017 đề HSG toán 8 nam sơn 2017 2018

3,0 điểm Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.. BC Qua Ivẽ IM vuông góc với ABtại M và IN vuông góc với AC tại N.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 HUYỆN NAM SƠN-Năm học 2017-2018 Câu 1 (4,0 điểm)

Chứng minh rằng:

a) A   1 3 32 33  3 11chia hết cho 40

1

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho a b c   chứng minh rằng : 0, a3 b3 c3 3abc

b) So sánh hai số sau: C  2 1 2  2 1 2  4 1 2  81 2  16 1

và D 232

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2019x2 2018x2019

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E 2x2 8x1

Câu 4 (3,0 điểm)

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy

Câu 5 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC  .Gọi I là trung điểm của cạnh

BC Qua Ivẽ IM vuông góc với ABtại M và IN vuông góc với AC tại N.

a) Chứng minh tứ giác AMINlà hình chữ nhật

b) Gọi D là điểm đối xứng của Iqua N Chứng minh tứ giác ADCIlà hình

thoi

c) Đường thẳng BN cắt DCtại K Chứng minh rằng

1 3

DK  DC

Câu 6 (1,0 điểm)

Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e    

ĐÁP ÁN Câu 1.

a)

4 8

1 3 3 3 3

1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 3 3 3

40 3 40 3 40

40 1 3 3 40

           

           

Vậy A40

b)

2.2 3.3 4.4 100.100

1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 100

Vậy B 1

Câu 2.

a)

Ta có: a b c   0 a b  c

Mặt khác

3 3

a b c abc dfcm

     

  

b)

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

C

C

C

C

     

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

C

C

Vì 232 1 232nên C D

Câu 3.

a)

2019 2018 2019

2018 2018 2018 1

2018 2018 2018 1

1 2018 1

b)

2

2

2

2 8 1

2 8 8 7

  

   

Vậy giá trị nhỏ nhất của E7 x 2

Câu 4.

d

c

b a

O

A

D

C B

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC BD của tứ giác , ABCD Đặt AB a BC b CD c DA d ,  ,  , 

Xét AOB,ta có: OA OB AB  (quan hệ giữa ba cạnh của tam giác) Xét COD,ta có: OC OD CD  (quan hệ giữa ba cạnh của tam giác) Suy ra :

D

(1)

OA OB OC OD AB CD

AC BD a c

Chứng minh tương tự : AC BD AD BC    AC BD d b   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

2

a b c d

AC BD    a b c d  AC BD    

Xét ABC,ta có: AC a b 

Xét ADC,ta có: AC d c 

a c d b

AC a b c d     AC    

Chứng minh tương tự: 2 (**) (4)

a c d b

BD   

Từ    3 ; 4 suy ra AC BD a b c d    

a c d b

  

     

Câu 5.

H K

D

N M

I

A

a) Xét tứ giác AMNI có:

 900

MAN  (vì ABC vuông ở A)

 900

AMI  (Vì IM vuông góc với AB)

 900

ANI  (Vì IN vuông góc với AC)

Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

b) ABC vuông tại A, có AI là trung tuyến nên

1 2

AI IC  BC

Do đó AIC cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến

NA NC

Mặt khác : NI ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành (1)

Mà ACID (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADCI là hình thoi.

c) Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H

IH

 là đường trung bình BKC

H

 là trung điểm của CK hay KH HC (3)

Xét DIH có N là trung điểm của DI, NK / /IH IH / /BK

Do đó K là trung điểm của DH hay DK KH (4)

3

Câu 6.

Ta có:

2

2

2

2

2 2

Ta cộng        1 , 2 , 3 , 4 vế theo vế ta được:

1

4

4a b c d e ab ac ad ae

       

        