SKKN rèn LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI một số DẠNG bài tập TRẮC NGHIỆM về đơn điệu, cực TRỊ của hàm số hợp THÔNG QUA GIẢ lập f x  

6 2 Ưu- nhược điểm của câu hỏi trắc nghiệm khách quan 6 3 Một số phương pháp dạy học tích cực 7 4 Cấu trúc về nội dung của tiết luyện tập 8 II Thực trạng của việc giảng dạy và nắm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐÔNG HIẾU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3 Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu 5

5 Dự báo những đóng góp mới của đề tài 5

I Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài 6

2 Ưu- nhược điểm của câu hỏi trắc nghiệm khách quan 6

3 Một số phương pháp dạy học tích cực 7

4 Cấu trúc về nội dung của tiết luyện tập 8

II Thực trạng của việc giảng dạy và nắm bắt kiến thức của học sinh khi dạy các nội dung về tính đơn điệu, cực trị của hàm số hợp 11

7

Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập trắc nghiệm về đơn điệu, cực trị của hàm số hợp thông qua giả lập hàm số f x '  13 Chương II

Một số kiến thức và các biện pháp nhằm rèn luyện các kỹ năng,

tư duy của học sinh khi học phần hàm số hợp và các bài toán liên quan

14

2 Một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng dựa vào đồ thị của hàm số f x để suy ra một số đặc tính của hàm số '  f x   16

3 Một số dạng bài tập trắc nghiệm khách quan về hàm số hợp giải bằng phương pháp giả lập 21 III Kế hoạch bài dạy chủ đề tự chọn đồng biến, nghịch biến của hàm số 40

1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 49

2 Tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm 49

3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 50

CHỮ VIẾT TẮT STT Chữ viết thường Chữ viết tắt

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Chính sách của nhà nước: Trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành trung ương khoá XI với nội dung đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá - hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế Trong đó đổi mới toàn bộ chương trình sách giáo khoa Chương trình mới tiếp cận theo hướng hình thành và phát triển năng lực cho người học không chạy theo khối lượng tri thức mà chú ý vận dụng tổng hợp các kiến thức, kỹ năng thái độ, tình cảm, động cơ …vào các tình huống trong cuộc sống hằng ngày Tiếp cận theo hướng năng lực đòi hỏi học sinh phải thực hành, vận dụng thực tiễn như thế nào

Trong những năm gần đây đổi mới dạy học thực sự đã trở thành vấn đề quan tâm hàng đầu, không chỉ của riêng ngành giáo dục mà của toàn xã hội Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’ Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của bộ trưởng BGD&ĐT cũng đã nêu: ‘‘Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng của học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh’’

Xác định được nhiệm vụ trên, giáo viên chúng tôi đã không ngừng trau dồi kiến thức, cập nhật thông tin, tự học, tự nghiên cứu, gia công sư phạm nhiều để tổ chức, chỉ đạo các hoạt động nhận thức của học sinh, lựa chọn nội dung đảm bảo tính vừa sức với học sinh, tổ chức học sinh hoạt động theo nhóm, chuẩn bị các phương tiện dạy học hỗ trợ cần thiết và tham gia thực hành giảng dạy đổi mới phương pháp dạy học Toán trong trường THPT nhằm:

- Góp phần nâng cao tính tích cực tư duy của học sinh, gắn liền 2 mặt kiến thức và tư duy, đồng thời hình thành ở học sinh nhân cách có khả năng sáng tạo thực sự, góp phần rèn luyện trí thông minh cho học sinh

- Nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh

- Tìm tòi giải quyết vấn đề đặt ra, học sinh học được nhiều kĩ năng trong cuộc sống

- Giúp các em thấy được ứng dụng của môn Toán trong cuộc sống và đem lại niềm tin, hứng thú học tập và yêu thích học môn Toán

- Kích thích tính tò mò, tìm hiểu của học sinh từ đó học sinh chủ động thu nhận kiến thức môn Toán

- Tạo nên những con người mới tích cực, chủ động, sáng tạo trong tương lai đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội hiện đại

