Giáo trình Vi tích phân 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến; tích phân của hàm nhiều biến; giải tích vecto; phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Không gian R n
Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích trong
Khi tập hợp R^n được trang bị các phép toán nhất định, nó được gọi là một không gian véc tơ Các phần tử của nó, còn được gọi là vectơ, có thể được ký hiệu ⃗x hoặc x để nhấn mạnh dưới góc nhìn vectơ, đặc biệt khi n=2 hoặc 3 Phép cộng của hai vectơ x = (x₁, x₂, , xₙ) và y = (y₁, y₂, , yₙ) được định nghĩa là x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, , xₙ + yₙ), tạo ra một vectơ mới trong không gian.
Phép nhân của vectơ xvới số thực α cho vectơ αãx= (αx 1 , αx 2 , , αx n ).
Hai phộp toỏn +và ãcú cỏc tớnh chất mà ta dễ dàng kiểm tra được từ cỏc tớnh chất của số thực:
Mệnh đề 1.1.2 Với mọi x, y∈R n , với mọi α, β∈R:
(c) với0là vectơ có tất cả các thành phần bằng0, nghĩa là0 = (0,0, ,0)(thường được gọi là điểm gốc tọa độvà thường được kí hiệu là bằng chữ cáiO 2 ), thì x+ 0 = 0 +x=x,
(d) tồn tại vectơ đối −x= (−1)ãx= (−x 1 ,−x 2 , ,−x n ) sao chox+ (−x) = 0,
1 từ vector trong tiếng Anh chỉ một đoạn thẳng có hướng, hay một đại lượng có hướng di chuyển
2 trong tiếng Anh “origin” nghĩa là “gốc”
Về sau để kí hiệu đơn giản hơn ta thường bỏ đi dấu chấm để kí hiệu phép nhân ở trờn, vớ dụ viết2x thay vỡ 2ãx. x
Hình 1.1.1: Hình ảnh minh họa cho tọa độ của một điểm(x, y, z) trong R 3
Trong các trường hợp riêng như R, R2, R3, các tính chất của vectơ phù hợp và được biết đến rộng rãi, nhưng điểm khác biệt quan trọng là trong vật lý và các trường hợp này, vectơ thường được hình dung là một đoạn thẳng có hướng xác định bởi một cặp điểm đầu và điểm cuối, tức là vectơ có gốc Trong khi đó, trong định nghĩa hiện tại, vectơ đơn giản chỉ là một phần tử của không gian, không đi kèm với khái niệm điểm gốc hoặc vectơ tự do Tuy nhiên, trong các hình vẽ minh họa các trường hợp số chiều thấp, chúng ta vẫn thường vẽ vectơ như một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng, giúp dễ hình dung hơn Không gian vectơ Rn sở hữu một tập hợp đặc biệt các vectơ, tạo nền tảng cho các phân tích toán học và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực.
(e 1= (1,0, ,0), e 2 = (0,1, ,0), , e n = (0,0, ,1)) có tính chất dễ thấy là với một vectơx= (x 1 , x 2 , , x n ) bất kì trongR n thì x X n i=1 x i e i
Bộ vectơ chính tắc gồm các vectơ e₁, e₂, , eₙ trong Rₙ được gọi là cơ sở đặc trưng của không gian vectơ này Không gian vectơ Rₙ có chiều n, vì nó có một cơ sở gồm đúng n phần tử, từ đó mọi phần tử của Rₙ có thể biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở qua phép cộng vectơ và nhân vô hướng Điều này chứng tỏ Rₙ có chiều n, phản ánh tính độc lập tuyến tính và khả năng mở rộng của không gian vectơ này.
Mỗi vectơ có chiều dài, còn gọi là độ lớn hoặc chiều dài Euclid, được ký hiệu là |x| Chuẩn của vectơ, hay còn gọi là độ đo của vectơ trong không gian có kích thước lớn hơn 3, được ký hiệu là ||x|| Công thức tính chuẩn Euclid của vectơ x gồm các thành phần x₁, x₂, , xₙ là ||x|| = √(x₁² + x₂² + + xₙ²) Điều này giúp đo lường độ dài của vectơ trong không gian n chiều một cách chính xác và chính xác hơn.
Trong trường hợp n= 1 độ lớn này chính là giá trị tuyệt đối của số thực.
Chiều dài vectơ có các tính chất:
Mệnh đề 1.1.4 Với mọi x∈R n , với mọi α∈R thì:
(b) kxk= 0 khi và chỉ khi x= 0,
Hai phần tử x, y bất kì của R n lại có một khoảng cách giữa chúng, kí hiệu là d(x, y), được gọi là khoảng cách Euclid , cho bởi d(x, y) =p
Trong trường hợp n=1, khoảng cách chính là chiều dài của đoạn thẳng giữa hai điểm x và y trên trục số thực Đối với n=2 và n=3, khoảng cách từ x đến y bằng chiều dài của vectơ đi từ x tới y, như minh họa trong Hình 1.1.2 và 1.1.3 Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian hai chiều là: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
Hình 1.1.2: Khoảng cách Euclid, trường hợp hai chiều.
