Tiểu luận Toán cao cấp 1

MỤC LỤC CÂU 1………………………………………………………………………………..............1 a.1.Khái niệm……………………………………………………………………….............1 a.2.Dạng tổng quát hệ phương trình AX=B…………………………………………….......1 a.3. Phương pháp GaussJordan trong giải hệ phương trình AX=B………………………..1 a.4.Ví dụ giải hệ bằng phương pháp GaussJordan……………………………………..….2 b.1.Định lí về nghiệm của hệ phương trình AX=B…………………………………………3 b.2.Ví dụ từng trường hợp nghiệm hệ phương trình AX=B………………………….……3 c.1.Bài tập giải hệ phương trình…….………………………………………………………4 CÂU 2………………………………………………………………………………………..6 a.1.Định thức của ma trận vuông cấp 3……………………………………………………..6 b.1.Định nghĩa ma trận khả nghịch ………………………………………………………...7 b.2.Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận ……………………………….…..7 b.3.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………………….7 c.1.Vận dụng giải các phương trình ma trận………………………………………………..8 c.1.1.Phương trình ma trận dạng AX=B………………………………………………...9 c.1.2.Phương trình ma trận dạng XA=B………………………………………………...9 c.1.3. Phương trình ma trận dạng AXB=C…………………………………………….10 CÂU 3………………………………………………………………………………………11 a.1.Hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính………………………………………...11 a.1.1.Định nghĩa………………………………………………………………………...10 a.1.2.Tính chất ……………………………………………………………………….…11 a.1.3. Điều kiện độc lập hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian Rn ………….…...12 a.1.4.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………..…..12 b.1.Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất………………………13 b.1.1Điều kiện để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường………….13 b.1.2.Tính chất của tập nghiệm của hệ thuần nhất và hệ nghiệm cơ bản…….…………13 b.2.Ví dụ minh hoạ………………………………………………………………………...14 c.1.Không gian con trong R 4 ...………………..…………………………………………..15

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Môn thi: TOÁN CAO CẤP 1

Họ và tên sinh viên: NGUYỄN THỊ THANH THẢO

MSSV: 030137210473 Lớp học phần: D16

THÔNG TIN BÀI THI

Bài thi có: (bằng số): 16 trang

(bằng chữ): mười sáu trang

YÊU CẦU

1.Bài làm dưới định dạng pdf,tối thiểu là 8 trang, font chữ Times New Roman,cỡ chữ

13,cách dòng 1.5,căn lề 2 bên,khổ giấy A4

2.Số trang phải được đánh ở giữa và cuối trang

3.Các ví dụ minh hoạ phải tính toán chi tiết

BÀI LÀM

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

TOÁN CAO CẤP 1

Giảng viên hướng dẫn: NGUYỄN THANH HIÊN Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH THẢO Mã số sinh viên: 030137210473 Lớp: DH37DC09

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11, năm 2021

MỤC LỤC

CÂU 1……… 1

a.1.Khái niệm……… 1

a.2.Dạng tổng quát hệ phương trình AX=B……… 1

a.3 Phương pháp Gauss-Jordan trong giải hệ phương trình AX=B……… 1

a.4.Ví dụ giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan……… ….2

b.1.Định lí về nghiệm của hệ phương trình AX=B………3

b.2.Ví dụ từng trường hợp nghiệm hệ phương trình AX=B……….……3

c.1.Bài tập giải hệ phương trình…….………4

CÂU 2……… 6

a.1.Định thức của ma trận vuông cấp 3……… 6

b.1.Định nghĩa ma trận khả nghịch ……… 7

b.2.Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận ……….… 7

b.3.Ví dụ minh hoạ……….7

c.1.Vận dụng giải các phương trình ma trận……… 8

c.1.1.Phương trình ma trận dạng AX=B……… 9

c.1.2.Phương trình ma trận dạng XA=B……… 9

c.1.3 Phương trình ma trận dạng AXB=C……….10

CÂU 3………11

a.1.Hệ độc lập tuyến tính & phụ thuộc tuyến tính……… 11

a.1.1.Định nghĩa……… 10

a.1.2.Tính chất……….…11

a.1.3 Điều kiện độc lập hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian Rn ………….… 12

a.1.4.Ví dụ minh hoạ……… … 12

b.1.Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất………13

b.1.1Điều kiện để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường………….13

b.1.2.Tính chất của tập nghiệm của hệ thuần nhất và hệ nghiệm cơ bản…….…………13

b.2.Ví dụ minh hoạ……… 14

c.1.Không gian con trong R4 ……… ……… 15

NỘI DUNG

Câu 1 (4 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B

b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng

c) Xét hệ phương trình sau đây

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 2

Phương pháp Gauss-Jordan là dùng cách khử dần các ẩn để đưa hệ phương trình đã cho

về một dạng ma trận đường chéo rồi giải hệ phương trình này, không phải tính một định thức nào

a.2.Dạng tổng quát hệ phương trình AX=B

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát:

