Skkn rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn

Trong chương trình Giải tích lớp 12 thì bài toán tìm GTLN-GTNN củahàm số bằng sử dụng công cụ đạo hàm đã được Sách giáo khoa trình bày mộtcách rất chi tiết, các bài tập đưa ra vận dụng g

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG TÌM

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN

Người thực hiện: Hồ Thị Mai Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

MỤC LỤC

1 PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 3

2.2 Thực trạng vấn đề 3

2.3 Các giải pháp 6

2.3.1 Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập hợp D 7

2.3.2 Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập hợp D 10

2.3.3 Vận dụng vào giải các bài toán có chứa tham số 16

2.3.4 Bài tập luyện tập 20

2.4 Hiệu quả của sáng kiến 22

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 23

3.1 Kết luận 23

3.2 Kiến nghị 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 25

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Môn Toán là môn học rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh để giảiquyết vấn đề, để làm được điều đó thì khi học toán học sinh cần phải hiểu rõbản chất của bài toán để vận dụng vào giải quyết các bài toán tương tự và sángtạo ra các bài toán mới Từ năm học 2016-2017 tại kì thi THPT Quốc gia thìmôn Toán đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, việc thi trắc nghiệmđối với môn Toán có những ưu và nhược điểm, một trong những nhược điểm đó

là có những em học sinh chọn đúng đáp án nhưng mà lời giải mang tính ngộnhận mà không thể hiện rõ bản chất của bài toán Ngoài ra, với học sinh có thể

sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải quyết bài toán mà không cần trải quamột số bước trong quy trình giải bằng lý thuyết toán học Để không làm mất đicái hay cái đẹp của bài toán thì người ra đề sẽ tìm cách ra chống bấm máy tính

để giải, khâu bấm máy chỉ là hỗ trợ trong quy trình giải một bài toán

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của mộthàm số hầu như khi nào cũng xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia các nămgần đây Trong chương trình Giải tích lớp 12 thì bài toán tìm GTLN-GTNN củahàm số bằng sử dụng công cụ đạo hàm đã được Sách giáo khoa trình bày mộtcách rất chi tiết, các bài tập đưa ra vận dụng giải thường là các hàm số cụ thểnên học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh Tuy nhiên, nếu bài

toán không cho hàm số cụ thể (hàm ẩn) thì việc tìm GTLN-GTNN của hàm số

trở nên khó khăn hơn nếu học sinh không nắm rõ định nghĩa và các quy tắc tìmkhi mà vai trò của máy tính cầm tay lúc này trở nên mờ nhạt, các bài toán kiểunày thường xuyên xuất hiện trong các đề thi gần đây

Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy cũng như sự tìm tòi,

tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán, tôi lựa chọn đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn” với

mong muốn trang bị cho học sinh một số kỹ năng giải dạng toán này nhằm góp

phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã được các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn,trong nhà trường nhiệt tình góp ý trong quá trình thực hiện cũng như tạo điềukiện trong hoạt động thực nghiệm.

1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu cách giải các bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm ẩn ở các

đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT, các Sở GD&ĐT trên cả nước,

đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây của Bộ GD&ĐT

Các vấn đề tôi trình bày trong đề tài nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài toántìm GTLN-GTNN của hàm ẩn cho đối tượng học sinh lớp 12 trong ôn thi THPTQuốc gia

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp

dạy học toán, các đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia và các tàiliệu tham khảo có liên quan đến đề tài

2 Điều tra tìm hiểu: tiến hành tìm hiểu khó khăn, vướng mắc của học sinh

qua việc trao đổi với học sinh, với giáo viên và hoạt động dự giờ

3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở lớp 12

để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Nắm vững và vận dụng được kiến thức cơ bản vào trong những trường hợp

cụ thể, biết làm lại được những vấn đề tương tự với vấn đề đã biết, biết phân tíchbài toán phức tạp thành từng vấn đề đơn giản hơn để có thể vận dụng đượcnhững bài toán cơ bản đã biết là những yếu tố rất cần thiết để giải được nhữngbài toán khó

Trong khuôn khổ của đề tài này tôi chủ yếu tập trung vào việc phân tíchcác bài toán để học sinh nắm vững cách giải quyết từng bài toán cụ thể, từ đócác em sẽ biết làm các bài tương tự Để làm được điều này tôi xin nêu lại địnhnghĩa; quy tắc tìm và một số định lý áp dụng trong giải bài tập liên quan đến giátrị nhỏ nhất-giá trị lớn nhất của hàm số

Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số,

bao giờ ta cũng xét trên tập cụ thể Cùng một hàm số, nhưng nếu xác địnhtrên tập khác nhau, thì nói chung giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tương ứng làkhác nhau

2.1.2 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1 : Tính và tìm các điểm mà tại đó

hoặc hàm số không có đạo hàm

 Bước 2 : Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của

hàm số

b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

 Bước 1 : - Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn

- Tìm các điểm trên khoảng , tại đó hoặc không xác định

 Bước 2 : Tính

 Bước 3 : Khi đó:

Chú ý:

- Nếu nghịch biến trên thì

c Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

 Bước 1 : Tính đạo hàm

 Bước 2 : Tìm tất cả các nghiệm của phương trình vàtất cả các điểm làm cho không xác định.

Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó

2.1.3 Một số định lý liên quan đến ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

- Định lý 1: Nếu hàm số liên tục trên thì bất phương trình

có nghiệm thuộc đoạn khi và chỉ khi

- Định lý 2: Nếu hàm số liên tục trên thì bất phương trình

có nghiệm thuộc đoạn khi và chỉ khi

- Định lý 3: Nếu hàm số liên tục trên thì bất phương trình

nghiệm đúng với mọi thuộc đoạn khi và chỉ khi

- Định lý 4: Nếu hàm số liên tục trên thì bất phương trình

nghiệm đúng với mọi thuộc đoạn khi và chỉ khi

- Định lý 5: Nếu hàm số liên tục trên và không đổi dấutrên thì : +) Bất phương trình nghiệm đúng với mọi thuộc

+) Bất phương trình nghiệm đúng với mọi thuộc khoảng

+) Bất phương trình nghiệm đúng với mọi thuộc khoảng

Trong chương I của Giải tích 12, bài “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số” đã được thể hiện nội dung lý thuyết và phần bài tập áp dụng rất cụ

thể Học sinh đã được giới thiệu định nghĩa, quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất nên khi cho một hàm số cụ thể thì các em dễ dàng làm được Tuy

nhiên, khi đề bài không cho hàm số cụ thể ( tôi xin gọi là : hàm ẩn) mà giả thiết

được cho chỉ là dạng đồ thị, bảng biến thiên hoặc một tính chất nào đó của hàm

số thì các em sẽ thấy lúng túng vì chưa được gặp dạng bài tập này nhiều Do đócác em sẽ không còn tự tin dẫn đến làm sai hoặc không biết định hướng các làmcác bài toán kiểu này

Trước khi làm chuyên đề này tôi đã khảo sát ở 2 lớp 12A và 12B với tống số

90 học sinh, kết quả đạt được như sau

Không nhận biết được

Nhận biết,nhưng khôngbiết vận dụng

Nhận biết vàbiết vận dụng,chưa giải đượchoàn chỉnh

Nhận biết vàbiết vận dụng,giải được bàihoàn chỉnh

Tỉ lệ ( %) 66,7 22,2 11,1 0

Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em

không ngại và lùng túng khi gặp các bài toán về hàm ẩn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên

cứu.Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề: “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn”

2.3 CÁC GIẢI PHÁP

2.3.1 Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số , tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập hợp D

Khi bài toán chỉ cho giả thiết là đồ thị của hàm số trên tập hợp

D và yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số này thì lúc nàyhọc sinh phải có kỹ năng đọc đồ thị tốt Hơn nữa có thể chỉ ra được giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( nếu có) trên một tập hợp

Ví dụ 1: (Tương tự câu 16-Đề thi tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2019) Cho

hàm số liên tục trên và có đồ thị như

hình vẽ bên Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Giá trị biểu

Giá trị nhỏ nhất của trên bằng , đạt được tại Suy ra

*Nhận xét : - Đây là một bài toán cơ bản kiểm tra kỹ năng đọc đồ thị của hàm

số mà ta không cần biết cụ thể công thức của hàm số đó Do đó, học sinh mức

độ trung bình nếu được rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị thì sẽ làm ngay được ví dụnày

- Để kiểm tra mức độ thông hiểu của học sinh trong ví dụ trên thì ta có thểthay đoạn bằng nửa khoảng hoặc khoảng , khi đó có thểhọc sinh sẽ mắc sai lầm là sẽ thừa nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đồng thờicùng tồn tại Do đó dạng bài tập kiểu này không những rèn luyện cho học sinh

kỹ năng đọc đồ thị mà còn cũng cố lý thuyết về giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số một cách trực quan cho học sinh

Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên.Gọi m, M

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm

- Xét hàm số với trên

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta suy ra :

*Nhận xét : - Trong ví dụ trên thì học sinh sẽ gặp khó khăn khi câu hỏi đặt ra

lại là tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số hàm hợp với

Để sử dụng đồ thị đã cho một cách thuận lợi nhất thì ta phải đưa vềhàm số theo biến mới là với , rồi sử dụng tính chất không phụ thuộcvào biến số của hai hàm min, max

- Nếu ta đạo hàm theo công thức hàm số hợp rồi áp dụng quy tắc tìm giá trịnhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn thì cũnglàm được nhưng cách này rất rườm rà và phức tạp

- Nếu ta thay đổi hàm số thì ta sẽ có bài toán tương tự, độ khó hay

dễ lúc này phụ thuộc vào công thức của hàm số ta chọn thay thế

Ví dụ 3: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây

Gọi và tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn Giá trị của bằng:

Lời giải

Dễ thấy hàm số liên tục trên , suy ra nó liên tục trên đoạn

*Nhận xét : - Trong ví dụ trên thì quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên

tục trên đoạn đã được áp dụng; việc giải phương trình đòi hỏi học sinhcần có sự tinh tế trong đánh giá kết hợp với kỹ năng đọc bảng biến thiên đã cho

- Có thể sử dụng tính chất : “Nếu hàm số cùng đạt giá trị lớnnhất (nhỏ nhất) tại thì hàm số cũng đạt giá trị lớn nhất(nhỏ nhất) tại ” vào giải ví dụ trên

2.3.2 Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số , tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập hợp D

Sử dụng đạo hàm vào giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số cụ thể không thể không có bước tính Tuy nhiên, khigặp các bài toán hàm ẩn thì giả thiết bài toán thường đã cho đồ thị hoặc bảngbiến thiên của hàm số , khi đó để tìm được giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm số ta phải dựa vào bảng biến thiên để xác định tính chất củahàm số Sau đây ta sẽ xét các ví dụ minh họa cho từng trường hợp:

*Nhận xét : - Trong ví dụ 4 sau khi lập được bảng biến thiên thì giá trị nhỏ nhất

của hàm số xác định dễ dàng, để tìm giá trị lớn nhất của hàm số thì phảikhai thác giả thiết kết hợp tính chất hàm số nghịchbiến trên đoạn

- Để so sánh và mà sử dụng tính chất và ứng dụng của tíchphân trong bài này bằng việc so diện tích hai hình phẳng

có vẻ không thuyết phục vì đồ thị không vẽ trong

hệ trục ô lưới nên việc so sánh mang tính cảm giác Do đó giả thiết

đưa ra là hợp lý và chặt chẽ cho bài toán

Dựa vào đồ bảng biến thiên, ta có và

Vì đồng biến trên đoạn nên Kết hợp giả thiết ta có :

phẳng ta suy ra ngay

đây là cách làm không chặt chẽ.( chị thấy hơi lủng cũng)

Ví dụ 6: Cho hàm số có có đạo hàm là hàm số ; đồ thị hàm

nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là:

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Kết hợp với giả thiết:

.Suy ra giá trị nhỏ nhất Vậy Chọn đáp án A

*Nhận xét : - Tương tự như hai ví dụ 4;5 thì ví dụ 6 cũng là bài tập mà đồ thị

của hàm số cho trong hệ trục tọa độ không vẽ dạng ô lưới thì việc sosánh diện tích các hình phẳng để so sánh giá trị của hàm số là không chặt chẽ

Ví dụ 7: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  và đồ thịcủa hàm số trên đoạn như hình vẽ

bên Giá trị lớn nhất của hàm số trên

Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy : , và

Từ (1), (2) ta suy ra: Vậy đáp án đúng là C

*Nhận xét : - Giả thiết của ví dụ 7 không cần đến một biểu thức liên hệ giữa các

giá trị của hàm số như các ví dụ trước vì việc so sánh diện tích các hình phẳnggiới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị của trongbài này thực hiện được một cách trực quan vì hệ trục tọa độ vẽ trên mặt phẳng

Dễ dàng chứng minh được hàm số liên tục trên

nghiệm phân biệt trên đoạn

+) Hơn nữa trên ta thấy :

*Nhận xét : Ví dụ trên thể hiện sử dụng kết hợp hài hòa giữa việc so sánh giá

trị của hai hàm số dựa vào đồ thị của chúng và ứng dụng của tích phân để sosánh hai giá trị của hàm số thông qua so sánh diện tích của hình phẳng

2.3.3 Vận dụng vào giải các bài toán có chứa tham số

Các bài tập tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm thuộcmiền D hoặc để bất phương trính luôn có nghiệm đúng thuộc miền D, ta thườngphải đi quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Sauđây ta sẽ xét một vài ví dụ minh họa :

Ví dụ 9: Cho hàm số liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ

Điều kiện cần và đủ để bất phương trình

có nghiệm thuộc đoạn

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn khi và chỉ khi Suy ra đáp án đúng là: D.

*Nhận xét : Áp dụng định lý 1 và phương pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm số

ẩn vào việc giải ví dụ trên thì cách giải sẽ rõ ràng và chặt chẽ Do đó nếu họcsinh luyện tập nhiều bài toán kiểu này thì các em sẽ tự tin trong giải toán, đặcbiệt sẽ biết kết hợp nhiều kiến thức vào giải một bài toán

Ví dụ 10: Cho hàm số Hàm số có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi

*Nhận xét :

Áp dụng định lý 5 vào ví dụ 10 và vận dụng kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của

hàm số ta đi đến kết quả cần tìm, xét trên khoảng

thì không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số nhưng khi chuyển qua xét

Ví dụ 11: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2019 của Bộ GD & ĐT-Mã đề 102)

Cho hàm số , hàm số liên tục trên

 và có đồ thị như hình vẽ bên Bất phương trình

( là tham số thực) nghiệm đúng vớimọi khi và chỉ khi