Một trong những nội dung của đổi mới dạy học là đổi mới kiểm tra đánh giá Năm 2017 lần đầu tiên Bộ GD&ĐT tổ chức thi môn toán theo hình thức trắc nghiệm Trong phương án thi chính thức, đề thi môn Toán có 50 câu trắc nghiệm khách quan, thí sinh làm bài trong 90 phút

Trong chương trình toán THPT, bài toán liên quan tới hàm số hợp là bài toán hay và khó Để làm tốt bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức như xét dấu, tính đạo hàm, các phép biến đổi và các kiến thức cơ bản khác Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi tốt nghiệp THPT nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được dạng toán này là hết sức cần thiết.Với phương thức thi trắc nghiệm như hiện nay việc học sinh giải 50 câu trong vòng 90 phút là một việc cần đòi hỏi học sinh phải phối hợp tốt và có nhiều kỹ năng không chỉ đúng mà phải nhanh, chính xác.Vậy để giải quyết tối ưu các bài toán giáo viên cần đưa ra các cách giải làm sao cho phù hợp với cách thi tốt nghiệp THPT như hiện nay mà vẫn đảm bảo tính logic trong giải toán Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy các em dễ nhầm lẫn khi giải các bài toán về hàm số ở chương một ĐS&GT lớp 12 Nhằm giúp các em giảm bớt khó khăn khi gặp các dạng toán này tôi đã đưa ra đề tài: “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập trắc nghiệm về đơn điệu, cực trị của hàm số hợp thông qua giả lập hàm số f x'  ” Vấn đề trọng tâm mà tôi muốn khai thác là chủ đề hàm số Một chủ đề chiếm khá nhiều câu trong kì thi THPT Quốc gia, nhất là các bài toán hàm hợp hiện nay xuất hiện rất nhiều trong các đề thi thử , thi tốt nghiệp THPT, do đó tôi đã định hướng một cách giải đó là giả lập hàm số f x'  để giải các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số hợp nhanh và chính xác

- Nhằm giúp học sinh suy nghĩ, phân tích và đưa ra quyết định lựa chọn kiến thức phù hợp để vận dụng vào giải quyết các bài toán về hàm số hợp mà các em hay gặp trong quá trình làm bài

- Trên cơ sở khái niệm, phân loại bài toán, định hướng cho học sinh cách giải ngắn gọn mà bài viết còn đề cập vấn đề xây dựng, sử dụng các phương pháp nhằm chuẩn bị tiềm lực dạy toán ở trường phổ thông theo hướng tăng cường thực hành vận dụng

3 Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu là học sinh khối 12 từ đầu năm học đến cuối năm học

- Phạm vi nghiên cứu là những bài toán về hàm số hợp được giải quyết thông qua kiến thức toán ở bậc THPT

- Phân tích, tổng hợp, thu thập tài liệu và các thông tin

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài góp phần làm sáng tỏ các vấn đề sau:

- Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc giải quyết 1 số bài toán về hàm số hợp liên quan tới tính đồng biến, nghịch biến, cực đại , cực tiểu

- Vận dụng kiến thức vào quá trình dạy học, kiểm tra đánh giá bộ môn và đặc biệt

là thi tốt nghiệp THPT, thi theo hướng kiểm tra và đánh giá năng lực

- Kết quả thực nghiệm như thế nào

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận

- Góp phần làm sáng tỏ các vấn đề về cơ sở lý luận và thực tiễn của việc giải quyết một số bài toán về hàm số hợp liên quan tới tính đồng biến, nghịch biến, cực trị

- Nghiên cứu các tài liệu, lý luận và phương pháp dạy học bộ môn

4.2 Quan sát trao đổi

- Thực hiện việc trao đổi giữa giáo viên và học sinh, giữa học sinh với học sinh

4.3 Thực nghiệm sư phạm

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp Test

5 Dự báo những đóng góp mới của đề tài

- Góp phần rèn luyện cho học sinh các kiến thức, kỹ năng, tư duy suy luận khi làm dạng bài tập liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số

- Vận dụng kiến thức vào quá trình dạy học, kiểm tra đánh giá bộ môn và đặc biệt là thi tốt nghiệp THPT

- Đề tài có thể làm tài liệu cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I Cơ sở lý luận và thực tiễn

I Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài

1 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan là gì?

