5.1.1 Bài toán diện tích
Khái niệm chiều dài, diện tích, thể tích đã hình thành từ lâu trong lịch sử nhằm phục vụ nhu cầu đo đạc. Ngày nay các khái niệm này được mỗi người tiếp nhận từ nhỏ. Tuy ta có thể hình dung chúng là các số đo độ lớn, độ chiếm chỗ của vật thể, nhưng thật sự không dễ trả lời câu hỏi: diện tích là gì?
Diện tích của một hình chữ nhật được cho bằng tích của chiều dài và chiều rộng của nó. Diện tích của một tam giác ta biết là bằng phân nửa của diện tích của một hình chữ nhật có cùng đáy và cùng chiều cao. Diện tích của một đa giác được tìm ra bằng cách chia nhỏ đa giác này thành các tam giác, rồi cộng diện tích của các tam giác này lại. Với những hình phức tạp thì có thể dùng xấp xỉ bằng những hình đã biết.
Có thể cho rằng trong lịch sử tuy khái niệm diện tích chưa được làm rõ nhưng việc sử dụng khái niệm này trong thực tế chủ yếu dựa trên nguyên tắc sau về cách dùng: đưa ra một mẫu vật có độ đo đơn vị, và dùng nguyên tắc cộng tính để tính độ đo của các vật khác.
Từ khoảng thế kỉ 17 xuất hiện nhu cầu chính xác hóa, làm rõ, và phát triển khái niệm diện tích. Vấn đề này gắn liền với vấn đề xây dựng một phép tính tổng tổng quát, gọi là tích phân. Dưới đây chúng ta thảo luận sơ lược một cách làm, được gọi là tích phân Riemann.
5.1.2 Định nghĩa tích phân
Cho hàmf :I = [a, b]→Rkhông âm. Ta muốn tìm “diện tích” của miền bên dưới đồ thị của hàmf bên trên khoảngI. Ta xấp xỉ miền đó bằng những hình chữ nhật với đáy là một khoảng con của I và chiều cao là một giá trị của f trong khoảng con đó. Ta hy vọng rằng khi số hình chữ nhật tăng lên thì tổng diện tích của các hình
108
5.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 109
Hình 5.1.1: Xấp xỉ bằng các hình chữ nhật.
chữ nhật có giá trị gần đúng với diện tích hình đang xét. Xem Hình 5.1.1.
Cụ thể hơn như sau. Chia khoảng [a, b]thành các khoảng con bằng các điểm a=x0< x1 < x2 <ã ã ã< xn=b.
Trên mỗi khoảng [xi−1, xi],1≤i≤n, lấy một điểm x∗i nào đó. Giá trịf(x∗i) là một giá trị đại diện cho giá trị củaf trên[xi−1, xi]. Đó cũng là chiều cao của hình chữ nhật với đáy [xi−1, xi] xấp xỉ miền dưới đồ thị của hàmf bên trên [xi−1, xi]. Diện tích của hình chữ nhật này làf(x∗i)(xi−xi−1). Tổng
n
X
i=1
f(x∗i)(xi−xi−1)
là một xấp xỉ của “diện tích” của miền bên dưới đồ thị của f bên trên I, được gọi là mộttổng Riemann1. Xem Hình 5.1.2.
Sau đây là một cách tiếp cận định lượng. Ta muốn tính tổng giá trị của hàmf trên khoảngI = [a, b]. Ta chia nhỏI thành bằng khoảng con nhỏ hơn. Ta hy vọng rằng trên mỗi khoảng nhỏ hơn đó, giá trị của hàm f sẽ thay đổi ít hơn, và ta có thể xấp xỉf bằng một hàm hằng với giá trị là một giá trị đại diện f(x∗i). Tổng giá trị trên khoảng[xi−1, xi] được xấp xỉ bằngf(x∗i)(xi−xi−1). Vậy tổng giá trị trên I được xấp xỉ bằng
n
X
i=1
f(x∗i)(xi−xi−1)
Ta hy vọng rằng nếu ta chia càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt hơn, và khi qua giới hạn thì ta sẽ được giá trị đúng của tổng giá trị củaf.
Giới hạn của tổng Riemann cần được hiểu một cách chính xác. Một cách là nói rằng giới hạn đó là một số thực mà tổng Riemann có thể gần số thực đó tùy ý miễn là phép chia nhỏ là đủ mịn.
1Bernard Riemann đã đề xuất một định nghĩa chặt chẽ cho tích phân vào khoảng năm 1854, mặc dù tích phân đã được dùng trước đó.
Hình 5.1.2: Tổng Riemann.
Định nghĩa 5.1.1. Nếu có một số thựcL sao cho với mọi số thực ϵ >0 có số thực δ >0sao cho với mọi cách chia
a=x0 < x1 < x2 <ã ã ã< xn=b
mà có chiều dài mỗi đoạn [xi−1, xi]đều nhỏ hơn δ thì với mọi cách chọn số thực x∗i ∈[xi−1, xi], xảy ra
n
X
i=1
f(x∗i)(xi−xi−1)−L
< ϵ thì ta gọi Llàtích phân củaf trên [a, b], kí hiệu bởi
Z b a
f
hoặc
Z b a
f(x)dx.
Nếu tích phân tồn tại thì ta nói hàm có tích phân hay làkhả tích.
Khi f khả tích thì ta có thể tính xấp xỉ tích phân của f với độ chính xác tùy ý bằng cách tính tổng Riemann.
Ví dụ 5.1.2. Cho hàm sốf định bởi f(x) =x3+ 1 xác định trên đoạn [2,10]. Hãy viết biểu thức tổng tích phân (tổng Riemann) của f trên[2,10] bằng cách chia đoạn này thành16 đoạn con đều nhau, điểm lấy mẫu là trung điểm của mỗi đoạn con.
