2.1 Giới hạn của hàm số
2.1.4 Các giới hạn mở rộng
Giới hạn một phía
Trong nhiều trường hợp ta muốn xét những giới hạn như
f(x) =
0, x <0 1, x >0.
Hàm số được xác định bằng các công thức khác nhau khi x <0và khi x >0, vì thế ta muốn xét hai giới hạn: giới hạn khix <0và giới hạn khi x >0. Do đó bây giờ ta định nghĩa giới hạn một phía của hàm số.
Giả sửa là một điểm tụ bên trái của miền xác định của f, tức là mỗi khoảng (c, a) đều chứa một điểm thuộc miền xác định củaf. Ta viết
x→alim−f(x) =L
và nói giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x tiến đếna, hay giới hạn củaf(x) khix tiến đến atừ bên trái, làL nếu giá trị củaf(x) gần tùy ýLkhi giá trị của x đủ gầnanhưng nhỏ hơna. Ký hiệu “x→a−” có nghĩa là ta chỉ xem xétx < a. Viết hoàn toàn bằng kí hiệu thì limx→a−f(x) =L nếu
∀ϵ >0,∃δ >0,∀x∈D,−δ < x−a <0 =⇒ |f(x)−L|< ϵ.
Tương tự nếu ta yêu cầux lớn hơnata sẽ có giới hạn bên phảicủaf(x) khix tiến đếna làLvà ký hiệu là
x→alim+f(x) =L
nếu giá trị của f(x) gần tùy ý L khi giá trị củax đủ gần anhưng lớn hơna. Viết hoàn toàn bằng kí hiệu thì limx→a+f(x) =L nếu
∀ϵ >0,∃δ >0,∀x∈D,0< x−a < δ =⇒ |f(x)−L|< ϵ.
Ví dụ 2.1.21. Cho
f(x) =
0, x <0 1, x >0.
Khi x > 0 ta có f(x) = 1, nên limx→0+f(x) = limx→0+1 = 1. Khi x < 0 ta có f(x) = 0, nên limx→0+f(x) = limx→0+0 = 0.
Sau đây là một mệnh đề giúp ta nhận biết sự tồn tại giới hạn của một hàm số tại một điểm.
Mệnh đề 2.1.22. (a) Nếulimx→af(x)tồn tại và bằngLthì hai giới hạnlimx→a+f(x), limx→a−f(x) nếu tồn tại phải bằngL.
(b) Nếu hai giới hạnlimx→a+f(x), limx→a−f(x) tồn tại và bằngL thì limx→af(x) tồn tại và bằng L.
Như vậy hàm số sẽ không có giới hạn tại một điểm nếu không tồn tại một giới hạn một bên tại điểm đó, hoặc nếu cả hai giới hạn một bên tồn tại nhưng có giá trị khác nhau.
Chứng minh. Nếu limx→af(x) =L và giới hạn mỗi phía tồn tại (là khi alà điểm tụ bên trái và là điểm tụ bên phải) thì từ định nghĩa các giới hạn ta có ngay limx→a−f(x) =Lvà limx→a+f(x) =L.
Ngược lại giả sử limx→a−f(x) =L và limx→a+f(x) =L. Cho ϵ > 0, có δ1 >0 sao cho khix ∈D và 0< x−a < δ1 thì |f(x)−L|< ϵ, và cóδ2 >0 sao cho khi x∈D và0< a−x < δ2 thì|f(x)−L|< ϵ. Lấyδ = min{δ1, δ2}. Với mọi x∈D sao cho0<|x−a|< δ thì|f(x)−L|< ϵ. Vậylimx→af(x) =L.
Ví dụ 2.1.23. Tìm giới hạn của
x→0lim
|x|
x . Vì
x→0lim+
|x|
x = lim
x→0+
x x = 1 và
x→0lim−
|x|
x = lim
x→0−
−x x =−1 là hai số khác nhau nên giới hạn lim
x→0
|x|
x không tồn tại.
Giới hạn ở vô cùng
Định nghĩa 2.1.24. Cho hàm sốf được xác định khiađủ lớn. Ta nói giới hạn của f khi x tiến tới vô cùng là số thựcL, và viết
x→∞lim f(x) =L
nếuf(x)gần Ltùy ý miễn x đủ lớn. Chính xác hơn, nếu với mọi số dương ϵtồn tại một số dương M sao cho nếux > M thì|f(x)−L|< ϵ.
Tương tự ta nói
x→−∞lim f(x) =L
nếuf(x) gầnL tùy ý miễnx đủ nhỏ. Chính xác hơn, nếu với mọi số dươngϵtồn tại một số dương M sao cho nếux <−M thì |f(x)−L|< ϵ.
Có thể so sánh sự tương tự của giới hạn của hàm ở vô cùng với giới hạn của dãy trong Mục 1.1.4.
Ví dụ 2.1.25. Có thể thấy ngay:
x→∞lim 1 x = 0,
2.1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 41
x→−∞lim 1 x = 0.
Như đã thảo luận ở phần dãy ở Ghi chú 1.1.26, kí hiệu∞ không thể hiện một số thực, mà thể hiện một loại giới hạn, và chỉ có ý nghĩa trong ngữ cảnh đó. Kí hiệu này được đọc làvô cùng, hay vô hạn, hay vô cực.
Giới hạn ở vô cùng có cùng các tính chất với giới hạn tới một số thực như ở Mệnh đề 2.1.11, với chứng minh tương tự.
Ví dụ 2.1.26. Tìm
x→∞lim
2x−1 3x+ 4. Dùng các tính chất của giới hạn ta viết
x→∞lim 2x−1
3x+ 4 = lim
x→∞
x 2−1x
x 3 +4x = lim
x→∞
2−1x
3 +4x = 2−0 3 + 0 = 2
3.
