Giáo trình Vi tích phân 1 trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả năng tư duy chính xác và tính toán định lượng, cung cấp công cụ toán học cho các ngành khoa học kỹ thuật. Với các nội dung chính như Số thực và hàm số thực; hàm số liên tục; phép tính vi phân; ứng dụng của đạo hàm; phép tính tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Số thực
Tập hợp và ánh xạ
Trong toán học hiện đại, tập hợp là khái niệm nền tảng được xác định dựa trên các tính chất cơ bản, từ đó sử dụng các quy tắc suy luận rõ ràng để xây dựng các kết quả mới Các tính chất và quy tắc này đã được giới thiệu và học tập từ chương trình trung học, đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết toán học.
Tập hợp có thể được hiểu là một nhóm các đối tượng có đặc điểm chung, trong đó các đối tượng này gọi là phần tử của tập hợp đó Điều này giúp chúng ta tổ chức, phân loại và xác định các đối tượng dựa trên các tính chất chung của chúng Sử dụng khái niệm tập hợp là nền tảng trong toán học để phân tích và xử lý các tập hợp dữ liệu một cách hệ thống.
Trong toán học, ký hiệu x ∈ A được sử dụng để biểu thị rằng x là một phần tử của tập hợp A, đọc là “x thuộc A” Ngược lại, nếu x không phải là phần tử của A, người ta sử dụng ký hiệu x /∈ A để biểu thị rằng “x không thuộc A” Tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là ∅ Để mô tả một tập hợp, người ta thường sử dụng hai cách chính: liệt kê các phần tử hoặc mô tả đặc điểm chung của các phần tử đó.
Tập hợp các phần tử của một tập hợp có thể được liệt kê rõ ràng, ví dụ như tập hợp A chứa đúng 4 phần tử x, y, z và t được viết là A = {x, y, z, t} Ngoài ra, ví dụ về tập hợp B gồm các ngày trong tuần có thể được biểu diễn là B = {Thứ hai, Thứ ba, Thứ tư, Thứ năm, Thứ sáu, Thứ bảy, Chủ nhật} Việc liệt kê các phần tử giúp xác định rõ nội dung của tập hợp và thuận tiện cho các phép toán trên tập hợp trong toán học.
B ={thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật}.
Cách này thường được dùng để mô tả các tập hợp có ít phần tử.
Trong toán học tập hợp, các phần tử của tập hợp đó đều có những tính chất đặc trưng, chỉ các phần tử sở hữu tính chất đó mới thuộc về tập hợp Nếu giả sử tập hợp A gồm các phần tử có tính chất P, ta viết A = {x | P}, thể hiện rõ nghĩa của tập hợp là tất cả các phần tử thỏa mãn tính chất P Đây là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tập hợp giúp xác định và mô tả các phần tử dựa trên đặc điểm chung của chúng Việc xác định tính chất của phần tử và cách biểu diễn tập hợp theo dạng {x | P} giúp việc phân tích và áp dụng trong các lĩnh vực khoa học dữ liệu, toán học và logic trở nên dễ dàng hơn.
Ví dụ tập hợpC gồm các sinh viên năm nhất học môn Vi tích phân 1 có thể được viết là:
C={sinh viên năm nhất|học môn Vi tích phân 1}.
Phương pháp này thường được sử dụng để mô tả các tập hợp có nhiều phần tử một cách trực quan và dễ hiểu Để biểu diễn một tập hợp một cách sinh động, chúng ta có thể sử dụng biểu đồ, như hình minh họa trong Hình 1.1.1 Việc trình bày tập hợp qua biểu đồ giúp dễ dàng nhìn thấy các phần tử cũng như quan hệ giữa chúng, hỗ trợ trong quá trình phân tích và học tập về lý thuyết tập hợp.
Hình 1.1.1: Biểu đồ biểu diễn tập hợp chứa4phần tử.
Nếu mọi phần tử của tậpA cũng là phần tử của tậpB thì ta nói Alà tập con củaB và kí hiệu A⊂B.
Ví dụ 1.1.1 Cho A={x, y, z} vàB ={x, y, z, t} thìA⊂B.
Nếu mỗi phần tử của tập hợp A đều thuộc về tập hợp B và ngược lại, nghĩa là tất cả các phần tử của A đều nằm trong B và tất cả các phần tử của B đều nằm trong A, thì ta nói rằng tập hợp A và tập hợp B bằng nhau hoặc trùng nhau Kí hiệu để biểu thị sự bằng nhau của hai tập hợp là A = B Điều này đảm bảo tính tương đương về phần tử giữa hai tập hợp, thể hiện rằng chúng chứa chính xác cùng các phần tử Việc nhận diện hai tập hợp bằng nhau là khái niệm quan trọng trong toán học, giúp xác định sự đồng nhất giữa các tập hợp trong các bài toán và nghiên cứu.
Các phép toán trên tập hợp
Hợp hayhộicủa hai tập hợp Avà B là tập hợp gồm tất cả các phần tử của A và tất cả các phần tử củaB, kí hiệuA∪B Vậy x∈A∪B ⇐⇒ (x∈Ahoặc x∈B).
Ví dụ 1.1.2 Cho A={a, b, x, z} vàB ={a, c, x, y} thìA∪B={a, b, c, x, y, z}.
Giao của hai tậpA vàB là tập hợp gồm tất cả các phần tử của A mà cũng là phần tử của B, kí hiệuA∩B Vậyx∈A∩B ⇐⇒ (x∈A vàx∈B).
Ví dụ 1.1.3 Cho A={a, b, x, z} vàB ={a, c, x, y} thìA∩B={a, x}.
Hiệu của tậpA và tậpB là tập gồm tất cả các phần tử của Amà không thuộc
Ví dụ 1.1.4 Cho A={a, b, x, z} vàB ={a, c, x, y} thìA\B ={b, z}.
NếuA⊂E thìE\A được gọi làphần bùcủaA trong E.
Ví dụ 1.1.5 Cho A={a, b, x, z} vàE ={a, b, c, x, y, z}thì E\A={c, y}.
Tích của tập hợpA với tập hợpB là tập hợp gồm tất cả các cặp có thứ tự(x, y) với x∈A vày∈B, kí hiệuA×B Vậy(x, y)∈A×B ⇐⇒ (x∈Avà y∈B).
Trong ví dụ 1.1.6, với A={a, b} và B={x, y}, ta có tích Cartesian A×B={(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} Ánh xạ là khái niệm quan trọng trong lý thuyết tập hợp, mô tả mối quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp Cụ thể, ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một phép liên kết mỗi phần tử x trong X với một phần tử y duy nhất trong Y, ký hiệu là f :X→Y, x→y=f(x) Tập X được gọi là tập nguồn hoặc miền xác định của ánh xạ, còn tập Y là tập hợp đích Trong quá trình ánh xạ, y được gọi là ảnh của x, và x là tiền ảnh của y, giúp làm rõ mối liên hệ giữa các phần tử của hai tập hợp trong các ứng dụng toán học và thống kê.
Ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f, còn gọi là ảnh của A quaf, là tập hợp tất cả các giá trị hình ảnh của các phần tử trong A dưới ánh xạ f, được ký hiệu là f(A) Đồng thời, ảnh của miền xác định X chính là miền giá trị của ánh xạ f, được ký hiệu là f(X) Các khái niệm này giúp hiểu rõ hơn về cách ánh xạ chuyển đổi các phần tử từ miền xác định sang tập hợp giá trị, là nền tảng quan trọng trong toán học và lý thuyết ánh xạ.
ChoB là tập con bất kì củaY, ta gọi tập hợp các tiền ảnh của các phần tử trong
B qua ánh xạf là tiền ảnh của B quaf và được kí hiệu bởi f −1 (B).
Một ánh xạ được gọi là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau trong tập xác định luôn có hai ảnh khác nhau trong tập mục tiêu Cụ thể, điều này được biểu diễn bằng ký hiệu: với mọi x₁, x₂ ∈ X, nếu x₁ ≠ x₂ thì f(x₁) ≠ f(x₂) Tức là mỗi phần tử trong tập xác định sẽ ánh xạ tới một phần tử duy nhất trong tập mục tiêu, đảm bảo tính phân biệt của ánh xạ.
Một ánh xạ (hàm số) được gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử của tập đích đều có tiền ảnh trong tập xác định, nghĩa là hình ảnh của tập xác định là bằng tập đích (f(X) = Y) Điều này đảm bảo rằng mỗi phần tử trong tập đích đều có ít nhất một phần tử trong tập xác định ánh xạ tới nó Trong khi đó, một ánh xạ là song ánh nếu nó vừa là một đơn ánh (không có hai phần tử trong tập xác định ánh xạ tới cùng một phần tử trong tập đích) vừa là toàn ánh Các khái niệm này cực kỳ quan trọng trong lý thuyết hàm số và toán học, góp phần xác định tính chất của các hàm số trong các lĩnh vực nghiên cứu khác nhau.
Hình 1.1.2: Biểu đồ minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Trong toán học, giả sử f : X → Y là một song ánh, thì với mỗi y ∈ Y, tồn tại duy nhất một x ∈ X sao cho f(x) = y Ánh xạ ngược của f, được xác định bởi g(y) = x, gọi là ánh xạ nghịch đảo của f và thường ký hiệu là f⁻¹ Ánh xạ này tạo ra một mối liên hệ đảo ngược giữa tập X và tập Y, đảm bảo tính chất khôi phục giá trị ban đầu của hàm f Xem Hình 1.1.3 để hình dung rõ hơn về mối liên hệ của ánh xạ ngược.
Cho ánh xạ f :X→Y vàg:Y →Z thìánh xạ hợp g◦f được định nghĩa bởi g◦f :X→Z,(g◦f)(x) =g(f(x)).
Hình 1.1.3: Biểu đồ minh họa ánh xạ ngược.
Vài quy tắc suy luận toán học
Toán học phát triển dựa trên các khái niệm và tiên đề cơ bản, từ đó suy diễn ra các quy tắc nhằm tạo ra những kết quả mới một cách logic và chính xác Nhờ cách tiếp cận này, các lý luận trong toán học có tính chặt chẽ và rõ ràng hơn so với nhiều lĩnh vực khác của con người Chình vì vậy, toán học đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc và đảm bảo tính khách quan của các kết quả nghiên cứu.
Trong toán học, các kết quả được trình bày như những mệnh đề rõ ràng, mỗi mệnh đề chỉ mang một trong hai giá trị: đúng hoặc sai Điều này đảm bảo tính logic chặt chẽ của toán học, vì không có chỗ cho mâu thuẫn hoặc mệnh đề vừa đúng vừa sai Chính vì vậy, toán học duy trì tính nhất quán và không chấp nhận các mệnh đề mâu thuẫn để đảm bảo độ chính xác của các kết quả.
Với mệnh đề A thì mệnh đề đúng khi và chỉ khiA sai được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đềA, thường được kí hiệu làA.
Ví dụ 1.1.7 Phủ định của mệnh đề x∈Alà mệnh đề x /∈A.
Trong logic, mệnh đề "A hay B" đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề A hoặc B đúng, phản ánh tính liên kết hoặc lựa chọn giữa các yếu tố Phủ định của mệnh đề này là "không A và không B", nghĩa là không có điều nào trong A hoặc B xảy ra, giúp xác định rõ trạng thái đúng hoặc sai của các điều kiện liên quan Hiểu rõ mối quan hệ giữa các mệnh đề này giúp nâng cao khả năng phân tích logic và xây dựng các câu luận cứ chặt chẽ trong lập trình, toán học và các lĩnh vực liên quan.
Mệnh đề “A và B” chỉ đúng khi cả hai A và B đều đúng, đảm bảo tính chính xác của cả hai điều kiện cùng lúc Phủ định của mệnh đề này là “Không A hoặc Không B”, có nghĩa là ít nhất một trong hai điều kiện A hoặc B không xảy ra Việc hiểu rõ mệnh đề “A và B” và cách phủ định giúp nâng cao khả năng phân tích logic trong lập luận, đặc biệt trong các lĩnh vực như toán học và lập trình Áp dụng quy tắc này giúp kiểm tra tính đúng đắn của các mệnh đề phức tạp, tối ưu hóa quá trình ra quyết định dựa trên các điều kiện logic.
Giả sử mỗi phần tử x thuộc tậpD tương ứng với một mệnh đềT(x) Mệnh đề
∃x∈D, T(x) nghĩa là tồn tại phần tửx thuộcD mà mệnh đề T(x) là đúng 1 Phủ định của mệnh đề này là∀x∈D, T(x), nghĩa là với mọi phần tửxthuộcDthì mệnh đề T(x) là sai.
Mệnh đề∀x∈D, T(x)nghĩa là với mọi phần tử x thuộcDthì mệnh đềT(x)là
Kí hiệu ∃ (tiếng Anh là Exists) thể hiện ý nghĩa "tồn tại", diễn đạt rằng có ít nhất một phần tử trong tập D mà thoả mãn mệnh đề T(x) Phủ định của mệnh đề này là ∃x ∈ D, T(x), có nghĩa là tồn tại ít nhất một phần tử x thuộc tập D sao cho mệnh đề T(x) sai Điều này giúp hiểu rõ hơn về cách biểu diễn các mệnh đề trong logic toán học và liên quan đến khái niệm về sự tồn tại của phần tử trong tập D.
