Tiểu luận cuối kỳ môn Toán cao cấp 1 trường đại học Ngân hàng thành phố Hồ Chí Minh (HUB). Nội dung bao gồm chương 1, chương 2, chương 3 phần đại số tuyến tính................................................
Trang 1NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP.HCM
HỆ CHẤT LƯỢNG CAO
TIỂU LUẬN CHỦ ĐỀ: TOÁN CAO CẤP 1
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Minh Tùng
Học phần: Toán cao cấp 1
Lớp học phần: AMA301_2111_9_GE25
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Hoàng Khôi Nguyên
MSSV: 050609212077
Trang 2LỜI MỞ ĐẦU
Chúng ta có thể nhận thấy rằng môn Toán cao cấp đóng một vai trò quan trọng đối với sinh viên ngành kinh tế Mặc dù Toán cao cấp chưa giải quyết trực tiếp các bài toán kinh tế lớn, nhưng nó là nền tảng tư duy cũng như tri thức để hiểu và giải quyết được các môn tiếp theo của chương trình học Giúp bản thân người học chúng ta nắm rõ được các quy luật, mô hình dịch chuyển và sự vận hành tương đối của kinh tết qua dạng các ma trận và phép tính đơn giản qua môn Toán cao cấp 1
Trong bài thi kết thúc học phần, bằng sự hiểu biết và học hỏi tham khảo em xin trình bày kiến thức mà em đã được học để trả lời các câu hỏi mà đề bài yêu cầu
Trang 3MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 2
MỤC LỤC 3
YÊU CẦU 4
BÀI LÀM 5
Câu 1: 5
a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B 5
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng 6
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình 9
Câu 2: 11
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 Mỗi cách cho một ví dụ minh họa? 11
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)? 14
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm về các nội dung liên quan đến định thức và ma trận khả nghịch .15
Câu 3: 17
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ minh họa? 17
b) Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó .18
c) Xét không gian 4 R, hãy cho ví dụ về một không gian con nằm trong không gian 4 R có số chiều bằng 3 Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn tọa độ của một vector nằm trong không gian con đó với cơ sở trên? 19
KẾT LUẬN 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
Trang 4TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH
BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên học phần: Toán Cao Cấp 1
Hình thức thi: TIỂU LUẬN KHÔNG THUYẾT TRÌNH
THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số) 20 trang
(bằng chữ) hai mươi trang
YÊU CẦU
Câu 1 (4 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình
Câu 2 (3 điểm)
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 Mỗi cách cho một ví dụ minh họa?
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của
ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm về các nội dung liên quan đến định thức và ma trận khả nghịch
Câu 3 (3 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ minh họa? b) Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó
c) Xét không gian 4 R, hãy cho ví dụ về một không gian con nằm trong không gian 4 R có số
chiều bằng 3 Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn tọa độ của một vector nằm trong không gian con đó với cơ sở trên?
Trang 5BÀI LÀM
Câu 1:
a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B
Định nghĩa: Cho A Mm x n(K) có ma trận rút gọn theo dòng từng bậc là RA, khi đó số dòng khác 0 của RA được gọi là hạng của A, kí hiệu r(A)
VD: RA =
2 5 7
3 1 4
0 0 0
=> r(A) = 2
- Mệnh đề
• r(RA) = r(A)
• 0 r(A) min {m, n}
• r(A) = 0 <=> A = Om x n
- Sơ đồ giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss Jordan
~
= [ A B ] các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận [ A’ B’ ]: Dạng bậc thang Khi đó Ax = B A’x = B’
Trong đó A’x = B’ là hệ dạng bậc thang nên dễ dàng giải được
Ta giải hệ phương trình theo ma trận tương đương như bình thường
Kết luận nghiệm
❖ Chú ý: Nếu ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán Gauss – Jordan có dạng
(A’|B’) Thì A’ được gọi là ma trận rút gọn theo dòng từng bậc của A (hay ma trận rút gọn), ký hiệu RA
