S6 CHUYÊN đề 4 CHỦ đề 2 CHỨNG MINH HAI số NGUYÊN tố CÙNG NHAU

CHUYÊN ĐỀ 4:ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU PHẦN I.. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.. Ước chung của hai hay nhiề

Trang 1

ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 4:

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU

PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Ước và Bội của một số nguyên

Với a b Z,  và b0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a

2 Nhận xét

- Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a b q: 

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0 Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào

- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên

3 Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó

Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c)

4 Ước chung lớn nhất

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó

5 Các tính chất

- ¦CLN( ,1) 1;a  BCNN a ,1 a

- Nếu a b  ¦CLN( , )a b b BCNN a b;  ,  a

- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau  ( , ) 1; ,a b  a b a b

- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))

Trang 2

- Nếu

¦CLN( , )a b d; a dm ¦CLN( , ) 1;m n

b dn









Ví dụ

10 2.5

15 3.5









- Nếu BCNN a b ,  c; c am ¦CLN( , ) 1;m n

c bn









Ví dụ 10,15 30; 30 10.3 ¦CLN(2,3) 1

30 15.2





- ab ¦CLN(a,b).BCNN a,b 

PHẦN II BÀI TẬP:

Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số:

I Phương pháp giải

Bài toán: Tìm ¦CLNa a1, 2, ,a n

Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦CLNa a1, 2, ,a n d

1







n

a d

d

a d

II.Bài toán

a) ¦CLNn3,2n5 1

TÀI LI U NHÓM: CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang 2

Trang 3

b) ¦CLN 3 n3, 4n9 1

Lời giải:

a) Gọi ¦CLN(n3, 2n5)d d( N*)

2 6 2 5

  n  n  d

 n  n d

 d d 

Vậy n3;2n51

b) Gọi

* 4(3 7) 7 12 28

12 28 12 27

  n  n  d

12 28 12 27

 n  n d

 d d 

Vậy ¦CLN 3 n3, 4n9  1

là số tự nhiên lẻ, b N Chứng minh rằng ¦CLN( , a ab 128) 1

Lời giải:

Đặt d¦CLN( ,a ab128) 128



 







a d

ab d và d lẻ 128 d và d lẻ

Trang 4

 2 d7 và d lẻ  2d và d lẻ d 1.

Vậy ( ,a ab128) 1

Lời giải:

+) Theo đầu bài ta có: 17n21 6  17n21 2  17n21 chẵn  n lẻ  n2 ( , 2) 1n 

+) Vì 17n21 6  17n21 3  n3 ( ,3) 1n 

(nếu n3 17n23 17n21 3  lo¹i n  ) 3

cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19

Lời giải

Gọi d (11a2 ,18b a5 )b

5(11 2 ) 2(18 5 )

 a b  a b d

19

 a d

Đặt

19







d

a dk k N d k

- Nếu 19k  k 19q 19a dk d  .19.q a dq  a d 

2

5

b d







*

¦CLN(a mb a n, m b n) 1 m n, N và a m b n 0.

Trang 5

Lời giải :

a)

2



Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ



 





m n

a d

b d

Giả sử d  1 d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p

m

n

b p







Vậy d  1 d  1 đpcm.

Lời giải:

¦CLN 2 1, 2 3

d n n  dN

Khi đó ta có :

3 2 1







 n  n d d

   

¦ 1 1; 1

d

Do đó ¦C 2 n1,3n1

là ước của d, hay là ước của 1

Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp

Vậy ¦C 2 n1,3n1¦ 1   1;1

Trang 6

Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n24 và 3n4.

Lời giải:

¦CLN 9n24,3n4  d dN

Khi đó ta có:



9 24 9 12 12

 n  n  d d

¦ 12 1; 2; 3; 4; 6; 12

d

Do 3n4d,

mà 3n4 không chia hết cho 3, nên d3;6;13

(loại)

Do đó d1;2;4

- Để d 2 thì n phải chẵn

- Để d 4 thì n phải chia hết cho 4

- Để d 1 thì n là số lẻ

Vậy n4k2k N 

thì ¦CLN 9 n24,3n4 2

4

n k k N

thì ¦CLN9n24,3n4 4

thì ¦CLN9n24,3n4  1

Lời giải:

21 5,14 3

¦CLN n n  dN

Trang 7

Khi đó ta có:

3 14 3







 n  n d  d d 

Vậy ¦CLN21 ,14n n 3 1

Lời giải:

18 2,30 3

Khi đó ta có:

5 18 2







 n  n d d  d

Vậy ¦CLN18n2,30n3 1

Lời giải:

24 7,18 5

Khi đó ta có:

3 24 7







 n  n d  d d 

Vậy ¦CLN24n7,18n5  1

Trang 8

Bài 11: Biết ¦ LNC a b ,  95 Tìm ¦CLNa b a b ,  .