Suy diễn và chứng minh
Mệnh đề “A dẫn tớiB” hay “A suy raB”, kí hiệu là A⇒B, là đúng khi và chỉ khi
Mệnh đề "A đúng và B đúng, hoặc A sai" chỉ sai khi A đúng và B sai Theo nguyên tắc logic, nếu xuất phát từ một giả thiết đúng và qua một suy luận đúng thì kết luận chắc chắn đúng; ngược lại, từ một giả thiết sai, dù suy luận đúng đi nữa, kết quả thu được vẫn có thể sai Do đó, việc kiểm tra tính đúng đắn của giả thiết và suy luận là rất quan trọng để đảm bảo kết luận chính xác trong luận lý học.
Hai mệnh đề “Adẫn tới B” và “B dẫn tớiA” thì A vàB có cùng tính đúng sai, hay là “tương đương”, kí hiệu làA ⇐⇒ B.
Phủ định của “A dẫn tới B” là “A và không B”, mang ý nghĩa “có A nhưng không có B” Lưu ý rằng mệnh đề A ⇒ B không cùng tính đúng sai với mệnh đề đảo của nó là B ⇒ A, và không hoàn toàn tương đương với chính nó Thay vào đó, nó cùng tính đúng sai với mệnh đề phản đảo của nó là B ⇒ A, tức là nếu không có B thì không có A.
Ví dụ 1.1.8 Mệnh đề “học chăm chỉ thì đạt môn Vi tích phân” tương đương với
Rớt môn Vi tích phân không đơn thuần phản ánh việc học không chăm chỉ, bởi vì không phải ai chăm chỉ cũng đều thành công trong môn học này Thực tế, có những người học rất chăm chỉ nhưng vẫn gặp khó khăn và rớt môn Vi tích phân Do đó, việc thất bại trong môn học không hoàn toàn phụ thuộc vào thái độ học tập, mà còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác như phương pháp học, khả năng tư duy, và sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức.
Mệnh đề “nếu x= 2thì x 2 = 4” tương đương với “nếu x 2 ̸= 4thì x̸= 2”, không tương đương với “nếux̸= 2 thìx 2 ̸= 4”.
Chứng minh trong toán học là quá trình xác nhận một mệnh đề bằng cách trình bày một dãy các suy luận logic từ các mệnh đề đã được chứng minh trước đó để chứng minh mệnh đề đó đúng Khi chứng minh mệnh đề dạng ∀x∈D, T(x), ta phải chứng minh rằng T(x) đúng với tất cả các x trong miền D; ngược lại, chỉ cần có một ví dụ x ∈ D làm cho T(x) sai để khẳng định rằng mệnh đề này sai Thuật ngữ “chứng minh” yêu cầu phải kiểm tra mọi trường hợp có thể xảy ra trước khi kết luận một điều gì đó là đúng hay sai trong toán học.
Tập hợp các số nguyên
Qua quá trình phát triển qua thời gian, con người đã dần hình thành các khái niệm về số lượng để mô tả thế giới xung quanh Trong đó, tập hợp các số tự nhiên đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng của toán học và giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các hiện tượng tự nhiên Nhờ các số tự nhiên, chúng ta có thể đếm, đo lường và phân loại các đối tượng một cách chính xác, từ đó phát triển các khái niệm và phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu quả hơn.
Tập hợp số tự nhiên \(N = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}\) hình thành trong quá trình phát triển của phép đếm, đóng vai trò là cơ sở chính trong các hoạt động đếm trong đời sống hàng ngày Nhờ vào tập hợp này, việc xác định và đếm các đối tượng trở nên chính xác và dễ dàng hơn Dần dần, do nhu cầu mở rộng của các phép tính và ứng dụng trong thực tế, tập hợp các số tự nhiên đã được mở rộng thành tập hợp số nguyên \(Z\), bao gồm cả số âm, số dương và số không, phục vụ cho các phép toán phức tạp hơn trong toán học và đời sống.
2 kí hiệu ∀ (tiếng Anh là for All) nghĩa là với mọi
1.1 SỐ THỰC 9 số nguyên, bao gồm các số nguyên dương và các số nguyên âm, cùng với số không 0:
Tập hợp các số nguyên dương được kí hiệu là Z + :
Các tiên đề về số nguyên được giới thiệu vào cuối thế kỷ 19, khẳng định sự tồn tại duy nhất của tập hợp các số nguyên, gồm các phần tử đặc biệt như 0, 1, và các phép toán cộng, trừ, nhân cùng các phép so sánh, tất cả đều thỏa mãn các tính chất quen thuộc từ toán học phổ thông Tập hợp các số nguyên đi kèm khái niệm về “vô hạn”, trong đó, một tập hợp được coi là hữu hạn nếu có thể đếm được bằng các số nguyên từ 1 đến một số nguyên dương cụ thể; ngược lại, nếu không thể đếm hết thì gọi là vô hạn, bao gồm tập hợp các số tự nhiên và số nguyên Để kiểm tra tính đúng đắn của một tính chất đối với mọi số tự nhiên, ta sử dụng phép qui nạp toán học, một phương pháp chính xác giúp mở rộng các kết quả từ các trường hợp riêng lẻ Phương pháp này dựa trên nguyên tắc rằng, nếu một mệnh đề đúng với số nguyên đầu tiên và đúng với số nguyên tiếp theo khi mệnh đề đúng với một số nguyên cho trước, thì mệnh đề đó đúng với tất cả các số nguyên dương.
Mệnh đề 1.1.9, còn gọi là Phép qui nạp, giải thích cách chứng minh tính đúng đắn của các phát biểu liên quan đến số tự nhiên Giả sử n₀ là một số tự nhiên cố định, và với mỗi số n ≥ n₀, mệnh đề T(n) phụ thuộc vào giá trị của n Để áp dụng phép qui nạp, cần xác nhận rằng T(n₀) đúng và sau đó chứng minh rằng nếu T(n) đúng với mọi n ≥ n₀, thì T(n+1) cũng đúng Quá trình này giúp xác lập tính đúng đắn của mệnh đề cho tất cả các số tự nhiên bắt đầu từ n₀ trở đi.
(b) với mọi số tự nhiênk≥n 0 , nếu T(k) là đúng thìT(k+ 1) là đúng, thìT(n) là đúng với mọi số tự nhiên n≥n 0
Ví dụ 1.1.10 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dươngn thìn p > M Vậy ta kết luận được dãy (a n )tiến ra vô cùng Ta thường viết ngắn gọn hơn, n→∞lim n=∞.
Thực vậy, choM ∈Rbất kì, ta có n 2 > M ⇐⇒ n >
Như vậy lấyp là một số nguyên lớn hơn√
M thì khin≥p sẽ dẫn tớin >√
M và do đón 2 > M Vậy theo định nghĩa ta được kết luậnlimn→∞n 2 =∞.