Trong không gian Euclidean, khoảng cách giữa hai điểm x và y được xác định bằng d(x, y) = |y - x|, biểu thị chiều dài của vector y - x Điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm x đến y chính là độ dài của vectơ y − x, mang ý nghĩa đo lường mức độ gần gũi giữa hai điểm trong không gian Ngoài ra, chiều dài của vectơ x bằng khoảng cách từ gốc tọa độ 0 đến điểm x, giúp hiểu rõ hơn về vị trí của điểm x trong không gian Euclidean.
Hình 1.1.3: Khoảng cách Euclid, trường hợp ba chiều.
Khoảng cách có các tính chất sau:
Mệnh đề 1.1.5 Với mọi x, y∈R n thì:
Trong R^n, ta còn có phép tính tích vô hướng của hai vectơ, đây là một tổng quát hóa của tích vô hướng trong R^2 và R^3 mà chúng ta đã biết, còn gọi là tích vô hướng Euclid Phép tính này được định nghĩa bằng công thức x·y = x₁y₁ + x₂y₂ + + xₙyₙ, thể hiện khả năng đo lường góc và độ dài của vectơ trong không gian n chiều Tích vô hướng trong Euclid giúp xác định góc giữa hai vectơ và có vai trò quan trọng trong phép tính và phân tích không gian vector.
Phép toán tích vô hướng có các tính chất sau:
Mệnh đề 1.1.6 Với mọi x, y, z∈R n , với mọi α∈R thì:
(b) xãx= 0 khi và chỉ khi x= 0,
Ta có ngay quan hệ giữa tích vô hướng và độ lớn Euclid: kxk=√ xãx.
Mệnh đề 1.1.7 Với hai vectơ bất kì x và y trong không gian Euclid R n thì
|xãy| ≤ kxk ã kyk. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có số thực α sao cho x=αy hayy=αx.
Chứng minh Giả sửx= (x 1 , x 2 , , x n ) và y= (y 1 , y 2 , , y n ) Ta có xãy=x 1 y 1 +x 2 y 2 +ã ã ã+x n y n trong khi kxk ã kyk q x 2 1 +x 2 2 +ã ã ã+x 2 n ãq y 1 2 +y 2 2 +ã ã ã+y 2 n , như vậy bất đẳng thức
|xãy| ≤ kxk ã kyk chính là Bất đẳng thức Buniakowski 3 cho số thực Bất đẳng thức Buniakowski khẳng định rằng với mọi bộ số thựcx= (x 1 , x 2 , , x n )và y= (y 1 , y 2 , , y n ) thì
|x 1 y 1 +x 2 y 2 +ã ã ã+x n y n | ≤q x 2 1 +x 2 2 +ã ã ã+x 2 n ãq y 2 1 +y 2 2 +ã ã ã+y n 2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix vày tỉ lệ với nhau, xem Bài tập 1.1.15.
Ta có một tính chất quan trọng sau của khoảng cách:
Mệnh đề 1.1.8(Bất đẳng thức tam giác) Với ba phần tử bất kìx, yvàztrong không gian Euclid R n thì
Tính chất này được gọi là bất đẳng thức tam giác là vì nó tổng quát hóa bất đẳng thức tam giác trong hình học Euclid phẳng.
Chứng minh Để thu được dạng (a) ta có thể làm bằng vài cách Một cách đơn giản
3 Bất đẳng thức Buniakowski còn được gọi là Bất đẳng thức Cauchy–Buniakowski hay Bất đẳng thức Schwarz x y z
Hình 1.1.4 trình bày bất đẳng thức tam giác, nêu rõ rằng trong một tam giác, tổng chiều dài của hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn hoặc bằng chiều dài của cạnh còn lại Bất đẳng thức này có thể được biểu diễn dưới dạng bình phương hai vế, cụ thể là \(kx + yk \leq kxk + kyk\), thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa các cạnh của tam giác Điều này nhấn mạnh tính chất quan trọng của bất đẳng thức tam giác trong hình học và các ứng dụng liên quan.
⇐⇒xãx+ 2xãy+yãy≤xãx+yãy+ 2kxk kyk
⇐⇒xãy≤ kxk kyk, là đúng do Mệnh đề 1.1.7.
Một cách để thu được dạng (b) là dùng quan hệ giữa khoảng cách và chiều dài rồi dùng dạng (a): d(x, z) +d(z, y) =kz−xk+ky−zk ≥ k(z−x) + (y−z)k=ky−xk=d(x, y).