Bước 1: Lập ma trận mở rộng [A|B] của hệ (A là ma trận hệ số, B là cột tự do)

Bước 2: Biến đổi sơ cấp (trên các dòng của) ma trận mở rộng để đưa nó về dạng bậc thang

Từ đó tính được hạng của A và [A| B]

+ Nếu rank(A) < rank([A| B]) thì kết luận hệ vô nghiệm Thuật toán dừng

+ Nếu rank(A) = rank([A| B]) = r ẩn thì hệ có nghiệm Làm tiếp bước 3

Bước 3: Từ ma trận bậc thang, viết lại hệ mới tương đương với hệ đã cho nhưng đơn

giản hơn Giữ lại ở vế trái r ẩn ứng với các hệ số đầu tiên khác không trên mỗi dòng

khác không của ma trận bậc thang và gọi chúng là các ẩn chính (có đúng r ẩn chính)

Các ẩn còn lại chuyển sang vế phải làm ẩn tự do (có n – r ẩn tự do) Sau đó xem các ẩn

tự do như tham số và gán cho chúng các giá trị tùy ý rồi giải hệ ngược từ phương

trình cuối lên phương trình đầu bằng cách thế dần dần các ẩn từ phải sang trái, từ

dưới lên trên

Bước 4: Tóm tắt kết quả và kết luận nghiệm của hệ

Chú ý: Mỗi cột của ma trận hệ số tương ứng với một ẩn Do đó, nếu đổi chỗ 2 cột thì tên ẩn cũng đổi theo

a.4.Ví dụ giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau :{

Ma trận hệ số mở rộng: A= (

| )

(

| ) d2 d3 (

| )

(

| ) d4=47d4-21d3 (

| )d4=d4/150 (

|

) (

|

) d3= - d3/47

d2=d2-3d1

d3=d3-2d1

d3=d3-6d2

d4=d4-2d2

d1=d1+d4

d2=d2-3d4

d3=d3+13d4

) d2= - d2

Vậy : hệ phương trình có nghiệm x1=1, x2= -1, x3=0, x4=2

b.1.Định lí về nghiệm của hệ phương trình AX=B

Định lí Kronecker-Capelli: Cho hệ phương trình Ax=b hệ có nghiệm  r(A)= r( ̅)

Cụ thể hơn, ta có kết quả sau: Nếu Ax=b là hệ n ẩn số, ta có

+ r(A) < r( ̅) khi và chỉ khi hệ vô nghiệm

+ r(A) = r( ̅) = n khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất

+ r(A) = r( ̅) = r < n khi và chỉ khi hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số

b.2.Ví dụ từng trường hợp nghiệm hệ phương trình AX=B

*TH1: r(A) < r(̅) khi và chỉ khi hệ vô nghiệm

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

| )d3=d3-2d1

|

) d3=d3-2d2 ( |

)

Ta có r(A) = 2 < r( ̅) =3 Vậy hệ phương trình vô nghiệm

*TH2: r(A) = r(̅) = n khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất X = A-1B

Ví dụ : Giải hệ phương trình tuyến tính

d1=d1+3d3

d2=d2-10d3

|

) d2 d3

| )

Ta có :r(A) = r( ̅) = 3=n(số ẩn) suy ra hệ phương trình tương đương {

Vật hệ có nghiệm duy nhất X=(1,2,3)

*TH3: r(A) = r(̅) = k < n khi và chỉ khi hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n − k tham số

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

| ) d3=d3-d2

Vậy hệ phương trình vô số nghiệm với nghiệm tổng quát X=( với ( )

c.1.Bài tập giải hệ phương trình

Xét hệ phương trình sau đây

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 2

Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn

*Cách 2:Phương pháp Cramer

Hệ Cramer: Hệ phương trình tuyến tính n phương trình=n ẩn với ma trận hệ số là ma trận vuông,khả nghịch,(detA ) áp dụng cho ma trận vuông cấp 2 và cấp 3