Ghi chú 1.1.26 Các khái niệm “vô cùng”, “vô cực”, “vô hạn”, và các kí hiệu∞ và
−∞không phải là các số thực Chúng được dùng để miêu tả những quá trình giới hạn.
Vài kết quả về dãy hội tụ
Hàm số
Đồ thị Đường thẳng
Trong môn học này, chúng ta áp dụng phương pháp Hình học Giải tích do René Descartes giới thiệu từ thế kỷ 17 để mô hình hóa các hình học phẳng và không gian Phương pháp này sử dụng tập hợp các số thực R để biểu diễn đường thẳng và tập hợp R² để mô hình hóa mặt phẳng, giúp mô tả các quan hệ trong Hình học một cách chính xác hơn Nhờ đó, các quan hệ trong Hình học Euclid được thể hiện rõ ràng thông qua các mối liên hệ giữa các số thực, tạo nền tảng vững chắc cho việc nghiên cứu và ứng dụng Hình học Giải tích.
Cho hàm sốf :D⊂R→R Đồ thị của hàmf là tập hợp tất cả các điểm(x, y) trong mặt phẳngR 2 vớix∈D vày=f(x).
Ví dụ 1.2.2 Đồ thị của hàmf(x) =x 2 ,x∈Rlà tập hợp điểm{(x, y)∈R 2 |y=x 2 } trongR 2
Trong hình học phẳng R², một đường thẳng có thể được biểu diễn dưới dạng hàm số y = ax + b hoặc là tập hợp các điểm thỏa mãn x = c, với a, b, c là các hằng số thực Hệ số góc của đường thẳng, hay còn gọi là độ nghiêng hoặc độ dốc, được xác định bởi tham số a trong dạng y = ax + b, giúp mô tả hướng của đường thẳng Tuy nhiên, khái niệm hệ số góc không được áp dụng cho đường thẳng đứng x = c, vì đặc điểm của nó không phù hợp với phương trình dạng hàm số.
Các hàm số dạng y = ax + b thường được gọi là hàm số tuyến tính Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ (x₀, y₀) và (x₁, y₁) trên đường thẳng không thẳng đứng được tính bằng công thức a = (y₁ − y₀) / (x₁ − x₀), không phụ thuộc vào cách chọn điểm trên đường thẳng Công thức này phản ánh tính chất của hình học Euclid, cho phép xác định nhanh hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm đã cho.
Ví dụ 1.2.3 Hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm (4,6)và(0,7)là 7−6 0−4 =− 1 4
Hai đường thẳng được gọi là song songnếu chúng khác nhau nhưng có cùng một hệ số góc hoặc cùng thẳng đứng.
Ví dụ 1.2.4 minh họa mối quan hệ tuyến tính giữa nhiệt độ theo đơn vị Celsius (°C) và Fahrenheit (°F) Cụ thể, vào 0°C thì nhiệt độ tương đương với 32°F, cho thấy mức độ chuyển đổi nhiệt độ giữa hai hệ đơn vị này có mối liên hệ rõ ràng và dễ dự đoán Hiểu rõ mối quan hệ này giúp chúng ta dễ dàng chuyển đổi nhiệt độ giữa hai đơn vị, đặc biệt trong các ứng dụng khoa học và kỹ thuật.
Hàm số tuyến tính thể hiện tính thẳng, mang đặc điểm đặc trưng của các hàm số dạng y = ax trong toán học Trong môn Vi tích phân, thuật ngữ hàm số tuyến tính có ý nghĩa khác so với trong môn Đại số tuyến tính, nơi chỉ các hàm dạng y = ax mới được xếp vào loại tuyến tính Việc hiểu đúng về khái niệm này giúp nâng cao kiến thức về các dạng hàm số và ứng dụng của chúng trong toán học.
Hệ số góc của đường thẳng không phụ thuộc vào cách chọn hai điểm để tính, phù hợp với tính chất của tam giác đồng dạng trong hình học Euclid Nhiệt độ sôi của nước là 100 °C hoặc 212 °F Để xác định phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa độ Celsius và độ Fahrenheit, ta xem xét đường thẳng đi qua hai điểm (0, 32) và (100, 212) Hệ số góc của đường thẳng này được tính bằng công thức m = (212 - 32) / (100 - 0), giúp xác định chính xác sự chuyển đổi giữa hai đơn vị nhiệt độ này.
5. Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ Celsius tăng1 ◦ thì nhiệt độ Fahrenheit tăng 9 5 ◦ Vậy y−32 x−0 = 9
Hàm số sơ cấp
Người đọc đã quen thuộc với môn Lượng giác trong chương trình trung học, với các tính chất của hàm lượng giác đã được học Môn Hình học và Lượng giác ra đời từ trước Công nguyên, trong khi Vi tích phân chỉ mới phát triển từ thế kỷ 19 dựa trên tập hợp số thực, khiến một số kết quả trong Hình học và Lượng giác chưa hoàn toàn phù hợp với hệ suy luận của Vi tích phân Các khái niệm như “góc” giữa hai đường thẳng chưa được định nghĩa từ tập hợp số thực, và việc đưa hàm lượng giác vào khuôn khổ Vi tích phân thường phức tạp, không phù hợp với mục tiêu của bài học này Tuy nhiên, các tính chất đặc biệt của hàm lượng giác như sin và cos là hàm số xác định trên R, có dải giá trị trong [-1,1], đồng thời là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π Trong đó, ta có các công thức quan trọng như cos(x−y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) và phương trình cơ bản cos²(x) + sin²(x) = 1, giúp vận dụng hiệu quả trong các ứng dụng toán học.
Vớix∈(0, π 2 ) thìcoslà hàm giảm,sin là hàm tăng. tan = cos sin ,cot = tan 1
Vớix∈(0, π 2 ) thìsinx < x 0 và m ∈ Z, n ∈ Z+, thì x^{m/n} được định nghĩa là (√n x)^m, đảm bảo tính nhất quán trong phép tính các lũy thừa có phân số Trong trường hợp x > 0 và r ∈ Q, x^r đã được xác định rõ ràng, còn đối với x ∈ R, việc định nghĩa phép nhân lũy thừa theo phân số cần được xây dựng qua quá trình giới hạn, dựa trên phương pháp xấp xỉ số thực bằng số hữu tỉ, nhằm đảm bảo tính khả nhất quán và chính xác của các phép toán liên quan đến căn bậc n.
Ví dụ 1.2.5 Có thể định nghĩa3
2 bằng cách lấy một dãy số hữu tỉ dương rnhội tụ về √
Vớir ∈Rcho trước thì hàm f(x) =x r được gọi là một hàm lũy thừa.
Vớia >0 vàa̸= 1cho trước thì hàmf(x) =a x được gọi là một hàm mũ Xem Hình 1.2.3.
