Toanhocsodo ĐT 0945943199 BÀI 2 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Phương trình bậc hai một ân Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương[.]
Trang 1BÀI 2 CÔNG TH C NGHI M Ứ Ệ
C A PH Ủ ƯƠ NG TRÌNH B C HAI Ậ
I TÓM T T LÝ THUY T Ắ Ế
1 Ph ươ ng trình b c hai m t ân ậ ộ
- Ph ng trình b c hai m t n ươ ậ ộ ẩ (hay còn g i là ọ ph ng trình b c hai ươ ậ ) là ph ng trình có ươ
d ng:ạ
ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong đó a, b, c là các so th c cho tr c, x là n s ự ướ ẩ ố
- Gi i ph ng trình b c hai m t n ả ươ ậ ộ ẩ là đi tìm t p nghi m c a ph ng trình b c hai m t n ậ ệ ủ ươ ậ ộ ẩ đó
2 th c nghi m c a ph ứ ệ ủ ươ ng trình b c hai ậ
Tr ng h p 1 ườ ợ N u ∆ < 0 thì ph ng trình ế ươ vô nghi m ệ
Tr ng h p ườ ợ 2 N u ∆ = 0 thì ph ng trình có ế ươ nghi m kép: ệ
Tr ng h p 3 ườ ợ N u A > 0 thì ph ng trình có ế ươ hai nghi m phân bi t: ệ ệ
3 Công th c nghi m thu g n c a ph ứ ệ ọ ủ ươ ng trình b c hai ậ
Xét ph ng trình b c hai ươ ậ ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) v i ớ b = 2b' G i ọ bi t th c ệ ứ A' = b'2 - ac.
Tr ng h p 1 ườ ợ N u A' < 0 thì ph ng trình ế ươ vô nghi m ệ
Tr ng h p 2 ườ ợ N u A' = 0 thì ph ng trình có ế ươ nghi m kép: ệ
Tr òmg h p 3 ư ợ N u ∆' > 0 thì ph ng trình có ế ươ hai nghi m phân bi t: ệ ệ
Chú ý: Trong tr ng h p h s ườ ợ ệ ố b có d ng 2ạ b' ta nên s d ng đ gi i ph ng trình s cho ử ụ ể ả ươ ẽ
l i gi i ng n g n h n.ờ ả ắ ọ ơ
II BÀI T P VÀ CÁC D NG TOÁN Ậ Ạ
Trang 2D ng 1 Không dùng công th c nghi m, gi i ph ạ ứ ệ ả ươ ng tri b c hai m t n cho tr ậ ộ ẩ ướ c
Ph ng pháp gi i: ươ ả Ta có th s d ng m t trong các cách sau:ế ử ụ ộ
Cách 1 Đ a ph ng trình đã cho v d ng tích.ư ươ ề ạ
Cách 2 Đ a ph ng trình đã cho v ph ng trình mà v trái m t bình ph ng còn v ư ươ ề ươ ế ộ ươ ế
ph i là m t h ng ả ộ ằ s ố
1A Gi i các ph ng trình:ả ươ
a) 5x 2 -7x = 0; b)-3x2+9 = 0;
c) x 2 -6x+ 5 = 0; d) 3x2 + 12x + 1 = 0
1B Gi i các ph ng trình:ả ươ
c) x2 – x – 9 = 0; d) 3x2 + 6x + 5 = 0
2A V i giá tr nào c a tham s ớ ị ủ ố m thì ph ng trình 4xươ 2 + m 2 x + 4m = 0 có nghi m ệ x = 1 ? 2B Cho ph ng trình 4mxươ 2 - x - 10m2 = 0 Tìm các giá tr cua tham s ị ố m đ ph ng trình ể ươ
có nghi m ệ x = 2
D ng 2 Gi i ph ạ ả ươ ng trình b c hai b ng cách s d ng công th c nghi m, công th c ậ ằ ử ụ ứ ệ ứ nghi m thu g n: ệ ọ
Ph ng pháp gi i: ươ ả S d ng công th c nghi m, công th c nghi m thu g n c a ph ng ử ụ ứ ệ ứ ệ ọ ủ ươ trình b c hai đ gi i.ậ ể ả
3A Xác đ nh h s ị ệ ố a,b,c; Tính bi t th c ∆ (ho c ∆' n u ệ ứ ặ ế b = 2b') r i tìm nghi m c a các ồ ệ ủ
ph ng trình: ươ
a) 2x 2 -3x-5 = 0; b) x2 - 6x + 8 = 0;
c) 9x2 - 12x + 4 = 0; d) -3x 2 + 4x - 4 = 0.
