trực tiếp(không dùng công thức nghiệm) các phương trình bậc hai sau đây:
1 a)x2 − x=0; b) −x2 +4x=0
2 a)x2 −4=0; b) −x2 +5=0
3 a)x2 +9=0; b) −x2 −16=0
4 a)x2 − x+1=0; b) x2− x+1=0