Lời giải:

Gọi a b a b ,    d d N *

 

a b d

b d d

a b d













 hoặc d¦ b

và

2













a b d

a d

a b d hoặc d ¦ 2  hoặc d ¦ a  

mà a b,  95,

nên d 95 hoặc d 2

Vậy a b a b ,   2

hoặc d 95.

ước số chung của 11m5n và 9 m4n Chứng minh rằng A B

Lời giải:

11

d m n m n  dN

Khi đó ta có:

9 11 5







m n d

99 45  99 44 

 m n  m n d  n d

(1)

Tương tự ta có:

4 11 5







m n d

 m n  m n  m d (2)

Trang 9

Từ (1) và (2) ta có : d¦C( , )m n  d¦( )A

và B¦ d ¦ A Vậy A B

Lời giải:

¦CLN 2 1,3 1

d n n  dN

Khi đó ta có :

3 2 1







6n 4 6n 3 d 1 d d ¦ 1  1; 1

Do đó ¦C 2 n1,3n1

là ước của d, hay là ước của 1

Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp

Vậy ¦C 2 n1,3n1 ¦ 1 (1,1)

Lời giải:

Gọi ¦CLN 3 n1,5n4 d

Khi đó

5 3 1







3 5n 4 5 3n 1 d 7 d d 1;7

Trang 10

Mà d 1 nên d 7

Lời giải:

Gọi d¦CLN 2 n 1,9 n 4

,  dN*

Khi đó ta có :

9 2 1







 n  n d d

¦ 17 1; 17

d

Mà là các số dương nên ta có : d 1 hoặc d 17

Vậy ¦CLN 2 n1, 9n4  hoặc 171

Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

I Phương pháp giải

Cách 1: Chỉ ra d 1

Cách 2:

+) Giả sử d 1(d 2) (phương pháp phản chứng)

Trang 11

+) Gọi p là ước nguyên tố của d

+) Chỉ ra rằng p1 (vô lý)

+) Kết luận d 1

II Bài toán

là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

d n n  dN

, nên ta có:



Vậy hai số n1 và 3n4 là hai số nguyên tố cùng nhau với n N .

Lời giải:

¦CLN 2 1, 2 3

d n n  dN

Khi đó ta có: 2 1 2 3 2 1 2 ¦ 2  1;2













Mà ta lại có 2n 1 d mà 2n1 là số lẻ nên d 2 (loại), do đó d 1

Vậy hai số 2n1 và 2n3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

TÀI LI U NHÓM: CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang

Trang 12

Gọi   *

¦CLN 2 1, 2 3

d n n  dN

Khi đó ta có:

3 14 3







42 9 42 8 1

 n  n d d

Vậy hai số 14n3 và 21n4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

nhau

Lời giải:

Giả sử m và ( mn4) cùng chia hết cho số tự nhiên d, khi đó ta có:



 d d

, do m d và m lẻ  d 2 hoặc d 4 (loại) Vậy d 1

Khi đó m và mn4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải :

¦CLN 8a3, 5b1  d dN



Trang 13

40 15  40 7  7

 a b  a b  b d









15 3  8 3  7

 a b  a b d  a d

Vì ¦CLNa b  nên ,  1 d 1 hoặc d 7.

Lời giải:

¦CLN 2 1,6 5 ,

d n n  dN

Khi đó ta có :

3 2 1







6n 5 6n 3 d 2 d d ¦(2)= 1;2 

Do 2n 1 d, mà 2n 1 lại là số lẻ nên d 2 loại, do đó d 1

Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

¦CLN 7 10, 5 7 ,

d n n  dN Khi dó ta có :

35 50 35 49 1

 n  n d  d

Do đó d 1

Trang 14

Vậy hai số 7n 10 và 5n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

¦CLN 2 3, 4 8 ,

Khi đó ta có:

2 2 3







 n  n d d d

Vì 2n 3 d , mà 2n 3 là số lẻ nên d 2 (loại)