3B Xác đ nh h s ị ệ ố a,b,c; Tính bi t th c A ( ho c A'n u ệ ứ ặ ế b = 2b') r i tìm nghi m c a các ồ ệ ủ
ph ng trình:ươ
a) x 2 – x -11 = 0 b) x2 - 4x + 4 = 0;
c) -5x 2 – 4x + 1 = 0; d) -2x2 + x - 3 = 0
4A Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a) x 2 + -1 = 0 b) 2x2 - + 1 = 0;
Trang 3c) d) -3x2 + + 4 = 0.
4B Gi i các ph ng trình sau: ả ươ
a) 2x 2 + -7 = 0; b) 152x2 - 5x +1 = 0;
c) x2 - (2 + )x + = 0; d) 3x2 - + 1 = 0
D ng 3 S d ng công th c nghi m, xác đ nh sô nghi m c a ph ạ ử ụ ứ ệ ị ệ ủ ươ ng trình d ng b c ạ ậ hai
Ph ng pháp gi i: ươ ả Xét ph ng trình d ng b c hai:ươ ạ ậ
ax 2 + bx + c = 0.
1 Ph ng trình có hai nghi m kép ươ ệ
2 Ph ng trình có hai nghi m phân bi t ươ ệ ệ
3 Ph ng trình có đúng m t nghi m ươ ộ ệ
4 Ph ng trình vô nghi m ươ ệ
Chú ý: N u ế b = 2b' ta có th thay đi u ki n c a ∆ t ng ng b ng ∆’.ể ề ệ ủ ươ ứ ằ
5A Cho ph ng trình ươ mx 2 -2(m-1)x + m-3 = 0 (m là tham s ).ố
Tìm các giá tr c a ị ủ m đ ph ng trình:ể ươ
a) Có hai nghi m phân bi t; ệ ệ
c) Vô nghi m;ệ b) Có nghi m kép; ệ
e) Có nghi m.ệ d) Có đúng m t nghi m;ộ ệ
5B Cho ph ng trình ươ (m - 2)x 2 - 2(m + 1)x + m = 0 (m là tham s ).ố
Tìm các giá tr c a ra đ ph ng trình:ị ủ ể ươ
a) Có hai nghi m phân bi t; ệ ệ b) Có nghi m kép; ệ
c) Vô nghi m;ệ d) Có đúng m t nghi m;ộ ệ
e) Có nghi m.ệ
D ng 4 Gi i và bi n lu n ph ạ ả ệ ậ ươ ng trình d ng b c hai ạ ậ
Trang 4Ph ng pháp gi i: ươ ả
* Gi i và bi n lu n ph ng trình ả ệ ậ ươ d ng b c hai theo tham s m là tìm t p nghi m c a ạ ậ ố ậ ệ ủ
ph ng trình tùy theo s thay đ i c a ươ ự ổ ủ m.
* Xét ph ng trình d ng b c haiươ ạ ậ
ax 2 + bx + c - 0 v i ∆ = ớ b 2 -4ac (ho c ∆ặ ' = b' 2 - ac).
- N u ế a = 0, ta đ a v bi n lu n ph ng trình b c nhât.ư ể ệ ậ ươ ậ
- Nêu a ≠ 0, ta bi n lu n ph ng trình b c hai theo A.ệ ậ ươ ậ
6A Gi i và bi n lu n các ph ng trình sau: (ra là tham s ).ả ệ ậ ươ ố
a) x 2 + (1 -m)x- ra = 0; b) (m -3)x 2 - 2mx + m - 6 = 0.
6B Gi i và bi n lu n các ph ng trình sau: (ra là tham s ).ả ệ ậ ươ ố
a) mx 2 + (2m - 1)x + ra + 2 = 0;
b) (m - 2)x 2 - 2(m + 1)x + m = 0.