Trắc nghiệm khách quan (tiếng Anh: Objective test) là một phương tiện kiểm tra, đánh giá về kiến thức hoặc để thu thập thông tin

2 Ưu- nhược điểm của câu hỏi trắc nghiệm khách quan

2.1.Ưu điểm

- Khảo sát được số lượng lớn thí sinh

- Kết quả nhanh

- Điểm số đáng tin cậy

- Công bằng, chính xác, vô tư

Dạy học theo nhóm nếu được tổ chức tốt sẽ phát huy được tính tích cực, tính trách nhiệm phát triển năng lực cộng tác làm việc và năng lực giao tiếp của học sinh

- Thoả thuận quy tắc làm việc

- Tiến hành giải quyết các nhiệm vụ

- Chuẩn bị báo cáo kết quả

+ Nhiệm vụ của các nhóm có thể giống nhau, hoặc mỗi nhóm nhận một nhiệm vụ khác nhau, là các phần trong một chủ đề chung

+ Dạy học nhóm thường được áp dụng để đi sâu, luyện tập, củng cố một chủ đề đã học hoặc cũng có thể tìm hiểu một chủ đề mới

+ Các câu hỏi kiểm tra dùng cho việc chuẩn bị dạy học nhóm:

- Chủ đề có hợp với dạy học nhóm không?

- Các nhóm làm việc với nhiệm vụ giống hay khác nhau?

- HS đã có đủ kiến thức điều kiện cho công việc nhóm chưa?

- Cần trình bày nhiệm vụ làm việc nhóm như thế nào?

- Cần chia nhóm theo tiêu chí nào?

- Cần tổ chức phòng làm việc, kê bàn ghế như thế nào?

5 Cấu trúc về nội dung của tiết luyện tập

Phương án 1

a) Bước 1: Nhắc lại một cách có hệ thống các nội dung lý thuyết đã học (định nghĩa, định lý, quy tắc, công thức nguyên tắc giải toán v.v ) sau đó có thể mở rộng phần lý thuyết ở mức độ phổ thông trong chừng mực có thể (thông qua phần kiểm tra miệng đầu tiết học)

b) Bước 2: Cho học sinh trình bày lời giải các bài tập đã làm ở nhà mà giáo viên đã quy định, nhằm kiểm tra sự vận dụng lý thuyết trong việc giải các bài tập Toán của học sinh, kiểm tra kỹ năng tính toán, cách diễn đạt bằng lời giải bài Toán của học sinh

Sau khi đã cho học sinh của lớp nhận xét ưu khuyết điểm trong cách giải, đánh giá đúng sai trong lời giải hoặc có thể đưa ra cách giải ngắn gọn hơn, thông minh hơn v.v , giáo viên cần phải chốt lại vấn đề có tính chất giáo dục theo nội dung sau:

- GV cần phải phân tích những sai lầm và nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó (nếu có)

- Khẳng định những chỗ làm đúng, làm tốt của học sinh để kịp thời động viên học sinh

- Đưa ra những cách giải khác ngắn gọn hơn, thông minh hơn hoặc vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt hơn để giải các bài toán (nếu có thể được)

c) Bước 3: Cho học sinh làm một số bài tập mới (có hệ thống bài tập của tiết luyện tập mà học sinh chưa làm hoặc do giáo viên tự biên soạn theo mục tiêu đề ra của tiết luyện tập) nhằm mục đích đạt được một hoặc một số yêu cầu trong các yêu cầu sau:

- Kiểm tra ngay được sự hiểu biết của học sinh phần lý thuyết mở rộng (hoặc kiến thức sâu rộng hơn) mà giáo viên đã đưa ra trong tiết luyện tập ở đầu giờ học (nếu có)

- Rèn luyện các phẩm chất của trí tuệ: Tính nhanh, tính nhẩm một cách thông minh, rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo qua các cách giải khác nhau của mỗi bài toán, tính thuận nghịch của tư duy

- Khắc sâu và hoàn thiện phần lý thuyết qua các bài tập có tính chất phản ví dụ, các bài tập có tính chất thiết thực

Phương án 2

a) Cho học sinh trình bày lời giải các bài tập cũ đã cho làm ở nhà để kiểm tra học sinh đã hiểu lý thuyết đến đâu, kỹ năng vận dụng lý thuyết trong việc giải các bài toán như thế nào ? các sai phạm nào thường mắc phải ? Cách trình bày diễn đạt lời giải một bài toán bằng lời nói, bằng ngôn ngữ toán học như thế nào ?

