M là điểm nằm bên tromng hình bình hành ABCD.[r]
Trang 1ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG LỚP 8 VÒNG I
MÔN TOÁN Năm học 2009 – 2010 Thời gian: 150 phút Câu 1:
Cho biểu thức: A =
) 1 )(
( 1
) 3
1 ( 4
3 )
4
1 )(
(
2 2
2
2 2 2
y y x y
x
y y
x y
y x
a) Chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A?
Câu 2:
a) Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng :
ab – a – b + 1 chia hết cho 192
b) Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn đẳng thức:
y(y + 1)2 + x(x + 1) = 8xy
Câu 3:
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
b) Cho x + y + z = 111 0
z y x
Chứng minh rằng: xyz
z y x
z y x
3 3 3
6 6 6
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH M là điểm nằm giữa B và C, gọi
E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC N là trung điểm của AM
a)Tứ giác HENF là hình gì? Chứng minh
b) Gọi I là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng các đường thẳng
MI, NH, EF đồng quy
Câu 5:
M là điểm nằm bên tromng hình bình hành ABCD Đặt SMAB = S1 ; SMCD =
S2;
Trang 2SABCD = S Chứng minh rằng: S1.S2 ≤ 161 S2.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
NĂM HỌC 2009 – 2010
Câu 1: (2,5 đ)
a) x2y2 + 1 + (x2 – y)(1 – y) = (x2 + 1)(y2 – y + 1) ≠ 0 , với mọi x,y (x2 + y)(y + 41 ) + x2y2 + y + 14 = (x2 + 1)(y2 + y + 41 )
Rút gọn được A =
1 4 1 2
2
y y
y y
Chứng tỏ A không phụ thuộc và x
4
3 ) 2
1
(
) 2
1 (
2
2
y
y
, với mọi y
Dấu “ =” xảy ra y = -1/2
Vây GTNN của A bằng 0 khi y = -1/2
Câu 2: (2,5 đ)
a) (1,5 đ)
Trang 3Vì a, b là hai số chính phương liên tiếp nên giả sử a < b, ta có: a = (2k –
1)2 ;
b = (2k + 1)2 với k Z; k 0
ab – a – b + 1 = (a – 1)(b – 1) = 16k2(k – 1)(k + 1)
Vì k(k + 1)(k – 1) luôn chia hết cho 3 với mọi k thuộc Z
và k2(k + 1)(k – 1) luôn chia hết cho 4 , với mọi k thuộc Z
Kết hợp với (3,4) = 1
nên ab – a – b + 1 chia hết cho 16.12 = 192 (đpcm)
b) (1 đ)
(y + 1)2 ≥ 4y
(x +1)2 ≥ 4x , với mọi x,y
y(y + 1)2 + x(x + 1)2 ≥ 4(x2 + y2) ≥ 8xy
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1
Vậy cặp số nguyên dương duy nhất tìm được là x = y = 1
Câu 3: (1,5 đ)
a) (1 đ)
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (0,5 đ)
Vì x,y,z khác 0 và 111 0 xyyzzx 0
z y x
x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2
Lại có: x + y + z = 0 x3 + y3 + z3 = 3xyz
3 3 3
3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3
6 6
z y x
x z z y y x z
y x z y x
z y x
xyz
z y x z
y
x
3
3 2
(Đpcm)
Câu 4: (2,5 đ) Hình vẽ đúng (0,25 đ) (Hình vẽ ban đầu)
a) (1,25 đ)
EN = HN = 21 AM ENH cân tại N
EAH HNM
ENM
Tam giác ABC là tam giác đều nên AH là
A
H M
E
F
N I
Trang 4phân giác của góc BAC
EAH 30 0 ENH 60 0
Tam giác ENH là tam giác đều
Chứng minh tương tự được tam giác HFN
là tam giác đều
HE = EN = NF = HF
HENF là hình thoi
b) (1 đ)
Gọi O là giao điểm của EF và HN,
K là trung điểm của AI
Có NK là đường trung bình của tam giác AMI
MI//NK (1)
Tam giác ABC là tam giác đều nên trực tâm I
là trọng tâm của tam giác nên I là trung điểm của HK
OI//NK (2)
Từ (1) và (2) M,O,I thẳng hàng (đpcm)
Câu 5 : (1 đ)
Qua M vẽ EF AB ( E thuộc AB; F thuộc CD)
EF CD
Có S1 + S2 = 12 ME AB + 12 MF CD =
=
2
1
AB.EF =
2
1
S
4S1S2 ≤ (S1 + S2)2
Suy ra: S1.S2
16
1
S2
A E B
C F D
M