D ng 5 M t sô bài toán liên quan đ n tính có nghi m c ph ạ ộ ế ệ ủ ươ ng trình b c hai; ậ
Nghi m chung c a các ph ệ ủ ươ ng trìnl d ng b c hai; Hai ph ạ ậ ươ ng trình d ng b c hai ạ ậ
t ươ ng đ ươ ng
Ph ng pháp gi i: ươ ả
1 Ph ng trình b c hai ươ ậ ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghi m ệ
A > 0 (ho c ∆’ ≥ 0).ặ
2 Mu n tìm đi u ki n c a tham s đ hai ph ng trình d ng b c hai ố ề ệ ủ ố ể ươ ạ ậ ax 2 +bx + c = 0 và a'x 2 +b'x + c' = 0 có nghi m chung, ta làm nh sau:ệ ư
B c 1 ướ G i ọ x 0 là nghi m chung c a hai ph ng trình Thay xệ ủ ươ 0 vào 2 ph ng trình đ tìm ươ ể
đ c đi u ki n c a tham s ượ ề ệ ủ ố
B c 2 ướ V i giá tr c a tham s v a tìm đ c, thay tr l i đ ki m tra xem 2 ph ng trình ớ ị ủ ố ừ ượ ở ạ ể ể ươ
có nghi m chung hay không và k t lu n.ệ ế ậ
3 Mu n tìm đi u ki n c a tham s đ hai ph ng trình d ng b c hai ố ề ệ ủ ố ể ươ ạ ậ ax 2 +bx + c = 0 và a'x 2 +b'x + c' = 0 t ng đ ng, ta xét hai tr ng h p:ươ ươ ườ ợ
Tr ng h p 1 ườ ợ Hai ph ng trình cùng vô nghi m.ươ ệ
Tr ng h p 2 ườ ợ Hai ph ng trình cùng có nghi m Khi đó:ươ ệ
- Đi u ki n c n đ hai ph ng trình t ng đ ng là chúng có nghi m chung T đó tìm ề ệ ầ ể ươ ươ ươ ệ ừ
đ c đi u ki n c a tham s ượ ề ệ ủ ố
Trang 5- Đi u ki n đ v i giá tr c a tham s v a tìm đ c, thay tr l i đ ki m tra xem 2 ề ệ ủ ớ ị ủ ố ừ ượ ở ạ ể ể
ph ng trình t p nghi m b ng nhau hay không và k t lu n.ươ ậ ệ ằ ế ậ
7A Cho a, b, c là ba c nh c a m t tam giác Ch ng minh ph ng trình ạ ủ ộ ứ ươ b 2 x 2 - (b 2 +c 2 -a 2 )x +
c 2 =0 luôn vô nghi m.ệ
7B Gho ph ng trình ươ x 2 +(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 v i ớ a, b, c là ba c nh c a m t tam ạ ủ ộ giác Ch ng minh ph ng trình trên luôn vô nghi m.ứ ươ ệ
8A Cho hai ph ng trình ươ x 2 + ax + b = 0 và x 2 + cx + d = 0 Ch ng minh n u hai ph ng ứ ế ươ trình trên có nghi m chung thì:ệ
(b - d)2 +(a- c)(ad - bc) = 0.
8B Cho hai ph ng trình ươ x 2 +ax + b = 0 và x 2 +bx + a = 0 trong đó Ch ng minh ứ
r ng có ít nh t m t trong hai ph ng trình trên có nghi m.ằ ấ ộ ươ ệ
9A Cho hai ph ng trình ươ x 2 +x-m = 0 và x 2 -mx +1 = 0 Tìm các giá tr c a tham ị ủ s m ố đ :ể a) Hai ph ng trình có nghi m chung;ươ ệ
b) Hai ph ng trình t ng đ ng.ươ ươ ươ
9B Cho hai ph ng trình ươ x 2 -2ax + 3 = 0 và x 2 -x + a = 0, (a là tham s ) V i giá tr nào ố ớ ị
c a ủ a thì:
a) Hai ph ng trinh trên có nghi m chung?ươ ệ
b) Hai ph ng trình trên t ng đ ng?ươ ươ ươ
III BÀI T P V NHÀ Ậ Ề
10 Gi i các ph ng trình:ả ươ
c) = (x + 1)(x-1); d) x(x + l) = (x - 1)2
11 Cho ph ng trình 2xươ 2 -(4m + 3)x + 2m2 -1 = 0 (m là tham s ) Tìm các giá tr c a ố ị ủ m đ ể
ph ng trình:ươ
a) Có hai nghi m phân bi t;ệ ệ b) Có nghi m kép;ệ
c) Vô nghi m;ệ d) Có đúng m t nghi m;ộ ệ
