Tiểu luận Toán cao cấp 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi TOÁN CAO CẤP 2 Họ và tên sinh viên NGUYỄN THỊ THANH THẢO MSSV 030137210473 Lớp học phần D17 THÔNG TIN BÀI THI YÊU CẦU Khuyến khích các ví dụ mang ý nghĩa kinh tế. Số trang bài làm: không quá 5 trang A4. Các ví dụ minh họa giống nhau từ 50% trở lên sẽ chỉ được tối đa 50% điểm của nội dung đó. NỘI DUNG BÀI LÀM Câu 1: (2 điểm) a) Hãy cho một ví dụ tìm các đạo hàm riêng cấp một của hàm tại một điểm cụ thể ) và giải thích ý nghĩa các kết quả tính. Ví dụ:Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số: z = f (x,y) = 3x4 2x3 y 2 + y 3 xy tại (1;2) Giải. Ta có : Đạo hàm riêng cấp một của hàm số z theo biến x: z’x = 12x3 6x2 y 2 y

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi: TOÁN CAO CẤP 2

Họ và tên sinh viên: NGUYỄN THỊ THANH THẢO MSSV: 030137210473 Lớp học phần: D17

THÔNG TIN BÀI THI

Bài thi có: (bằng số): …10… trang

(bằng chữ): mười…… trang

YÊU CẦU

- Khuyến khích các ví dụ mang ý nghĩa kinh tế

- Số trang bài làm: không quá 5 trang A4

- Các ví dụ minh họa giống nhau từ 50% trở lên sẽ chỉ được tối đa 50% điểm của nội dung đó

BÀI LÀM

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ

_

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

TOÁN CAO CẤP 2

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01, năm 2022

Giảng viên hướng dẫn: ĐINH NGUYỄN DUY HẢI Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH THẢO MSSV: 030137210473

Lớp học phần :D17

NỘI DUNG BÀI LÀM Câu 1: (2 điểm)

a) Hãy cho một ví dụ tìm các đạo hàm riêng cấp một của hàm tại một điểm cụ thể ) và giải thích ý nghĩa các kết quả tính

Ví dụ:Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số:

z = f (x,y) = 3x4 - 2x3y2 + y3- xy tại (-1;2)

Giải Ta có :

Đạo hàm riêng cấp một của hàm số z theo biến x: z’x = 12x3 - 6x2y2 - y

=> z’x (-1;2)=12.(-1)3-6.(-1)2.22 -2 = -38

Đạo hàm riêng cấp một của hàm số z theo biến y: z’y = - 4x3y + 3y2 - x

=> z’y (-1;2)= (-4).(-1)3.2+3.22-(-1)= 21

Vậy: Các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số z = 3x4-2x3y2+y3-xy tại (-1;2) lần lượt là z’x = -38 và z’y = 21

b) Hãy viết biểu thức vi phân toàn phần cấp một tại ) của hàm

và cho một ví dụ minh họa với ) cụ thể

Biểu thức vi phân toàn phần cấp một tại ) của hàm có dạng:

df ( ) = f 'x ( )dx + f 'y ( )dy

Ví dụ: Cho hàm z=f (x,y)= x3 +y3 -3xy.exy Tính df (1; -2)

Giải Ta có:

z’x=3x2-3yexy-3xy2exy => z’x(1;-2) = 3.12-3.(-2)e1.(-2)-3.1.(-2)2e1.(-2) = 3-6e-2

z’y=3y2-3xexy-3x2yexy => z’y(1;-2) = 3.(-2)2-3.1.e1.(-2)-3.12.(-2)e1.(-2) = 12+3e-2

Vậy: df (1;-2) = 3-6e-2dx + 12+3e-2dy

c) Trình bày một ứng dụng đạo hàm, vi phân của và ví dụ minh họa

* Ứng dụng của đạo hàm hai biến trong kinh tế để cực đại hóa lợi nhuận doanh nghiệp theo sản lượng

-Phương pháp giải:

+Tìm các hàm doanh thu,lợi nhuận của doanh nghiệp

TR= P1Q1+ P2Q2 và = TR-TC

+Bài toán trở thành tìm cực trị hàm hai biến số

 Tìm điểm dừng M(Q1;Q2) từ {

 Tính A = , B = ,C = và B2-AC nếu {

thì M(Q1;Q2) là điểm cực đại hay hàm lợi nhuận đạt tối đa

+Kết luận: Để tối đa lợi nhuận thì doanh nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng là Q1

và Q2 đơn vị sản phẩm

Ví dụ: Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo.Giá bán hai loại sản phẩm này trên thị trường lần lượt là P1=160, P2=120 (đơn vị tiền).Biết hàm tổng chi phí là : TC = 3Q12+2Q22+2Q1Q2+10.Hãy tìm mức sản lượng của mỗi sản phẩm mà doanh nghiệp cần sản xuất để tối đa hoá lợi nhuận