Đây thực chất là bước kiểm tra lại chất lượng học tập của học sinh một cách toàn diện về môn toán và cụ thể là tiết học toán vừa qua

b) Trên cơ sở nắm vững được các thông tin về các vấn đề nói ở trên, giáo viên cần phải chốt lại vấn đề có tính chất trọng tâm

- Nhắc lại một số vấn đề chủ yếu về lý thuyết mà học sinh chưa hiểu hoặc chưa hiểu sâu nên không vận dụng tốt vào việc giải các bài tập toán

- Chỉ ra những sai sót của học sinh, nhất là các sai sót thường mắc phải của học sinh mà giáo viên đã tích luỹ được trong quá trình dạy học

- Hướng dẫn cho học sinh cách trình bày, diễn đạt bằng lời nói, bằng ngôn ngữ toán học, ký hiệu toán học v v

c) Bước 3: Cũng giống như ở phương án 1

Cho học sinh làm một số bài tập mới (trong hệ thống bài tập luyện tập mà học sinh chưa làm hoặc các bài tập mà giáo viên tự chọn, tự biên soạn theo mục tiêu của tiết luyện tập đã được đề ra), nhằm đạt được một hoặc một số các yêu cầu sau:

- Hoàn thiện lý thuyết, khắc phục những sai lầm mà học sinh thường mắc phải

- Rèn luyện các phẩm chất trí tuệ: Tính nhanh, tính nhẩm một cách thông minh, tính linh hoạt sáng tạo trong khi giải toán

- Rèn luyện một vài thuật toán cơ bản mà yêu cầu học sinh cần phải ghi nhớ trong quá trình học tập

- Rèn luyện cách phân tích nội dung bài toán để tìm phương hướng giải quyết bài toán, các bước tiến hành giải toán

- Rèn luyện cách trình bày lời giải một bài toán bằng văn viết…

Tóm lại, dù sử dụng phương pháp nào thì cũng cần phải có ba phần chủ yếu là hoàn thiện lý thuyết, rèn luyện kỹ năng thực hành và phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh

Muốn vậy, phải nghiên cứu kỹ hệ thống bài tập trong sách giáo khoa hoặc sách bài tập toán hoặc các tài liệu khác về nội dung, cách giải và đặc biệt là tính mục đích của từng bài tập mà các tác giả sách giáo khoa đã đưa ra hoặc các bài tập tự soạn theo chủ ý và mục đích của mình

Quy trình soạn bài và thực hiện tiết luyện tập toán trên lớp theo hướng phát triển năng lực

1 Nghiên cứu tài liệu:

Trước hết phải nghiên cứu lại phần lý thuyết mà học sinh được học Trong các nội dung lý thuyết, phải xác định rõ ràng kiến thức cơ bản và trọng tâm, kiến thức nâng cao hoặc mở rộng cho phép

Bước tiếp theo là nghiên cứu các bài tập SGK, sách bài tập toán theo yêu cầu sau và tự mình phải trả lời được những yêu cầu này:

+ Cách giải từng bài toán như thế nào ?

+ Có thể có bao nhiêu cách giải bài toán này?

+ Cách giải nào là cách giải thường gặp ? Cách giải nào là cơ bản ?

+ Ý đồ của tác giả đưa ra bài toán này để làm gì ?

+ Mục đích và tác dụng của từng bài tập như thế nào ?

Nghiên cứu sách tham khảo, sách giáo viên, sách hướng dẫn giảng dạy và các tài liệu liệu liên quan

Sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu mới tập trung xây dựng nội dung tiết luyện tập và phương pháp luyện tập

2 Nội dung bài soạn

Nội dung bài soạn (hay nội dung một giáo án theo hướng phát triển năng lực) phải thể hiện được các đề mục chủ yếu sau đây:

a) Mục tiêu của tiết bài tập (mục tiêu đưa ra được càng cụ thể càng tốt)

b) Cấu trúc luyện tập:

- Chữa các bài toán cũ đã ra ở kỳ trước:

+ Số lượng bài tập - dự kiến thời gian

+ Chốt lại vấn đề gì qua các bài tập này ?