Chúng ta có thể xây dựng hàm lũy thừa và hàm mũ một cách chặt chẽ, đảm bảo các tính chất như đã học ở trung học Người học quan tâm có thể tham khảo các tài liệu như [TPTT02] và các tài liệu liên quan đã đề cập trong phần Hàm lượng giác để hiểu rõ hơn về các đặc điểm và ứng dụng của hai hàm số này.
Hình 1.2.3: Đồ thị và dáng điệu của một số hàm mũ Chú ý sự khác nhau giữa trường hợp cơ số lớn hơn1 và trường hợp cơ số nhỏ hơn1.
Hàm mũa x có hàm ngược là hàm lô-ga-rít 7 cơ sốa, kí hiệu là log a Như vậy y=a x ⇐⇒ x= log a y.
Ví dụ 1.2.6 minh họa cách một đại lượng A thay đổi theo thời gian t, như dân số của một quần thể hoặc số tiền trong tài khoản Ban đầu, tại thời điểm t=0, lượng A là A(0) Sau mỗi đơn vị thời gian, lượng A tăng lên do lãi nhập vốn với tỷ lệ r, phản ánh tốc độ tăng như dân số hoặc lãi suất ngân hàng Lãi được cộng dồn vào lượng A trước đó, giúp xác định giá trị của A tại bất kỳ thời điểm t nào.
Sau 1 đơn vị thời gian thì giá trị củaAlà
Sau 2 đơn vị thời gian thì giá trị củaAlà
A(2) =A(1) +A(1)r=A(1)(1 +r) =A(0)(1 +r) 2 Sau 3 đơn vị thời gian thì giá trị củaAlà
1.2 HÀM SỐ 25 Đến đây ta có thể dự đoán công thức giá trị củaA saut đơn vị thời gian (cũng làtlần tính lãi nhập vốn) chính là
Các tính toán cho thấy chúng ta có thể dễ dàng xác minh tính đúng đắn của công thức này bằng phương pháp quy nạp toán học Đây là một ví dụ điển hình thể hiện rõ vai trò của hàm mũ trong các chứng minh toán học và ứng dụng thực tế Hàm mũ đóng vai trò quan trọng trong việc thể hiện các phép tính phức tạp một cách đơn giản và hiệu quả Việc sử dụng phương pháp quy nạp giúp chứng minh tính đúng đắn của công thức một cách logic và chặt chẽ, góp phần nâng cao hiểu biết về các hàm số trong toán học.
Hằng số e là một số thực vô tỉ quan trọng trong toán học, có giá trị gần bằng 2,71828 Đây là một số cơ bản được sử dụng trong các lĩnh vực như xác suất, tính toán tích phân và phần mềm toán học Hằng số e còn được định nghĩa bằng giới hạn của dãy số hữu tỉ, với công thức e = lim n→∞ (1 + 1/n)^n, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của số e trong toán học.
Hàm mũy=e x có hàm ngược được gọi là hàm lô-ga-rít tự nhiên, kí hiệu là ln 9 Xem Hình 1.2.4 Vậy y=e x ⇐⇒ x= lny.
Hình 1.2.4: Đồ thị và dáng điệu của hàm mũy=e x và hàm ngượcy= lnx
Các hàm sơ cấp gồm tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp của các hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm log, hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược Trong đó, các hàm sơ cấp phổ biến nhất là hàm đa thức và hàm phân thức (thương của hai đa thức) Những hàm này đóng vai trò nền tảng trong toán học, giúp xây dựng và phân tích các hàm phức tạp hơn Việc hiểu rõ các hàm sơ cấp là cực kỳ quan trọng trong việc nắm vững kiến thức về giải tích và ứng dụng trong đời sống, kỹ thuật, khoa học Optimizing các nội dung này theo chuẩn SEO giúp người đọc dễ dàng tìm kiếm và tiếp cận kiến thức một cách hiệu quả hơn.
Ký hiệu e có thể bắt nguồn từ tên của nhà toán học Euler, một trong những người đầu tiên sử dụng ký hiệu này, hoặc từ từ "exponent" (số mũ) Ngoài ra, e còn được gọi là hằng số Napier, tên của nhà toán học John Napier đã khám phá ra giá trị này Đây là một hằng số toán học quan trọng trong các lĩnh vực toán học và khoa học, đặc biệt trong tính toán lũy thừa và hàm số exponential.
Trong tiếng Anh, 9 là ký hiệu của logarithm tự nhiên (natural logarithm), thường được viết tắt là "ln" Tuy nhiên, một số tài liệu và phần mềm lại sử dụng ký hiệu "log" để chỉ hàm lô-ga-rít tự nhiên, gây nhầm lẫn trong quá trình học tập và áp dụng Hàm căn thức, hay còn gọi là hàm căn bậc hai, là một khái niệm toán học quan trọng liên quan đến tính chất và ứng dụng của các phép toán căn thức trong các bài toán toán học, kỹ thuật và khoa học Việc hiểu rõ các ký hiệu và tính chất của hàm logarithm tự nhiên giúp người học nắm vững kiến thức nền tảng toán học một cách chính xác và hiệu quả.
Ví dụ 1.2.7 Hàm mũf(x) =e x cùng với hàmg(x) = sinxcho hàm hợp(f◦g)(x) f(g(x)) =e sin x và (g◦f)(x) =g(f(x)) = sine x Đây là những hàm sơ cấp.
1.2.1 Viết phương trình đường thẳng có tính chất dưới đây:
(a) có hệ số góc là 2và giao với trụcOytại (0,3)
(b) có hệ số góc là−3 và giao với trụcOy tại(0,0)
(c) có hệ số góc là 4và đi qua điểm(1,1)
(d) có hệ số góc là−2 và đi qua điểm(2,−2)
(e) đi qua các điểm(2,3)và(4,5)
(f) đi qua các điểm(2,−4)và(0,3)
(g) đi qua hai điểm(0,8)và(8,0)
(h) có hệ số góc là−1, có giao điểm với trụcOylà(0,−2)
(i) có hệ số góc là−1, đi qua điểm(−4,−4)
(j) đi qua điểm(2,1) song song với đườngy=−4x+ 3
(k) thẳng đứng và đi qua điểm (3,4)
(l) nằm ngang và đi qua điểm(−2,−3).
1.2.2 Giải thích các công thức sau:
1.2.3 Chứng minh các công thức sau:
1.2.5 Dân số nước Việt Nam năm 2019 là 97 triệu người Tốc độ tăng dân số hiện là 1% = 0,01mỗi năm Nếu tốc độ tăng này không thay đổi thì năm 2029 dân số nước Việt Nam sẽ là bao nhiêu?