Trong không gian Rⁿ, mỗi phần tử có thể đóng vai trò khác nhau tùy vào khía cạnh nghiên cứu, như là một vectơ khi xét đến phép toán vectơ hoặc là một điểm khi quan tâm đến khoảng cách Do đó, một phần tử của Rⁿ có thể được gọi là vectơ hoặc điểm mà không gây nhầm lẫn Vì lý do này, không nhất thiết phải sử dụng ký hiệu khác nhau để phân biệt giữa điểm và vectơ.
Hình học trong R n
Cho hai vectơ u = (u 1 , u 2 , , u n ) và v = (v 1 , v 2 , , v n ) trong R n Ta đã biết ở Mệnh đề 1.1.7 thì
Nếuu vàv khác 0thì ta thu được uãv kuk kvk
Từ đó ta định nghĩa góc giữa hai vectơ u vàv là số thựcθ∈[0, π]thỏa cosθ= uãv kuk kvk.
Ta được công thức uãv=kuk kvkcosθ.
Hai vectơ u và v vuông góc hay trực giao với nhau khi góc giữa chúng là π/2, điều này xảy ra nếu cả hai vectơ đều không phải là vectơ không (u ≠ 0 và v ≠ 0) hoặc nếu một trong hai vectơ là vectơ không Ta có thể dễ dàng nhận diện rằng u vuông góc với v khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là u · v = 0, điều này phản ánh mối liên hệ chặt chẽ giữa vuông góc và tích vô hướng trong không gian vector.
Hai vectơ cùng phương khi góc giữa chúng bằng 0 hoặc π, đặc biệt trong trường hợp cả hai vectơ đều khác 0, hoặc khi có một vectơ là vectơ không Điều này đồng nghĩa với việc các vectơ nằm cùng một đường thẳng hoặc song song Việc xác định vectơ cùng phương là kiến thức cơ bản trong đại số vector, có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và toán học Các tính chất của vectơ cùng phương giúp đơn giản hóa các phép tính liên quan đến vectơ, như cộng hoặc nhân vô hướng Hiểu rõ đặc điểm của vectơ cùng phương giúp tối ưu hóa việc phân tích hướng, độ lớn và mối liên hệ giữa các vectơ trong thực tế.
|uãv|=kuk kvk, tức là dấu bằng xảy ra trong Mệnh đề 1.1.7, là khi cú một vectơ là bội của vectơ kia.
Hai vectơ cùng hướng khi góc giữa chúng bằng 0, đặc biệt là khi cả hai vectơ đều khác không Trong trường hợp một trong hai vectơ là vectơ không, ta coi chúng là cùng hướng Ngoài ra, hai vectơ cũng được xem là cùng hướng nếu một vectơ là bội không âm của vectơ kia, đảm bảo tính nhất quán trong xác định hướng của vectơ.
Nếu vectơ v 6= 0 thì vectơ ∥ v v ∥ = ∥ 1 v ∥ v là một vectơ cùng hướng với v nhưng có chiều dài bằng1, được gọi là vectơ đơn vị theo hướng của v.
Nếu véc tơ v khác không, thì vectơ đơn vị theo chiều của v là ∥v∥, được tính bằng cách nhân vô hướng của u với vectơ đơn vị hướng của v Số thực cosθ = (u ⋅ v) / (|u| |v|) thể hiện thành phần của u theo hướng của v, có dấu Chiếu vuông góc của u lên v, ký hiệu là p_v u, là vectơ cùng phương với v và được tính bằng p_v u = (u ⋅ v) / |v|, giúp xác định phần của u theo hướng của v một cách chính xác.
Vectơ chiếu của u lên v có độ lớn bằng trị tuyệt đối của thành phần của u trên v Nếu thành phần này dương, vectơ chiếu cùng phương và cùng chiều với v Nếu thành phần là âm, vectơ chiếu trái chiều với v Khi thành phần của u trên v bằng 0, vectơ chiếu sẽ là vectơ 0, tức là vuông góc với v.
Ta có thể kiểm được ngay rằng(u−p v u)⊥vbằng cách nhân vô hướng hai véctơ này (Bài tập 1.1.6), như vậy đây thực sự là phép chiếu vuông góc.
Trong trường hợpulà một vectơ đơn vị thì công thức của phép chiếu vuông góc
4 p viết tắt từ projection, nghĩa là chiếu
Hình 1.1.5: Chiếu của một vectơ lên một vectơ khác. trở nên đơn giản hơn: p v u= uãv v
Tích có hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ trongR 3 ,u= (u 1 , u 2 , u 3 ) vàv= (v 1 , v 2 , v 3 ) Tích có hướng của hai vectơ này, kí hiệu làu×v, được định nghĩa là vectơ u×v= (u 2 v 3 −u 3 v 2 , u 3 v 1 −u 1 v 3 , u 1 v 2 −u 2 v 1 ).
