Bài tập dạng toàn phương có lời giải

Hỏi ánh xạ nào sau đây là dạng song tuyến tính: Vậy f là một dạng song tuyến tính... Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:... a Chứng minh rằng là một dạng song tuyến tính trê

CHUYÊN ĐỀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Bài toán : Cho f :RRR Hỏi ánh xạ nào sau đây là dạng song tuyến tính:

Vậy f là một dạng song tuyến tính

Bài toán : Cho f R2R2  R

: được xác định như sau:

2 2 1

1 ,y ,y x ,y R R x

+) Các điều kiện khác thử tương tự và cũng đều thỏa mãn

Vậy f là một dạng song tuyến tính

Ví dụ 6: Trong không gian R3 với cơ sở chính tắc S e e e1, ,2 3 Cho dạng song tuyến tính xác định như sau: với x x x x1, 2, 3 ,

23 22 21

13 12 11

'

b b b

b b b

b b b

3 3 1

4 1 4 '

0 3 0

0 0 1

1 0 1

1 1 1

3 3 1

4 1 4

1 1 0

1 0 1

1 1 1

2 0 0

0 3 0

0 0 1

1 1 1

1 0 1

0 1 1 ' P AP

Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc S e e e1, ,2 3 của R3 và trong

cơ sở

 ', ', '' e1 e2 e3

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

0 1 2

0 0 1

011

111

652

322

110

011

111

300

012

001

101

111

011' P AP

1121

02

13

A

+) Cho Q x f x x, x12 2x là dạng toàn phương trong 22 R , 3

trong đó ma trận của dạng toàn phương là:

020

001

Ta thấy  k 0,k1,2,3 nên f là dạng toàn phương xác định dương

Ví dụ 11 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

32

Chú ý: Ở dạng toàn phương ban đầu nếu a  , nhưng 11 0 a1j 0, (j 1)

trong cơ sở mới ta lại có phương trình ở dạng ban đầu

Bài toán : Trong 3

8 , 1 0 , 2 , 1 5

2 0 , 2 , 1

1 2 1

1 2 2

e

e f f

6 , 7

12 5

4 , 5

8 , 1 21

6 2 , 1 , 0 5

2 1 , 0 , 2

2 2 2

2 3 1 2 1

1 3 3

e

e f e e

e f f

e

a) Trong C2  1,1 trực giao hoá hệ

2

3 2

tdt t

t t

1

1

1 2

1 1

3

1 1

1

1

1 3

1

1

1

1 2 2

dt t

dt

dt t t

2 1 2

2 2 1

A

Phương trình đặc trưng :

0  5 1 0

1 2 2

2 1

2

2 2

+ Với   5 ta có hệ phương trình tuyến tìm vectơ riêng là

c x

c x

x x x

x x x

x x x

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

0 4 2 2

0 2 4 2

0 2 2 4

Ta được một vectơ riêng độc lập là v1  1 , 1 , 1 chuẩn hoá ta được

1 , 3

1 2

2 1 1

c x

c x

c c x

Ta được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính là v2  1 , 1 , 0 ,

1 0

, 1 , 1 2

1 1 , 0 ,

1 , 6

3 1

6

1 2

1 3 1

6

1 2

1 3 1

0 1 0

0 0 5

Cho dạng toàn phương Q trong R4

' 2 2 ' 1

4

3 2

3 3

1

x x

'

1

4

3 3

2 1 2

2 1 1

y x

y y x

y y x

3 1

2 3 3 2 2 2 2

3 3 1 2 1

3 2 3 1 2 2 2 1

4 2

3 2

2

1 2

2

1 6

2 4

1 2

6 2

2 2

y y

y y

y

y y y y y

y y y

y y y y y y x Q

2z  z  z

Bài toán : : Cho ma trận của dạng song tuyến tính  trên 3

5 0 1

0 2 4

1

3 1

2

1 1

0

T khi đó ma trận của dạng song tuyến tính trên 3

R đối với cơ sở  là:

3 5 9

6 2 3

0 0 1

3 1 2

1 1 0

3 2 2

5 0 1

0 2 4

0 3 1

0 1 1

1 2 0

AT

T

Trong không gian Euclie 3 chiều V cho một cơ sở trực chuẩn e1,e2,e3

a) Giả sử  là phép biến đổi tuyến tính của V có ma trận

4 1 2

2 3 1

A

Đối với cơ sở f1 e1e2 2e3 , f2  2e1 e2 , f3 e1e2 tìm ma

trận của  * trong cơ sở đó

b) Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính  * của  , với  xác định bởi  e3 e1  2e2 e3 e2 e3 3e1 e2  2e3 ,

e1 e2 e3 7e1e2  4e3

 đối với cơ sở e1,e2,e3

Lời giải :

1 3

2 1

3 2 1 3 2

3 2

3 2 1 3

4 7

2 3

2

e e e e e

e e

e e

e e e e e

e e

e e e e

3 2 1 2

3 2 1 1

2 2

2 2 4

e e e e

e e e e

e e e e

1 1 2

2 2 4

1 1 2

2 1 2

1 2 4

Bài toán : Cho xác định bởi

a) Tìm ma trận biểu diễn E của f theo cơ sở chính tắc (3)

b) Tìm ma trận biểu diễn A của f theo cơ sở {(1;1;1),(1;2;2),(1;1;3)}

Do đó ma trận của f theo cơ sở S là 1 1

a) Chứng minh rằng là một dạng song tuyến tính trên 3[ ]t

b) Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên {1, , , }t t t2 3

0 0

0 0

a) Chứng minh rằng là một dạng song tuyến tính trên b) Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên

Hướng dẫn:

a) Với mọi a,b λ và X , X0,Y ,Y0ÎM2(») Ta có

a) Lập ma trận của q trong cơ sở chính tắc

b) Lập ma trận và biểu thức tọa độ của q trong cơ sở

Nếu      10 0  10thì rank A = 2 Dạng toàn phương suy biến

d) Nếu      10 0  10 thì rank A = 3 Dạng toàn phương không suy

1 0 2

21 22

3

8 2

0 2

Đa thức đặc trưng của ma trận A là:

P                

Vậy ma trận A có giá trị riêng là: 1 9, 2  18, 3   9

Khi đó dạng toàn phương có dạng chính tắc là

Chọn t =1 ta được một vector riêng là u 1 (2, 2,1)

Các vector riêng ứng với giá trị riêng   18 là ut(2, 1, 2)   với t 

Chọn t =1 ta được một vector riêng là u 2 (2, 1, 2)  

Các vector riêng ứng với giá trị riêng    9 là các vector u t( 1, 2, 2) với

t 

Chọn t = 1 ta được một vector riêng là u  3 ( 1, 2, 2)

Ta có các vector u 1 , u2, u3 trực giao với nhau

Dạng toàn phương này xác định dương khi và chỉ khi   0

Bài toán : ) Cho dạng toàn phương

( ,x x x, ) x x 2x 4x x 4x x x x

phương  được viết dưới dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi Hỏi dạng toàn phương này có xác định âm hay không?

Dạng toàn phương này không xác định âm

Bài toán : Đưa dạng toàn phương  sau  ( ,x x x1 2, 3) x x1 2x x2 3 x x3 1về

phương  được viết dưới dạng chính tắc đó Hỏi dạng toàn phương trên có xác định dương hay không?

dạng chính tắc Theo các cách đặt như trên ta có

Dạng toàn phương này không xác định dương

1 Viết ma trận của dạng song song tuyến tính đối xứng trên R3, ở đây

3 Cho ma trận của dạng song tuyến tính trên 3

R có ma trân đối với cơ

4 cho dạng song tuyến tính trên 3

R có ma trận đối với cơ sở( )  là

§3.ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

9.Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc, với

11 Trong không gian vectơ Ơclit ta đặt:cos( , )   

 

 , và gọi đó là co

sin của góc giữa hai vectơvà

Hãy tính chuẩn và co sin của góc giữa hai vectơ sau trong 3

R a)   (1, 2,3),   (0, 2,1);

b)   (1, 0, 0),   (0,1, 1) 

12 Trong không gian vectơ ơclit 3

R cho cơ sở gồm:

1 (1, 2,3), 2 (0, 2, 0), 3 (0, 0,3)

      Trực chuẩn hóa hệ vectơ đã cho

13 Trong không gian vectơ ơclitR4, hãy trực chuẩn hóa hệ vectơ gồm các vectơ sau:

1 Với V  R n,  a1 , ,a n, với mỗi i 1, 2, ,n ta có phép chiếu f từ R i n

đến R xác định bởi f i    a i

  là dạng tuyến tính trên R

n

2 Ký hiệu P n là không gian vector gồm đa thức 0 và các đa thức một ẩn x có bậc

bé hơn hoặc bằng n, với hệ số thực

0

n i i i

  là một dạng song tuyến tính thay phiên

Giải: Thật vậy, với bất kì  a a1 , 2,  b1 , b 2 , ' a1 ',a2 ',

 là một dạng song song tuyến tính đối xứng trên Rn

5 Giả sử V là không gian vector ( hình học) có chung gốc ) O Ánh xạ Từ V x V vào R xác định như sau :

OA   OB          

  là cos  , 

  là một dạng song tuyến tính đối xứng

Như đã biết trong giáo trình hình học trường phổ thông, với 2 kí hiệu trên là tích vô hướng của 2 vector, ta có:

    Kiểm tra hệ vector trên là một

cơ sở trực chuẩn của R 3 Biểu diễn vector  1, 4, 7là một tổ hợp tuyến tính của cơ sở trên

Với k 3 14 , làm tương tự, vector riêng có dạng 5c , 2 ,3 3 3

1

0,1, 2 5

1

5, 6, 3 70

Thu được nghiệm có dạng 2 , , 2c c1 1 c 1

Chọn 1 2,1, 2, ta được nghiệm riêng ứng với k   1 9

Với k2 k3  , hệ phương trình tương ứng là : 9

Nghiệm của hệ phương trình này có dạng d, 2 , 2  d  e

Vị hạng của hệ phương trình bằng 1 nên không gian các ngiệm có chiều bằng

2, chọn một cơ sở của không gian này :

Đó là 2 vector riêng ứng với k2 k3  Theo định lý 2, ta có 9 2 về 3 trực

giao với 1 Vì thế muốn được một cơ sở trục chuẩn của R 3 gần các vector riêng thì chỉ cần trực chuẩn hệ vector  2, 3