122 đề hsg toán 8 quốc oai 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỐC OAI ĐỀ OLYMPIC TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q b) Tìm x khi c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 2[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỐC OAI

ĐỀ OLYMPIC TOÁN 8 NĂM HỌC 2022-2023

: 2

x



a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q

b) Tìm x khi

1 3

Q 

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

Bài 2 (4 điểm)

a) Tìm giá trị của mđể cho phương trình 6x 5m 3 3mxcó nghiệm gấp 3 lần nghiệm của phương trình      

2

b) Giải phương trình x21 x24x3 192

Bài 3 (3 điểm)

a) Cho 2

2

x

x  x  Tính giá trị của

2

4 2 1

x A

x x



  b) Cho a b, là bình phương của 2 số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh ab a b   1 48

Bài 4 (6 điểm) Một mảnh đất hình thang ABCDcó AB CD AB BC/ / ,  AD a CD , 2a

a) Tính các góc của hình thang ABCD

b) Tính diện tích của hình thang ABCDtheo a

c) Hãy chia mảnh đất ABCDthành hai mảnh đất hình thang bằng nhau

Bài 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC.Trên cạnh ABlấy D, trên cạnh AClấy E sao cho

,

, CD và BE cắt nhau tại I Tính các tỉ số ,

BI CI

IE ID

Bài 6 (2 điểm)

1) Tìm tất cả các số nguyên x y, thỏa mãn xy0và x37yy37x

2) Giải phương trình  2   2   2 

8x 4x 1 x 2x1 4 x  x 1

ĐÁP ÁN

: 2

x



d) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q

Điều kiện : x1,x2

   

2

2

: 2

x



     

e) Tìm x khi

1 3

Q 

   

2 2

1( )

2( )

1 3

x ktm

x tm

x x





           

So sánh với điều kiện suy ra x 2thì

1 3

Q 

f) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

2

           

Vậy

Bài 2 (4 điểm)

c) Tìm giá trị của mđể cho phương trình 6x 5m 3 3mxcó nghiệm gấp 3 lần nghiệm của phương trình      

2

                

Như vậy , phương trình 6x 5m 3 3mxcó nghiệm là x  3.( 2)6

Thay x 6vào phương trình 6x 5m 3 3mx ta có :

6 6  5m 3 3 6 m 36 5 m 3 18m13m39 m3

Vậy m 3thỏa mãn yêu cầu

d) Giải phương trình x2  1 x2  4x 3  192

(1)

Ta có : x2 1 x1 x1và x24x 3 x1 x3

2

2

2 13 0( )

                 

      

  



Bài 3 (3 điểm)

c) Cho 2

2

x

x  x  Tính giá trị của

2

4 2 1

x A

x x



 

2 2

2

2

1

A

A

 

 

        

Vậy

4

21

A 

d) Cho a b, là bình phương của 2 số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh ab a b   1 48

Đặt  

2

2 1

a n và  

2

2 1

b n

Ta có M ab a b   1 a1 b1

2n 12 1 2n 12 1 2n 2 2 2 2 n n n 2 16 n n n 1 ( n 1) M 16

Mặt khác , n n 1 n1là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n n 1 n 1 3

Mà 16,3  1 M16.3 M48

Bài 4 (6 điểm) Một mảnh đất hình thang ABCDcó AB CD AB BC/ / ,  AD a CD , 2a

D

A

H I

B

C

d) Tính các góc của hình thang ABCD

Gọi I là trung điểm của CD AB DI IC a và AB//DI

ABID

 là hình bình hành  AD BI a   BCIđều

e) Tính diện tích của hình thang ABCDtheo a

Kẻ đường cao BH của hình thang ABCD (đường cao của tam giác đều BCI)

Ta có

2

CH  CI  BH  BC  CH  a  

2

ABCD

a

a a

S





f) Hãy chia mảnh đất ABCDthành hai mảnh đất hình thang bằng nhau

, , ,

E F K H lần lượt là trung điểm ID AI BI IC, , ,

Chia hình thang như hình vẽ, ta được các hình thang AFED ABKF BCHK EFKH, , , giống nhau

A

D

B

C

Bài 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC.Trên cạnh ABlấy D, trên cạnh AClấy E sao cho

,

, CD và BE cắt nhau tại I Tính các tỉ số ,

BI CI

IE ID

J

I

Q D

C E A

B

P

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AE AB PQ, . cắt CD tại J

Ta có : PA BE BQ QA/ / ,  2QDvà AP PE EC 

Nên EIlà đường trung bình CPJ JP2 ;IE JI IC

Và BD3DQ BI 3 ;QI JI 2DJ

2 2

3

CI

ID

Đặt IE x JP2IE2 ,x QJ  y BI 3QJ 3y

Ta có PQlà đường trung bình của ABEnên BE2PQ

2

  hay BI IE 2QJ JP 

3y x 2 y 2x 3y x 2y 4x

        hay y3x

IE

Vậy

2 9;

3

Bài 6 (2 điểm)

3) Tìm tất cả các số nguyên x y, thỏa mãn xy0và x37yy37x

2

PT x y x xy y x y x y x xy y

Vì xy 0 xy 2 x2;y1

4) Giải phương trình  2   2   2 

8x 4x 1 x 2x1 4 x  x 1

2

PT

x x

 

Xét

 

2 2

2

1

x x

x x

VT          x

Vì  

4

(dấu bằng xảy ra khi x=1 ) (1)

 

2 2

2

2 1

1

x

x x

VP

     



Vì

 

 

2

2

0

4 1

x

VP x





( dấu bằng xảy ra khi x=1 ) (2)

Từ (1), (2) suy ra

3

1 4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1