2.2 Hàm số liên tục
2.2.2 Định lý giá trị trung gian
Trong đời sống ta thường nghĩ một chuyển động như của con người là liên tục theo thời gian. Chẳng hạn hiển nhiên khi ta đi từ trong nhà ra đường thì phải bước qua cửa. Cơ sở toán học của điều này chính là Định lý giá trị trung gian.
Định lý 2.2.12(Định lý giá trị trung gian). Giả sử f liên tục trên khoảng đóng [a, b] và N là một số bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b). Khi đó tồn tại một số c∈[a, b]
sao chof(c) =N.
Một cách ngắn gọn, một hàm số liên tục trên một đoạn lấy mọi giá trị trung gian. Tập giá trị của một hàm liên tục trên một đoạn số thực là một đoạn số thực.
Tính chất này là một hệ quả của tính đầy đủ của tập hợp các số thực.
Về mặt trực quan, Định lý giá trị trung gian có ý nghĩa rằngđồ thị của một hàm liên tục trên một khoảng là liên thông. Điều này thể hiện rằng đồ thị không có lỗ trống hay nét đứt nào, tức là liền mạch. Ta có thể tưởng tượng rằng ta có thể vẽ đoạn đồ thị này bằng một nét bút liền mạch mà không cần nhấc bút khỏi trang giấy. Ta cũng có thể tưởng tượng nếu đồ thị này là một con đường thì ta có thể đi từ đầu này tới đầu kia của một con đường này mà không gặp một trở ngại nào. Đồ thị đó chẳng qua là một đoạn số thực bị uốn cong.
Hình 2.2.3: Minh họa hình học định lý giá trị trung gian: Đường nằm ngangy=N nằm giữa y=f(a)và y=f(b) luôn cắt đồ thị hàm sốf ở ít nhất một điểm.
2.2. HÀM SỐ LIÊN TỤC 51 Ví dụ 2.2.13. Chứng tỏ rằng phương trình
3x3−2017x2+ 2018x−2 = 0 có một nghiệm nằm giữa0 và1.
Đặtf(x) = 3x3−2017x2+ 2018x−2. Ta có f(0) =−2<0 vàf(1) = 2>0. Vì f là một hàm số liên tục vàf(0)<0< f(1) nên Định lý giá trị trung gian khẳng định có một số c∈(0,1)sao chof(c) = 0.
Ta có thể vẽ đồ thị của hàm để dự đoán và minh họa cho tính toán trên.
Bằng cách thu nhỏ khoảng chắc chắn chứa nghiệm ta có thể đưa ra một giá trị gần đúng của nghiệm, đặc biệt thuận tiện nếu ta dùng đồ thị.
Bài tập
2.2.1. Từ đồ thị của hàm trong Hình 2.2.4 tìm điểm tại đó hàm không liên tục và giải thích tại sao.
a b c
Hình 2.2.4
2.2.2. Từ đồ thị của hàm trong Hình 2.2.5 tìm điểm tại đó hàm không liên tục và giải thích tại sao.
u v w
Hình 2.2.5
2.2.3. Cho
f(x) =
3x+ 1 nếux≤ −1 x3−1 nếux >−1.
(a) Tìm lim
x→−1−f(x)and lim
x→−1+f(x).
(b) Hàmf(x)liên tục ở đâu? Không liên tục ở đâu?
2.2.4. Xét tính liên tục của hàm tại điểmacho trước.
(a)
f(x) = 1
x+ 2017, a=−2017.
(b)
f(x) = ( 1
x+2017 nếux̸=−2017
2018 nếux=−2017, a=−2.
(c)
f(x) =
( −x2+x+ 2 nếux <1
2−x1 nếux≥1, a= 1.
(d)
f(x) =
( x3−x
x4−1 nếux̸= 1
1
2 nếux= 1, a= 1.
(e)
f(x) =
sin(x2−x) nếux <0
0 nếux= 0
−(x+ 1)3−x2+ 2 nếux >0,
a= 0.
(f)
f(x) =
( x2√−3x−4
x−2 nếux̸= 4
10 nếux= 4, a= 4.
2.2.5. Xét sự liên tục của các hàm số sau:
(a)
f(x) =
( x3+ 1 nếux <1
√x+ 3 nếux≥1.
(b)
f(x) =
( sin(x2 + cosx) nếux < π/2 cos(x2 + sinx−1) nếux≥π/2.
(c)
f(x) =|2x−1|.
