Bài giảng Đại Số Tuyến Tính dạng toàn phương

Bài giảng Đại Số Tuyến Tính dạng toàn phương

¤i sè, gi£i t½ch v  ùng döng

Nguy¹n Thà Nhung

Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long

Ng y 16 th¡ng 12 n«m 2011

Ch÷ìng III Gi¡ trà ri¶ng v  d¤ng to n ph÷ìng

Ch֓ng 3

1 Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

Ch֓ng 3

1 Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Nëi dung tr¼nh b y

1 Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

a21 a22
λ a2n

 0

a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn vuæng c§p n l  mët a thùc bªc ntheo λ, tùc l 

PApλq  anλn an
1λn
1 . a1λ a0,trong â ai,i  1, n l  h» sè phö thuëc v o c¡c ph¦n tû cõa ma trªn

A Hìn núa, ta câ thº t½nh ngay ÷ñc mët sè h» sè cõa a thùc,ch¯ng h¤n

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

 0

a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn vuæng c§p n l  mët a thùc bªc ntheo λ, tùc l 

PApλq  anλn an
1λn
1 . a1λ a0,trong â ai,i  1, n l  h» sè phö thuëc v o c¡c ph¦n tû cõa ma trªn

A Hìn núa, ta câ thº t½nh ngay ÷ñc mët sè h» sè cõa a thùc,ch¯ng h¤n

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

 0

a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn vuæng c§p n l  mët a thùc bªc ntheo λ, tùc l 

PApλq  anλn an
1λn
1 . a1λ a0,trong â ai,i  1, n l  h» sè phö thuëc v o c¡c ph¦n tû cõa ma trªn

A Hìn núa, ta câ thº t½nh ngay ÷ñc mët sè h» sè cõa a thùc,ch¯ng h¤n

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

 0

a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn vuæng c§p n l  mët a thùc bªc ntheo λ, tùc l 

PApλq  anλn an
1λn
1 . a1λ a0,trong â ai,i  1, n l  h» sè phö thuëc v o c¡c ph¦n tû cõa ma trªn

A Hìn núa, ta câ thº t½nh ngay ÷ñc mët sè h» sè cõa a thùc,ch¯ng h¤n

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

Nëi dung tr¼nh b y

1 Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

ành l½

Ma trªn èi xùng c§p n luæn câ n gi¡ trà ri¶ng thüc

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

ành l½

Ma trªn èi xùng c§p n luæn câ n gi¡ trà ri¶ng thüc

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

ành l½

Ma trªn èi xùng c§p n luæn câ n gi¡ trà ri¶ng thüc

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

Nëi dung tr¼nh b y

1 Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng

Nhªn x²t:

2 Nhªn th§y méi d¤ng to n ph÷ìng

qpx1,x2, ,xnq °ni1°nj1aijxixj c§p n x¡c ành cho ta mët matrªn èi xùng A  paijqn c§p n v  cho mët ma trªn èi xùng

A  paijqn c§p n ta công x¡c ành ÷ñc mët d¤ng to n ph÷ìng c§p nt÷ìng ùng qpx1,x2, ,xnq °ni1°nj1aijxixj Do â º cho gån tath÷íng cho d¤ng to n ph÷ìng d÷îi d¤ng qpx1,x2, ,xnq  xtAxho°c q  xtAx

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng

Nhªn x²t:

2 Nhªn th§y méi d¤ng to n ph÷ìng

qpx1,x2, ,xnq °ni1°nj1aijxixj c§p n x¡c ành cho ta mët matrªn èi xùng A  paijqn c§p n v  cho mët ma trªn èi xùng

A  paijqn c§p n ta công x¡c ành ÷ñc mët d¤ng to n ph÷ìng c§p nt÷ìng ùng qpx1,x2, ,xnq °ni1°nj1aijxixj.Do â º cho gån tath÷íng cho d¤ng to n ph÷ìng d÷îi d¤ng qpx1,x2, ,xnq  xtAxho°c q  xtAx

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng

Nhªn x²t:

2 Nhªn th§y méi d¤ng to n ph÷ìng

qpx1,x2, ,xnq °ni1°nj1aijxixj c§p n x¡c ành cho ta mët matrªn èi xùng A  paijqn c§p n v  cho mët ma trªn èi xùng

A  paijqn c§p n ta công x¡c ành ÷ñc mët d¤ng to n ph÷ìng c§p nt÷ìng ùng qpx1,x2, ,xnq °ni1°nj1aijxixj Do â º cho gån tath÷íng cho d¤ng to n ph÷ìng d÷îi d¤ng qpx1,x2, ,xnq  xtAxho°c q  xtAx

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

V½ dö

a H¢y biºu di¹n d¤ng to n ph÷ìng qpx1,x2q  2x2

1
6x1x2 9x2

2 d÷îid¤ng t½ch ma trªn

b T¼m d¤ng to n ph÷ìng t÷ìng ùng vîi ma trªn èi xùng sau:



2 4

4 6

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Nëi dung tr¼nh b y

1 Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a

Cho q  xtAx l  mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n Khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành

d÷ìng n¸u xtAx ¡ 0 vîi måi x  θ

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ànhd÷ìng n¸u xtAx ¥ 0 vîi måi x

iii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành ¥mn¸u xtAx   0 vîi måi bë kh¡c khæng x

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ành

¥m n¸u xtAx ¤ 0 vîi måi bë x

v D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  khæng x¡c ànhn¸u xtAx nhªn nhúng gi¡ trà tr¡i d§u nhau

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a

Cho q  xtAx l  mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n Khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành

d÷ìng n¸u xtAx ¡ 0 vîi måi x  θ

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ànhd÷ìng n¸u xtAx ¥ 0 vîi måi x

iii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành ¥mn¸u xtAx   0 vîi måi bë kh¡c khæng x

