067 đề hsg toán 8 can lộc 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CAN LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Rút gọn biểu thức Bài 2 a) Cho các số là các số thực thỏa mã[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CAN LỘC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1

a) Phân tích đa thức thành nhân tử : A x 413x y2 24y4

b) Rút gọn biểu thức

4 5

1

B

  



   

Bài 2

a) Cho các số a b x y, , , là các số thực thỏa mãn x2y2 1 và

x y

a  b a b

Chứng minh rằng  

6 6

3

3 3

2

x y

a b  a b

b) Tìm các số tự nhiên x y z x y z, ,    sao cho xyz xy yz zx x y z      2020

Bài 3.

a) Giải phương trình

137 150 159 164

10

b) Một người đi xe đạp từ A đến B đúng giờ quy định Sau khi đi 10km đầu trong 12 phút, anh ta tính ra rằng nếu tiếp tục đi với như vậy thì sẽ đến sớm hơn dự định là

24 phút Còn nếu giảm vận tốc đi 5km/h thì anh ta vẫn đến B sớm hơn 10 phút so với giờ dự định Hãy tính khoảng cách AB

Bài 4.Cho tam giác ABCvuông tại A, có đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Đường thẳng vuông góc với DE tại E cắt BC tại K Chứng minh AD AB AE AC.  . và K là trung điểm của HC

Bài 5.Cho tam giác đều ABC Đường thẳng song song với AC cắt AB và BC lần lượt tại

D và E Gọi M là trọng tâm của tam giác BDEvà N là trung điểm của AE.Chứng minh

60

NMC

Bài 6

a) Cho f x ax4bx3cx2dx e a b c d e Z  , , , ,   Chứng minh rằng f x   5với mọi x Z khi và chỉ khi các hệ số a b c d e, , , , đều chia hết cho 5

b) Cho 5 đoạn thẳng có độ dài từ 10cm đến 45cm Chứng minh rằng luôn chọn được

3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng đã cho lập thành ba cạnh của một tam giác

ĐÁP ÁN Bài 1

c) Phân tích đa thức thành nhân tử : A x 413x y2 24y4

d) Rút gọn biểu thức

4 5

1

B

  



   

Ta có :

4

4 5

2

1

1

B

a a

    

  

 

Vậy

3 2

2

1 1

B

a a

   



 

Bài 2

c) Cho các số a b x y, , , là các số thực thỏa mãn x2 y2 1 và

x y

a  b a b

6 6

3

3 3

2

x y

a b  a b

Từ giả thiết

x y

a  b a b

4 4

1

ab a b

a b bx ay ab

bx ay

  













 

2 4 2 4 4 4

2

2 2 2

1 0

a y b x abx aby ab

a y b x ab x y



 



Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

2 2

1

1

( )

do x y

dfcm



d) Tìm các số tự nhiên x y z x y z, ,    sao cho xyz xy yz zx x y z      2020

2020

1 2019

xyz xy yz zx x y z

xyz xy yz y zx x z

      

Mà x y z N x, ,  , y z  x1y1 z 11(2)

Từ (1) và (2)

1 673 674

      

Vậy x y z ; ;  674;4; 2

Bài 3.

c) Giải phương trình

137 150 159 164

10

137 150 159 164

10

120 120 120 120

0

1 1 1 1

17 15 13 11

         

        

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 120

d) Một người đi xe đạp từ A đến B đúng giờ quy định Sau khi đi 10km đầu trong 12 phút, anh ta tính ra rằng nếu tiếp tục đi với như vậy thì sẽ đến sớm hơn dự định là 24 phút Còn nếu giảm vận tốc đi 5km/h thì anh ta vẫn đến B sớm hơn 10 phút so với giờ dự định Hãy tính khoảng cách AB

Đổi

12 ' , 24 ' , 10 '

5h 5h 6h

Gọi khoảng cách từ A đến B là x km x    10 Khi đó :

Vận tốc xe đi 10km đầu trong 12 phút là :

1

10 : 50( / )