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau
Giải
Lập ma trận hệ số bổ sung của hệ
Trang 61 2
2 2 4 4 6 5 1 1 2 3 5 5
1 1 2 3 5 5 2 2 4 4 6 5
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 5 4 7 8 2 3 5 4 7 8
dd
2 ( 2) 1 2
3 ( 1) 1 3
4 ( 2) 1 4
1 1 2 3 5 5
0 0 0 2 4 5
0 1 1 2 3 2
0 1 1 2 3 2
d d d
d d d
d d d
+ − →
+ − →
+ − →
−
⎯⎯⎯⎯⎯→
4 ( 1) 2 4
d d d
+ − →
Ta có hệ phương trình tương đương
(1) (2) (3)
Hệ có dạng hình thang, ta chuyển x3, x5 qua làm ẩn tự do
Từ (3) rút được 5
4
5 4 2
x
x = −
, thay vào (2) ta được: x2 = − + +3 x3 x5
Thay x x4, 2 vào (1) ta được 3 5
1
11 2 4 2
=
Vậy nghiệm hệ phương trình là
3 5 1
3 5 4
5
11 2 4 2 3
5 4 2
x
x x x
x
=
= − + +
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng
Muốn tính toán được số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, ta có thể sử dụng một định lý nổi tiếng Kronecker – Capelli để chứng thực và tính toán ra được đúng số nghiệm của phương trình
Trang 7❖ Định lý Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số, AX=B ta có:
✓ Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng
ma trận hệ số của hệ bằng hạng ma trận hệ số bổ sung của hệ:
r(A) = r( A)
Hơn nữa:
• Nếu r (A) = r( A ) = số ẩn của hệ thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất
• Nếu r (A) = r ( A ) số ẩn của hệ thì hệ phương trình tuyến tính có vô số
nghiệm
• Nếu r (A) < r ( A ) thì hệ phương trình tuyến tính đã cho vô nghiệm
Ta sẽ đi đến ví dụ cho từng trường hợp
VD1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau
1 2 3
2 3
2
Thực hiện tìm ma trận hệ số mở rộng sau đó bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của
ma trận mở rộng ta được:
2 2 1 2
d d d
3 2 2 3
d d d
+ →
1
7
2 2 3 2
d d d
− →
−
Ta có r(A) = =r( A ) = 3 ( số ẩn) Vậy hệ có nghiệm duy nhất x1=1,x2 =0,x3= −1
VD2: Giải hệ phương trình tuyến tính sau
Trang 8Thực hiện tìm ma trận hệ số mở rộng sau đó bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của
ma trận mở rộng ta được:
2 4 1 2
3 2 1 3
d d d
d d d
A
− →
− →
3 2 3
1 3 2 1 2
0 13 5 2 7
0 0 0 0 2
d −d →d
Ta nhận được hệ phương trình tương đương, trong đó hàng (0 0 0 0 2) cho ta phương trình 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2 Phương trình này vô nghiệm, vậy hệ đã cho vô
nghiệm Thế nên có thể thấy được rằng r(A) < r( A ) thì hệ vô nghiệm
VD3 : Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận các hệ số mở rộng của hệ
2 1
d d
2 3 1 2
d d d
− →
Bỏ hai hàng cuối, ta được ma trận bổ sung của hệ phương trình tương đương
− −
Trang 9Ta có r(A) = r( A ) < n ( số ẩn của hệ phương trình) thì phương trình vô số nghiệm với:
Số ẩn tự do = n – r(A)
Ở bài này ta có số ẩn tự do là 2 Ta chọn x1 , x2 làm ẩn cơ sở x3 , x4 làm ẩn tự do
1 2
2
, x3 ,x4
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm phần hệ phương trình
Câu 1: Giải hệ phương trình
A x1=2x2-3x3, x2=x2, x3=x3, x2, x3
B x1=x2=3x3, x3
C x1= 2x2+3x3, x2=x2, x3=x3, x2, x3
D x1= -2x2-x3, x2, x3
Câu 2 : Giải hệ phương trình
A x=5, y=8, z=10 B x=4, y=-1, z=0
D x=-4, y=1, z=0 C.x=7, y=5, z=6
Câu 3: Trong tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm thỏa 2x+y+z=4
7
A ( 1 5 1, ,
7 14 2
−
) B (1 5 1, ,
7 16 3) C 5 1 2, ,
2 7 14
D
2 1 2 , ,
5 7 14
−
Trang 10Câu 4: Giải hệ phương trình
A ( 2, 7, 5
43 ) B ( 3 , 2 , 2
187 43 ) C Tất cả đều sai D ( 8, 9 6)
Câu 5: Giải hệ phương trình
A x=-3+4t , y= 8 3
7 7t
− +
, z= 26 22
7 7 t
− +
, t
B x= -3-4t, y= 8 2 ,
7 + 7t z= 22 25 ,
7 − 7 t t
C x= -2-4t, y=1 5 ,
7 − 7t z=5 8 ,
6 − 7t t
D x= 5-6t, y= 2 5 ,
6 − 7t z=26 15 ,
6 − 7 t t
Câu 6: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm
1
A m=5 B m=14
3 C m=3 D m=2
Câu 7: Tìm m để hệ phương trình sau vô số nghiệm
A m 2 B m
C 3 câu kia đều sai D m=2
Trang 11Câu 8: Tìm tất cả m để hệ sau vô nghiệm
2
A m 1 B m = 1
C m=3 D m=-1
Câu 9: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm
2
A m=2 B m 2
Câu 10: Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm
1 1
A m 1 C m
2
D m=-2
Câu 2:
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 Mỗi cách cho một ví dụ minh họa?
