Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học phương trình bậc hai đại số lớp 9

Tác giả Nguyễn Thị Hương 2016 với đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh khi dạy học các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”.. chứa đựng trong bài

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THANH TÂM

VẬN DỤNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THANH TÂM

VẬN DỤNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Hồng

HÀ NỘI – 2019

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, gợi ý và cho những lời khuyên bổ ích suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Dù đã rất cố gắng đầu tư thời gian nghiên cứu song luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được nhận xét và góp ý của các thầy, cô giáo để tác giả có được những định hướng tốt hơn trong hướng nghiên cứu tiếp theo

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 2 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Thanh Tâm

ii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

iii

DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG Danh mục các hình

Hình 1.1 Sơ đồ mô hình hóa toán học 8

Hình 1.2 Chu trình mô hình hóa 7 bước của Blum 11

Hình 1.3 Chu trình mô hình hóa của Stillman 12

Hình 1.4 Chu trình mô hình hóa theo PISA 13

Hình 2.1 Biểu đồ tăng dân số thành phố Hà Nội 26

Danh mục các bảng Bảng 1.2 Bảng thống kê ý kiến GV 23

Bảng 3.1 Bảng thống kê ý kiến của học sinh hai lớp thực nghiệm 65

Bảng 3.2 Kết quả đầu ra của hai lớp trường THCS Phú La 66

Bảng 3.3 Kết quả đầu ra của hai lớp trường PTQT Việt Nam 67

Bảng 3.4 Tỉ lệ phần trăm năng lực MHH của HS trường PT Quốc tế VN Bảng 3.5 Tỉ lệ phần trăm năng lực MHH của HS trường THCS Phú La

68

58

iv

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1 Mong muốn biết thêm ứng dụng thực tiễn của những kiến thức toán học 19 Biểu đồ 1.2 Mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học 19 Biểu đồ 1.3 Mức độ thường xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV 20 Biểu đồ 1.4 Mối liên hệ giữa chủ để giải bài toán bằng cách lập phương

trình với thực tiễn và với môn học khác 21 Biểu đồ 1.5 Mức độ khó khăn trong việc giải bài toán bằng cách lập

phương trình 21

v

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG iii

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 2

4 Câu hỏi nghiên cứu 2

5 Giả thuyết khoa học 3

6 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Đóng góp của luận văn 4

9 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tổng quan nghiên cứu 5

1.2 Hệ thống khái niệm 6

1.2.1 Mô hình 6

1.2.2 Mô hình toán học 6

1.2.3 Mô hình hóa toán học 8

1.3 Bài toán thực tiễn và bài toán phỏng thực tiễn 8

vi

1.4 Dạy học theo hướng vận dụng mô hình hóa 10

1.5 Chu trình hoạt động mô hình hóa 11

1.5.1 Cơ sở lí luận 11

1.5.2 Đề xuất chu trình hoạt động mô hình hóa toán học 13

1.6 Ý nghĩacủa dạy học theo hướng vận dụng mô hình hóa 16

1.7 Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học phương trình bậc hai 17

1.7.1 Về bài toán nội dung mô hình hóa chủ đề phương trình bậc hai 17

1.7.2 Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học phương trình bậc hai 18

Kết luận chương 1 23

CHƯƠNG 2.THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9 24

2.1 Định hướng xây dựng hoạt động mô hình hóa 24

2.2 Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phương trình bậc hai 26

2.3 Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa 43

Kết luận chương 2 62

CHƯƠNG 3.THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 63

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 63

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 63

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 63

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 64

Kết luận chương 3 69

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

vii PHỤ LỤC

Đặc điểm nổi bật trong Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA là nội dung đánh giá được xác định dựa trên các kiến thức, kỹ năng cần thiết Một trong các năng lực được đánh giá trong PISA là năng lực toán học phổ thông, với năng lực này, PISA đề xuất 7 năng lực toán học cơ bản trong đó có năng lực “Mô hình hóa toán học” [3]

Theo Chươngztrình giáozdục phổ thôngztổng thể (2017): “Giáozdục toánzhọc hình thànhzvà phátztriển cho HS năngzlực toán học với các thành tố cốtzlõi là: năng lựcztư duy và lập luậnztoán học, năngzlực MHH toánzhọc, năng lực giảizquyết vấnzđề toánzhọc… tạo cơzhội để học sinh được trảiznghiệm, ápzdụng toán họczvào đời sốngzthực tiễn Giáo dục toánzhọc tạozdựng sự kếtznối giữa cáczý tưởngztoán học, giữaztoán học với cáczmôn học kháczvà giữa toánzhọc vớizđời sống thựcztiễn” [4] Như vậy, năng lực MHH toán học hay giải quyết vấn

đề toán học gắn với thực tiễn được chú trọng và đề cao trong tất cả các năng lực toán học cần có ở HS

MHH trongzdạy họcztoán là quá trình giúp HS tìmzhiểu, khámzphá các tình huốngznảy sinh từzthực tiễnzbằng côngzcụ và ngônzngữ toánzhọc với sựzhỗ trợ của công nghệzthông tin [12] Vậnzdụng MHH toánzhọc trongzgiảng dạyzgiúp GV phátzhuy tínhztích cực trongzhọc tậpzcủa HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi

“Mônztoán cózứngzdụng gì trong thựcztiễn và có vaiztrò quan trọngzgì trong việczgiải thích các hiệnztượng thựcztiễn?” Điều nàyzcó ý nghĩazrất lớn trongzviệc gợizđộng cơ học tập ngay từ đầu chozHS