Định lí Cramer:

Cho hệ Cramer với dạng ma trận AX=B và hệ có nghiệm duy nhất X= A-1 B= ( )

D=det(A) ,Dj là định thức nhận được từ D khi thay cột j ở det(A) bởi cột tự do ma trận B,j= 1,2 ,n

-Bước 1: Tính det(A)

-Bước 2: Xét det(A)

+Nếu det(A) => xj = Dj => hệ phương trình có nghiệm duy nhất

+Nếu det(A)=0, det(Dj)=0 với j => hệ phương trình có vô số nghiệm

+ Nếu det(A)=0, j : det(Dj) => hệ phương trình vô nghiệm

d4=12d4-d1

d2=12d2-d1

Xét ma trận hệ số mở rộng ̅ : (

|

) => D=22020

D1=(

) ; D2 =(

Cách 2: Khai triển định thức 1 dòng bất kỳ hoặc 1 cột bất kỳ

Ai j =(-1) i+j | |

(Pij là định thức sau khi loại bỏ dòng i ,cột j )

– Định thức theo dòng i:

Det(A)=(-1)i+1.|Pi1|.ai1+(-1)i+2.|Pi2|.ai2+….+ (-1)i+n

.|Pin|.ain– Định thức theo cột j:

Det(A)=(-1)j+1.|P1j|.a1j+(-1)j+2.|P2j|.a2j+….+ (-1)j+n.|Pnj|.anj

) d2 d3 (

|

) d1=d3+2d1 ( |

)

d3= 2d1-d3

( |

) Vậy :A-1 =(

) Ví dụ 2:Tìm ma trận khả nghịch của ma trận A=( ) Xét ma trận hệ số mở rộng ( | : ( | ) d1=d1+d2+d3+d4 ( | ) d1= 1/3d1 ( |

) (

|

) d1=d1+d2+d3+d4 (

|

) ( |

) Vậy :A-1=(

) c.1.Vận dụng giải các phương trình ma trận Áp dụng tìm ma trận khả nghịch bằng định thức (công thức phần bù đại số): -Bước 1:Tính det (A) +Nếu det(A)=0 (A không khả nghịch) +Nếu det (A) (làm tiếp bước 2) d1=d1/2 d2=d2/(-1) d3=d3/(-2)

d2=-d1+d2 d3=-d1+d3

d4=-d1+d4

d2=-d2

d3=-d3

d4=-d4

Bước 2: Ma trận nghịch đảo của ma trận A:

).( )

a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ minh họa?

b) Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví

dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó

-Nhận xét: Hệ u1, u2, …., uk trong không gian tuyến tính V được gọi là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất x1u1 + x2u2 + … + xkuk = θ có nghiệm không tầm thường

a.1.2.Tính chất

Cho V là không gian vectơ trên trường K

*Hệ độc lập tuyến tính

-Mọi tập hợp độc lập tuyến tính thì không chứa vectơ 0v, tức là nếu S là tập con độc lập tuyến tính của V thì 0v S

-Mọi tập con khác rỗng của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính Tức là ≠

-Mọi tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu

E F và E phụ thuộc tuyến tính thì F phụ thuộc tuyến tính

-Tập S={u1,u2, ,um} (m≥2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui S sao cho

ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S

a.1.3 Điều kiện độc lập hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian R n

-Trong R n cho hệ m vectơ (dòng) tùy ý v1, v2, …, vm Thiết lập ma trận A bằng cách xếp v1,

v2, …, vm lần lượt là dòng 1, 2, …, m Khi đó ta có

a) (Hệ v1, v2, …, vm độc lập tuyến tính)  (rankA = m = số vectơ của hệ)

b) (Hệ v1, v2, …, vm phụ thuộc tuyến tính)  (rankA < m = số vectơ của hệ)

