CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóng rất rõ rệt, do đó khái niệm chuyển động của chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với khái niệm chuyển động trong cơ cổ điển. Trong cơ học lượng tử không có khái niệm qũy đạo. Ta hãy xét sự khác nhau về khái niệm chuyển động trong cơ học cổ điển và cơ lượng tử. * Với cơ học cổ điển, hạt chuyển động theo một qũy đạo xác định. Các biến số động lực như tọa độ, năng lượng, xung lượng ...được xác định chính xác đồng thời tại từng điểm và từng thời điểm trên qũy đạo. * Với cơ học lượng tử thì chuyển động của hạt được coi như một bó sóng định xứ trong một miền của không gian và bó sóng này thay đổi theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích thành tổ hợp tuyến tính các sóng điều hòa-bó sóng). Còn các biến số động lực nói chung không được xác định chính xác đồng thời, mà khi nói về chúng, ta chỉ có thể nói xác suât để biến số động lực ấy có giá trị nằm trong khoảng nào là bao nhiêu mà thôi. Vì sự khác biệt đó, các biến số động lực trong cơ học lượng tử không mô tả bằng số như cơ cổ điển mà phải mô tả chúng bằng các toán tử. Ta thừa nhận một số giả thuyết như những tiên đề.

Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ

I SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG

TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN TOP

Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóngrất rõ rệt, do đó khái niệm chuyển động củachúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với kháiniệm chuyển động trong cơ cổ điển Trong cơhọc lượng tử không có khái niệm qũy đạo

Ta hãy xét sự khác nhau về khái niệmchuyển động trong cơ học cổ điển và cơ lượng

tử

* Với cơ học cổ điển, hạt chuyển động theomột qũy đạo xác định Các biến số động lực nhưtọa độ, năng lượng, xung lượng .được xácđịnh chính xác đồng thời tại từng điểm và từngthời điểm trên qũy đạo

* Với cơ học lượng tử thì chuyển động củahạt được coi như một bó sóng định xứ trong mộtmiền của không gian và bó sóng này thay đổitheo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tíchthành tổ hợp tuyến tính các sóng điều hòa-bósóng) Còn các biến số động lực nói chungkhông được xác định chính xác đồng thời, màkhi nói về chúng, ta chỉ có thể nói xác suât đểbiến số động lực ấy có giá trị nằm trong khoảngnào là bao nhiêu mà thôi

Vì sự khác biệt đó, các biến số động lựctrong cơ học lượng tử không mô tả bằng số như

cơ cổ điển mà phải mô tả chúng bằng các toán

tử Ta thừa nhận một số giả thuyết như nhữngtiên đề

II CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC

Trong đó là các hằng số bất kì và nói

chung là phức

Tiên đề 2:

Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta chỉ thu được những giá trị bằng số là các trị riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy.

Từ tiên đề này ta suy ra các toán tử biểudiễn biến số động lực là những toán tử hecmit

(vì trị riêng là thực) và có đầy đủ các tính chấtcủa toán tử hecmit

Tiên đề 3:

Nghĩa là các hệ số phân tích cũng đượcchuẩn hóa

Công thức

là điều kiện chuẩn hóa của hệ số phân tích Với

ý nghĩa là tổng xác suất các trạng thái có thểphải bằng một

Nếu

(3.2)

Các công thức (3.1) và (3.2) là dùng để tínhgiá trị trung bình theo hệ số phân tích Sau đây

ta hãy xét biểu thức giá trị trung bình theo trạngthái (tức theo hàm sóng) của hệ lượng tử Ta sẽchứng minh giá trị trung bình có biểu thức:

.(3.3)

Trong đó là hàm sóng mô tả trạng tháicủa hệ và ta lưu ý rằng (x) là tập hợp các biến

số nào đó chứ không riêng gì tọa độ x

Ta xét có phổ gián đoạn ( trị riêng là giánđoạn )

a/ Trường hợp chưa chuẩn hóa:

Ta hãy thay

Tử số của (3.3) là:

Như trên ta đã thấy, muốn tính được xácsuất hay giá trị trung bình của biến số động lựcthì ta phải biết được các hệ số phân tích Ta hãytìm cách để tính chúng

Nếu các hàm sóng chưa chuẩn hóa thì các

sẽ sai khác nhau một hằng số Thông thường

ta phải chuẩn hóa các hàm sóng để biểu thức

xác suất được đơn giản

V GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN

TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN

a/ Biểu thức xác suất:

Vì các giá trị L là liên tục nên ta không thểnói xác suất để biến số động lực có giá trị L làbao nhiêu được mà chỉ có thể nói xác suất để L

có giá trị nằm trong khoảng từ L đến (L+dL) làbao nhiêu mà thôi Xác suất này thì tỉ lệ với dL

=

Nếu các hệ số C(L) được chuẩn hóa saocho:

b/ Giá trị trung bình:

Biểu thức giá trị trung bình của biến số độnglực L vẫn là:

Thật vậy,ta hãy chứng minh cho trường hợptổng quát là hàm sóng chưa chuẩn hóa nhưsau:

Như vậy trong biểu diễn tọa độ (sau này ta

sẽ nói rõ) thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân vớitọa độ mà thôi

b/ Toán tử xung lượng:

Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E,xung lượng thì tương ứng với một sóng phẳng

có dạng:

Trong đó hình chiếu của xung lượng làxác định nên hàm sóng là hàmriêng của toán tử Do đó ta có phương trìnhtrị riêng:

Hai vế của phương trình bằng nhau Vậy

Tương tự

Từ đó ta suy ra :

VII NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ

Cơ học cổ điển là trường hợp riêng của cơhọc lượng tử Trong cơ học cổ điển, các biến sốđộng lực liên hệ với nhau bằng các công thức

đã biết như:

Trong cơ học lượng tử thì các biến số độnglực được biểu diễn bằng các toán tử và chúngcũng liên hệ với nhau bằng các công thứctương tự như thế Ðó là nội dung của nguyên lítương ứng trong cơ học lượng tử Từ nguyên lítương ứng và dạng các toán tử đã biết, ta có thểsuy ra được các toán tử khác

a/ Toán tử năng lượng:

Trong cơ học cổ điển ta có công thức:

.(3.6)

b/ Toán tử mô men động lượng:

Trong cơ học cổ điển ta có:

Xét hệ lượng tử có hàm sóng và hai biến

số động lực L,M của hệ, chúng được biểu diễnbằng hai toán tử

Theo tiên đề Ba (trường hợp riêng), muốnthì hàm sóng (x) phải trùng với hàm riêng

Nghĩa làNếu đo đồng thời M với L và muốn M cũng

có giá trị xác định thì (x) cũng trùng với hàmriêng của Tức là là hàm riêng chungcủa hai toán tử Vậy, muốn đo chính xácđồng thời hai biến số động lực L, M của hệlượng tử ở cùng một trạng thái thì hai toán tửbiểu diễn chúng phải có chung hàm riêng khi đó

ta có:

Ta sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ đểhai toán tử có chung hàm riêng là hai toán tử

phải giao hoán với nhau Tức là giao hoán tửcủa chúng bằng không

a/ Ðiều kiện cần (hai toán tử có chung hàmriêng thì giao hoán):

b/ Ðiều kiện đủ (hai toán tử giao hoán thì cóchung hàm riêng):

IX HỆ THỨC BẤT ĐỊNH

Xét hệ lượng tử ở trạng thái và hai biến

số động lực L và M , chúng được biểu diễn bằnghai toán tử

Ta biết rằng nếu giao hoán thì ta đođược chính xác đồng thời cả L và M Nếu chúngkhông giao hoán thì không đo chính xác đồngthời được

Giả sử không giao hoán Ta hãy xétxem khi đo chúng đồng thời thì độ chính xác đạtđến mức độ nào?

Vì biến diễn hai biến số động lực nênchúng là các toán tử hecmit Nên ta có:

với là toán tử hecmit

Gọi là giá trị trung bình của hai biến sốđộng lực L và M thì độ lệch khỏi giá trị trungbình của L và M là:

Bây giờ ta hãy tính:

Nếu đo đồng thời hai đại lượng này thì độ chínhxác phải tuân theo hệ thức bất định sau:

lượng P = ) Khi foton va chạm vớielectron thì ta xác định được vị trí của electron.Nếu lúc đó ta muốn xác định đồng thời cả xung

lượng thì phép đo xung lượng kém chính xác Vì

do xung lượng của foton lớn nên xung lượngcủa electron bị biến đổi nhiều, không còn như cũnữa, do đó ta không đo được chính xác đồngthời cả xung lượng và tọa độ của hạt

Ðiều này chứng tỏ các hạt vi mô khác vớicác vật vĩ mô thông thường Các hạt vi mô vừa

có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, đó làmột thực tế khách quan Việc không đo đượcchính xác đồng thời cả tọa độ và xung lượngcủa hạt là do bản chất của sự việc chứ khôngphải do trí tuệ của con người bị hạn chế Kĩthuật đo lường của ta có tinh vi đến mấy đi nữacũng không đo được chính xác đồng thời cả tọa

độ và xung lượng của hạt Hệ thức bất địnhHeisenberg là biểu thức toán học của lưỡng tínhsóng hạt của vật chất

2/ Nếu hạt chuyển động trong một trường

có thế năng V(x) ( 0 thì sao?