Định nghĩa định thức cấp n:
Định thức của một ma trận vuông A = ( a ij ) cấp n ( gọi tắt là định thức cấp n ) là một số,
ký hiệu là A hoặc det(A), có được bằng cách quy nạp như sau:
▪ Nếu n = 1 thì det(A) = a 11
▪ Nếu n = 2 thì ta có định thức cấp 2:
o Det ( A ) =
11 12
21 22
a a
a a
▪ Nếu n = 3 thì ta có định thức cấp 3
o Det ( A ) =
11 12 13
21 22 23
31 31 33
a a a
a a a
a a a
Trang 12Có 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3
➢ Quy tắc Sarrus: Quy tắc Sarrus là một phép tính và một phương pháp ghi nhớ để
tính định thức của một ma trận 3×3 Nó được đặt theo tên của nhà toán học Pháp Pierre Frederic Sarrus
✓ Cách tính: Viết 2 cột đầu tiên bên phải cột thứ ba của ma trận, vậy là ta 5 cột Sau đó, viết kết quả tính toán theo đường chéo đi từ trên xuống dưới và trừ các sản phẩm của đường chéo đi từ dưới lên trên
Ma trận vuông cấp 3:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
Xây dựng ma trận
11 12 13 11 12
3 3 21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
x
Mô hình hóa cách tính:
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
Xác định công thức quy tắc Sarrus
Det ( A ) = (a a a11 22 33+a a a12 23 31+a a a13 21 32) (− a a a31 22 13+a a a32 23 11+a a a33 21 12)
VD: Cho ma trận
2 5 7
3 4 2
2 7 9
A
Tìm định thức của A bằng quy tắc Sarrus
Giải
Ta có
2 5 7
3 4 2
2 7 9
A
2 5 7 2 5
3 4 2 3 4
2 7 9 2 7
A
Trang 13= ( 2.4.9 + 5.2.2 + 7.3.7 ) – ( 2.4.7 + 7.2.2 + 9.3.5 )
= 239 – 219
= 20
➢ Công thức Laplace: Trong đại số tuyến tính, khai triển Laplace, được đặt tên theo
Pierre-Simon Laplace, còn được gọi là khai triển phần bù đại số, là một biểu thức cho định thức |B| của một ma trận n × n B theo các định thức con đầu của B.Đối với các ma trận lớn, khi tính toán, khai triển Laplace nhanh chóng trở nên kém
hiệu quả so sánh với các phương pháp sử dụng phân tích ma trận
Định lý:
Giả sử B =[ bij ] là một ma trận n x n và i, j là hai phần tử của {1, 2, ., n } Thế thì định thức của | B | thỏa mãn:
Các biểu thức trên lần lượt được gọi là khai triển Laplace theo hàng i và theo cột j của ma trận B
Mà trong đó phần bù đại số ( i, j ) của ma trận B là vô hướng Cij xác định bởi
Cij = (-1)i+j Mij
Với Mij là định thức con của B tạo ra từ việc xóa hàng thứ i và cột thứ j của B
VD: Cho ma trận
2 3 5
7 4 6
2 2 3
B
Tìm định thức của ma trận bằng phương pháp Laplac
Giải
Ta có
2 3 5
7 4 6
2 2 3
B
2 3 5
7 4 6
2 2 3
B
→ =
= ( )1 1 4 6 ( )2 1 3 5 ( )3 1 3 5
Trang 14= 3
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của
ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?
Định nghĩa
✓ Cho A là ma trận vuông cấp n Ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có) sẽ
là một ma trận cấp n ký hiệu 1
A− thỏa mãn:
A A -1 = A -1 A = I trong đó ( I là ma trận đơn vị cấp n )
✓ Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch
➢ Phương pháp xác định tính khả nghịch của ma trận
Muốn xác định xem ma trận có tính khả nghịch hay không ta tính định thức của ma trận
- TH1: det( ) A 0thì A khả nghịch
- TH2: det( ) A = 0thì A không khả nghịch
Ví dụ: Cho ma trận
2 0 3
2 1 3
1 2 2
A
Xác định tính khả nghịch của ma trận A ?