1.2.6 Một người gởi3triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm với lãi suất6% = 0,06một năm, kì hạn (thời điểm tính lãi gộp vốn) là1năm Hỏi sau4năm thì tài khoản có bao nhiêu?Bao lâu thì người đó có được10triệu đồng?
1.2.7 Giá đất đai đã tăng gấp đôi trong 10 năm qua Trong thời gian đó lãi suất tiết kiệm ngân hàng vào khoảng8%/năm Hình thức nào có lợi hơn, đầu tư đất đai hay gởi tiết kiệm?
1.2.8 Năm 2016 GDP (tổng sản phẩm xã hội - Gross Domestic Product) của Việt Nam là
Trong năm 2016, GDP của Thái Lan đạt 409 tỷ USD và tăng trưởng trung bình 2,8% mỗi năm Trong khi đó, giá trị của 215 tỷ USD hiện tại tăng với tốc độ 6,7% mỗi năm, cho thấy sự khác biệt rõ rệt về tốc độ tăng trưởng của hai mức dữ liệu này Giả sử cả hai tỷ lệ tăng trưởng này được duy trì trong tương lai, chúng ta có thể dự đoán rằng giá trị 215 tỷ USD sẽ tiếp tục tăng nhanh hơn so với GDP của Thái Lan Điều này phản ánh xu hướng tích cực trong lĩnh vực đầu tư hoặc giá trị của các tài sản có tốc độ tăng trưởng cao trong nền kinh tế.
(a) Khi nào thì GDP của Việt Nam đạt GDP năm 2016 của Thái Lan?
(b) Khi nào thì GDP của Việt Nam đuổi kịp GDP của Thái Lan?
(c) Hãy phác họa đồ thị GDP của hai nước trên cùng hệ trục tọa độ.
1.2.9 Một quần thể vi khuẩn có 100cá thể và tăng gấp đôi mỗi3 giờ Hãy lập mô hình số lượng của quần thể theo thời gian Khi nào thì số vi khuẩn đạt1000?
1.2.10 Dùng máy tính, hãy thử tínhln(e 100 ), và nhận xét.
Giới hạn của hàm số
Tiếp tuyến Vận tốc Tỉ lệ thay đổi
Các vấn đề về hàm số, giới hạn hàm số và tính liên tục của hàm số đã được giới thiệu trong chương trình trung học phổ thông Trong bài học này, chúng ta sẽ đi sâu vào tìm hiểu các định nghĩa chính xác và các định lý quan trọng liên quan đến các khái niệm này để nắm vững kiến thức nền tảng về toán học.
Trước khi đi vào định nghĩa chính xác về giới hạn hàm số, chúng ta sẽ xem xét các bài toán liên quan như bài toán tiếp tuyến và bài toán vận tốc để làm động lực và hiểu rõ hơn về khái niệm này.
Trong hình 2.1.1 (a), tiếp tuyến của đường tròn được hiểu là đường thẳng giao với đường tròn tại đúng một điểm Tuy nhiên, đối với các đường cong phức tạp hơn, cách tiếp cận này không còn phù hợp Hình 2.1.1 (b) minh họa hai đường thẳng l và t qua một điểm P trên đường cong C, trong đó l giao với C đúng một điểm nhưng không phải là tiếp xúc thực sự, còn t có vẻ như tiếp xúc nhưng lại cắt C tại hai điểm, cho thấy sự khác biệt giữa tiếp tuyến và đường thẳng cắt.
Hình 2.1.1 Như vậy khái niệm “tiếp tuyến” tuy quen thuộc và dễ hình dung trong một số
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 29 trường hợp, lại chưa có ý nghĩa rõ ràng trong một số trường hợp khác.
Dưới đây ta xét một ví dụ để tìm hiểu khái niệm này.
Ví dụ 2.1.1 Tìm phương trình đường tiếp tuyến cho parabol y = x 2 tại điểm
Để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm P trên parabol, ta chọn điểm Q(x, x²) gần điểm P Hệ số góc của đường thẳng cát tuyến qua điểm P và Q được tính bằng công thức m_PQ = (x² - 1) / (x - 1) Đây là bước quan trọng giúp xác định hệ số góc của đường tiếp tuyến dựa trên xấp xỉ của điểm Q gần P, từ đó hình thành nền tảng cho việc tìm đạo hàm của hàm số parabola.
Từ hình vẽ ta thấy khiQ càng gầnP,xcàng gần 1thì hệ số góc càng gần tới một số thực nhất định.
Bây giờ ta có thể đoán rằng hệ số góc của tiếp tuyến tạiP là 2, là “giới hạn” của hệ số góc của đường cát tuyếnP Qkhi Qtiến về P.
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến đúng thực là2 thì phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng2 đi qua điểm (1,1)là y−1 = 2(x−1) hay là y= 2x−1.
Như vậy ý then chốt là: tiếp tuyến tại P chính là “giới hạn” của cát tuyếnP Q khi “Q tiến vềP” Xem minh họa ở Hình 2.1.3
Khi chúng ta di chuyển, vận tốc thay đổi theo thời gian, phản ánh sự biến đổi của tốc độ trong quá trình vận động Vận tốc được hiểu là tỷ số giữa quãng đường đi được và khoảng thời gian để hoàn thành quãng đường đó, tức là vận tốc trung bình Trên một chiếc xe, bảng đo vận tốc giúp chúng ta dễ dàng nhận biết tốc độ hiện tại của phương tiện, cung cấp thông tin quan trọng để điều chỉnh hành trình một cách an toàn và hiệu quả.
Hình 2.1.3: Tiếp tuyến tại P là giới hạn của cát tuyến P QkhiQ tiến vềP từ bên phải và từ bên trái.
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 31 thấy nó liên tục thay đổi, mỗi khi ta nhìn đồng hồ đo vận tốc thì thấy có vận tốc nhất định Đây chính làvận tốc tức thời, một khái niệm phổ biến trong đời sống. Nhưng vận tốc tức thời đó được hiểu chính xác như thế nào?
Ví dụ 2.1.2 Giả sử một quả bóng được thả rơi từ một vị trí cách mặt đất1000 mét Gọis(t) là quãng đường bóng rơi sautgiây, thì s(t) = 1
2 ã9,8t 2 , với 9,8 m/s 2 là hằng số trọng trường Ta tìm vận tốc của quả bóng sau5 giây.
Vận tốc tức thời có thể được ước lượng bằng cách tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ 5 đến 5,1 giây Công thức tính vận tốc trung bình là tổng quãng đường đã đi chia cho thời gian trôi qua, cụ thể là (s(5,1) − s(5)) / (5,1 − 5) Phương pháp này giúp xác định vận tốc của vật thể một cách chính xác trong một khoảng thời gian ngắn.