(Về lý thuyết, về thuật toán, các điểm cần ghi nhớ v.v )

- Cho học sinh làm bài tập mới (chọn lọc trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc

tự đưa ra)

+ Số lượng bài - dự kiến thời gian

+ Mỗi bài đưa ra có dụng ý gì ?

+ Chốt lại những vấn đề gì sau khi cho học sinh làm các bài tập này?

- Hướng dẫn học sinh học bài, làm bài ở nhà sau tiết luyện tập

+ Hệ thống các bài tập cho về nhà làm (trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc

tự đưa ra)

+ Có cần gợi ý gì đối với từng bài tập cho học sinh yếu ? Học sinh giỏi ?

c) Thực hiện nội dung đã nêu ở trên trong tiết luyện tập

+ Tiến trình thực hiện trên lớp như thế nào để phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh ?

Phần này thực chất là những suy nghĩ và dự kiến của giáo viên sẽ tiến hành trên lớp Tuy rằng hành động chưa xảy ra nhưng cũng vẫn dự kiến nêu lên, để sau này, khi thực hiện xong tiết luyện tập ở trên lớp có điều kiện đúc rút kinh nghiệm dạy học cho những tiết dạy sau

II Thực trạng về khả năng vận dụng kiến thức, phương pháp của học sinh khi Giáo viên dạy các nội dung như tính đơn điệu, cực trị của hàm số hợp

1 Mục đích điều tra

Điều tra về việc dạy học các tiết luyện tập và khả năng vận dụng và giải các bài toán của học sinh liên quan đến đạo hàm của hàm số hợp

2 Nội dung điều tra

Điều tra về việc dạy học các tiết luyện tập liên quan đến hàm số hợp ở môn giải tích 12

3 Đối tượng điều tra

Học sinh 4 lớp 12 của Trường THPT Đông Hiếu

4 Phương pháp điều tra

Tiến hành phát phiếu điều tra cho 159 học sinh khối 12 của Trường THPT Đông Hiếu (gồm các lớp 12C3, 12C4, 12C5, 12C6)

5 Tổng hợp số liệu điều tra

Để tìm hiểu vần đề này, Tôi đã tiến hành khảo sát tìm hiểu về phía học sinh Chúng tôi đã phát ngẫu nhiên phiếu khảo sát cho 159 học sinh của 4 lớp khối 12 để các em phát biểu những ý kiến, nguyện vọng của mình khi học và làm bài tập liên quan đến đạo hàm của hàm số hợp ở chương một ĐS&GT 12 Nội dung khảo sát như sau:

Hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng có câu trả lời phù hợp với em

Theo em việc học các tiết luyện tập môn Giải tích 12 là như thế nào?

A Kiến thức ở những tiết luyện tập là khó đối

với em

B Kiến thức ở những tiết luyện tập là cơ bản em

có thể tiếp thu được

110 69,1 %

C Khi kiểm tra, đánh giá thời gian cho các câu

hỏi trắc nghiệm là ít

Câu 2

Theo em để đạt được kết quả cao khi học môn toán thì cần?

A Học kỹ lý thuyết cơ bản rồi tự làm bài tập

dưới sự hướng dẫn của Thầy Cô

B Tự học, tìm tòi, khám phá được những kiến

thức mới sau khi học các kiến thức cơ bản 15 10%

6 Nguyên nhân của thực trạng

Khi dạy các bài toán liên quan đến hàm số hợp trong chương trình môn toán ĐS&GT lớp 12 mà học sinh thường gặp một số khó khăn với các nguyên nhân như là:

- Chưa biết vận dụng kiến thức toán

- Trí tưởng tượng chưa tốt

- Học sinh chưa độc lập suy nghĩ

- Về nhà chưa học bài cũ

- Chưa có kiến thức tổng hợp

- Chưa có năng khiếu giải toán

- Vẫn còn một số học sinh chưa xác định học để lập thân, lập nghiệp

7 Những thuận lợi và khó khăn

Qua tìm hiểu cho thấy vẫn còn những tồn tại sau cần khắc phục:

- Chưa thực sự chú trọng việc thực hành trong dạy học môn Toán

- Một số học sinh sau khi ra trường chưa chưa thể hiện được vốn văn hoá Toán học trong các hoạt động thực tiễn

+ Mặc dù đã được giảm tải chương trình nhưng lượng kiến thức về mặt lý thuyết vẫn đang còn nặng

+ Cơ sở vật chất, phương tiện, đồ dùng dạy học đang còn thiếu

+ Soạn bài, tìm các tài liệu về các bài toán liên quan đang hạn chế

Chương II Một số kiến thức và biện pháp nhằm rèn luyện các kỹ năng, tư duy của học sinh khi học phần hàm số hợp và các bài toán liên quan

+ Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x '( ) 0,    x K

+ Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x '( ) 0,    x K

1.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên

khoảng K

+ Nếu f x '( ) 0,    x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

+ Nếu f x '( ) 0,    x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

+ Nếu f x '( ) 0,    x K thì hàm số không đổi trên tập K

Chú ý

+ Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết

“ Hàm số y  f (x )liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” chẳng hạn: Nếu hàm số

Kỹ năng liên quan

1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức p x ( )

Bước 1:Tìm nghiệm của biểu thức p x ( ) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức p x ( )

không xác định

Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của p x ( ) trên từng khoảng của bảng xét dấu

2 Xét tính đơn diệu của hàm sốy  f(x) trên tập xác định

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g x ( ) trên khoảng  a b ;

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của

tham số m

4 Một số tính chất của tính đơn điệu hàm số

+ Tính chất 1: Giả sử hàm số y  f(x) liên tục và đơn điệu trên K thì phương trình

( ) 0 

f x có nhiều nhất một nghiệm thuộc tập K + Tính chất 2: Nếu phương trình f x '( ) 0  có một nghiệm thuộc (a;b) thì phương trình

( ) 0 

f x có nhiều nhất hai nghiệm thuộc (a; b)

+ Tính chất 3: Nếu hàm số y  f(x) liên tục và đồng biến trên tập Kvà g x ( )liên tục,

nghịch biến (hoăc hàm hằng) thì phương trình f x ( )  g x ( ) có duy nhất một nghiệm trên tập K

+ Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên tập K thì với mọi u v K ;  thì

ta có f u ( )  f v ( )   u v + Tính chất 5: Nếu hàm số y  f(x) đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b thì x y z ; ;  ( ; ) a b là

nghiệm của hệ phương trình

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f u  f v   u v (ngược lại với trường hợp nghịch biến)

2 Một số hoạt động rèn luyện kĩ năng dựa vào đồ thị của hàm số y f x' để suy ra một số đặc tính của hàm số y  f x 

Đây là dạng câu hỏi tương đối mới lạ đối với học sinh Thiết kế câu hỏi dạng này nhằm mục đích giúp

- Học sinh biết xét dấu y 'dựa vào đồ thị hàm số y  f ' x ( ): phần đồ thị nằm phía trên trục ox ứng với khoảng y '  0, phần đồ thị nằm phía dưới trục ox ứng với khoảng y '  0

- Giao điểm của đồ thị hàm số y  f ' x ( )với trục ox ứng với điểm làm y'0

- Học sinh biết vận dụng thành thạo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

- Học sinh biết một số quy tắc tịnh tiến đồ thị đơn giản

- Rèn luyện kĩ năng đọc, phân tích đồ thị hàm số suy ra tính chất của hàm số

 

'

y  f x Từ đó có thể kết luận được các tính chất đặc trưng của hàm số y  f x 

Ví dụ 1 Cho hàm số f x  xác định trên R và có đồ thị hàm số f x '  là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng  1;1 

B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  1; 2

C Hàm số f x đồng biến trên khoảng  2;1 

D Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Hướng dẫn:

Định hướng 1: Sử dụng bảng biến thiên

Từ đồ thị của hàm số y  f x '  ta có bảng biến thiên như sau:

Trên khoảng 0; 2ta thấy đồ thị hàm số y  f x ' nằm bên dưới trục hoành nên Chọn D

Ví dụ 2 Cho hàm số f x xác định trên R và có đồ thị hàm số y f x' là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x đồng biến trên khoảng  1;2

B Hàm số f x nghịch biến trên khoảng  0;2

C Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2;1

D Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1;1

x y

Ví dụ 3 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y f x' như hình vẽ :

x y

O

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số y f x  có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

B Hàm số y f x  có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

C Hàm số y f x  có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

D Hàm số y f x  có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

số y f x' cắt trục hoành tại ba điểm có

hoành độ a, b, c với a < b < c như hình

x y

O

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.f x  đạt cực đại tại x  1 B f x  đạt cực đại tại x  0

C.f x  đạt cực đại tại x  1 D f x  đạt cực đại tại x  2

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số g(x ) nghịch biến trên (0; 2) B Hàm số g(x ) đồng biến trên 2;  

C Hàm số g(x ) nghịch biến trên   ; 2 D Hàm số g x  nghịch biến trên ( 1;0) Định hướng :

Suy ra hàm số g x  nghịch biến trên ( 1;0)  là sai

Ta xét 1 ví dụ sau:

Cho hàm số có bảng xét dấu f x ' ( )như sau

Hỏi: Hàm số y  f x (3  7) đồng biến trên khoảng nào ?

Nhận xét: Ta thấy tại x  1, x  5 thì f x ' ( ) 0  và f x ' ( ) đổi dấu qua x  1, x  5

Ta giả lập f x ' ( )    ( x 1)( x  5)

Xét hàm số y  f x (3  7)  y '  3 (3 f ' x  7)   3(3 x   7 1)(3 x   7 5)   3(3 x  8)(3 x  12)Xét dấu y ' ta thấy hàm sốy  f x (3  7)đồng biến trên khoảng ( ; 4)8

3 Đây là ví dụ điển hình cơ bản để từ đây ta có thể nắm bắt được các phương pháp của giả lập f x ' ( ) để xây dựng lên những bài toán khó hơn

Trong quá trình triển khai tôi đã đưa ra, phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành tư duy

tự học, tự giải quyết vấn đề Ngoài ra giúp cho các em làm tốt bài thi tốt nghiệp cũng như thi vào các trường Cao đẳng và Đại học cụ thể ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1 Cho hàm số y  f(x) Đồ thị hàm số y  f x ' ( ) như hình vẽ bên

5

Ta có ' ' 2 ' 2 

0 ( ) 2 ( 3) 0

2; 2

3 1

x x x

( )

g x ta có Hàm số có 3 điểm cực trị nên chọn B

Qua cách trình bày ở trên học sinh gặp phải khó khăn khi làm bài đó là việc tính đạo hàm của hàm số hợp và việc xét dấu g x ' ( ) Để khắc phục khó khăn trên ta dùng phương pháp giả lập như sau:

Cách 2 Ta dùng phương pháp giả lập f x ' ( )

Vì đồ thị hàm số cắt trục 0x tại x   2; x  1(nghiệm kép), hơn nữa hướng đồ thị đi lên

về bên phải nên ta giả lập hàm số f x ' ( )như sau: f x ' ( ) (x 2)(x 1)    2

Từ ví dụ 1 ta có thể thay đổi một vài dữ kiện và câu hỏi ta được ví dụ 2 như sau:

Ví dụ 2 Cho hàm số y  f x  có bảng xét dấu đạo hàm như bảng sau:

ta xét ví dụ tiếp sau đây

Ví dụ 3 Cho hàm số y  f x  có bảng xét dấu của f x   như sau

Sản phẩm của học sinh khi hoạt động nhóm

Ví dụ 4 Cho hàm số y  f x ( ) có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số y  f (2  x 2 )đồng biến trên khoảng nào sau đây

x x

0

x x x

Vậy hàm số y  f (2  x 2 ) đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2 và 0; 2nên chọn A

Ví dụ 5 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên R, biết rằng hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên

Số điểm cực đại của hàm số y  f 6  x 2 là?