Giải: Ta có
2 0 3
2 1 3
1 2 2
A
2 0 3 2 0
2 1 3 2 1
1 2 2 1 2
A
→ =
= ( -2 ).1.2 + 0.3.1 + ( -3 ).2.2 - 1.1.(-3) – 2.3.(-2) – 2.2.0
= -1
Ma trận A khả nghịch
Ví dụ: Cho ma trận
0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 1 0
0 1 0 0
B
=
Xác định tính khả nghịch của ma trận B ?
Giải:
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
Trang 152 4
2 1
1.0
0
+
+
= −
=
Ma trận B không khả nghịch
c) Hãy thiết kế 10 câu hỏi trắc nghiệm về các nội dung liên quan đến định thức và ma trận khả nghịch
Câu 1: Cho
1 2 3
2 3 1
1 2 1
A
= −
Tìm đáp án đúng
A det (A) = 12 B det (1
2 A) = 12 C det (1
2A) = 3 D det ( 1
8 A) = 3
Câu 2: Cho
2 0 1
3 1 0
m A
Định thức của A theo tham số m là ?
A 3 B -1 C 3m+3 D 3m-3
Câu 3: Cho
1 1 1
m
m
Giá trị nào của m thì det (A) = 0
A 1− 3 B 1+ 3 C − +1 3 D 1
Câu 4: Cho
2 0 1
m
m A
m m
=
Tìm m để det (A) = 0
A m=1 B m=-1 C m=0 D m=1 hoặc m=-1
Trang 16Câu 5: Cho
1 2
0 1
m
m
Với giá trị nào của m thì det (A.A T) =4
A m 0 B m 0,1 C m 0,1, 2 D m 0, 2
Câu 6: Cho
1 2
m
m
−
= −
Với giá trị nào của m thì det (A) < 0
A -1 < m < 3 B m < -1 hoặc m > 3 C m D
Câu 7: Cho
3 5 2
1 1
m
−
Tìm m để A là ma trận khả nghịch
A m 2 B m −2 C 8
3
và m 2 D m −2và 8
3
Câu 8: Cho
1 1 0
1 0
m
Xác định m để A khả nghịch và phần tử a33 của A-1
A m = 1 và a33 = m-1 B m = -1 và a33= 1
C m 1 và a33 = m-1 D m và a1 33 =1
Câu 9: Cho
2 0 3
1 0
m
= −
Với giái trị nào của m thì A không khả nghịch
A m=1 B m 1 C m=0 D m 0
Câu 10: Cho
1 0 2
2 1 3
4 1 8
A
= −
Tìm ma trận khả nghịch của A
A
11 2 2
4 0 1
6 1 1
−
− −
B
1 1 2
5 3 1
4 1 1
−
C
2 1 2
6 4 3
4 2 1
D
2 1 6
7 9 5
8 4 1
−
− −
Trang 17
Câu 3:
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ
minh họa?
Độc lập tuyến tính:
Định nghĩa: Cho V là một không gian vecto và S= { u1, u2, …, un } V
Hệ S độc lập tuyến tính nếu :
1, 2, , n , 1 1 2. 2 n. n 0
Ví dụ: Cho u1= ( 0,1,1 ); u2 = ( 1,2,1 ); u3 = ( 1,5,3 ) Vecto có độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ?
Giải: Xét hệ phương trình thuần nhất sao
1 1 2 2 3 3 0
0
1 2 3
0 0 0
x x x
=
Vậy u u u1, 2, 3 độc lập tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính:
Định nghĩa: Ngược lại với độc lập tuyến tính khi:
1 1 2 2 n n 0
0
i
k
Ví dụ: Cho u1 = ( 1,1,2 ), u2 = ( 1,2,5 ), u3 = ( 0,1,3 )
Xét hệ phương trình thuần nhất sau:
Trang 181 1 2 2 3 3 0
0
Giải hệ trên bằng phương pháp Gauss, ta có nghiệm tổng quát của hệ trên là
1 ; 2 ; 3
x =m x = −m x =mvới m Vậy u u u1, 2, 3phụ thuộc tuyến tính
b) Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó
Đầu tiên chúng ta phải tìm hiểu hệ phương trình thuần nhất là gì ? Và cách xác định nghiệm của hệ này
• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Ta đã biết hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn số có dạng:
Hệ phương trình luôn có nghiệm
→
1 2 n 0
Thế nên với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ, hệ luôn có nghiệm
→ Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn
• Không gian nghiệm của hệ thuần nhất
Tập ker(A) =
1 2
n
n
x x
x
là một không gian con của không gian vecto
Rn và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất AX=OAX=O hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất
• Mỗi cơ sở của ker(A) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất
• Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất dim(ker(A)) = n – r(A)