2

Những năm gần đây, đã xuất hiện một số nghiên cứu về vận dụng MHH trong dạy học toán, tuy nhiên số lượng nghiên cứu chưa nhiều, đặc biệt là các nghiên cứu về vận dụng MHH trong dạy học toán Trung học cơ sở (THCS) Hơn nữa, qua thực tế giảng dạy, nhiều GV cho biết HS rất hay gặp khó khăn và dễ nản chí khi gặp những bài toán có lời văn HS không biết phải đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng của bài toán theo ẩn như nào cho đúng, từ đó lập được phương trình và tìm kết quả chính xác cho bài toán

Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn: “Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học Phương trình bậc hai Đại số lớp 9”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng MHH toán học trong dạy học Phương trình bậc hai Đại số lớp 9, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường THCS, giúp HS rèn luyện năng lực MHH toán học

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học môn toán ở trường THCS và quá trình sử dụng các kiến thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Vận dụng MHH toán học trong dạy học Phương trình bậc hai Đại số lớp 9

3.3 Phạm vi nghiên cứu

Lớp 9 trường THCS Phú La (Hà Đông, Hà Nội) và lớp 9 trường Phổ thông Quốc tế Việt Nam (Hà Đông, Hà Nội)

4 Câu hỏi nghiên cứu

- Câu hỏi 1: Thực trạng dạy học Đại số 9 – chủ đề phương trình bậc hai) hiện nay từ quan điểm vận dụng MHH trong dạy học Toán ra sao?

- Câu hỏi 2: Có thể vận dụng MHH trong dạy học Đại số 9 - chủ đề phương trình bậc hai như thế nào?

3

- Câu hỏi 3: Việc thực hiện vận dụng MHH như vậy được thực tiễn chấp nhận như thế nào?

5 Giả thuyết khoa học

Thiết kế và vận dụngzMHH toán học tổ chứczhoạt độngzhọc tập chủ đề Phươngztrình bậc hai sẽzhình thành vàzphát triểnzcác năng lựczMHH toánzhọc chozHS

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng hệ thống khái niệm cơ bản; tìm hiểu thực trạng dạy và học Toán lớp 9 theo hướng vận dụng MHH

- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng MHH toán học trong dạy học Phương trình bậc hai – Đại số lớp 9

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng MHH toán học trong dạy học môn toán ở trường THCS

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Tìmzhiểu, nghiêncứu tài liệuztrong và ngoàiznước vềzcác vấnzzđề có liênquan đến đề tài luận văn

- Nghiên cứu sách giáo khoa (SGK) toán 9 – Phần Đại số chủ đề Phương trình

bậc hai và các tài liệu tham khảo toán 9 số phục vụ hoàn thành luận văn 7.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Quan sát, điểu tra thực trạng vận dụng MHH toán học trong dạy học môn toán lớp 9 ở trường THCS qua các hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật ký ghi chép, phỏng vấn trực tiếp GV ở trường THCS

7.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp

Phỏng vấn trực tiếp nhóm học sinh

4

7.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau khi thực nghiệm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

- Xử lý số liệu điều tra, số liệu thu được từ các bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi, tính hiệu quả của giả thuyết nghiên cứu

8 Đóng góp của luận văn

8.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

- Nâng caozhiệu quảzdạy và họcznội dung Đạizsố lớp 9 – Phươngztrình bậczhai, tăngzcường tính ứng dụng thựcztiễn củaztoán trong chương trình môn toán ở trường THCS

- Kết quả luận văn như một tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy và học tập môn toán ở trường THCS

9 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Cơzsở lízluận vàzthực tiễn

Chương 2: Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 9 Chương 3: Thựcznghiệm sưzphạm

và minh họa cho các yếu tố đó Bên cạnh đó, bài báo giới thiệu tóm tắt về lịch sử và các tiếp cận lí thuyết về MHH trong giáo dục toán để thấy được sự quan tâm của thế giới trong lĩnh vực này

Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2013) với bài báo “Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ quá trình toán học hóa” đăng trên Khoa học – Đại học sư phạm TPHCM [2] Bài báo giới thiệu quá trình toán học hóa cùng với các gợi ý xây dựng tình huống dạy học hỗ trợ quá trình này, đồng thời bài báo cũng đã trình bày các phân loại các tình huống toán học giúp cho việc sử dụng các tình huống vào dạy học thuận lợi và đúng mục đích hơn

Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) với nghiên cứu “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm” được đăng trên tạp chí Khoa học – Đại học sư phạm TPHCM [5] Bài báo đã đề xuất được quy trình MHH với 4 bước cơ bản nhằm hướng đến dạy học khái niệm đạo hàm cho HS, Bên cạnh đó, nghiên cứu cũng đã nhấn mạnh sự khác biệt giữa dạy học MHH và dạy học bằng MHH từ trình bày của

Lê Văn Tiến (2005)

Tác giả Nguyễn Danh Nam (2015) với nghiên cứu “Quy trình mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông” đăng trên tạp chí Khoa học ĐHQGHN Đề

6

tài đã điều chỉnh và đề xuất quy trình mô hình hóa với 7 bước nhằm đơn giản hóa

và dễ hiểu hơn đối với HS phổ thông [12]

Tác giả Phan Thị Thu Hiền (2015) với luận văn “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông” Luận văn tập trung nghiên cứu và đề xuất những mô hình toán học về hàm số, phương trình, hệ bất phương trình và tổ chức thực nghiệm khá thành công Đa phần học sinh rất hứng thú và đạt được cấp độ cao về năng lực mô hình hóa [8]