*Đặc biệt khi m = n, ta có

c) (Hệ v1, v2, …, vn độc lập tuyến tính)  (detA ≠ 0)

d) (Hệ v1, v2, …, vn phụ thuộc tuyến tính)  (detA = 0)

a.1.4.Ví dụ minh hoạ

Ví dụ:Trong không gian cho hệ vectơ a1=(1,2,-1,1),a2=(1,-2,2,1),a3=(1,1,-1,1) có độc lập

b.1.Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng (II) {

b.1.1.Điều kiện để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của

+ Tổng (hiệu) của hai nghiệm lại là một nghiệm: (X1, X2 là nghiệm)  (X1±X2 là nghiệm) + Bội của mỗi nghiệm lại là một nghiệm: (a là số, X là nghiệm)  (aX là nghiệm)

+ Giả sử hạng của ma trận hệ số là r với 0 < r < n (số ẩn) Khi đó ta đã biết, hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n – r tham số (ẩn tự do) Hơn nữa, ta luôn tìm được một hệ n – r nghiệm không tầm thường { X1, X2, …, X n–r }sao cho tập {X= a1X1 + a2X2 + … + an–r X n–r / là a1, a2, …, a n–r các số tùy ý} chính là tập nghiệm của hệ thuần nhất đang xét

Hệ { X1, X2, …, X n–r} nói chung không duy nhất

*Hệ {X1, X2, …, X n–r} như trên gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất đang xét Nói chung, mỗi hệ thuần nhất có vô số hệ nghiệm cơ bản Mỗi X = a1X1 + a2X2 + … + an–r X n–rgọi là một nghiệm tổng quát của hệ Khi gán cho các tham số a1, a2, …, a n–r các giá trị cụ thể (nhưng tùy ý) ta được những nghiệm riêng của hệ

Ta thấy rank(A) = 2 < 4 (số ẩn) => hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số Từ ma trận bậc thang ta được hệ phương trình mới tương đương:

Vậy nghiệm tổng quát của hệ đã cho là (a + 8b, 2a, – 6b, 2b) với (a, b

Cho a = -1, b = 0 suy ra X1=(1,1,-1,0) ; Cho a = 0, b = 7 suy ra X2=(1,12,0,7)

Ta được hệ nghiệm cơ bản của hệ chính là {X1, X2}

 A sinh ra bởi X1=(1,1,-1,0), X2=(1,12,0,7) và hệ {X1, X2} độc lập tuyến tính nên {X1, X2} là cơ sở của M

 dim A=2

c.1.Không gian con trong R4

Ví dụ: Trong không gian 4

Vậy : L là không gian vector con của R4

*

*Tìm cơ sở và số chiều của L

: X= ( ) thoã mãn x1+x2=x3+x4=0 X= (x1,-x1,x3,-x3) =(x1,-x1,0,0) +( 0,0,x3,-x3 )

Hay: X =x1(1,-1,0,0 )+x3(0,0,1,-1)

 Hệ { (1,-1,0,0 ), (0,0,1,-1)} là hệ sinh của L Mặt khác : hệ { (1,-1,0,0 ), (0,0,1,-1)} độc lập tuyến tính

 Hệ là một cơ sở của L => dim L= 2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

(1) Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến

(5) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,Vted

(8) Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên),Nguyễn Trung Đông, (2020),Giáo Trình TOÁN CAO

CẤP,TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING:

https://ufm.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/khoakinhteluat/Gi%C3%A1o%20tr

%C3%ACnh%20to%C3%A1n%20cao%20c%E1%BA%A5p.pdf

(9) PGS TS Mỵ Vinh Quang,(06/12/2004),ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MA TRẠN KHẢ

NGHỊCH,Thư viện GIÁO

ÁN,http://thuviengiaoan.vn/giao-an/dai-so-tuyen-tinh-ma-tran-kha-nghich-72043/

(10) PGS.TS Lê Anh Vũ, BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (HIGHER MATHEMATICS),

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS.TS Lê Anh Vũ:

https://maths.uel.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/maths/TOAN%20CAO%20CA

(11) Phùng Nhâm,(15/06/2021), Ma trận nghịch đảo là gì?Cách tìm ma trận nghịch đảo

2×2,3×3,4×4,ĐIỆN MÁY SHARP VIỆT

NAM,https://kyniemsharp10nam.vn/tu-van-dich-vu/ma-tran-nghich-dao/

(12) ThS Vũ Quỳnh Anh, ĐỊNH THỨC,EDUTOP TỔ HỢP GIÁO DỤC TOPICA:

http://eldata3.neu.topica.vn/TXTOCB02/PDF%20slide/NEU_TXTOCB02_Bai4_v1.0014105206.pdf