Khi đó d 1

Vậy hai số 2n 3 và 4n 8 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

d a b a  dN











a b d

a b a d b d

a d mà ad nên d¦Ca b, 

hay d¦ 1  d 1

Lời giải:

Gọi ¦CLN 12 n1,30n1  , suy ra d *

dN khi đó ta có :

5 12 1







Trang 15

60 5 60  2 3 1;3

 n n d d d

Vì 12n 1 là một số không chia hết cho 3 nên d 3 loại

Vậy d 1 , khi đó ¦CLN 12 n1,30n1 1

a) a2 và ab b) ab và ab

Lời giải:

a) Giả sử a2 và ab cùng chia hết cho số nguyên tố d

Khi đó a d , do đó b d  ,a b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết

 

¦CLN a;b =1

Vậy a2 và ab là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Giả sử abvà ab cùng chia hết cho số nguyên tố d

Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d

Khi a d  b d  , hoặc b d  a d

a và b cùng chia hết cho d, trái với a b  ,  1

Vậy ab và ab nguyên tố cùng nhau

Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Trang 16

Gọi d 7n10;5n7 d N *

Khi dó ta có:

5 7 10







35 50 35 49 1

 n  n d  d

Do đó d 1

Vậy với mọi n N hai số 7 10 n và 5n7 là hai số nguyên tố cùng nhau

và 4n8

là hai số sau ngyên tố cùng nhau

Lời giải :

Gọi d 2n3;4n8 d N *

Khi đó ta có:

2 2 3







4 8 4 6 2 1;2

 n  n d d  d

Vì 2n3d

, mà 2n3

là một số lẻ nên d 2 (loại) Khi đó d 1.

Vậy với mọi n N hai số 2n3

và 4n8

là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 3: Tìm n N để: 18 3 n và 21n7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Trang 17

Lời giải:

Gọi UCLN18n3, 21n7  d d N *

Khi đó ta có:

7 18 3

18 3











126 42 126 21 21

¦ 21 1; 3; 7; 21

d

Do 21n7 7

, mà 21n7 không chia hết cho 3 nên d 1 hoặc d 7

Để hai số 18n3 và 21n7 là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay

 

18n3 7  18n 3 21 7  18n18 7  18 n1 7  n1 7  n 1 7k n7k1

Vậy

n k với k là số tự nhiên thì 18n3 và 21n7 là hai số nguyên tố.

Lời giải:

¦CLN 7 3,8 1 ,

d n n  dN

Khi đó ta có:

8 7 3







 n  n d d  d  hoặc1 d 31

Để d 1 thì d 31 hay 7n  313  7n 3 3131 7n 2831

Trang 18

 

7 n 4

  31 n 431

Hay n 431k n31k (4 k là số tự nhiên)

Vậy để 7n 3 và 8n 1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì 31n k (4 k là số tự nhiên)

Lời giải:

Gọi d¦CLN 9 n24,3n4

9n 24 9n 12 d 12 d

 1; 2; 3; 4; 6; 12

d

Nếu d     2; 4; 6; 12  9n24

chẵn và, 3n4 chẵn  d     2; 4; 6; 12

loại Nếu d  3 3n 4 3 Vô lý  d=3(loại)

Nếu d 1 9n24,3n4 là số lẻ  9n24 lẻ n lẻ và 3n 4 lẻ  nlẻ

Vậy n lẻ

Lời giải:

Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,  d N*





Trang 19

4 6 4 3 3 1;3

 n  n d  d d

Để 4n3 và 2n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 3 hay

2n3 3  2 3n  n3 n3 (k k)

Vậy n3 (k k ) thì 4n 3 và 2n 3là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

b, Gọi ¦CLN 7 n13, 2n4  , d *





14 28 14 26 2 1; 2

 n  n d d d

Để 7n 13 và 2n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 2 hay

7n13 2  7 2n  n2 n chẵn

Vậy n chẵn thì 7n 13 và 2n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi d¦CLN 18 n3, 21n7

7(18 3)

6 21 7









126n 42 126n 21 d 21 d d ¦ 21  1;3;7;21

Trang 20

Nếu d  3 21n 7 3 (Vô lý)

Nếu d1;7

, để 2 số trên là nguyên tố thì

Vậy với n7k1k N 

thì hai số trên nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

Gọi d¦Cn15,n72 57 , do 15 ,57d n d d ,

Nên tồn tại n sao cho n15 57 k1 thì d  , với 1 k 1;2;3;

Vậy có vô số n

 HẾT

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	711,34 KB