Tác giả Nguyễn Thị Hương (2016) với đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh khi dạy học các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” Đề tài đã đưa ra một số hoạt động và phương pháp nhằm phát triển năng lực MHH toán học cho HS trong dạy học phương trình, đề tài đã thực nghiệm

và cho kết quả khả thi [9]

1.2 Hệ thống khái niệm

1.2.1 Mô hình

Theo Chevallard (1989): Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ thống này [5]

Tác giả Nguyễn Danh Nam trong nghiên cứu “Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường phổ thông” đã đưa ra định nghĩa: Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật [12]

Tóm lại, mô hình là một hình thức mô tả, minh họa thay thế mà qua đó ta thấy được các đặc điểm, đặc trưng của vật thể thực tế

1.2.2 Mô hình toán học

Mô hình toán học là một mô hình sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ thống Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và

7

chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ: vật lý, sinh học, và kĩ thuật điện tử) đồng thời trong

cả khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị)

- Mô hình về sự phát triển của dân số của Maỉhus: Giả sử tỉ lệ người sinh ra

là b và tỉ lệ người chết đi là d đều là những hằng sô, thì tỷ lệ gia tăng dân số là

r = b – d cũng là một hằng số Giả sử thời kỳ đầu (t = 0) dân số là N0 thì dân số tại thời điểm t là Nt = N0.ert cũng chính là nói dân số tăng theo cấp số nhân

- Mô hình mô tả hành vi của khách hàng: Khách hàng mong muốn mua

nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có Trong mô hình này, ta xem xét

trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng được đánh nhãn 1,2, ,n, mỗi thứ có giá là p 1 , p 2 , , p n Giả thiết rằng khách hàng có một hàm

tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x 1 , x 2 , , x n Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x 1 , x 2 , , x n ) Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở

thành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là:

Ví dụ 1.2.1: Trong kho có 500 tấn hàng, mỗi ngày người ta lấy đi 30 tấn

hàng Hỏi số hàng còn lại trong kho là bao nhiêu tấn sau 2 ngày, 4 ngày, 10 ngày?

Mô hình toán học của tình huống này là hàm số bậc nhất y = 500 – 30x Nhờ

mô hình này, có thể trả lời dễ dàng: x = 2 thì y = 440; nếu x = 4 thì y = 380; x = 10 thì y = 200

Hay trong giải bài toán bằng cách lập phương trình, phương trình là một mô hình toán học đã xuất hiện trong quá trình hình thành vài giải bài toán

8

1.2.3 Mô hình hóa toán học

MHH toán học: Có thể hiểu theo nghĩa hẹp là quá trình toán học hóa để xuất hiện mô hình toán học Nghĩa là, người học cần vận dụng các tri thức vào việc giải các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học

MHH toán học: có thể hiểu theo nghĩa rộng là quá trình giải quyết vấn đề thực tiễn bằng công cụ toán học Trong quá trình đó có xuất hiện mô hình toán học, làm việc với mô hình và hoàn thiện để có mô hình tốt nhất có thể

Hình 1.1 Sơ đồ mô hình hóa toán học

Tác giả Lê Thị Hoài Châu đã đưa ra khái niệm MHH toán học như sau: MHH toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [5]

1.3 Bài toán thực tiễn và bài toán phỏng thực tiễn

Theo Lê Văn Tiến (2005), bài toán nội dung thực tiễn là bài toán mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mối quan hệ, chứa đựng trong bài toán đều là các yếu tố của thực tiễn “thực” [14].Thực tiễn có thể từ nội dung ngành toán học khác (Đại số coi Hình học thuộc ngành khác), có thể từ môn học khác (các bài toán về chuyển động trong vật lí hay các bài toán về tỉ lệ các chất từ hóa học) và

có thể từ thực tiễn đời sống như bài toán liên quan đến tài chính tiền tệ lãi suất, hay bài toán liên quan đến năng suất lao động, làm chung công việc…)

Bài toán phỏng thực tiễn là bài toán mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mối quan hệ,…không phải là các yếu tố của thực tiễn “thực”mà chỉ

là sự mô phỏng (hay phản chiếu) của thực tiễn này Sự sai biệt giữa bài toán nội

9

dung thực tiễn và bài toán thực tiễn là hệ quả của hệ thống dạy học Chẳng hạn, giá trị của các dữ kiện được cho trong bài toán thường được chọn sao cho việc tính toán không quá phức tạp, kết quả giải (đáp số) đẹp hơn Như vậy các bài toán có áp dụng tri thức toán trong chương trình Toán phổ thông sẽ chủ yếu là các bài toán phỏng thực tiễn

Việc giải bài toán thực tiễn hay bài toán phỏng thực tiễn chính là quá trình giải bài toán toán học, nghĩa là HS cần chuyển bài toán thực tiễn hoặc phỏng thực tiễn sang bài toán toán học bằng cách diễn đạt bằng ngôn ngữ và kí hiệu toán học,

từ đó HS dễ dàng dùng các công cụ toán học sẵn có để giải quyết, quá trình này liên

hệ chặt chẽ với hình thành và phát triển năng lực MHH toán học Để làm được điều này học sinh phải có khả năng thu nhận được thông tin toán học từ tình huống thực

tế ban đầu, chuyển đổi thông tin giữa thực tế và toán học, thiết lập được mô hình toán học từ tình huống thực tế

Trong sách giáo khoa môn Toán ở THCS, quy trình giải các bài toán thực tế không được đưa vào một cách tường minh mà chỉ được đưa vào trong trường hợp

cụ thể đó là quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình (Toán 8) gồm 3 bước đó là:

- Bước 1: Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

trong SGK lớp 9 Như vậy kĩ năng HS phải lĩnh hội chủ yếu là kĩ năng lập và giải

10

PT từ một bài toán có nội dung thực tế, trong đó kĩ năng “lập phương trình” bị coi nhẹ hơn so với kĩ năng “giải phương trình” Tuy nhiên chúng ta đều biết một trong những kĩ năng quan trong chính là việc chuyển từ các bài toán có nội dung thực tiễn về các mô hình toán học, nói cách khác là “lập phương trình” chúng

Trong SGK Toán 9 – tập 2 đưa ra Ví dụ 1 trang 20: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị

Cách giải sách đưa ra có bước đầu phân tích dữ kiện bài toán để đưa ra được điều kiện về hai chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị (đều khác 0) Sau đó gọi

chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y Như vậy việc lập phương trình –

khâu quan trọng trong dạy học bài toán có nội dung thực tiễn và từ đó dạy học MHH, được chỉ dẫn từng bước không phát huy được tính sáng tạo của HS để thông qua đó hình thành các kỹ năng MHH toán học và kỹ năng áp dụng toán học vào cuộc sống [13]

1.4 Dạy học theo hướng vận dụng mô hình hóa

Nói về MHH trong dạy học toán, tác giả Lê Văn Tiến (2005) phân biệt hai

khái niệm Dạy học MHH và dạy học bằng MHH [14]

- Dạy học MHH là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn

[ ] Quy trình dạy học có thể là: Dạy học tri thức toán học lí thuyết  Vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học

- Dạy học bằng MHH: là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn

11

Quy trình dạy học tương ứng có thể là: Bài toán thực tiễn Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời cho bài toán thực tiễn  Tri thức cần giảng dạy

 Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn

Dạy học bằng MHH cho phép tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề

Như vậy, thông qua dạy học bằng MHH sẽ phát triển được năng lực MHH cho học sinh một cách tích cực và tự nhiên nhất Qua đó, HS có thể tiếp cận bài toán và xây dựng mô hình toán học phù hợp, từ đó đối chiếu xem mô hình đó có tối

ưu không và đưa ra câu trả lời chính xác cho bài toán thực tiễn

1.5 Chu trình hoạt động mô hình hóa

1.5.1 Cơ sở lí luận

MHH thường được mô tả kĩ hơn qua các bước của cả quá trình MHH Nhiều

sơ đồ đã được sử dụng để chỉ ra bản chất của hoạt động MHH toán học, như là một hướng dẫn để thiết kế các nhiệm vụ MHH và thực hiện MHH trong lớp học [1]

Sơ đồ của Blum (2005): sơ đồ này được xem là cơ sở cho tất cả các hoạt động MHH và những thay đổi của các chu trình MHH ngày nay

Hình 1.2 Chu trình MHH 7 bước của Blum [16]

12

- Bước 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống;

- Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô

hình thực của tình huống;

- Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;

- Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;

- Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

- Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2;

- Bước 7: Trình bày cách giải quyết

Hình 1.3 Chu trình MHH của Stillman [17]

Các mục A – G biểu diễn các bước của quá trình MHH, các mũi tên đậm biểu thị sự chuyển đổi của các bước Toàn bộ quá trình MHH là đi theo dấu mũi tên cùng chiều kim đồng hồ Quá trình này kết thúc bởi việc thể hiện kết quả của MHH hoặc tiếp tục một chu trình MHH khác nếu kết quả là không thỏa đáng ở một phương diện nào đó Các mũi tên ngược lại nhấn mạnh sự tồn tại của hoạt động phản ánh, nghĩa là người thực hiện MHH có thể quay lại ở bất kì bước nào của chu trình để xem xét nếu không thể tiếp tục thực hiện được

Sơ đồ theo PISA (2006) gồm 5 bước:

- Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế

13

- Bước 2: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học

và xác định các kiến thức toán học có liên quan

- Bước 3: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn

cảnh thực tế thông qua quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa

- Bước 4: Giải quyết bài toán bằng phương pháp toán học

- Bước 5: Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác

định những hạn chế của lời giải

Hình 1.4 Chu trình MHH theo PISA [18]

Các chu trình MHH toán học giới thiệu trên đều gồm 4 yếu tố chính: toán học hóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh Các yếu tố này mô tả những hoạt động mà HS sẽ thực hiện trong suốt quá trình MHH

1.5.2 Đề xuất chu trình hoạt động mô hình hóa toán học

Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ giáo dục năm 2017

có đề xuất những năng lực cần đạt của HS, trong đó có năng lực mô hình hóa toán học đối với HS cấp THCS thể hiện qua việc:

- Sử dụng được các mô hình toán học (gồm công thức toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, hình biểu diễn, ) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

Xuất phát từ thực tế trên, chúng tôi đề xuất hoạt động MHH toán học gồm các hoạt động sau:

- Hoạt động 1: Quan sát và thu thập số liệu của các bài toán thực tiễn Ở bước này, cần phát hiện được các yếu tố có liên quan trong bài toán thực tiễn, yếu

tố nào đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ giữa các yếu tố

- Hoạt động 2: Xem xét mối quan hệ để biểu diễn bài toán thực tiễn thành bài toán toán học Sắp xếp các dữ kiện và kết nối chúng tạo thành một sơ đồ logic để thiết lập các phương trình

- Hoạt động 3: Trên tình huống toán học, đặc biệt là bài toán toán học, thực hiện hoạt động giải bài toán toán học Nghĩa là thực hiện các bước giải phương trình đã thiết lập theo sơ đồ logic ở bước 2

- Hoạt động 4: Giải thích kết quả bài toán toán học theo bài toán thực tiễn ban đầu Đối chiếu kết quả của lời giải toán học với bài toán thực tiễn, từ đó đưa ra kết luận về MHH toán học cho bài toán thực tiễn ban đầu

Ví dụ 1.5.1. Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong một thời gian quy định Nhờ tăng năng suất lao động mỗi ngày đội làm thêm được 10 sản phẩm so với kế hoạch Vì vậy, chẳng những đã làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với quy định Tính số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch

15

Hoạt động 1: Thu thập số liệu có liên quan, điền vào bảng sau dựa trên các câu hỏi:

- Đề bài hỏi gì? Hỏi về sản phẩm hay năng suất? Nhận biết được nhờ cụm từ

nào?