Giải.Ta có :

Doanh thu của doanh nghiệp :TR= P1Q1+ P2Q2=160Q1+120Q2

Lợi nhuận của doanh nghiệp : = TR-TC= 160Q1+120Q2-3Q1

2

-2Q2 2

-2Q1Q2 -10 Tìm điểm dừng:

{

 {

 { => M(20;20) là điểm dừng

Mặt khác: A= , B= = -2 , C= = -4

Do B2-AC = -20 < 0 và A = -6 < 0 nên M(20;20) là điểm cực đại

Vậy: Doanh nghiệp cần sản xuất mỗi loại sản phẩm với sản lượng là đơn vị sản phẩm để tối đa hoá lợi nhuận

*Ứng dụng vi phân hàm nhiều biến để tính giá trị gần đúng của biểu thức

-Công thức : f ( f ( )+ +

-Phương pháp giải:

Bước 1:Lấy ra x,y (là số lẻ),suy ra hàm f(x,y)

Bước 2:Chọn phù hợp ( là số đẹp sao cho gần với x,y nhất ),rồi tìm

Bước 3: Tính tại p dụng công thức và tính ra kết quả

Ví dụ: Dùng vi phân hàm hai biến số tính giá trị gần đúng sau √

Giải.Ta có : => f (x,y) =√

{

 f (2;4)=√

 (2;4)=

√ => (2;4) = 3

 (2;4)=

√ => (2;4) = - Vậy: √ +(- ).0,02

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho {

với với

Tính và giải thích ý nghĩa của kết quả tính

Giải.Ta có : Với thì và tại x=0 thì

Dựa vào định nghĩa đạo hàm ta có: f '(x0) =

 f '(0) =

=

( ) =

( )

Áp dụng công thức VCB tương đương: , x 0

=> f '(0) =

= 2 Vậy:

b) Trình bày một ứng dụng của đạo hàm, vi phân hàm một biến (có ví dụ minh họa)

*Ứng dụng của đạo hàm hàm một biến trong kinh tế để phân tích cận biên

Xét mô hình kinh tế có dạng y = f (x) xác định và khả vi trên D, x là biến đầu vào ,y là biến đầu ra tại ; f ( ) -

là giá trị cận biên của y tại và

ý nghĩa kinh tế :Tại nếu x tăng 1 đơn vị thì y tăng khoảng

-Đối với hàm sản xuất ngắn hạn: Q = f (L) => f (L) gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của lao động L , kí hiệu là MPPL và MPPL = f (L)

=> Ý nghĩa kinh tế: Tại mức sử dụng lao động L, nếu sử dụng thêm 1 đơn vị lao động thì sản lượng tăng khoảng f (L) đơn vị lao động

Ví dụ: Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp Q = 9 √ Tính sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại mức sử dụng 100 đơn vị lao động và giải tích ý nghĩa của kết quả tìm được

Giải Ta có : MPPL= Q (L) = ( √ )

√ => MPPL (100) = 0,45 Vậy:Tại mức sử dụng 100 đơn vị lao động , nếu sử dụng thêm 1 đơn vị lao động thì sản lượng hiện vật tăng thêm khoảng 0,45 đơn vị

*Ứng dụng của vi phân hàm một biến trong phân tích kinh tế để tính tổng chi phí gần đúng

-Công thức df f ( )

Ví dụ: Hàm tổng chi phí sản xuất một loại sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm tổng chi phí TC(Q)= +10Q -5.Tại mức sản lượng đơn vị sản phẩm , nếu sản phẩm tăng 0,5 đơn vị sản phẩm thì tổng chi phí thay đổi như thế nào?

Giải (4Q+10)

= 65

Vậy Tại mức sản lượng đơn vị sản phẩm ,nếu nếu sản phẩm tăng 0,5 đơn vị sản phẩm thì tổng chi phí tăng xấp xỉ 65 đơn vị sản phẩm

Câu 3: (2 điểm)

a) Tính ∫ với {

với

| | với với

Giải.Theo đề bài ta có : ∫ ∫ | | | |={

∫ | | ∫ dx+∫ dx =( )|

+ ( )| =[0 - (- )] +( = b) Một doanh nghiệp sản xuất có hàm chi phí biên là – ( là sản lượng) và chi phí cố định là (đơn vị tiền) Nếu doanh nghiệp sản xuất trong khoảng [ ] (đơn vị sản lượng) thì chi phí sản xuất của doanh nghiệp là bao nhiêu?

