3.2 Các công thức cho đạo hàm
3.2.5 Đạo hàm bậc cao
Nếuf có đạo hàmf′ trong một khoảng nào đó thìf′ cũng là một hàm. Nếuf′ có đạo hàm thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm cấp hai củaf. Ta ký hiệuf′′= (f′)′. Ví dụ 3.2.14. Đạo hàm cấp một của hàm sốf(x) =x3+ 3x2+ 3x+ 1là f′(x) = 3x2+ 6x+ 3. Đạo hàm cấp một củaf′ làf′′(x) = (f′)′(x) = (3x2+ 6x+ 3)′= 6x+ 6.
Đạo hàm cấp hai cho tốc độ biến thiên của đạo hàm cấp một.
Ví dụ 3.2.15. Xét hàm vị trí của vật trong không gian theo thời gian, thì đạo hàm bậc một là vận tốc chuyển động của vật, còn đạo hàm bậc hai là vận tốc thay đổi của vận tốc của vật, tức là gia tốc. Nếu gia tốc dương thì vận tốc của vật đang tăng, tức là vật đang tăng tốc. Ngược lại gia tốc âm thì vận tốc của vật đang giảm, vật đang giảm tốc.
Giả sử đạo hàm cấp (n−1) được xác định, ký hiệu f(n−1), ta định nghĩa đạo hàm cấp n của f, ký hiệu là f(n), là đạo hàm của đạo hàm cấp (n−1), tức là f(n)=
f(n−1)′
.
Ví dụ 3.2.16. Tính đạo hàm đến cấpncủa hàm f(x) = sinx.
3.2. CÁC CÔNG THỨC CHO ĐẠO HÀM 73 Ta cóf′(x) = cosx, f′′(x) =−sinx,f(3)(x) =−cosx,f(4)(x) = sinx, f(5)(x) = cosx. Ta nhận thấy các đạo hàm này lặp lại xoay vòng sau 4 lần lấy đạo hàm. Kết luận này có thể được trình bày chặt chẽ bằng cách dùng phép qui nạp toán học, cho phép ta kết luận với mỗi số nguyên dươngnthì
f(n)(x) =
sinx, n= 0 mod 4, cosx, n= 1 mod 4,
−sinx, n= 2 mod 4,
−cosx, n= 3 mod 4.
Ở đây mod 4(modulo) là phép lấy phần dư khi chia số nguyên cho4.
Ví dụ 3.2.17. Không phải hàm nào cũng có đạo hàm cấp hai, cũng như không phải hàm nào cũng có đạo hàm cấp một. Xét hàm số sau
f(x) =
x2
2 , x≥0,
−x2
2 , x <0.
Ta tính được
f′(x) =
x, x≥0,
−x, x <0.
Ta thấy f′(x) =|x|. Như đã tìm hiểu ở Ví dụ 3.1.9, hàm|x|không có đạo hàm tại x= 0. Do đó f′′(0) không tồn tại.
Bài tập
3.2.1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
(a) 3x2−9x+ 7x2/5−3x1/2. (b) 4x5−3x1/2.
(c) (x2+ 1)(x2+ 3x+ 2).
(d) (x1/2+x−1/2)(4x5−3√ x).
(e) 1
x2+√ x. (f) √
xsinx.
(g) x
1 + tanx. (h) cosx
1−sinx. (i) (x4+ 3x2−2)5.
(j) √3
x3+ sinx.
(k) cos(a2+x2).
(l) (x2+ 1)3(sinx)2. (m) sin√
x2+ 1.
(n) xsin1x. (o) cos4(sin3x).
(p) cosp
sin(tanπx).
(q) 2018p
ln (2017 +x2)e2014x. (r) xx.
(s) eeex.
3.2.2. Hãy tìm phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số sau tại giá trịxcho trước.
(a) f(x) =x2,x= 3.
(b) f(x) = x2x+2,x= 1.
3.2.3. Cho hàmgkhả vi,g′(1) =g(1) = 1. Chof = 2gã(g◦g2). Tỡmf′(1).
3.2.4. Chof(4) = 2,f′(4) = 3, vàF(x) =f(xf(x2)). TìmF′(2).
3.2.5. Cho
g(x) =f(x2f(x)).
Chof(1) = 2,f(2) = 4,f′(1) = 3,f′(2) =−1. Tínhg′(1).