- Theo quy định thì mỗi đội phải làm bao nhiêu sản phẩm, khi đó thời gian

làm theo quy định tính như thế nào?

- Theo thực tế thì sản phẩm làm được là bao nhiêu? Năng suất, thời gian làm

Hoạt động 2: Xét các mối quan hệ của các số liệu có trong bảng để lập bài toán về

giải phương trình như sau: Đội sản xuất hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so

với quy định nên: 1000 1080 2

16

1 50

x  (thỏa mãn điều kiện); x2  100 (loại)

Số ngày làm theo dự kiến là: 1000 : 50 = 20 (ngày)

Số ngày làm theo thực tế là: 20 – 2 = 18 (ngày)

Số sản phẩm làm theo thực tế là: 18 60 = 1080 (sản phẩm)

Hiệu số sản phẩm giữa dự kiến và thực tế là: 1080 – 1000 = 80 (sản phẩm)

Kết quả trên phù hợp với dữ kiện của bài toán thực tiễn

Vậy số sản phẩm đội sản xuất phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch là 50 sản phẩm

HĐ 4.2: Kết luận về MHH toán học cho bài toán thực tiễn ban đầu

Mô hình trên là hoàn toàn phù hợp và tối ưu Một cách MHH kiểu khác: Gọi số ngày mà đội sản xuất phải làm xong 1000 sản phẩm theo kế hoạch là

1.6 Ý nghĩa của dạy học theo hướng vận dụng mô hình hóa

- Giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học; tăng cường và làm

sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn

Ví dụ 1.6.1: Vận dụng MHH, GV có thể giúp HS thấy được các mô hình toán

học như các đường parabôn, hypebôn, conic được thể hiện trong các hiện tượng cuộc sống Do đó, MHH giúp cho việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn Qua việc giải quyết các tình huống thực tiễn từ bài toán chuyển động, tình huống thực tiễn từ diện tích trong Hình học hay quan hệ đồng dạng ở Hình học, tình huống thực tiễn từ vấn đề tài chính (liên quan tiền gửi tiết kiệm, hạ giá hàng, mua trả góp, ), HS sẽ hiểu sâu và nắm chắc kiến thức cũng như làm sáng tỏ yếu tố toán học trong thực tiễn

- HS phát triển các kỹ năng toán học, rèn luyện tư duy toán học, phát triển

năng lực MHH toán học

17

Ví dụ 1.6.2: Thông qua giải bài toán bằng cách lập phương trình, HS phải tư

duy cách đặt ẩn sao cho phù hợp, từ cách đặt ẩn tìm các biểu thức đại số với các đại lượng có liên quan theo ẩn, từ đó lập phương trình và giải phương trình Tuy nhiên quá trình này không phải lúc nào cũng diễn ra trơn chu, bởi

HS có thể không lập được phương trình từ những mô hình toán học vừa lập,

từ đó HS lại phải tư duy lại để tìm hướng giải phù hợp nhất

- HS học tập môn toán hứng thú hơn bởi HS thấy được ứng dụng của toán học

với thực tiễn cuộc sống

Ví dụ 1.6.3: Qua việc giải quyết các tình huống thực tiễn, HS thấy rằng

chuyển từ tình huống thưc tiễn sang toán học là một thách thức, mà khi đã giải quyết được thách thức này, HS sẽ thấy hứng thú và có động lực tích cực hơn trong học tập

- Hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

có hiệu quả hơn

Ví dụ 1.6.4: Khi triển khai dạy học theo hướng vận dụng MHH, GV dễ dàng

“dự đoán” được mô hình toán học mà HS xây dựng, từ đó phát triển những

mô hình có tính khả thi và điều chỉnh những mô hình chưa đạt hiệu quả sao cho phù hợp

1.7 Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học phương trình bậc hai

1.7.1 Về bài toán nội dung mô hình hóa chủ đề Phương trình bậc hai

Trong SGK môn toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học nhưng cũng chưa đáp ứng được so với yêu cầu; số lượng các vấn đề lý thuyết, các ví dụ, bài tập Toán

có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK ở bậc THCS để HS rèn luyện có rất

ít Cụ thể, trong SGK Toán 9 (chỉnh lí năm 2000 – tập 1, 2) phần Đại số, chương

IV những mục có đề cập đến bài toán có nội dung mô hình hóa:

18

Trong chương IV, §1 Hàm số y = ax 2

(a0) có ví dụ mở đầu về tháp nghiêng Pisa để giới thiệu về hàm số y = ax2

(tr.28.t2), bài tập 2, 3 (tr31.t2), “có thể

em chưa biết” (tr.31.t2); §2 Đồ thị của hàm số y = ax 2 mục “có thể em chưa biết”

giới thiệu một số hình ảnh đường parabol trong thực tế (tr36, 39.t2); §3 Phương trình bậc hai một ẩn có “bài toán mở đầu” (tr40.t2) gợi mở giúp HS làm quen định

nghĩa phương trình bậc hai một ẩn, mục “có thể em chưa biết” giới thiệu một số bài

toán thực tiễn dẫn đến giải phương trình bậc hai một ẩn (tr.46.t2); §5 Công thức nghiệm thu gọn có bài tập 23 (tr.50.t2) nói về rada của máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của ô tô; §8 Giải bài toán bằng cách lập phương trình có ví dụ

(tr.57.t2), ?1 (tr.58.t2), bài tập 41, 42, 43 (tr.58.t2), bài tập 46, 47, 48, 49, 50, 51,

52, 53 (tr.59, 60.t2); Ôn tập chương IV có bài tập 63, 65 (tr64.t2)

§1 Hàm số y = ax 2 (a 0) có ví dụ mở đầu về tháp nghiêng Pisa để giới thiệu

về hàm số y = ax 2

(tr.28.t2)

Ở đây, HS đã biết định nghĩa hàm số, có thể đưa ra ngay định nghĩa hàm số

y = ax 2 (a 0) và thực hiện các bước tìm hiểu về hàm số này như hàm số xác đinh

với những số nào, tính giá trị hàm số đó tại x = 1, x = 2,5, x = - 4…để hiểu về giá

trị không âm của hàm số Sau đó sẽ dạy HS vận dụng hàm số đó cho tình huống thực tiễn bằng cách mô tả tình huống thực tiễn thích hợp mà có hàm số có dạng

y = ax 2 (a 0) Tuy nhiên SGK đã không chọn lựa trình bày như thế mà đi từ bài toán thực tiễn, mang ý nghĩa lịch sử về thí nghiệm của Galile Sau đó dẫn đến biểu thức biểu diễn khảng cách và đến hàm số Tiếp đó đến nghiên cứu hàm số

Để dạy về phương trình bậc hai và cách giải, SGK có quy trình từ tình huống thực tiễn để xuất hiện phương trình bậc hai 2

28x 52 0

x    (tr40.t2), và quá trình giải PT bậc hai (bằng công thức nghiệm tính biệt thức denta tr43.t2) Tuy nhiên, bước trở lại bài toán thực tiễn cho phương trình bậc hai đã có thì SGK chưa chú ý đến Toàn bộ quá trình từ thực tiễn đến PT và giải PT rồi trở lại thực tiễn đã chưa

1.7.2 Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học phương trình bậc hai

Thông qua phiếu điều tra dành cho HS (phụ lục 2), chúng tôi đã tiến hành điều tra 180 HS ở lớp 9 trường THCS Phú La và trường PT Quốc tế Việt Nam (Hà Đông, Hà Nội) Đối với mỗi câu hỏi trong phiếu HS sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được như sau:

(1) Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những ứng dụng thực tiễn của những kiến thức Toán học:

- Toán học là một môn học trừu tượng, để nắm được một vấn đề các em phải dành một lượng thời gian không nhỏ, điều này dẫn đến việc các em ít quan tâm tới các vấn đề khác của toán học

- Các em chưa biết tìm hiểu bằng cách nào và ở đâu

- Do tính ỳ của HS, luôn trông chờ vào GV hay còn do phương pháp dạy học của GV ảnh hưởng đến cách học của HS

(3) Thống kê đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối liên

hệ toán học với thực tiễn của GV:

Biểu đồ 1.3

Mức độ thường xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV

(4) Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa chủ để giải bài toán bằng cách lập phương trìnhvới thực tiễn và với môn học khác:

Biểu đồ 1.4.Mối liên hệ giữa chủ để giải bài toán bằng cách lập phương trình

với thực tiễn và với môn học khác

dụng những gì mình học vào thực tế cuộc sống; Có nhiều ví dụ sinh động hơn từ thực tế, có thêm nhiều liên hệ với thực tiễn; GV có phương pháp trong việc hướng dẫn HS tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán”

Thông qua phiếu điều tra dành cho GV (phụ lục 4), chúng tôi đã tiến hành trao đổi, điều tra 12 GV dạy toán thuộc các trường THCS Phú La và trường PT Quốc Tế Việt Nam về việc tìm hiểu và vận dụng MHH vào dạy học môn Toán Đối với mỗi câu hỏi được hỏi ý kiến GV sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được thể hiện theo các biểu đồ dưới đây:

(6) Thống kê ý kiến của GV về dạy học thông qua MHH: Có 10/12 GV cho biết đã được biết và có tìm hiểu về dạy học thông qua MHH nhằm phát triển năng lực MHH cho HS 2/12 GV còn lại còn phân vân không rõ bản thân đã từng vận dụng MHH toán học trong dạy học phương trình bậc hai cho HS lớp 9 hay chưa Dựa vào thống kê trên ta có thể thấy phần lớn GV chưa chủ động, tích cực vận dụng MHH toán học trong dạy học phương trình bậc hai cho HS lớp 9

23

(7) Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc đưa những tình huống thực tiễn hay bài toán thực tiễn vào dạy học toán học: 100% GV cho rằng việc đưa bài toán thực tiễn vào giảng dạy là thực sự cần thiết, bởi qua tìm hiểu các bài toán thực tiễn, HS biết rõ được ứng dụng thực tiễn của toán học, từ đó rèn luyện được nhiều kỹ năng toán học và niềm say mê học toán

(8) Thống kê về tầm quan trọng của việc phát triển năng lực MHH cho HS:

Có tới 9/12 GV cho rằng việc phát triển năng lực MHH cho HS là rất quan trọng, phù hợp với dự thảo chương trình giáo dục về đề xuất các năng lực cơ bản cần có ở

HS Tuy nhiên còn 3 GV vẫn e ngại về việc tổ chức dạy học vận dụng MHH toán học cho HS nhằm giúp HS đạt được năng lực MHH toán học (thời gian, cách thức

tổ chức, sự hợp tác của HS ) Phần lớn GV đều đồng ý với quan điểm về việc vận dụng MHH toán học trong dạy học phương trình bậc hai cũng như tăng thêm câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán

Dưới đây là bảng thống kê về ý kiến của GV về việc vận dụng MHH toán học trong dạy phương trình bậc hai cho HS lớp 9

Bảng 1.1 Bảng thống kê về ý kiến của GV

1 Cơ sở vật chất tốt, HS giỏi

2 Ban giám hiệu quan tâm, tạo điều

kiện cho nghiên cứu

3 Có giờ ngoại khóa và có thời gian tổ

2 Việc chọn nội dung, những câu hỏi, những tình huống để hoạt động MHH là rất khó

3 Nôị dung kiến thức không có nhiều ví

dụ, tình huống thực tiễn

4 Khả năng liên hệ kiến thức toán học vào thực tiễn còn nhiều hạn chế

ý tưởng toán học gắn liền với thực tiễn vào trong lớp học toán nhà trường.

Kết luận chương 1

Chương 1 đã trình bày khá cụ thể và làm rõ được các khái niệm mô hình, mô hình toán học, MHH toán hoc, dạy học thông qua MHH Bên cạnh đó, luận văn cũng đã đề xuất được quy trình MHH làm căn cứ cho việc thiết kế các hoạt động MHH ở chương sau Luận văncũng đã tìm hiểu được thực trạng vận dụng MHH trong dạy học Phương trình bậc hai, Đại số lớp 9

25

CHƯƠNG 2 THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9 2.1 Định hướng xây dựng hoạt động mô hình hóa toán học

Việc xây dựng hoạt động mô hình hóa trong dạy học cần tuân theo một số định hướng nhất định, nhằm đảm bảo việc vận dụng đạt hiệu quả cao

Đảm bảo tính khoa học của toán học

Các mô hình được thiết kế phải đảm bảo tính khoa học, tính chính xác của toán học và mô tả được các tình huống trong thực tiễn HS sử dụng các phương pháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với thực tế để điều chỉnh mô hình hóa toán học cho phù hợp

Chú trọng rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề

HS phân tích những cái đã cho, những mối quan hệ ràng buộc và mục tiêu, lập giả thuyết, lập kế hoạch tìm kiếm lời giải hơn là thử ngay kết quả của nó Xét các bài toán tương tự, cố gắng đơn giản hóa bài toán ban đầu để có thể tìm hiểu sâu

và dễ dàng đi tìm kết quả Kiểm soát và đánh giá quá trình và thay đổi giả thuyết nếu thấy cần thiết Phụ thuộc vào ngữ cảnh tình huống thực tế, thay đổi biểu thức đại số, thay đổi biểu diễn của mô hình, giải thích tương ứng giữa các phương trình,

mô tả bằng lời, bảng biểu, đồ thị hoặc biểu đồ, sơ đồ của những đặc trưng, tính chất quan trọng, mối quan hệ, biểu diễn số liệu, xu hướng Phụ thuộc vào các đối tượng hoặc hình ảnh cụ thể để giải bài toán Kiểm tra câu trả lời sử dụng các phương pháp khác nhau, hiểu được ưu thế của từng phương pháp Thông qua MHH, HS được phát triển các kỹ năng GQVĐ, đặc biệt là những vấn đề trong thực tiễn

Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức

Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được) Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chương trình, SGK, kế hoạch dạy học và quỹ thời

26

gian thực hiện, trình độ nhận thức chung của HS, khả năng và trình độ thực hiện của GV, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các tình huống vì vậy, các hoạt động và hệ thống bài tập MHH cần phải được tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và mức độ

Các hoạt đông và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Việc HS tự mình giải quyết được một bài toán

có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý Ngược lại việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên

dễ làm cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình hoạt động tiếp theo Do đó, trong khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập MHH, GV cần chú

ý đến các cấp độ sau đây:

- Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống (bài toán) thực tiễn và không thể vẽ,

phác thảo hay viết bất cứ điều gì về vấn đề

- Cấp độ 1: Sau khi tìm hiểu tình huống (bài toán) thực tiễn, HS hiểu được

tình huống nhưng không biết chuyển đổi thành bài toán toán học

- Cấp độ 2: HS chuyển được tình huống (bài toán) thực tiễn sang bài toán

toán học, nghĩa là thiết lập được phương trình toán học nhưng không thể làm việc với bài toán bằng kiến thức toán học

- Cấp độ 3: HS thiết lập được phương trình toán học, làm việc với bài toán

với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể

- Cấp độ 4: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và quay lại kiểm

nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống (bài toán) thực tiễn đã cho

Trong các cấp độ trên, nếu HS vượt qua được cấp độ 1 và 2 là hai cấp độ quan trọng và mấu chốt Chính vì vậy, GV cần có hệ thống bài tập phù hợp với trình độ của HS, cũng như có phương pháp cụ thể dẫn dắt HS đạt được hai cấp độ này Vì vậy, tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp,

27

vừa sức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHH vấn đề thực tiễn trong dạy học môn Toán