Tích có hướng của hai vectơ phụ thuộc vào thứ tự của chúng, theo công thức u×v = −v×u Một trong những đặc tính quan trọng của tích có hướng là (u×v) ⊥u và (u×v) ⊥v, nghĩa là tích có hướng của hai vectơ vuông góc với chính hai vectơ đó Ngoài ra, tích có hướng bằng vectơ 0 khi và chỉ khi hai vectơ cùng phương, thể hiện tính chất đặc biệt của tích có hướng trong không gian vector.
Ta có thể kiểm trực tiếp từ định nghĩa của tích có hướng và tích vô hướng tính chất sau (xem phần bài tập): kuìvk 2 =kuk 2 kvk 2 −(uãv) 2
Từ đó ku×vk 2 =kuk 2 kvk 2 −(kuk kvkcosθ) 2 =kuk 2 kvk 2 (1−cos 2 θ), trong đóθ là góc giữau vàv Suy ra ku×vk=kuk kvksinθ.
Trong hình học Euclid phẳng, tích có hướng được hiểu là diện tích của hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ u và v, được biểu diễn bằng công thức kuk kvksinθ = 2ã 1 2 kuk kvksinθ Điều này giúp hình dung rõ nét về mối liên hệ giữa tích có hướng và diện tích trong không gian phẳng Ngoài ra, tích có hướng còn giúp mô tả các đặc trưng của đường thẳng một cách trực quan và chính xác, như minh họa trong Hình 1.1.6.
Trong không gian R^n, một đường thẳng được định nghĩa là tập hợp các điểm có dạng {a + t v | t ∈ R}, trong đó a, v ∈ R^n và v ≠ 0, thể hiện rằng mọi điểm trên đường thẳng đều nằm trên một đường thẳng có hướng v qua điểm a Điểm a được gọi là điểm cố định nằm trên đường thẳng, còn vectơ v thể hiện hướng của đường thẳng và không bằng không Tập hợp các điểm x thỏa mãn điều kiện x − a cùng phương với v chính là các điểm nằm trên đường thẳng này, cho thấy mối liên hệ giữa vector chỉ hướng và tập hợp các điểm trong không gian R^n.
Trong hình 1.1.6, tích có hướng của hai vectơ u và v được mô tả trực quan như một vectơ vuông góc với cả u và v, có hướng xác định theo quy tắc bàn tay phải Theo quy tắc này, lòng bàn tay phải uốn theo chiều từ u sang v, và ngón cái của bàn tay sẽ chỉ chiều của vectơ u×v, có độ lớn bằng diện tích của hình bình hành sinh bởi u và v Quy tắc bàn tay phải còn được giải thích như sau: nếu ngón tay cái chỉ hướng của u, ngón trỏ chỉ hướng của v, thì ngón giữa sẽ chỉ chiều của vectơ tích u×v Ngoài ra, vectơ này còn là vectơ chỉ phương của đường thẳng xác định bởi đường thẳng đó.
Đường thẳng nối điểm a và b được xác định bởi vectơ chỉ phương b−a và đi qua điểm a Một điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng đó có dạng a + t(b−a), với t thuộc tập hợp các số thực, thể hiện rõ tính chất của đường thẳng trong không gian.
Hình 1.1.7: Minh họa đường thẳng đi qua điểmavới vectơ chỉ phương v. Đoạn thẳng nốiavàbđược định nghĩa là tập hợp gồm các điểma+t(b−a) (1−t)a+tb,t∈[0,1] Xem Hình 1.1.8.
Ví dụ 1.1.9 TrongR 2 , xét đường thẳng đi qua hai điểm(x 0 , y 0 )và(x 1 , y 1 ) Vectơ chỉ phương là(x 1 , y 1)−(x 0 , y 0) = (x 1 −x 0 , y 1 −y 0) Phương trình tham số của đường thẳng là
Hình 1.1.8: Minh họa đoạn thẳng nối điểm avà điểmb.
1 − x 0, ta thu được phương trình y=y 0 + y 1 −y 0 x 1 −x 0 (x−x 0 ).
Trên mặt phẳng, một đường thẳng không thẳng đứng (không cùng phương với trục y) có phương trình dạng y = mx + b, trong đó m là hệ số góc hay độ nghiêng của đường thẳng, là một hằng số thực Hệ số góc m thể hiện độ dốc của đường thẳng, giúp xác định hướng của nó trên mặt phẳng Nếu m dương, đường thẳng có chiều dốc đi lên từ trái sang phải; nếu m âm, nó đi xuống Phương trình này là công cụ quan trọng trong phân tích và xác định đặc điểm của đường thẳng trong hình học phẳng.