Bảng dưới cho ta tính toán vận tốc trung bình trên khoảng thời gian nhỏ dần:
Khoảng thời gian Vận tốc trung bình
Khi khoảng thời gian ngắn trôi qua, vận tốc trung bình tiến gần hơn đến 49 m/s, cho thấy sự gia tăng ổn định của tốc độ Do đó, ta dự đoán vận tốc tức thì vào thời điểm 5 giây sau khi bắt đầu chuyển động cũng gần bằng 49 m/s, phản ánh đặc điểm của chuyển động đều hoặc gần đều.
Như vậy “vận tốc tức thời” tại thời điểm tchính là “giới hạn” của vận tốc trung bình trên khoảng thời gian từt tớit ′ khi t ′ “tiến về” t.
Cả hai bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến và tìm vận tốc tức thời đều được đưa về cùng một vấn đề: xác định giới hạn của biểu thức (f(x)−f(a))/(x−a) khi x tiến về a Đây chính là tỷ lệ thay đổi của hàm số f(x) so với biến x tại một điểm cụ thể a, phản ánh cách mà f(x) biến đổi khi x thay đổi Đạo hàm là đại lượng quan trọng nhất trong phép tính vi tích phân, và để hiểu rõ khái niệm này, chúng ta cần nắm vững khái niệm giới hạn, sẽ được giới thiệu và xây dựng ngay sau đây.
Giới hạn của hàm số
Ý niệm về giới hạn và hội tụ đã xuất hiện từ thời cổ đại, như Archimedes của Hy Lạp đã sử dụng ý tưởng rằng chiều dài của đường tròn có thể được xác định bằng giới hạn của chu vi hình đa giác đều nội tiếp khi số cạnh của nó tăng lên.
Giả sử hàm số f(x) xác định khi x gần sốanhưng có thể không xác định tạia.
Ta nói “giới hạn của f(x) khix tiến về alà L”, nếuf(x)gần Ltùy ý miễnx đủ gần anhưng không bằng a, và viết x→alimf(x) =L.
Trong nhiều trường hợp khái niệm giới hạn có thể được diễn tả đơn giản hơn tuy kém tổng quát hơn: nếu xgần tới ahơn thìf(x) gần tớiL hơn.
Ví dụ 2.1.3 Hàm số f là hàm hằng, nghĩa là f(x) luôn bằng một hằng số c với mọi x ∈ R Khi x tiến gần tới a, f(x) cũng tiến gần tới c, thậm chí luôn bằng c Do đó, giới hạn của f(x) khi x tiến tới a chính là c, ta viết ngắn gọn là lim x → a f(x) = c.
Ví dụ 2.1.4 Chof(x) =x với mọi x∈R Rõ ràng, với mọi a∈R, khi xgần tớia thìf(x) =x cũng gần tớia Vậy x→alimx=a.
Trong khái niệm giới hạn, cần lưu ý rằng giả thiết x̸=a được đặt ra để cho phép xét các giới hạn tại các điểm mà hàm không xác định Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính liên tục của hàm số và xác định giới hạn tại những điểm đặc biệt, như minh họa trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 2.1.5 Xét x→1lim x−1 x 2 −1. Khi xgần 1 nhưng khác 1ta có x−1 x 2 −1 = 1 x+ 1, mặc dù hai vế không bằng nhau khix= 1 Do đó x→1lim x−1 x 2 −1 = lim x→1
Có thể dự đoán giá trị của giới hạn này là 1 2 , xem Hình 2.1.4.
Trong ví dụ trên, đã minh họa rõ ràng rằng khi tìm giới hạn của hàm số \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến \(a\), không cần xét giá trị của \(f(a)\) hoặc thậm chí hàm \(f\) có xác định tại \(a\) hay không Giới hạn tại điểm \(a\) phụ thuộc hoàn toàn vào cách \(f(x)\) tiếp cận điểm đó khi \(x\) gần \(a\), chứ không phụ thuộc vào giá trị của hàm tại \(a\) Điều này nhấn mạnh rằng, trong xác định giới hạn, điều quan trọng là hành vi của hàm số khi \(x\) tiến về \(a\), as shown in Hình 2.1.5.
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 33
Giới hạn của hàm số tại điểm x = a được biểu diễn bằng ký hiệu limₓ→ₐ f(x) = L trong ba trường hợp khác nhau, với dấu tròn rỗng thể hiện điểm không thuộc đồ thị Định nghĩa chính xác của giới hạn được trình bày rõ ràng qua ký hiệu, giúp thể hiện lượng hóa khái niệm giới hạn, mặc dù trừu tượng và phức tạp, nhưng rất cần thiết để xây dựng các lý luận toán học phức tạp hơn Một điểm a trong miền xác định D được gọi là điểm tụ hoặc điểm giới hạn của D nếu mọi khoảng mở chứa a đều chứa ít nhất một điểm khác của D, nghĩa là tồn tại dãy các phần tử của D hội tụ về a Điểm tụ của tập D không nhất thiết phải thuộc D, chỉ cần có phần tử của D gần a theo giới hạn.
Trong ví dụ 2.1.6, điểm 0 được xác định là một điểm tụ của tập R \ {0}, trong khi đó, điểm 0 không phải là một điểm tụ của tập hợp {0} ∪ (1, ∞) Định nghĩa 2.1.7 giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số, cho biết rằng hàm số f(x) có giới hạn c(L) khi tiến đến điểm tụ a của tập D, nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x trong D thỏa mãn điều kiện 0 < |x − a| < δ thì giá trị f(x) luôn nằm trong khoảng ε xung quanh L, nghĩa là |f(x) − L| < ε.
|f(x)−L|< ϵ Viết hoàn toàn bằng kí hiệu thì
Hình 2.1.6: Giới hạn của hàm số f. Định nghĩa này hay được gọi là “định nghĩa ϵ−δ” Sau đây là một số ví dụ để minh họa.
Ví dụ 2.1.8 Kiểm rằng lim x→2(2x−1) = 3.
Bước 1: Phân tích để dự đoán δ Cho trước ϵ >0, ta muốn tìm δ >0 sao cho nếu|x−2|< δthì|(2x−1)−3|< ϵ Vì |(2x−1)−3|=|2x−4|= 2|x−2|nên nếu
|(2x−1)−3|< δ thì2|x−2|0, chọnδ=ϵ/2 Nếu0 0 nào, ta tìm δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - 2| < δ thì |x² - 4| < ε Ta nhận thấy rằng |x² - 4| = |(x - 2)(x + 2)|, do đó, tập trung vào những x gần 2 để dễ dàng ước lượng, ta giả định |x - 2| < 1, tức là x nằm trong khoảng 1 đến 3, từ đó suy ra 3 < x + 2 < 5.
|x 2 −4|=|(x−2)(x+ 2)| 0\) sao cho với mọi \(x\) thoảng mãn \(a - \delta < x < a\), thì \(|f(x) - L| < \varepsilon\).
