2.2 Hàm số liên tục
2.2.1 Tính chất của hàm số liên tục
Sau đây là một loạt các định lý quan trọng cho hàm số liên tục. Kết quả này tới ngay từ kết quả tương ứng về giới hạn ở Định lý 2.1.11.
Định lý 2.2.3. Nếu f và g liên tục tại a thì các hàm số sau cũng liên tục tại a:
f+g, f−g, f g, và fg nếug(a)̸= 0.
Xem lại phần giới hạn của hàm số sau Định lý 2.1.11 ta suy ra rằng các hàm đa thức và phân thức đều liên tục.
Định lý 2.2.4. Nếu g liên tục tại avàf liên tục tại g(a) thì hàm hợpf◦g liên tục tạia.
Chứng minh. Choϵ >0. Vìfliên tục tạig(a)nên cóδ >0sao cho khi|g(x)−g(a)|<
δ thì|f(g(x))−f(g(a))|< ϵ. Vìg liên tục tạianên cóδ′ >0sao cho khi|x−a|< δ′ thì|g(x)−g(a)|< δ. Như vậy khi |x−a|< δ′ thì|f(g(x))−f(g(a))|< ϵ. Theo định nghĩa thì điều này nói rằng f◦g liên tục tạia.
Một trong những kết quả quan trọng nhất và thường dùng nhất về hàm liên tục trong môn học này là khẳng định rằng các hàm sơ cấp đều liên tục.
Định lý 2.2.5. Các hàm số sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của chúng.
Nhắc lại phần thảo luận ở Mục 1.2.2, ngoài một số trường hợp riêng như với hàm đa thức hay phân thức, chúng ta chưa nghiên cứu đủ về các hàm sơ cấp để có thể chứng minh kết quả này, do đó sẽ chỉ chấp nhận nó, có thể đọc thêm ở [TPTT02, tr.
64].
Ví dụ 2.2.6. Các hàm số h(x) = cos(x2)và k(x) = √ 1
x2+5−3 liên tục trên tập hợp các số thực.
Ví dụ 2.2.7. Hàm số f(x) = 1−√
1−x2liên tục trên miền xác định là đoạn[−1,1].
Tính liên tục của các hàm sơ cấp thường được dùng để tính giới hạn các hàm sơ cấp tại một điểm nằm trong miền xác định bằng cách thế số vào trực tiếp.
Ví dụ 2.2.8. Tìm
x→πlim
x2 + xsinx 2018 + cosx. Vì hàm số trên là một hàm sơ cấp nên
x→πlim
x2 + xsinx
2018 + cosx = π2 + πsinπ
2018 + cosπ = π2 2017. Ví dụ 2.2.9. Cho
f(x) =
x2−1, nếu x≤1 2x−x2, nếu 1< x <2 x3−5x+ 4 nếu x≥2.
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số. Trong các điểm gián đoạn, tại những điểm nào hàm số liên tục bên trái, bên phải hoặc không liên tục ở bên nào cả?
Đây là câu hỏi thường gặp về tính liên tục của hàm được định nghĩa từng khúc.
Tại mỗi điểm x0 thuộc khoảng mở (−∞,1) thì khi x trong miền xác định củaf đủ gần x0 ta luôn cóf(x) =x2−1, do đó tạix0 tính liên tục củaf trùng với tính
2.2. HÀM SỐ LIÊN TỤC 49 liên tục của hàm x2−1, một hàm sơ cấp nên liên tục. Lý luận này áp dụng được trên mỗi khoảng mở (khoảng không gồm đầu mút) của miền xác định.
Tạix0= 1 thì f được cho bởi các công thức khác nhau ở bên trái và bên phải củax0, do đó tạix0 = 1 tính liên tục củaf có thể khác với tính liên tục của hàm x2−1. Ta phải xét cả hai bên điểm x0 = 1.
x→1lim−f(x) = lim
x→1−x2−1 = 12−1 = 0.
x→1lim+f(x) = lim
x→1+2x−x2 = 2ã1−12= 1.
f(1) = 12−1 = 1.
Vậy tại x0 = 1thìf chỉ liên tục bên phải mà không liên tục bên trái, do đó không liên tục .
Trên khoảng mở (1,2)hàmf là hàm sơ cấp nên liên tục.
Tại x0 = 2 ta có
x→2lim−f(x) = lim
x→2−2x−x2= 2ã2−22 = 0.
x→2lim+f(x) = lim
x→2+x3−5x+ 4 = 23−5ã2 + 4 = 2.
f(2) = 23−5ã2 + 4 = 2.
Vậy f không liên tục tạix0= 2, chỉ liên tục bên phải mà không liên tục bên trái.
Trên khoảng mở (2,∞) hàmf là hàm sơ cấp nên liên tục.
Dưới đây là một một giới hạn đặc biệt, thường dùng:
Mệnh đề 2.2.10. Ta có
x→0lim sinx
x = 1. (2.2.1)
Chứng minh. Trong các tính chất của hàm lượng giác mà ta thừa nhận ở Mục 1.2.2, ta có với0< x < π/2 thìsinx < x <tanx. Suy ra
cosx < sinx x <1.
Vìcos là hàm liên tục nên khi cho x→0, dùng Tính chất kẹp, ta được
x→0lim+ sinx
x = 1.
Vớix <0, ta có
lim
x→0−
sinx
x = lim
x→0+
sin(−x)
−x = lim
x→0+
sinx x = 1.
Vậy ta được công thức limx→0 sinx x = 1.
Người ta có thể đưa ra một đặc trưng của sự liên tục thông qua dãy như sau.
Mệnh đề 2.2.11. Hàm sốf là liên tục tại a khi và chỉ khi với mọi dãy(xn)n≥1 hội tụ về athì dãy (f(xn))n≥1 hội tụ vềf(a), nói cách khác với mọi dãy(xn)n≥1 thì
n→∞lim xn=a =⇒ lim
n→∞f(xn) =f(a).
Chứng minh của mệnh đề này thường có trong các giáo trình cho ngành toán.
Sách giáo khoa lớp 11 phổ thông [SGKTH] đã lấy mệnh đề này làm định nghĩa cho sự liên tục.