TIEU LUAN TOAN CAO CAP 1

): Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung saua)Thuật toán GaussJordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B.b)Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng.c)Xét hệ phương trình sau đâyax + x+ x= 2 + a123x+ bx+ x= 2 + b123x+ x+ cx= 2 + c123Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn. Hãy giải phương trình trên bằng ít nhất 2 cách.a)Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3. Mỗi cách cho một ví dụ minh họa?b)Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?c)Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các phương trình ma trận sau AX = B , XA = B , AXB = C.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP.HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN MÔN: TOÁN CAO CẤP 1

HỌ VÀ TÊN:****

MSSV: ****

LỚP: ****

GIẢNG VIÊN: ****

TP.HỒ CHÍ MINH, Ngày 18 Tháng 11 Năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Môn thi: TOÁN CAO CẤP 1

Họ và tên sinh viên:

MSSV: Lớp học phần:

THÔNG TIN BÀI THI

Bài thi có: (bằng số): …10… trang

(bằng chữ): …mười… trang

YÊU CẦU

Câu 1 (4 điểm): Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B

b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng

c) Xét hệ phương trình sau đây

ax + x + x = 2 + a

1 2 3

x + bx + x = 2 + b

x + x + cx = 2 + c

1 2 3

Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn Hãy giải phương trình

trên bằng ít nhất 2 cách

Câu 2 (3 điểm)

a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 Mỗi cách cho một ví dụ minh họa?

b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?

c) Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các phương trình ma trận sau AX = B , XA = B , AXB = C.

b)

c)

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ minh họa?

Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví

dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó

Xét không gian R4, hãy cho ví dụ về một không gian con nằm trong không gian R4

có số chiều bằng 2 Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn tọa độ của một vector nằm trong không gian đó với cơ sở trên?

BÀI LÀM

Câu 1:

a) Phương pháp Gauss-Jordan( phương pháp khử ẩn liên tiếp):

Giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan tức là dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng

để đưa ma trận mở rộng [A/B] thành ma trận bậc thang dòng [A’/B]

Trong đó: phép biến đổi sơ cấp là phép biến đổi tương tự trên hệ, do đó nghiệm của

hệ [A/B] cũng là nghiệm của hệ [A’/B]

B1: Lập ma trận mở rộng [A | B] của hệ (A là ma trận hệ số, B là cột tự do)

B2: Biến đổi sơ cấp (trên các hàng của) ma trận mở rộng đưa về dạng bậc thang B3: Từ ma trận bậc thang tìm nghiệm tổng quát

b) Định lý Kronecker – Capelli

Xét hệ phương trình tuyến tính AX=B

Ta có: Hệ có nghiệm duy nhấtr(A) = r( ) = n

Hệ có vô số nghiệmr(A) = r( ) <n (n là số ẩn)

Hệ vô nghiệmr(A) < r( )

VD1: Giải hệ phương trình tuyến tính:

x1 + x2 − x3 =

Giải:

Ma trận mở rộng của hệ là:

1 1 −1 2 1 1 −1 2

A = 2 0 1 1 → −2 d + d →d 2 0 −2 3 −3

1 2

d d 0 1 2 −2 2 d + d →d 3 0 1 2 −2

Ta có: r(A) = r( ) = 3 = 3 ẩn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = 1

1

x2= 0

x = −1

3

VD2: Giải hệ phương trình tuyến tính :

−4 x + 2 x + 2 x = −1

2 x − 4 x + 2 x = −2

1 2 3

2 x + 2 x − 4 x = 3

Giải:

Ma trận mở rộng của hệ là:

A = 2 −4 2 −2 → d d −4 2 2 −1

2 1

2 d + d 2 →d 2→ 0 −6 6 −5 d + d →d→ 0 −6 6 −5

− d + d→d

3

−6

Ta có: r(A) = r( ) = 2 < 3 ẩn

Vậy hệ có vô số nghiệm với 1

Nghiệm tổng quát là:

x = a +

1

x = a +

2

= a x

3

ẩn tùy ý Chọn x3 là ẩn tùy ý: x3 =

2 3

5 ( a R)

