039 đề hsg toán 8 quỳnh phụ 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUỲNH PHỤ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức nh[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUỲNH PHỤ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức 2

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của xđể biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Cho hai đa thức P x  ax4bx31và Q x  x2 2x1 Xác định các giá trị của avà b để đa thức P x chia hết cho đa thức Q x 

2) Cho biểu thức

4 2

7 15 16 30 5

2 17

M



  Tính giá trị của M tại

2 3

x  

Bài 3 (4,0 điểm) Cho phương trình  

3

2 1 3

x m x

1) Giải phương trình  1 với m 4

2) Tìm điều kiện của mđể phương trình  1 có nghiệm duy nhất là số âm

Bài 4 (2,0 điểm) Cho hai số dương x y, thỏa mãn x24y2 5.Tìm giá trị lớn nhất của x y

Bài 5 (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD.Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC M( A C, ) Gọi E F, theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD CD,

1) Chứng minh : tứ giác DEMFlà hình chữ nhật

2) Chứng minh BM EF

3) Gọi N là trung điểm của AM Chứng minh CE2  2DN2

Bài 6 (2,0 điểm) Cho tam giác đêu ; gọi M là trung điểm của BC Hai điểm E F, theo thứ tự lần lượt di chuyển trên cạnh AB AC, sao cho EMF60EA F, A Chứng minh rằng chu vi của AEFcó giá trị không đổi

ĐÁP ÁN

Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức 2

A

c) Rút gọn biểu thức A

2

2

3

x

A

x





d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của xđể biểu thức nhận giá trị nguyên

1

x

A



  

Với x  ,để Anhận giá trị nguyên

3 2

x

2 3 3; 1;1;3 1;1;3;5

        

Kết hợp với ĐKXĐ ta được x   1;1;5

Vậy với x   1;1;5 thì A nhận giá trị nguyên

Bài 2 (4,0 điểm)

3) Cho hai đa thức P x ax4bx31và Q x  x2 2x1 Xác định các giá trị của avà b để đa thức P x chia hết cho đa thức Q x 

2 2

Q x x  x  x  P x x  P  định lý Bê zu)

       Do đó :

   

3 2

        

Đặt R x  ax3  x2  x 1

Để R x  x1 R 1 0(Định lý Bezu)

3 2

        

Vậy với a3,b4thì đa thức P x Q x   

4) Cho biểu thức

4 2

7 15 16 30 5

2 17

M



  Tính giá trị của M tại

2 3

x  

Ta có : x 2 3 x 2 3 x 22  3 x2 4x 1 0 Có

4 2

7 15 16 30 5

2 17

0 64 8

4 1 4 17 64

M

x



 





Vậy

1

8

M 

tại x  2 3

Bài 3 (4,0 điểm) Cho phương trình  

3

2 1 3

x m x

3) Giải phương trình  1 với m 4

Với m 4thì phương trình (1) trở thành :

 

1

2 1

2

      

Vậy với m 4thì phương trình (1) có nghiệm

1 2

x 

4) Tìm điều kiện của mđể phương trình  1 có nghiệm duy nhất là số âm

Phương trình

3 2 3

x m x

  ĐKXĐ: x m x , 3

2 2

Để (*) có nghiệm duy nhất là số âm thì

3

0

2

3 3

3 3

3 2

3

2

3

m

m m

m m

m

m

m

















  













 



Vậy với

3 3

m

m









 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số âm

Bài 4 (2,0 điểm) Cho hai số dương x y, thỏa mãn x24y2 5.Tìm giá trị lớn nhất của x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

2

2

2 2

       

Dấu bằng xảy ra

2

, 0 1

2

x

do x y y







Vậy

Max x y   x y

Bài 5 (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD.Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC M( A C, ) Gọi E F, theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD CD,

G

J

I K N

F

E

C D

M

4) Chứng minh : tứ giác DEMFlà hình chữ nhật

Xét tứ giác DEMF có :

 

90

Do đó DEMFlà hình chữ nhật

5) Chứng minh BM EF

Gọi giao điểm của BM EF, là G, gọi giao điểm của MF&ABlà H

Do DEMFlà hình chữ nhật (cmt) nên EMF 90  (tính chất) EMH  90 

Mà BAD90 gt  AEM  90   AEMFlà hình chữ nhật

Lại có AClà phân giác của BAD(ABCD là hình vuông-gt)

AEMH

 là hình vuông  ME MH AH AE t c / 

Mặt khác AB AD (ABCD là hình vuông –gt)

,

MF DEAD AE BH AB AH  BH MF

Chứng minh được BHM FME c g c( ) HBM MFE

Xét BHM và GFMcó :

( ),

HBM MFG cmt HMB GMF

  ∽      hay BM EFtại G

6) Gọi N là trung điểm của AM Chứng minh CE2  2DN2

Kẻ NI BK I BK NJ  , DF J DF  

Có NI / /MK NA NM,   I là trung điểm của BK

BNK

  cân tại N (NI vừa là trung tuyến vừa là đường cao)

 1

Lại có BNI KNI(NI là đường phân giác của BNK) 2 

Tương tự DNFcân tại N suy ra DN NF(3), DNJ FNJ 4

Mặt khác ANDANB c g c( ) DN BN 5

Từ      1 , 3 , 5  DN NF KN BN 6 , Do đó BNK DNK c c c( )

Có BNF BNI INF JNF INF  90 (7) (do NICJlà hình vuông)

Từ (6) và (7) suy ra BNFvuông cân tại N

Lại có DECCFB c g c( ) EC BF  9

Từ (8) và (9) suy ra EC2 2DN dfcm2 

Bài 6 (2,0 điểm) Cho tam giác đêu ; gọi M là trung điểm của BC Hai điểm

,

E Ftheo thứ tự lần lượt di chuyển trên cạnh AB AC, sao cho

 

     Chứng minh rằng chu vi của AEFcó giá trị không đổi.

K

I H

M

A

E

F

Ta có :

( ) ( )

                    

                     

∽

∽

    là phân giác của BEF

Chứng minh tương tự có FM là phân giác của EFC

Kẻ MH AB MK, AC MI, EF H AB K, AC I EF,  

   (do M nằm trên tia phân giác của BEF,EFC)

Chứng minh được :

EHM EIM EH EI FIM FKM FK FI

2

AEF

(không đổi do H là điểm cố định)

Vậy chu vi AEFcó giá trị không đổi