Trong không gian Rⁿ, mặt phẳng P đi qua ba điểm p₁, p₂, p₃ được xác định bởi đặc tính rằng mọi điểm x thuộc P đều có thể biểu diễn dưới dạng x - p₁ = s·(p₂ - p₁) + t·(p₃ - p₁), với s và t là các số thực Điều kiện để ba điểm này xác định một mặt phẳng là chúng không thẳng hàng, nghĩa là hai vectơ v₁ = p₂ - p₁ và v₂ = p₃ - p₁ không cùng phương Trong đó, vectơ v = x - p₁ là tổ hợp tuyến tính của v₁ và v₂, giúp định nghĩa rõ ràng mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng trong không gian Rⁿ.
Ta cũng nói phương trình
(x, y, z) =p 1+sv 1+tv 2 , s∈R, t∈R là một phương trình tham số của mặt phẳngP. Đặc biệt trong R 3 , đặt N =v 1 ×v 2 thì vectơ N vuông góc với v 1 và v 2, do đó
N vector N vuông góc với mọi tổ hợp của v₁ và v₂, tức là N perpendicular với tất cả các vectơ dạng sv₁ + tv₂, với s và t là các số thực Điều này có nghĩa N song song và vuông góc với mặt phẳng P, được ký hiệu là N vuông góc với mặt phẳng P.
Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến N và vuông góc với mọi vectơ v nằm trong P, điều này thể hiện qua việc v phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v₁ và v₂ (theo Bài tập 1.1.16) Xác định mặt phẳng P bằng tập hợp các điểm x sao cho vectơ x − p₁ vuông góc với N, tức là x ∈ P ⇐ ⇒ (x − p₁) ⋅ N = 0 Véc tơ pháp tuyến N được tính bằng tích vectơ v₁ × v₂, xác định rõ hướng vuông góc của mặt phẳng với các vectơ v₁ và v₂.
Hình 1.1.9: Mặt phẳng và pháp tuyến của mặt phẳng.
Trong trường hợp mặt phẳng đi qua điểm(x 0 , y 0 , z 0 ) với pháp tuyến(a, b, c)6= 0 thì mặt phẳng này gồm tất cả các điểm có tọa độ(x, y, z) sao cho vectơ((x, y, z)−
(x 0 , y 0 , z 0 ))vuông góc với vectơ (a, b, c), tức là
((x, y, z)−(x 0 , y 0 , z 0))ã(a, b, c) = 0, hay a(x−x 0 ) +b(y−y 0 ) +c(z−z 0 ) = 0, có thể viết lại là ax+by+cz+d= 0, với d=ax 0+by 0+cz 0 Đây là các phương trình không có tham số của mặt phẳng.
Ví dụ 1.1.10 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (1,1,2), (1,2,0),
Ta có một phương trình tham số của mặt phẳng là
(x, y, z) = (1,1,2) +sv 1+tv 2 = (1−t,1 +s,2−2s+t), vớis∈R, t∈R Ta có một pháp tuyến của mặt phẳng làN =v 1 ×v 2 = (1,2,1), từ đó thu được một phương trình không có tham số của mặt phẳng:
Tập mở và tập đóng trong R n
Với khoảng cách và độ dài Euclid, chúng ta có thể xây dựng các cấu trúc thích hợp để định nghĩa các khái niệm giới hạn và liên tục trong toán học Một số khái niệm quan trọng sẽ được trình bày trong bài, mặc dù chưa được sử dụng ngay, nhưng người học nên đọc kỹ lại để nắm vững khi cần thiết Đây là nền tảng essential cho việc hiểu rõ về tính liên tục và giới hạn trong các lĩnh vực toán học và phân tích.
Cho x∈R n vàϵ >0 Các tập hợp
Trong không gian ℝⁿ, B′(x, ϵ) được gọi là quả cầu mở với tâm x và bán kính ϵ, trong khi S(x, ϵ) là mặt cầu hay quả cầu đóng cùng tâm và bán kính đó Đây là các khái niệm mở rộng của khoảng, hình tròn, và quả cầu trong không gian 1D, 2D, và 3D Điểm x được xem là điểm trong của tập D ⊂ ℝⁿ nếu có một quả cầu mở tâm x nằm hoàn toàn trong D, giúp xác định các tính chất nội tại của tập trong không gian nhiều chiều.
Tập tất cả các điểm trong của D được gọi là phần trong củaD được ký hiệu làD.˚
Tập hợp Dđược gọi là một tập mở nếu mọi điểm của Dđều là điểm trong của
D Đặc trưng của một tập mở là mỗi điểm trong tập có một quả cầu chứa điểm đó mà nằm hoàn toàn trong tập Ở các chương sau ta sẽ thấy tập mở có vai trò khi ta xét tính liên tục và tính khả vi.
Quả cầu B(x, ϵ) là một tập mở, điều này được kiểm tra bằng cách chứng minh rằng bất kỳ điểm y nào trong quả cầu đều có thể tồn tại một quả cầu nhỏ hơn chứa hoàn toàn trong đó Cụ thể, với bất kỳ δ > 0 nào thỏa mãn δ ≤ ϵ - d(x, y), quả cầu B(y, δ) luôn nằm trọn trong B(x, ϵ), đảm bảo tính mở của quả cầu theo định nghĩa về tập mở trong không gian metric Hơn nữa, dựa vào bất đẳng thức tam giác, ta có thể chứng minh chính xác rằng mọi điểm z trong B(y, δ) đều thuộc B(x, ϵ), qua đó xác nhận tính mở của tập quả cầu trong không gian metric.