6

a

VD3: Giải hệ phương trình tuyến tính:

x − 2 y + 1z = 2

x + 1 y − 2 z = 4

−2 x + y + z =1

Giải:

Ma trận mở rộng của hệ là:

A = 1 1 −2 4 − d +d→ d 0 3 −3 2 d + d →d→ 0 3 −3 2

2d + d3→d3

Ta có r(A) < r( ) = 3

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

c)Giải hệ phương trình:

ax + x + x = 2 + a

1 2 3

x + bx + x = 2 + b

x + x + cx = 2 + c

Cho a = 29, b = 8, c = 3 ta có hệ phương trình:

29 x + x + x = 30

1 2 3

x + 8 x + x =10

x + x + 3 x = 5

1 2 3

Cách 1: Ta có ma trận mở rộng của hệ là:

1 3

− d + d →d → → 0 7 −2 5 → 4d + d d 0 7 2 5

−29d + d →d 2 3 3

3

Ta có: r(A) = r( ) =3= 3 ẩn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: x1 =1

x2 =1

−1 1

A = 1 8 1 10 → A = −2 86 −28 , B = 10

658

x1

X = x2

x3

Hệ viết dưới dạng ma trận:

A.X = BX = A−1.B

658

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là:

x =1

1

x =1

2

x =1

3

Câu 2:

a) Cách tính định thức ma trận vuông cấp 3

Cách 1: dùng quy tắc Sarrus ( quy tắc 6 đường chéo)

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = ( a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 ) − ( a31a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21a12 )

a31 a32 a33

VD1: Tính định thức của ma trận vuông cấp 3 sau:

3 1 2

Giải:

1 3 4

2 5 1 = (1.5.2 +3.1.3 + 4.2.1) −(3.5.4 +1.1.1+ 2.2.3) = −46

3 1 2

Cách 2: Khai triển định thức theo 1 hàng hoặc 1 cột bất

kỳ Cho ma trận vuông cấp 3

a11 a

13

31 32 33

1+1 a det( M 1+ 2 a det( M 1+3 a det( M )

det( A) = ( −1)

VD2: Tính định thức của ma trận vuông cấp 3 sau:

1 3 4

3 1 2

Giải:

1+1

.1

.3

.4

2 5

det( A) = ( −1) 1 2 + (−1) 3 2 + (−1) 3 1

= 1.1.9 + (−1).3.1+1.4.(−13) = −46

b) Ma trận khả nghịch:

( In là ma trận đơn vị cấp n) Khi đó, ta nói A, B là các ma trận khả nghịch

Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận:

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức:

B1: Cho A M n , det A # 0

B2: Tính các phần bù đại số của A đối với phần tử aij

A = (−1) i + j det( M )

ij ij

B3: Khi đó:

11 12 1n 11 21 n1

VD1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 3 sau:

3 2 2

det( A) = 2 + 12 − 9 − 2 = 3

= 0 A21 = (−1)2 +1 0 3 = 6

= −1 A22 = (−1)2 +2 1 3 = −7

12 3 2

= 1 A23 = (−1)2 +3 1 0 = −2

13 3 2

3 2

A31 = (−1) 3+1

A32 = (−1) 3+2

A33 = (−1) 3+3

0 3

1 1

1 3

2 1

1 0

2 1

= −3

= 5

= 1

Vậy 1

−1

A

VD2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 4 sau:

0 2 4 3

A = 0 3 0 2

3 4 2 0

1+1

.1 3 0 2 + (−1)4 +1 .3 2 4 3=1.1.[(0 +32 +18) −(0 +8 + 0)] + (−1).3.[(16 + 27 + 0) − (48 + 0 +12)] = 93

det( A) = ( −1)

Vậy A−1 = 93 −15 32 −18 5

c) Ví dụ vận dụng tính khả nghịch của ma

trận VD1: Tìm ma trận X sao cho A.X=B với

Giải:

A−1 =1 1 1

A = −24

31

A = 27

32

A = −18

33

A = 6

34

A = 17

41

A = 4

42

A = 5

43

A = −12

44

Ta có: A.X=BX=A−1.B

12

VD2: Tìm ma trận X sao cho X.A=B với

2 −3 −4

B =

Giải:

−1

A

Ta có:

X A = B X = B A−1

7411

VD3: Tìm ma trận X sao cho A.X.B=C với:

A = 0 1 4

0 0 −1

5 −2

B =

2 −1

C = 0 1

−1 2

Giải:

−1

A

Ta có:

A.X.B=CX = A −1.C. B −1

1

2

−1 −1 2 1 −2

B = (−1) =

−5

Câu 3:

a) Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

U là một hệ vectơ gồm m vectơ n chiều

ra khi: x1 = x2 = … = xm = 0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số A có nghiệm

Phụ thuộc tuyến tính: U được gọi là phụ thuộc tuyến tính khi:x1u1 + x2u2 + xnun = 0 nếu

tồn tại các số x1, x2, ,xm không đồng thời bằng 0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận

hệ số A có vô số nghiệm, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng hình

thang

VD1:

U = u1 = (1, 2, 3, 2); u2 = ( −1, 2,1, −2) ; u3 = ( −1, −3,

−2, −2) Xét: x1u1 + x2 u 2 + x3u3 = 0

Ta thu được hệ có ma trận mở rộng là:

−3 d + d →d

3

1 3

R(A) = 3 = 3 ẩn Hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường

Hệ U độc lập tuyến tính

VD2:

1 −3 4 d 1 d→ 3 1 2 −3 d + d →d→ 0 10 14 d d→ 0 5 −5 → −2 d + d →d 0

− d + d →d

U = u1 = ( −1, 2, 0,1); u 2 = (1, 2, 3, −1) ; u3 = (0, 4,

3, 0) Xét: x1u1 + x2 u 2 + x3u3 = 0

Ta thu được hệ có ma trận mở rộng là:

4

3

1 3

r(A) = 2 < 3 ẩn Hệ vô số nghiệm Hệ có nghiệm khác nhiệm tầm thường

Hệ U phụ thuộc tuyến tính

b) Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa: Cho HPT tuyến tính thuần nhất có dạng AX = 0

Khi đó W = {X ∈ R n | AX=0} gọi là không gian nghiệm của HPT tuyến tính thuần nhất.

Chú ý:

Tìm số chiều: dim(W) = n – r( ̅

)= số ẩn tự do với n là số ẩn của hệ AX=0

9

−3

5 0

Tìm cơ sở: Mỗi cơ sở của W là hệ nghiệm cơ bản của hệ

AX=0 VD:

Tìm 1 cơ sở và số chiều không gian nghiệm của hệ sau:

2 x + x + x + x = 0

2 x − x + x − x = 0

1 2 3 4

Giải:

Ta có ma trận mở rộng của hệ thuần nhất là:

2 1 1 1 0 − d +d

r( )=> dim(W) = 4 – 2 = 2

Hệ phương trình tương đương:

2 x + x + x + x =

−2 x − 2 x = 0

24 4231

0

x =−a

1 2

x = −b ( a , b R)2

x = a

3

x = b

4

Cho a =1, b =0

Cho a =0, b =1

W có 1 cơ sở là:

−1

có nghiệm cơ bản ( 2 , 0, 1, 0)

(−1, 0, 1,0),( 0,−1, 0, 1) 2

4

L = u = (1, 0, 0, 0), u = (0,1,0,0) R

Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn tọa độ của một vector nằm trong không gian đó với cơ sở trên

Giải:

Dim L=2 hệ L độc lập tuyến tính Hệ L là cơ sở

Tổ hợp tuyến tính của hệ L: x=x1u1+x2u2

Công thức biểu diễn tọa độ của vecto u1: u1 = 1a1+0a2

10