161 đề HSG toán 8 xuân phú

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGMÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút Bài 1.. Cho hình vuông ABCD gọi ,, E F thứ tự là trung điểm của ,.. AB BC a Chứng minh rằng: CE DF b

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút Bài 1 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:  x2 2x x 2 2x 1 6

b) Đa thức f x  4x3ax b chia hết cho các đa thức x2;x Tính 2 31. a b

Bài 2 (2 điểm)

a) Cho a n     1 2 3 n.Chứng minh rằng a n a n1là một số chính phương

b) Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số

2 2

10 9 4

20 20 9

 

  tối giản

Bài 3 (3 điểm)

a) Cho x3 y3  z3 3xyz.Hãy rút gọn phân thức : Px y y z z x  xyz   

b) Tìm tích:

1 4 5 4 9 4 17 4

3 4 7 4 11 4 19 4

Bài 4 (4 điểm)

a) Cho x by cz y ax cz z ax by  ;   ;   và x y z  0;xyz 0

CMR:

2

1 a 1 b 1 c 

b) Cho

1 1 1

0,

x   y z

tính giá trị của biểu thức 2 2 2

P

Bài 5 (3 điểm) Cho biểu thức :

:

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x để P1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1

Bài 6 (3 điểm) Cho hình vuông ABCD gọi ,, E F thứ tự là trung điểm của , AB BC

a) Chứng minh rằng: CE DF

b) Gọi M là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng: AM AD. 

Bài 7 (3 điểm) Cho tam giác ABC Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông . ABDE, ACFH a) Chứng minh rằng EC BH EC ; BH

b) Gọi M N thứ tự là tâm của các hình vuông , ABDE ACFH Gọi I là trung điểm của,

BC Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ?

ĐÁP ÁN Bài 1.

a)  x1 x3 x22x2

b) Đa thức f x( ) 4 x3ax b chia hết cho các đa thức 2; 1x x nên:

      

Từ  1 và  2 ta tìm được a 12;b 8

Vậy 2a3b0

Bài 2.

a) Ta có: a n1   1 2 3   n n 1

1

1

2

n n

1

n

  là một số chính phương.

b) Gọi d là ƯCLN của 10n2 9n và 4 20n2 20n9

2 1

M

Mặt khác : 2n1Md 4n2 4n1Md20n2 20n5Md4M , mà d lẻ nên d d 1 Vậy phân số trên tối giản

Bài 3.

a) Từ x3  y3  z3 3xyzchỉ ra được x y z    hoặc x y z0  

1

2 :

8

   

b) Nhận xét được: 4  2  2

 

2



Bài 4.

a) Từ giả thiết 2cz z x y   2cz x y z  

1

Tương tự:

;

      Khi đó:

2

1 a 1 b 1 c 

0

x    y z x  y  z  xyz

Khi đó:

yz xz xy xyz xyz xyz

Bài 5 a) ĐKXĐ: x0;x1;x 1

Rút gọn P ta có:

2 1

x P x





b)

2

x

P

    

Vậy với x và 1 x0;x   thì 1 P1

c) Ta có:

 

Khi x 1;x  Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 1 0.

1

1

x

x

 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x Vậy GTNN của P bằng 42.  x 2

Bài 6.

a) Chứng minh được   µ µ

1 1

Lại có: µ ¶ 0 µ ¶ 0

1 2 90 1 2 90

b) Gọi K là trung điểm của CD Chứng mnh được tứ giác AECK là hình bình hành

suy ra AK / /CE

Gọi N là giao điểm của AK và DF DCM. có DK KCvà KN / /CM nên N là trung

điểm của DM Vì CM DM(câu a), KN / /CM KN DM

Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại A

Bài 7.

a) Chứng minh được: EAC  BAH c g c .  EC BH AEC ABH ,·  ·

Gọi K và O thứ tự là giao điểm của EC với BA và BH

Xét AEK và OBK có: ·AEK OBK AKE OKB· ;·  · EAK· BOK·

· 90 0

BOK

  Vậy EC BH

b) Ta có:

/ / ; ; / / ;

Mà EC BH và EC BH nên MI IN và MI IN

Vậy tam giác MIN vuông cân tại I