3.2.6. ChoF(x) =f(x(f(xf(x)))), vớif(1) = 2,f(2) = 3,f′(1) = 4,f′(2) = 5, f′(3) = 6.
Tìm F′(1).
3.2.7. Cho hai hàm sốg(x) =√3
x+ 5vàh(x) = 3−x+1. Tính đạo hàm củag,h, vàg◦h.
3.2.8. Hãy rút ra công thức (a)
arccos′x=− 1
√1−x2, x∈(−1,1).
(b)
arctan′x= 1
1 +x2, x∈R. 3.2.9. Cho
g(x) = x11 x10+ 2 và chohlà hàm ngược củag. Tínhh′(1/3).
3.2.10. Chou(x) =√
x3+x2+x+ 1và chov là hàm ngược củau. Tínhv′(1).
3.2.11. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm sốyđược cho bởi phương trình ẩn:
(a) x3+y3= 6xy tại điểm(3,3).
(b) x2+y2= 25tại điểm(3,−4).
(c) x2+y2= 2tại điểm(1,1).
(d) y4= 4x4+ 6xytại điểm(1,2).
(e) x2+y2= 1 +ytanxtại điểm(0,1).
(f) ysin 2x=xcos 2y tại điểm(π/2, π/4).
(g) sin(x+y) = 2x−2y tại điểm(π, π).
(h) x2+y2 = (2x2+ 2y2−x)2 tại điểm (0,1/2). Hãy dùng phần mềm máy tính để vẽ đường này để thấy lí do đường này được gọi là đường hình trái tim.
(i) x2(x2+y2) =y2 tại điểm(1/√ 2,1/√
2).
(j) y2tanx+ lny=y tại điểm(π4,1).
3.2. CÁC CÔNG THỨC CHO ĐẠO HÀM 75 3.2.12. Một cái thang dài50mét đang dựa vào tường. Khi đỉnh thang đang ở cách nền30 mét thì thang bị trượt, đỉnh thang tuột xuống với vận tốc3mét mỗi giây. Hỏi đáy thang trượt xa khỏi bức tường với vận tốc bao nhiêu?
3.2.13. Một bồn nước hình trụ đáy tròn bán kính1m được bơm nước vào với tốc độ 2 m3/giờ. Hỏi mực nước trong bồn đang dâng lên với tốc độ bao nhiêu?
3.2.14. Một bồn chứa nước hình trụ với đáy là một hình tròn bán kính5 mét. Giả sử nước đang được tháo ra khỏi bồn với tốc độ1mét khối mỗi giây. Hỏi mực nước trong bồn đang thay đổi với tốc độ bao nhiêu?
3.2.15. Một hồ bơi có hình hộp chữ nhật dài 50 mét và rộng 15 mét. Nước đang được bơm vào hồ với tốc độ1m3mỗi phút. Hỏi mực nước trong hồ đang dâng lên nhanh như thế nào?
3.2.16. Hãy tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sinx 1 +x2. 3.2.17. Hãy tính đạo hàm cấp 3 của hàm số cosx
ex . 3.2.18. Hãy tìm đạo hàm cấpncủa mỗi hàm sau:
(a) f(x) =x10+ 2x9+ 1.
(b) f(x) = x+11 .
(c) f(x) = x−21 . (d) f(x) = lnx.
3.2.19 (Công thức Leibniz cho đạo hàm của tích). Bằng phương pháp quy nạp toán học hãy chứng minh công thức hữu ích sau trong tính toán đạo hàm cấp cao. Nếuf và gcó đạo hàm đến cấpnthỡ hàm số tớchfãgcú đạo hàm đến cấp nvà
(fãg)(n)=
n
X
k=0
Cnkf(k)ãg(n−k).
Ở đâyCnk =k!(n−k)!n! , và qui ướcf(0)=f.
3.2.20. Sử dụng công thức Leibniz cho đạo hàm của tích, tính đạo hàm cấp100của hàm f(x) =x3sinxtạix= 0.
3.2.21. Sử dụng công thức Leibniz cho đạo hàm của tích, tính đạo hàm cấp 2019của hàm (3x−1)e2x.
3.2.22. Sử dụng công thức Leibniz cho đạo hàm của tích, tìmy(n)với (a) y=xex.
(b) y= (1−x2) cosx.
(c) y=x3lnx.
Chương 4
Ứng dụng của đạo hàm