(d)
f(x) =
sin1x, x̸= 0, 0, x= 0.
(e)
f(x) =
xsinx1, x̸= 0,
0, x= 0.
2.2. HÀM SỐ LIÊN TỤC 53 2.2.6. Cho
f(x) =
x2−x−2
x+ 1 nếux≤ −1 3 nếux >−1.
(a) Tìm lim
x→−1−f(x)và lim
x→−1+f(x).
(b)f liên tục ở đâu?
2.2.7. Cho
f(x) =
3x nếux≤ −1 3−x nếu1≤x≤4
√x nếux >4.
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số. Trong các điểm gián đoạn, tại những điểm nào hàm số liên tục bên trái, bên phải hoặc không liên tục ở bên nào cả?
2.2.8. Ký hiệu là số nguyên lớn nhất nhưng không lớn hơn số thựct, tức là phần nguyên củat. Xét hàm sốf cho bởif(x) =⌊2 cosx⌋. Hãy phác họa đồ thị củaf trên đoạn[−2π3,2π]
và cho biết hàmf gián đoạn tại những điểm nào.
2.2.9. Tính các giới hạn sau:
(a) lim
x→4
5 +√ x2−1
√7 +x . (b) lim
x→πsin(x+ sinx).
(c) lim
x→π/4excos2x−x2. (d) lim
x→2(x3−4x+ 1)−7. (e) lim
x→0
sin(2x) 3x . (f) limx→0sin 3x
5x .
2.2.10. Giả sử f và g là các hàm số liên tục sao cho g(1) = 2017 và limx→1[f2(x)− 2f(x)g(x)] =−20172. Tínhf(1).
2.2.11. Tìm giá trị củac sao cho hàm số sau liên tục trên(−∞,∞): f(x) =
( c2x2+ 2cx nếu x <1 4x3−cx nếu x≥1.
2.2.12. Tìm giá trị củaa, bsao cho hàm số sau liên tục trên(−∞,∞):
f(x) =
x4−1
x−1 nếux <1 ax2−bx+ 4 nếu1≤x <2 3x+a−b nếux≥2.
2.2.13. Lúc15tuổi, Hương cao gấp đôi cậu em5tuổi Huy, nhưng vào sinh nhật thứ 21của Huy thì Huy đã cao hơn chị6cm. Giải thích tại sao có một thời điểm mà cả hai đã cao bằng nhau.
2.2.14. Hãy dùng máy tính vẽ đồ thị của các hàm sau để dự đoán khoảng chứa nghiệm, sau đó sử dụng định lý giá trị trung gian để chỉ ra sự tồn tại một nghiệm. Hơn nữa, hãy thu nhỏ khoảng chứa nghiệm để đưa ra một giá trị gần đúng của nghiệm.
(a) 2x5+x−2 = 0.
(b) √3
x= 2017−x−x2. (c) cosx=x.
(d) x3−3x−sinx−1 = 0.
(e) −x3+ 2x2+x+ 1 = 0.
2.2.15. (a) Phác họa đồ thị của hàmy=x2−1và hàmy=x3+ 2trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
(b) Chứng tỏ hai đồ thị có ít nhất một giao điểm.
2.2.16. Chứng tỏ phương trìnhx5−4x3−2x2+ 3x+ 1 = 0có ít nhất một nghiệm trong khoảng[0,1].
2.2.17. Chứng minh phương trìnhlnx=e−x có ít nhất một nghiệm thực.
2.2.18. Chof(x) =x3+ 2017 cosx, chứng minh rằng tồn tại sốc sao chof(c) = 2000.
2.2.19. Giả sửf liên tục trên[1,10]và phương trìnhf(x) = 2017chỉ có hai nghiệm làx= 1 vàx= 7. Nếuf(2) = 2018, giải thích vì saof(5)>2017.
2.2.20. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm thực vớinlà số nguyên dương lẻ.
(a) cos(xn+ 1) =xn+ 1.
(b) xn−x2+ 4x+ 1 = 0.
2.2.21. Nếuavàblà các số thực dương, chứng minh phương trình a
x5+ 3x4−2+ b
2x5+x−3 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng(−1,1).
2.2.22. Chứng tỏ phương trình 1
1−x+ 2
2−x+ 3 3−x = 0 có ít nhất hai nghiệm trên(1,2)∪(2,3).
2.2.23. * Chứng tỏ mọi đa thức bậc lẻ đều có ít nhất một nghiệm.
Chương 3
Phép tính vi phân