e) Có nghi m.ệ
Trang 612 Bi n lu n theo m s nghi m ph ng trình:ệ ậ ố ệ ươ
mx 2 - 4(m - 1)x + 4m + 8 = 0 (m là tham s ).ố
13 Cho hai ph ng trình ươ x 2 +mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0 Xác đ nh các giá tr c a tham ị ị ủ
s ố m đ hai ph ng trình:ể ươ
a) Có nghi m chung;ệ b) T ng đ ng.ươ ươ
BÀI 2 CÔNG TH C NGHI M C A PH Ứ Ệ Ủ ƯƠ NG TRÌNH B C HAI Ậ
b) Ta có Tìm đ c ượ
d) Ta bi n đ i thành 3(x + 2)ế ổ 2 = 11 Tìm đ c ượ
1B T ng t 1A.ươ ự
a) Tìm đ c ượ b) Vô nghi m.ệ
c) Tìm đ c ượ d) Vô nghi m.ệ
2A Thay x = 1 vào ph ng trình ta có 4.1ươ 2 + m2 + 4m = 0 Tìm đ c m = -2.ượ
2B T ng t 2A.ươ ự
Tìm đ c ượ
3A a) Ta có a = 2, b = -3, c = -5 Tính đ c ượ = 49 > 0 Ph ng trình có hai nghi m phânươ ệ
vi t: ệ
b) ta có a = 1, b = -6, b' = -3, c= 8 Tính đ c ượ ' = 1 Ta tìm đ c ượ
c) Ta có a = 9, b = -12, c = 4 Tính đ c ượ = 0 Ph ng trình có nghi m kép là ươ ệ d) Ta có a = -3, b = 4, c = -4 Tính đ c ượ = -32 < 0 Ph ng trình vô nghi m.ươ ệ
Trang 73B T ng t 3A.ươ ự
a) Tìm đ c ượ b) Tìm đ c x = 2.ượ
4A T ng t 3Aươ ự
a) Tìm đ c ượ
d) Tìm đ c ượ
4B T ng t 3A, 4Aươ ự
5A Xét ' = (m - 1)2 - m(m - 3) = m + 1
a) Ph ng trình có 2 nghi m phân bi t khi ươ ệ ệ Tìm đ c ượ b) Xét
Xét Ph ng trình có nghi m kép khi ươ ệ
c) T ng t , ta tìm đ c m < -1ươ ự ượ
d) Tìm đ c m = 0ượ
e) Tìm đ c ượ
5B T ng t 5Aươ ự
Trang 8a) Tìm đ c ượ b) Tìm đ c ượ
d) Tìm đ c ượ d) Tìm đ c m = 2ượ
e) Tìm đ c m = 2 ho c ượ ặ
6A a) Ta có
* : Ph ng trình đã chó có nghi m kép: ươ ệ
* : Ph ng trình đã chó có nghi m phân bi t: ươ ệ ệ
b) V i ớ Ph ng trình có d ng: ươ ạ
V i ớ
* : Ph ng trình vô nghi m ươ ệ
* : Ph ng trình có nghi m kép: ươ ệ
* : Ph ng trình có nghi m phân bi t: ươ ệ ệ
6B T ng t 6Aươ ự
V i ớ
* : Ph ng trình vô nghi m ươ ệ
* : Ph ng trình có nghi m kép: ươ ệ
* : Ph ng trình hai có nghi m phân bi t: ươ ệ ệ
Trang 9b) V i ớ ;
V i ớ
* : Ph ng trình vô nghi m ươ ệ
* : Ph ng trình có nghi m kép: ươ ệ
* : Ph ng trình có hai nghi m kép: ươ ệ
7B Ta có
Vì T ng t ta có ươ ự và T đó suy ra ừ
8A G i ọ là nghi m chung c a hai ph ng trình Ta có: ệ ủ ươ
N u ế thì Thay x0 vào ph ng trình ta đ c ĐPCM.ươ ượ
N u a = c thì b = d ế ĐPCM
9A a) G i xọ 0 là nghi m chung c a hai ph ng trình Ta bi n đ i đ c (1 + m) xệ ủ ươ ế ổ ượ 0 = m +1. Tìm đ c m = -1 ho c m = 2.ượ ặ
b) Ta xét hai tr ng h p:ườ ợ
Tr ng h p 1: ườ ợ Hai ph ng trình cùng vô nghi m ươ ệ
Tr ng h p 2: ườ ợ JHai ph ng trình cùng có nghi m và t p nghi m gi ng nhau ươ ệ ậ ệ ố
V y ậ thì hai ph ng trình t ng đ ng.ươ ươ ươ
Trang 10a) Tìm đ c ượ b) Tìm đ c ượ
10 T ng t 1Aươ ự
a) Tìm đ c ượ b) Tìm đ c ượ
c) Tìm đ c ượ d) Tìm đ c ượ
11 T ng t 5Aươ ự
13 T ng t 9Aươ ự
a) Tìm đ c m = 2 ho c m = -3.ượ ặ b) Tìm đ c ượ