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ành

¥m n¸u xtAx ¤ 0 vîi måi bë x

v D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  khæng x¡c ànhn¸u xtAx nhªn nhúng gi¡ trà tr¡i d§u nhau

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a

Cho q  xtAx l  mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n Khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành

d÷ìng n¸u xtAx ¡ 0 vîi måi x  θ

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ànhd÷ìng n¸u xtAx ¥ 0 vîi måi x

iii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành ¥mn¸u xtAx   0 vîi måi bë kh¡c khæng x

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ành

¥m n¸u xtAx ¤ 0 vîi måi bë x

v D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  khæng x¡c ànhn¸u xtAx nhªn nhúng gi¡ trà tr¡i d§u nhau

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a

Cho q  xtAx l  mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n Khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành

d÷ìng n¸u xtAx ¡ 0 vîi måi x  θ

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ànhd÷ìng n¸u xtAx ¥ 0 vîi måi x

iii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành ¥mn¸u xtAx   0 vîi måi bë kh¡c khæng x

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ành

¥m n¸u xtAx ¤ 0 vîi måi bë x

v D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  khæng x¡c ànhn¸u xtAx nhªn nhúng gi¡ trà tr¡i d§u nhau

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a

Cho q  xtAx l  mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n Khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành

d÷ìng n¸u xtAx ¡ 0 vîi måi x  θ

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ànhd÷ìng n¸u xtAx ¥ 0 vîi måi x

iii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành ¥mn¸u xtAx   0 vîi måi bë kh¡c khæng x

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ành

¥m n¸u xtAx ¤ 0 vîi måi bë x

v D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  khæng x¡c ànhn¸u xtAx nhªn nhúng gi¡ trà tr¡i d§u nhau

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a

Cho q  xtAx l  mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n Khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành

d÷ìng n¸u xtAx ¡ 0 vîi måi x  θ

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ànhd÷ìng n¸u xtAx ¥ 0 vîi måi x

iii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  x¡c ành ¥mn¸u xtAx   0 vîi måi bë kh¡c khæng x

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  nûa x¡c ành

¥m n¸u xtAx ¤ 0 vîi måi bë x

v D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l  khæng x¡c ànhn¸u xtAx nhªn nhúng gi¡ trà tr¡i d§u nhau

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Líi gi£i cho v½ dö

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Nëi dung tr¼nh b y

1 Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u hi»u ành thùc

a11 a12

a21 a22

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u hi»u ành thùc

ành l½

Khi â

i i·u ki»n c¦n v  õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c

ành d÷ìng l  c¡c ành thùc con ch½nh cõa A ·u nhªn gi¡trà d÷ìng:

|A1| ¡ 0, |A2| ¡ 0, , |An| ¡ 0

ii i·u ki»n c¦n v  õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c

ành ¥m l  c¡c ành thùc con ch½nh c§p l´ cõa A nhªn gi¡ trà

¥m v  c¡c ành thùc con ch½nh c§p ch®n cõa A nhªn gi¡ trà

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u hi»u ành thùc

ành l½

Khi â

i i·u ki»n c¦n v  õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c

ành d÷ìng l  c¡c ành thùc con ch½nh cõa A ·u nhªn gi¡trà d÷ìng:

|A1| ¡ 0, |A2| ¡ 0, , |An| ¡ 0

ii i·u ki»n c¦n v  õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c

ành ¥m l  c¡c ành thùc con ch½nh c§p l´ cõa A nhªn gi¡ trà

¥m v  c¡c ành thùc con ch½nh c§p ch®n cõa A nhªn gi¡ trà

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u hi»u ành thùc

ành l½

Khi â

i i·u ki»n c¦n v  õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c

ành d÷ìng l  c¡c ành thùc con ch½nh cõa A ·u nhªn gi¡trà d÷ìng:

|A1| ¡ 0, |A2| ¡ 0, , |An| ¡ 0

ii i·u ki»n c¦n v  õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c

ành ¥m l  c¡c ành thùc con ch½nh c§p l´ cõa A nhªn gi¡ trà

¥m v  c¡c ành thùc con ch½nh c§p ch®n cõa A nhªn gi¡ trà

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u hi»u ành thùc

ành l½

iii Cho ma trªn A N¸u tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng k sao cho

|A2k| ¥m ho°c |Ak||Ak 2| ¥m th¼ ma trªn A khæng x¡c ành

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng gi¡ trà ri¶ng

ành l½

Cho d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n q  xtAx câ ma trªn x¡c ành l  A Gi£ sû

A câ n l  gi¡ trà ri¶ng l  λ1, λ2, , λn, khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) x¡c ành d÷ìng khi v  ch¿khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u d÷ìng:

λ1 ¡ 0, λ2 ¡ 0, , λn¡ 0

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) nûa x¡c ành d÷ìng khi v ch¿ khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u khæng ¥m:

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng gi¡ trà ri¶ng

ành l½

Cho d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n q  xtAx câ ma trªn x¡c ành l  A Gi£ sû

A câ n l  gi¡ trà ri¶ng l  λ1, λ2, , λn, khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) x¡c ành d÷ìng khi v  ch¿khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u d÷ìng:

λ1 ¡ 0, λ2 ¡ 0, , λn¡ 0

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) nûa x¡c ành d÷ìng khi v ch¿ khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u khæng ¥m:

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng gi¡ trà ri¶ng

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

A Hỡn nỳa, ta cõ th tẵnh ữủc mởt số hằ số cừa a thực,chng hÔn