2.2 Thiết kế hoạt động mô hình hóa toán học chủ đề phương trình bậc hai

Thiết kế hoạt động MHH toán học là nhiệm vụ của GV cần làm để HS thực hiện hoạt động MHH toán học, qua đó HS không chỉ nắm được kiến thức, kỹ năng toán học được cài đặt trong hoạt động đã nêu, mà HS còn có thể rèn luyện và phát triển năng lực MHH toán học

Để xây dựng những hoạt động MHH có ý nghĩa và phù hợp đối với HS, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

 Bắt đầu với một tình huống thực tiễn hoặc tình huống phỏng thực tiễn, tình huống đó phải thích hợp với đối tượng HS và chứa đựng nội dung toán học các em đã được học

 Dự kiến những kiến thức, kỹ năng toán học mà HS cần sử dụng để thiết lập

mô hình toán học và giải bài toán

 Làm cho tình huống rõ ràng hơn, tạo mối liên kết giữa tình huống thực tế và toán học bằng cách:

+ Đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa vấn đề

+ Đưa ra các giả thiết phù hợp

+ Nhận ra các biến trong tình huống để biểu diễn các đặc điểm cần thiết + Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống, những

dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống

 Đối chiếu mô hình với thực tế và rút ra kết luận cần thiết

Bài toán 2.1 (Bài toán dân số)

Sau hai năm số dân của thành

phố Hà Nội tăng từ

2 000 000 người lên 2 020 050

người Hỏi trung bình mỗi năm

Hình 2.1 Biểu đồ tăng dân số thành phố Hà Nội

28

dân số của thành phố đó tăng

bao nhiêu phần trăm?

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài toán theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Phác thảo tình huống):

Sau hai năm dân số tăng thêm 1 số cụ thể, cần tính được một năm dân số của thành phố Hà Nội tăng bao nhiêu phần trăm Theo bài toán sẽ có hai mốc thời gian: sau năm thứ nhất dân số là bao nhiêu? Sau năm thứ hai dân số là bao nhiêu? Như vậy, HS cần nắm chắc kỹ năng tính phần trăm

- Giai đoạn 2 (Toán học hóa):

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình của mỗi năm là x (% , x > 0) Xét các mối quan hệ

để biểu diễn tình huống thành một bài toán liên quan đến phương trình:

Sau một năm dân số là: 2000000 2000000

29

2 2

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Nghiệm x1 0,5(thỏa mãn điều kiện); x2  200,5 (loại)

Sau năm đầu, số dân thành phố là 2000000 20000.0,5 2010000  người

200000040000.0,5200.0,5 2020050 ngưởi Như vậy, kết quả của bài toán thu được hoàn toàn phù hợp với số liệu của tình huống thực tiễn Vậy mỗi năm dân số trung bình của thành phố tăng 0,5%

* Phân tích kết quả hoạt động

Phần lớn HS không gặp khó khăn trong giai đoạn toán học hóa bài toán Tuy nhiên, một số HS còn lúng túng trong kỹ năng tính phần trăm, với sự hướng dẫn của GV, nhóm HS đã giải quyết được vấn đề đó và đối chiếu kết quả với bài toán thực tiễn ban đầu Kết quả thực nghiệm cho thấy, gần 90% số HS chỉ đạt được kỹ năng MHH ở cấp độ 3

Bài toán 2.2 (Bài toán chuyển động thay đổi vận tốc) Một xe máy đi từ A

đến B với vận tốc và thời gian dự định trước Sau khi đi được nửa quãng đường, xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định Thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB dài 120km là bao lâu?

* Mục tiêu hoạt động

Trong hoạt động này, HS có thể được rèn luyện được những kỹ năng sau:

- Phân tích bài toán một vật chuyển động có vận tốc thay đổi

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Liên hệ toán học với các vấn đề thực tiễn vè chuyển động

đường sau 30 phút Vậy có những đại lượng nào chưa biết, đã biết? Quan sát và thu thập số liệu liên quan, điền vào bảng sau dựa trên các câu hỏi:

Quãng đường S (km)

Vận tốc v (km/h)

Thời gian t (giờ)

Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường AB của xe máy là: x (giờ, x > 0)

Vận tốc của xe trên nửa quãng đường AB dài 60 km là: 120





 (giờ) Bước này khá phức tạp,

vì vậy, thử gọi ẩn là vận tốc dự định xem sao?

Gọi ẩn gián tiếp:

Vì xe máy đến B sớm hơn nửa giờ, tức là thời gian đi nửa quãng đường sau ít hơn

thời gian đi nửa quãng đường trước nửa giờ, do đó ta có PT: 60 60 1

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Nghiệm x1 30(thỏa mãn điều kiện); x2  400 (loại)

Thời gian xe máy đi 60 km đầu là: 60 : 30 = 2 (giờ)

Thời gian xe máy đi 60 km sau là: 60 : (30 + 10) = 1,5 (giờ)

Thời gian dự định là: 2 + 1,5 + 0,5 = 4 (giờ)

Như vậy, kết quả của bài toán thu được hoàn toàn phù hợp với số liệu của tình huống thực tiễn

Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB dài 120km là 4 giờ

* Phân tích kết quả hoạt động

Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn toán học hóa bài toán Ở bài toán này, câu hỏi bài toán đưa ra là tính thời gian dự định xe máy đi hết quãng đường

AB chứ không phải tính vận tốc dự định của xe máy Chính vì vậy, nhiều HS “máy móc” đặt ẩn trực tiếp là “thời gian dự định” dẫn đến bước toán học hóa trở nên khó khăn và phức tạp Cách đặt ẩn này vẫn cho ra được phương trình và đáp số, tuy