Giới hạn bằng vô cùng
Định nghĩa 2.1.27. Cho hàm sốf được xác định ở gầnanhưng có thể không xác định tại a. Ta nói giới hạn củaf khix tiến tớialà vô cùng và viết
x→alimf(x) =∞
nếuf(x)lớn tùy ý miễnx đủ gần nhưng không bằnga. Chính xác hơn, nếu với mọi số dươngM tồn tại một số dương δ sao cho nếu 0<|x−a|< δ thìf(x)> M.
Tương tự ta có thể nói tới giới hạn bằng âm vô cùng. Ta nói
x→alimf(x) =−∞
nếuf(x) nhỏ tùy ý miễnx đủ gần nhưng không bằng a. Chính xác hơn, nếu với mọi số dươngM tồn tại một số dương δ sao cho nếu 0<|x−a|< δ thìf(x)<−M.
Có thể so sánh sự tương tự của giới hạn bằng vô cùng của hàm với việc dãy tiến ra vô cùng trong Mục 1.1.4.
Định nghĩa này được minh họa trong Hình 2.1.7, 2.1.8, và 2.1.9.
Ví dụ 2.1.28. Không khó để thấy
x→0lim 1 x2 =∞.
Để kiểm tra, cho M là số thực dương bất kì, ta có x12 > M ⇐⇒ |x|< √1
M, vậy trong định nghĩa chỉ cần lấy δ= √1
M thì ta sẽ có 0<|x−0|< δ =⇒ x12 > M. Tương tự,
x→0lim
−1
x2 =−∞.
Hình 2.1.7:limx→af(x) =∞.
Hình 2.1.8:limx→af(x) =−∞.
Ví dụ 2.1.29. Ta có thể kết hợp tất cả các loại giới hạn trên:
x→∞lim x=∞,
x→∞lim x2 =∞,
x→−∞lim x2=∞,
x→−∞lim x3 =−∞.
Ví dụ 2.1.30. Tìmlimx→∞2x3−4x2−5x+ 6.
Ta viết
x→∞lim 2x3−4x2−5x+ 6 = lim
x→∞x3 2− 4
x − 5 x2 + 6
x3
.
Trong hai thừa số trên, một thừa số tiến ra ∞, còn thừa số còn lại tiến về 2, do đó tích rõ ràng tiến ra∞ (chi tiết hơn có thể làm tương tự trong Ví dụ 1.1.34). Người ta thường tóm tắt lí luận này bằng cách viết
x→∞lim x3
2− 4 x − 5
x2 + 6 x3
=∞ ã2 =∞.
2.1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 43
Hình 2.1.9: Minh họa|x−a|< δ =⇒ f(x)> M.
Bài tập
2.1.1. Hãy giải thích mệnh đề sau có nghĩa là gì?
x→2lim
x2−x−2 x2+x−6 = 3
5. Mệnh đề này là đúng hay sai, tại sao?
2.1.2. Tính các giới hạn sau:
(a) limh→0(10+h)h2−100. (b) limh→0
√100+h−10
h .
(c) limx→−2017
1 2017+x1 2017+x. (d) limt→0
√1+t−√ 1−t
t .
(e) limx→4 2−
√x 8x−x3. (f) limt→0
1 t√
1+t−1t . (g) limh→0(x+h)h3−x3. 2.1.3. Sử dụng định lý kẹp chỉ ra
x→0limx2cos 20πx= 0.
Hãy vẽ đồ thị để minh họa kết quả trên.
2.1.4. Sử dụng định lý kẹp chỉ ra
x→0lim
px3+x2sinπ x = 0.
Hãy vẽ đồ thị để minh họa kết quả trên.
2.1.5. Nếu4x−9≤f(x)≤x2−4x+ 7vớix≥0, tìmlimx→4f(x).
2.1.6. Nếu2x≤g(x)≤x4−x2+ 2với mọix, tìmlimx→1g(x).
2.1.7. Chứng minh rằng
lim
x→0+
√x[1 + sin2(2π/x)] = 0.
2.1.8. Tìm giới hạn sau nếu tồn tại:
(a) limx→1− x−1
|x3−x2|.
(b) limx→−73x+217−|x|. (c) limx→0+
1 x−|x|1
.
2.1.9. Cho
g(x) =
x2−1 nếu x <1
0 nếu x= 1
2x−x2 nếu 1< x≤2 x3−5x+ 4 nếu x >2.
Tìm các giới hạn sau nếu tồn tại (a) limx→1−g(x)
(b) limx→1+g(x) (c) limx→2−g(x) (d) limx→2+g(x) (e) limx→2g(x).
2.1.10. Có sốanào sao cho
x→2lim
2x2−2ax−a−1 x3−3x−2 . tồn tại không? Tìm giới hạn đó.
2.1.11. Chof(x) = xx22−x−6+x−2. Tìm:
(a) limx→2f(x).
(b) limx→−2f(x).
(c) limx→+∞f(x).
2.1.12. Tìm:
(a) limx→−∞4x−3x2+3x+73+6x. (b) limx→+∞4x−3x4+3x+73+6x. (c) limx→∞ 3x6−4x4+10
−2x6−10x3+2. 2.1.13. Chọn đáp án đúng.
(a) Giới hạn
x→1lim4x3−3x2+ 3x−1
bằng
A)1 B)2 C)3 D)∞
(b) Giới hạn
x→−∞lim 4x3−3x2+ 3x−1
bằng
A)5 B)−∞ C)∞ D) không tồn tại