Người học có thể thử kiểm tra các ví dụ khác theo cách đã được minh họa, nhưng điều này không bắt buộc trong môn học Điểm \( x \in \mathbb{R}^n \) được gọi là điểm biên của tập \( D \subset \mathbb{R}^n \) nếu tồn tại một quả cầu xung quanh đó mà phần lớn của nó nằm ngoài tập \( D \).
B(x, ϵ)bất kì chứa ít nhất một điểm thuộcDvà một điểm không thuộcD Tập các điểm biên củaD kí hiệu là∂D, và được gọi là biên củaD.
Rõ ràng, điểm trong củaDthì nằm trongD, còn điểm biên củaD có thể thuộc
Dvà cũng có thể không thuộc D.
Ví dụ 1.1.12 Mặt cầuS(x, ϵ) là biên của quả cầuB(x, ϵ).
TậpD⊂R n được gọi là một tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó.
Ví dụ 1.1.13 Quả cầu đóng B ′ (x, ϵ) và mặt cầuS(x, ϵ) là các tập đóng.
Trong ví dụ 1.1.14, khoảng [a, b) không phải là tập mở cũng như không phải là tập đóng trong R Điểm x ∈ R^n được gọi là điểm tụ hoặc điểm giới hạn của tập D ⊂ R^n nếu, với bất kỳ quả cầu B(x, ϵ), đều chứa ít nhất một điểm thuộc D khác với x.
Ví dụ 1.1.15 Quả cầu bỏ đi tâm B(a, r)\ {a} có tâm a là một điểm tụ Đây là một trường hợp thường gặp trong môn học này.
Người ta thường dùng thuật ngữ lân cận của một điểm trong R n để chỉ một tập mở củaR n chứa điểm đó.
1.1.1 TrongR 4 , chox= (2,−1,3,0) vày= (2,0,1,−3) Tính khoảng cáchd(x, y)giữa x vày, độ lớnkxkcủax, độ lớnkykcủa y, độ lớnkx−ykcủax−y, tớch trongxãy củaxvà y.
(a) xãy=1 2 kx+yk 2 − kxk − kyk 2
(b) xãy= 1 4 kx+yk 2 − kx−yk 2
Như vậy tích trong có thể tính được từ độ dài.
1.1.3 (Đẳng thức hình bình hành) Hãy chứng tỏ kx−yk 2 +kx+yk 2 = 2kxk 2 + 2kyk 2
Hãy giải thích ý nghĩa hình học của điều này.
1.1.4 (Công thức Pythagore) Chứng tỏ rằng nếux⊥y thì kx+yk 2 =kxk 2 +kyk 2
Hãy vẽ hình minh họa để thấy đây là tương tự ở số chiều bất kì của công thức Pythagore trong hình học phẳng Euclid.
1.1.5 Tìm vectơ đơn vị cùng chiều với vectơv= (1,2,3,4).
1.1.7 Kiểm tra rằng nếua⊥bvàa⊥c thìavuông góc với mọi tổ hợp của bvàc, tức là với mọi s, t∈Rthìa⊥(sb+tc).
1.1.8 TrongR 3 ta thường viết cơ sở tuyến tính chuẩn tắc là
Hãy chứng tỏ các vectơ trong cơ sở có chiều dài bằng1, đôi một vuông góc, và⃗i×⃗j=⃗k,
1.1.9 TrongR 3 , hãy kiểm tra rằng
1.1.10 TrongR 3 , hãy kiểm tra rằng kuìvk 2 =kuk 2 kvk 2 −(uãv) 2
1.1.11 Hãy kiểm tra rằng với mọi vectơa, b, c∈R 3 thì a×(b×c) +b×(c×a) +c×(a×b) = 0. Đây có khi được gọi là Đẳng thức Jacobi.
1.1.12 TrongR 4 , hãy viết phương trình đường thẳng:
(a) Đi qua điểm(2,0,0,−3)với vectơ chỉ phương(−1,0,2,3).
1.1.13 TrongR 3 , hãy viết phương trình mặt phẳng:
(c) Đi qua điểm(2,1,3)và song song (có cùng pháp tuyến và không trùng) với mặt phẳng
1.1.14 Trong không gian Euclid R 3 , cho A= (1,0,0),B = (1,1,−1), C= (3,−2,1) Đặt
(f) Viết phương trình tham số đường thẳng quaAvàB.
(g) Viết phương trình tham số mặt phẳng quaA,B,C.