5 km h Quãng đường còn lại xe đi với vận tốc giữ nguyên là x10km

Thời gain xe đi hết quãng đường còn lại khi giữ nguyên vận tốc là :

10 ( ) 50

x h



Thời gian xe đi hết quãng đường còn lại khi giảm vận tốc 5km/h là :

10 10

( )

50 5 45

h





Theo bài ra ta có phương trình :

10 10 2 1

45 50 5 6

10

7

30 10 115( )

1 1

45 50

x



Vậy quãng đường AB dài 115km

Bài 4.Cho tam giác ABCvuông tại A, có đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Đường thẳng vuông góc với DE tại E cắt BC tại K Chứng minh AD AB AE AC.  . và K là trung điểm của HC

E

D

H

A

B

C

Xét

90

& : ADH AHB

DAH chung







∽

(g.g)

 

2

1

Chứng minh tương tự : AH2 AE AC.  2

Từ (1) và (2) suy ra AD AB AE AC. AH2 AD AE

   (hai góc tương ứng)

Có :

/ /

HE AC

AB AC



Mà DEH HEK DEK 90 , EHK C90  HECvuông tại E)

( )

Tương tự KEC   C KECcân tại K nên KC=KE (4)

Từ (3) và (4) suy ra KH=KC (=KE)

Suy ra K là trung điểm của HC

Bài 5.Cho tam giác đều ABC Đường thẳng song song với AC cắt AB và BC lần lượt tại D và E Gọi M là trọng tâm của tam giác BDEvà N là trung điểm của AE.Chứng minh NMC60

H N

M

E

A

D

AB BC





 

Có

BED BCA



Mà M là trọng tâm của BDEnên M đồng thời là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của BDE

Gọi H là trung điểm của DE Khi đó HN là đường trung bình của ADE

HN

AD

M là trọng tâm của BDE H, là trung điểm của DE

MH

BH

Mà M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE nên

1 2

Lại có M là tâm đường tròn ngoại tiếp BDEnên :

1

30 2







180 30 150

90 60 150

Xét









∽

 1

Ta chứng minh được : MBAMBC c g c( ) MA MC (hai cạnh tương ứng) (2)

3

AB BC

AD EC

BD BE











Từ (1), (2), (3) suy ra

1

( ) 2

MNH MCE c c c

 

Mặt khác , MHEvuông tại H (do MH DE)

.60 30

là tia phân giác của BED)) Suy ra NMCHME60

Bài 6

c) Cho f x ax4bx3cx2dx e a b c d e Z  , , , ,   Chứng minh rằng f x   5với mọi x Z khi và chỉ khi các hệ số a b c d e, , , , đều chia hết cho 5

Th1: Nếu a,b,c,d,e5thì ax45,bx35,cx25,dx5, 5ex

f x ax bx cx dx e x

Th2: Ngược lại f x   5với mọi x thì a b c d e, , , , 5

Ta có :

 

 

 

 

2 5

2 5

f

f



















 

Vậy f x  ax4bx3cx2dx e 5 x Z  a b c d e, , , , 5

d) Cho 5 đoạn thẳng có độ dài từ 10cm đến 45cm Chứng minh rằng luôn chọn được 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng đã cho lập thành ba cạnh của một tam giác

Giả sử ngược lại, tồn tại 5 đoạn thẳng a,b,c,d,e có độ dài từ 10cm đến 45 cm sao cho 3 đoạn thẳng bất kỳ trong 5 đoạn đó đều không lập thành 3 cạnh của một tam giác

Không mất tính tổng quát, giả sử 10     a b c d e 45

Khi đó ta có: a b c b c d c d e  ,   ,  

Từ 10  a b c a b  10 10 20   d c b  20 10 30 

20 30 50

e c d

      trái với giả thiết e 45

Vậy trong 5 đoạn thẳng có độ dài từ 10 đến 45 luôn chọn được 3 trong 5 đoạn thẳng đã cho lập thành 3 cạnh của một tam giác