Trong toán học, giới hạn bên phải của hàm số f(x) tại điểm x = a được ký hiệu là limₓ→a⁺ f(x) và xác định mức độ mà giá trị của f(x) tiến tới giá trị L khi x tiến đến a từ phía bên phải Khi giá trị của f(x) càng gần L khi x đủ gần a từ phía bên phải, ta nói rằng giới hạn bên phải của hàm số tại điểm đó bằng L, viết là limₓ→a⁺ f(x) = L Việc xác định giới hạn bên phải giúp hiểu rõ hơn về cách hàm số hoạt động gần điểm x = a từ phía phải, đặc biệt trong các phân tích liên quan đến tính liên tục và sự hội tụ của hàm số.
Khi x > 0 ta có f(x) = 1, nên lim x→0 +f(x) = lim x→0 +1 = 1 Khi x < 0 ta có f(x) = 0, nên lim x→0 + f(x) = lim x→0 + 0 = 0.
Sau đây là một mệnh đề giúp ta nhận biết sự tồn tại giới hạn của một hàm số tại một điểm.
Mệnh đề 2.1.22 (a) Nếulimx→af(x)tồn tại và bằngLthì hai giới hạnlimx→a + f(x),lim x→a − f(x) nếu tồn tại phải bằngL.
(b) Nếu hai giới hạnlim x→a +f(x), lim x→a − f(x) tồn tại và bằngL thì limx→af(x) tồn tại và bằng L.
Hàm số không có giới hạn tại một điểm nếu không tồn tại giới hạn một bên tại điểm đó Ngoài ra, nếu cả hai giới hạn một bên đều tồn tại nhưng có giá trị khác nhau, thì hàm số cũng không có giới hạn tại điểm đó Điều này có nghĩa là để xác định giới hạn của hàm số tại một điểm, cần kiểm tra sự tồn tại của giới hạn một bên và sự phù hợp của chúng.
Chứng minh rằng nếu lim x→a f(x) = L và giới hạn hai phía tồn tại, tức là giới hạn từ bên trái và bên phải đều bằng L, thì theo định nghĩa giới hạn, ta có ngay lim x→a− f(x) = L và lim x→a+ f(x) = L.
Giả sử lim x→a− f(x) = L và lim x→a+ f(x) = L, nghĩa là giới hạn trái và phải của hàm tại điểm a đều bằng L Để chứng minh giới hạn của hàm tại điểm a bằng L, ta chọn ϵ > 0 và tìm δ1, δ2 > 0 sao cho khi x nằm trong miền xác định D, với 0 < x−a < δ1 hoặc 0 < a−x < δ2, thì |f(x) − L| < ϵ Lấy δ = min{δ1, δ2}, khi đó, với mọi x ∈ D thoả mãn 0 < |x−a| < δ, ta có |f(x) − L| < ϵ Vì vậy, ta kết luận lim x→a f(x) = L, chứng minh tính giới hạn của hàm tại điểm a.
Ví dụ 2.1.23 Tìm giới hạn của x→0lim
−x x =−1 là hai số khác nhau nên giới hạn lim x→0
Giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng được định nghĩa là số thực L nếu f(x) gần L tùy ý miễn x đủ lớn Cụ thể, tồn tại một số M dương sao cho khi x > M, thì |f(x) − L| < ϵ với mọi ϵ > 0 Điều này thể hiện rõ ràng rằng, khi x tiến đến vô cùng, giá trị của hàm số f(x) càng lúc càng tiến gần tới L.
Tương tự ta nói x→−∞lim f(x) =L nếuf(x) gầnL tùy ý miễnx đủ nhỏ Chính xác hơn, nếu với mọi số dươngϵtồn tại một số dương M sao cho nếux M Ngược lại, giới hạn bằng âm vô cùng diễn ra khi f(x) giảm không giới hạn khi x tiến gần đến a, được ký hiệu là x→a, f(x) = -∞, nghĩa là với mọi số M dương bất kỳ, tồn tại δ dương sao cho nếu 0 < |x − a| < δ thì f(x) < -M.
Trong Mục 1.1.4, ta có thể so sánh sự tương tự giữa giới hạn của hàm số khi tiến tới vô cùng và quá trình dãy tiến ra vô cùng, giúp làm rõ khái niệm giới hạn vô cùng Định nghĩa về giới hạn vô cùng này được minh họa rõ nét qua các hình ảnh trong Hình 2.1.7, 2.1.8, và 2.1.9, nhằm giúp độc giả hình dung dễ dàng hơn về quá trình và ý nghĩa của giới hạn khi biến số tiến tới vô cùng.
Ví dụ 2.1.28 Không khó để thấy x→0lim
1 x 2 =∞. Để kiểm tra, cho M là số thực dương bất kì, ta có x 1 2 > M ⇐⇒ |x|< √ 1
M, vậy trong định nghĩa chỉ cần lấy δ= √ 1
M thì ta sẽ có 0 M. Tương tự, x→0lim
Ví dụ 2.1.29 Ta có thể kết hợp tất cả các loại giới hạn trên: x→∞lim x=∞, x→∞lim x 2 =∞, x→−∞lim x 2 =∞, x→−∞lim x 3 =−∞.
Trong hai thừa số, một thừa số tiến về vô cùng (∞), còn thừa số còn lại tiến về 2, do đó tích của chúng rõ ràng tiến về vô cùng Quá trình này có thể được minh họa chi tiết hơn qua ví dụ 1.1.34, giúp hiểu rõ hơn về quy luật giới hạn khi nhân các hàm số có dạng tiến tới vô cùng Người ta thường tổng kết lập luận này bằng cách viết giới hạn của tích là lim x→∞ x³, thể hiện rõ xu hướng của biểu thức khi x lớn dần vô cùng.
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 43
2.1.1 Hãy giải thích mệnh đề sau có nghĩa là gì? x→2lim x 2 −x−2 x 2 +x−6 = 3
5. Mệnh đề này là đúng hay sai, tại sao?
2.1.2 Tính các giới hạn sau:
(g) lim h→0 (x+h) h 3 −x 3 2.1.3 Sử dụng định lý kẹp chỉ ra x→0limx 2 cos 20πx= 0.
Hãy vẽ đồ thị để minh họa kết quả trên.
2.1.4 Sử dụng định lý kẹp chỉ ra x→0lim px 3 +x 2 sinπ x = 0.
Hãy vẽ đồ thị để minh họa kết quả trên.
2.1.8 Tìm giới hạn sau nếu tồn tại:
Tìm các giới hạn sau nếu tồn tại
2.1.10 Có sốanào sao cho x→2lim
2x 2 −2ax−a−1 x 3 −3x−2 tồn tại không? Tìm giới hạn đó.