(h) Viết phương trình không tham số mặt phẳng quaA,B,C.
1.1.15(Bất đẳng thức Buniakowski) Bất đẳng thức Buniakowski khẳng định rằng với mọi bộ số thựcx= (x 1 , x 2 , , x n )vày= (y 1 , y 2 , , y n )thì
|x 1 y 1+x 2 y 2+ã ã ã+x n y n | ≤q x 2 1 +x 2 2 +ã ã ã+x 2 n ãq y 2 1 +y 2 2 +ã ã ã+y n 2 Đẳng thức trong Bất đẳng thức Buniakowski xảy ra khi và chỉ khixvày tỉ lệ với nhau Ta có thể kiểm bất đẳng thức này bằng cách sau.
(a) Thử kiểm bất đẳng thức với n= 1vàn= 2.
(b) Vớinbất kì, bình phương hai vế bất đẳng thức, khai triển các tích, nhóm lại để đưa bất đẳng thức về dạng
(c) Xét điều kiện để xảy ra dấu=trong bất đẳng thức trên.
1.1.16 * Trong R 3 , giả sửv 1 ×v 2 6= 0, hãy kiểm rằng nếuv vuông góc vớiv 1 ×v 2 thì v phải là một tổ hợp tuyến tính củav 1 vàv 2.
Hàm số nhiều biến
Giới hạn của hàm số
Cho \(f\) là một hàm số thực nhiều biến, điểm \(a\) là điểm giới hạn của miền xác định của \(f\) Hàm số \(f\) được gọi có giới hạn bằng số thực \(L\) tại điểm \(a\) nếu với mọi dãy \(x\) tiến tới \(a\), giá trị của \(f(x)\) gần bằng \(L\) Điều này có nghĩa là khi \(x\) xấp xỉ \(a\), thì \(f(x)\) tiến gần về \(L\), thể hiện tính liên tục và ổn định của hàm số tại điểm đó Khái niệm này là nền tảng để xây dựng các tính chất quan trọng trong giải tích nhiều biến và giúp xác định tính khả vi, liên tục của hàm số trong nhiều ngữ cảnh khác nhau.
L tùy ý miễn x đủ gần a nhưng không bằng a Khi đó ta viết x lim → a f(x) =L, hoặc viếtf(x)→Lkhi x→a.
Giới hạn của hàm một biến chính là trường hợp đặc biệt của giới hạn hàm nhiều biến khi số chiều n bằng 1, phù hợp với định nghĩa giới hạn hàm một biến (xem [Bmgt1]) Do đó, giới hạn của hàm một biến kế thừa toàn bộ tính chất từ giới hạn của hàm nhiều biến, giúp dễ dàng áp dụng các kiến thức đã biết trong môn Vi tích phân hàm một biến.
Dưới đây là phát biểu chính xác của định nghĩa giới hạn bằng ký hiệu “ϵ - δ”, tương tự trường hợp hàm một biến Định nghĩa 1.2.5 xác định rằng, đối với hàm số \(f\) xác định trên tập \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), tại điểm tụ \(a\), ta nói giới hạn của \(f(x)\) xấp xỉ số thực \(L\) khi \(x\) tiến tới \(a\), nếu với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(\delta > 0\) sao cho khi \(0 < \|x - a\| < \delta\) thì \(\|f(x) - L\| < \varepsilon\).
Trong một số trường hợp có thể hiểu giới hạn một cách thô sơ hơn: khi x gần tớiahơn thì f(x) gần tới Lhơn.
Ghi chú 1.2.6 cho phép điểm điểm của miền xác định D được coi là điểm tụ của D, thậm chí nếu không thuộc D, nhằm mở rộng phạm vi phân tích giới hạn Việc này giúp chúng ta dễ dàng xem xét các giới hạn như lim khi điểm đó nằm trong tập chứa hoặc gần miền xác định Định nghĩa này là nền tảng quan trọng trong lý thuyết giới hạn trong toán học, đặc biệt là trong phân tích hàm số Việc cho phép điểm điểm là điểm tụ mở rộng khả năng nghiên cứu các giới hạn của hàm số tại các điểm biên hoặc điểm gần miền xác định.
(x,y) → (0,0) x 2 y x 2 + 4y 2 Ở đó chúng ta cho (x, y) dần tới (0,0)mà không bằng (0,0), nơi hàm không được xác định Điều này giải thích điều kiện 00 là một hệ số không đổi.
(a) Tính P x Giá trị củaP x là âm hay dương? Giải thích ý nghĩa của điều này.
(b) TínhP y Giá trị củaP y là âm hay dương? Giải thích ý nghĩa của điều này.