Giải Theo đề bài ta có –

Mà: MC = TC’(Q) –

∫ ∫( – ) =8Q- +k (k là hằng số) Mặt khác: TFC( chi phí cố định) = TC(0) => k= TC(0) = 3

 TC(Q) = 8Q- +3

Vậy: Chi phí sản xuất của doanh nghiệp khi sản xuất trong khoảng Q [ ] (đơn

vị sản lượng) là :

TC(15)-TC(10) = ∫ dQ =∫ ( – ) = 2290 (đơn vị tiền)

Câu 4: (2 điểm)

Một công ty độc quyền sản xuất ở hai cơ sở với các hàm chi phí tương ứng là , với là lượng sản

phẩm sản xuất ở cơ sở 1 và 2 tương ứng

Hàm cầu ngược của công ty là – với

a) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở để tối đa hóa lợi nhuận của

công ty

Giải Ta có :

 Tổng chi phí sản xuất của công ty là:

TC( = = +

 TC ( = 284 +

 Doanh thu của công ty là:

TR= P.Q= ( – mà

 TR= [( – ] ( = (800-0,1 0,1 (

= 800 -0,2

 Lợi nhuận của công ty là:

= TR-TC( = (800 -0,2

(284 +

 =1860 -0,2 – 284 (1)

Tìm điểm dừng:

{

{

{  { => M(2680;1260) là điểm dừng

Mặt khác: A= , B= = -0,2 ,C= = -0,4

Do B2

-AC = -0,2<0 và A = -0,6 <0 nên M(2680;1260) là điểm cực đại

Vậy: Để tối đa hóa lợi nhuận của công ty thì lượng sản phẩm cần sản xuất ở cơ sở 1

là 2680 đơn vị sản phẩm và cơ sở 2 là đơn vị sản phẩm

b) Nếu tổng sản lượng công ty sản xuất là 4000 thì công ty sẽ sản xuất như thế nào để lợi nhuận tối đa?

Giải Khi tổng sản lượng công ty sản xuất là 4000 thì

=> (2)

Lại có lợi nhuận của công ty là: =1860 - 0,2 – 284 (1) (đã tính ở câu a) Thế (2) vào (1) ta được: = 1860

- 0,2 – 284

=1860 4160000 - 3200000 + 1600 - - 800

+ - 284

 = 1620 + 959716

Để tối đa hoá lợi nhuận khi tổng sản lượng công ty sản xuất là 4000 thì : = 0

{

 {

Vậy: Nếu tổng sản lượng công ty sản xuất là 4000 để đạt lợi nhuận tối đa thì lượng sản phẩm mà công ty cần sản xuất ở cơ sở 1 và cơ sở 2 lần lượt là 2700 và 1300 đơn vị sản phẩm Câu 5: (2 điểm) Giải các bài toán bên dưới 5.1 Tính (

)

Giải Ta có: (

) = (

) = (

)

= [(

)

]

= e-14

Vậy: : (

) e-14

5.2 Tìm với

Giải Lấy loganepe hai vế ta được: ln[f (x)] = ln( )  ln[f (x)] = x.lnx



= lnx+ 

= lnx+1  = lnx+1) lnx+1) Vậy: lnx+1)

5.3 Khai triển Maclaurint của hàm số đến bậc 3 với phần dư

Peano

Giải Ta có => f(0)= 1

= 2 => =1

= 4 => =4

= 8 =>

 Khai triển Maclaurint của hàm số đến bậc 3 với phần dư Peano ta được:

f(0) +

+

x2 +

x3+ 0(x3)  1+x+2x2+ x3+ 0(x3) Vậy: 1+x+2x2

+ x3+ 0(x3)

5.4 Tính ∫

Giải: ∫

= ∫

∫ Đặt t= đổi cận : x=a => t= x=e => t= ln(2e)

∫ = (

|

= +



+

) =

Vậy: Tích phân ∫ hội tụ tại ( )

5.5 Cho Tính

Giải Ta có:

= 2x4 y +2y

= = 8x3y => = 8.13 2 = 16

5.6 Cho √ Tính

Giải Ta có : f (x)=ln [ (√ )] <=> f (x) = ln +ln(√ )

= ln +ln(√ )' =

+(√ )

√ =

√

√ =

Vậy: =

5.7 Trong lân cận của , hàm số được xác định bởi phương trình Tính

Giải Đặt F(x,y,z)= -

F’x =1-yz ; F’y =1-xz ; F’z =2z –xy Ta có:

= -

– (*)

x = 1, y= -1 vào phương trình ta được: +z=0 => {

-

– =

Vậy :

5.8 Tính

với được xác định trong câu 5.7

Giải Ta có

=(

– ) = -

– (**)

Từ kết quả ở câu 5.7 ta thế nghiệm z = -1 vào (**) ta được:

=0