Chiều dài mỗi đoạn con là∆x= 10−216 = 12. Các điểm chia làxi = 2+10−216 i= 2+12i với1≤i≤16. Trung điểm của mỗi đoạn con[xi−1, xi]làx∗i = 2+10−216 (i−1)+10−216ã2 =
5.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 111
9
4+ 12i. Tổng Riemann tương ứng là
16
X
i=1
f(x∗i)∆x=
16
X
i=1
1 2
"
9 4+ 1
2i 3
+ 1
# .
Tích phân có hai ý nghĩa chính: đại diện cho tổng giá trị của hàm2, và đại diện chodiện tích phần bên trên trục x bên dưới đồ thị trừ diện tích phần bên dưới trục x bên trên đồ thị.
Ở Mục 5.4.1 ta sẽ tiếp tục dùng tích phân để khảo sát diện tích.
Kí hiệudxphổ biến trong kí hiệu tích phân chủ yếu để chỉ tên của biến của hàm mà ta lấy tích phân, không có ý nghĩa độc lập.
Để cho tiện, khi a < b ta cũng định nghĩa Z a
b
f =− Z b
a
f.
5.1.3 Các tính chất của tích phân
Các tính chất sau được dẫn xuất từ định nghĩa của tích phân.
Mệnh đề 5.1.3. (a) Tích phân nếu tồn tại thì là duy nhất.
(b) Nếuk là một hằng số thực và f có tích phân thì kf có tích phân và Z b
a
[kf(x)]dx=k Z b
a
f(x)dx.
(c) Nếuf có tích phân và g có tích phân thì f+g có tích phân và Z b
a
[f(x) +g(x)]dx= Z b
a
f(x) dx+ Z b
a
g(x)dx.
(d) Nếu f có tích phân trên [a, b]và trên [b, c]thì f có tích phân trên [a, c] và Z b
a
f+ Z c
b
f = Z c
a
f.
(e) Nếuf ≥g trên [a, b]thì
Z b
a
f ≥ Z b
a
g.
Một số tính chất trên có thể được giải thích và minh họa bằng định lượng hoặc hình học khá dễ dàng. Ví dụ tính chất (a), tổng của hàm2f hẳn đúng bằng2 lần tổng củaf. Tính chất (e), nếuf ≥g≥0 thì về mặt trực quan đồ thị củaf cao hơn đồ thị củag, do đó diện tích bên dưới đồ thị của f lớn hơn hay bằng diện tích bên dưới đồ thị củag.
2Kí hiệuR
do Gottfried Leibniz đặt ra khi xây dựng phép tính vi tích phân vào thế kỉ 17. Nó đại diện cho chữ cái “s” trong chữ Latin “summa” (tổng).
Từ cách xây dựng tích phân ta có thể thấy tính liên tục của hàm là thiết yếu để xấp xỉ được tốt. Đại ý, tính liên tục khiến nếu giá trị của biến thay đổi nhỏ thì giá trị của hàm thay đổi nhỏ, nhờ đó sự xấp xỉ giá trị hàm bằng cách lấy giá trị đại diện là có hiệu quả. Kết quả dưới đây khẳng định các hàm liên tục đều khả tích, nhờ đó ta có thể lấy tích phân của phần lớn hàm gặp trong môn học này.
Định lý 5.1.4 (Hàm liên tục thì có tích phân). Nếu f liên tục trên đoạn[a, b]
thì tích phân Rb
af tồn tại.
Chứng minh chặt chẽ cho các mệnh đề trên được thảo luận trong các tài liệu như [TPTT02].
Bài tập
5.1.1. Tốc độ chạy của một vận động viên được ghi nhận trong bảng sau, vớit là thời điểm kể từ thời điểm xuất phát vàv là tốc độ tại thời điểmt.
t (s) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
v (m/s) 0 2 4 5,5 6 6 5,8
Hãy ước tính quãng đường mà vận động viên đã chạy được.
5.1.2. Cho hàm sốf liên tục trên[1,9]. Biết một số thông tin giá trị hàmf như bảng
x 1 3 5 7 9
f(x) 0,5 1 1,5 2 2,5 Tìm xấp xỉ tích phânR9
1 f(x)dxbằng cách tính tổng Riemann tương ứng với phân hoạch đoạn[1,9]thành4 đoạn với điểm mẫu là điểm bên trái của mỗi đoạn con.
5.1.3. Hãy tính tổng tích phân (tổng Riemann) của f(x) =x4 trên [0,1]bằng cách chia đoạn này thành10đoạn con đều nhau, điểm lấy mẫu là trung điểm của mỗi đoạn con.
5.1.4. Hãy tính tổng tích phân (tổng Riemann) củaf(x) =√
x3+ 1 trên[2,10]bằng cách chia đoạn này thành16đoạn con đều nhau, điểm lấy mẫu là trung điểm của mỗi đoạn con.
5.1.5. Sử dụng các tính chất của tích phân để chứng minh bất đẳng thức mà không cần tính tích phân.
Z 1 0
p1 +x2dx≤ Z 1
0
√1 +x dx.
5.1.6. Sử dụng tính chất của tích phân để kiểm tra ước lượng 2≤
Z 1
−1
p1 +x4dx≤2√ 2.
5.1.7. Tìm chặn trên và chặn dưới cho Z 1
0
√ dx
2x4+ 3.
5.1.8. ∗ Giả sửf liên tục trên đoạn [a, b]vàf(x)≥0trên[a, b]. Hãy giải thích vì sao nếu Rb
af = 0 thìf = 0trên[a, b].