1.3.4 Một mô hình Cobb-Douglas trong Kinh tế cho lượng sản phẩmP (productivity) theo lượng vốnK(capital) và lượng lao động L(labor) bằng công thứcP = 1,2K 0,75 L 0,25
Giá trị P_K (100,200) phản ánh mức tăng của sản lượng khi vốn tăng thêm 1 đơn vị từ mức 100 trong điều kiện lượng lao động giữ ổn định ở mức 200 Đây chính là đặc trưng của khái niệm sản lượng cận biên theo vốn (marginal productivity of capital), thể hiện khả năng tăng năng suất của vốn khi bổ sung thêm một đơn vị vốn vào quá trình sản xuất Sản lượng cận biên theo vốn giúp xác định lợi ích của việc mở rộng vốn đầu tư, đóng vai trò quan trọng trong phân tích hiệu quả sử dụng vốn trong sản xuất.
1.3.5 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị của hàm đã cho tại điểm cho trước: (a) z=x 3 y+ 2x 4 y 5 tại(x, y) = (1,1).
1.3.7 Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm:
(c) f(x, y) =x−xy+y 2 gần điểm(x, y) = (5,6) Viết phương trình cho mặt phẳng tiếp xúc của đồ thị ở điểm (x, y) = (5,6) Ước lượngf(5,1; 5,9).
(d) f(x, y) =sin(x+ 2y) gần điểm (x, y) = (0,0) Ước lượngf(−0,05; 0,05) So sánh số ước lượng với kết quả thu được bằng máy tính.
(e) f(x, y) =√ 1 x 2 +y 2 gần điểm(x, y) = (3,4) Tính xấp xỉ √ 1
1.3.9 Một tấm kim loại hình chữ nhật kích thước3 mét×4 mét khi gặp nóng bị giãn ra, mỗi mét chiều dài ước lượng sẽ giãn ra thêm1cm Hãy ước lượng nhanh (không dùng máy tính) lượng gia tăng của diện tích tấm kim loại.
1.3.12 Hàm f(x, y)thỏa phương trình f xx +f yy = 0, phương trình Laplace, được gọi là một hàm điều hòa Hãy kiểm các hàm sau có phải là hàm điều hòa hay không.
1.3.13 Hãy kiểm hàmf(x, t) =sin(cx)e − c 2 t , vớiclà một hằng số thực, thỏa phương trình truyền nhiệt f t =f xx
1.3.14 Chứng tỏ với mỗi số thựcc, hàmu(x, t) = (2cos(ct) + 3sin(ct))sinxlà nghiệm của phương trình truyền sóng u tt =c 2 u xx
Các tính chất của đạo hàm
Đạo hàm của hàm hợp
Trong phép tính vi phân hàm nhiều biến, công thức đạo hàm của hàm hợp giữ vai trò quan trọng và hữu ích giống như trong hàm một biến Việc nắm vững quy tắc đạo hàm hàm hợp nhiều biến giúp giải quyết các bài toán phức tạp về đạo hàm trong các hàm đa biến một cách dễ dàng và chính xác hơn.
Ví dụ 1.4.1 Giả sử f(x, y) = x 2 y 3 , với x(t) = t 4 và y(t) = t 5 Đặt z(t) f(x(t), y(t)) Tìm dz dt Đây là vấn đề đạo hàm của hàm hợp.
Ta có thể đưa ra một lý luận dựa trên xấp xỉ tuyến tính như sau Vì
∆z≈f x (x, y)∆x+f y (x, y)∆y nên chia hai vế cho ∆t ta được
∆t qua giới hạn khi ∆t→0ta được z ′ (t)≈f x (x, y)x ′ (t) +f y (x, y)y ′ (t).
Công thức xấp xỉ này cung cấp gợi ý cho công thức chính xác của đạo hàm hàm hợp Theo Định lý 1.4.2, với hàm số f(x, y) và các biến x = x(t), y = y(t) liên tục khả vi, ta có thể xác định đạo hàm theo t của z(t) = f(x(t), y(t)) bằng công thức ∂f/∂x nhân với dx/dt cộng với ∂f/∂y nhân với dy/dt Điều này giúp hiểu rõ cách tính đạo hàm của hàm hợp trong các bài toán liên quan đến đạo hàm theo biến thời gian.
Người ta thường hiểu ngầmf là hàm củatqua hàm hợp, để công thức ngắn gọn hơn và đỡ phải đặt thêm biến mới, và viết tắt rằng df dt = ∂f
Trong trường hợp x và y là hàm của t và các biến khác nữa, thì các đạo hàm theot trở thành các đạo hàm riêng và ta viết công thức là
Chứng minh này dựa trên việc làm rõ chính xác phần giải thích ở trên bằng cách thay thế xấp xỉ bằng việc áp dụng định lý giá trị trung bình, qua đó thúc đẩy sự chính xác và rõ ràng trong luận chứng toán học.
∆z=f(x+∆x, y+∆y)−f(x, y) = [f(x+∆x, y+∆y)−f(x, y+∆y)]+[f(x, y+∆y)−f(x, y)]. Áp dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange, có hai số thực0< θ 1