Bài 3-2 Hạt chuyển động trong không

gian Chứng minh rằng có thể đo được

chính xác đồng thời bình phương của xunglượng

Bài 3-3 Toán tử năng lượng của một hạt

1/ Chuẩn hóa hàm sóng này

2/ Tìm xác suất tìm thấy hạt trong khoảng(a/2 , a)

Bài 3-7 Ðộng năng của electron trong

nguyên tử Hydro có giá trị cỡ 10 eV Hãy

dùng hệ thức bất định Heisenberg tìm kíchthước nhỏ nhất (đường kính d) của nguyên

tử

Bài 3-8 Dùng hệ thức bật định đánh giá

năng lượng nhỏ nhất Emin của electrontrong nguyên tử Hydro có kích thước là d

Bài 3-9 Hạt vi mô có độ bất định về xung

lượng là 1% xung lượng của nó Tính tỷ

số bước sóng De Broglie và độ bất định vềtọa độ x của hạt

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER.

I. PHƯ ƠNG TRÌNH SCHRODINGGER

KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT CHIỀU

1. Tính chất chẵn lẻ của nghiệm

2. Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó:

III. HỐ THẾ CÓ CHIỀU SÂU VÔ HẠN

IV. HỐ THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN

I PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Xét hạt chuyển động trong trường thế có thếnăng phụ thuộc vào tọa độ Hạt có nănglượng E và hàm sóng phụ thuộc tọa độ là Phương trình trị riêng của toán tử năng lượng

Phương trình này mang tên là phương trìnhSchrodinger không phụ thuộc thời gian, làphương trình đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính

Nó có nghiệm với bất kì giá trị nào của E Songkhông phải nghiệm nào cũng ứng với một trạngthái vật lí Chỉ có những nghiệm thỏa mãnđơn giá, liên tục và hữu hạn mới biểu diễn mộttrạng thái vật lí và mới chấp nhận được Cácnghiệm không thỏa mãn điều kiện trên thì khôngchấp nhận được Người ta chứng minh rằng chỉ

có những giá trị đặc biệt của E mới cho nghiệmtheo quan điểm vật lí Thường những giá trị ấy

là những giá trị gián đoạn và một dải những giátrị liên tục của E

- Các giá trị gián đoạn của E ứng vớinghiệm giảm nhanh về số không khi tọa độ tiếntới vô cực Trạng thái này gọi là trạng thái liênkết

- Các giá trị liên tục của E ứng với nghiệmhữu hạn ở vô cực và gọi là trạng thái không bịliên kết

Việc giải phương trình Schrodinger trongkhông gian là phức tạp Ðể làm quen, trước hết

ta hãy giải bài toán trong không gian một chiều,tuy rằng bài toán một chiều nó không ứng vớichuyển động của môt hệ thực Nhưng qua đó nócho ta một số ý niệm đầu tiên về tính chất sónghạt của vật chất Hơn nữa, cũng có những bàitoán trong không gian ba chiều ta có thể quy vềbài toán một chiều được

Vậy việc giải bài toán một chiều là cần thiết

và quan trọng

Giả sử hạt chuyển động trên trục ox, hạt cóthế năng V(x) thì phương trình Schrodinger códạng:

Phương trình này gọi là phương trình

Schrodinger một chiều

II CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHORODINGER MỘT CHIỀU

1- Tính chất chẵn lẻ

Nếu thế năng V(x) là hàm chẵn của tọa độ,tức là V(x) = V(-x) thì nghiệm của phương trình(4.3) là một hàm hoặc chẵn hoặc lẻ của tọa độ

2- Tính liên tục của nghiệm

Theo đòi hỏi về vật lí,nghiệm của phương trình

và đạo hàm của nó theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục

Như vậy, tại những điểm mà thế năng gián đoạn, nghiệm và đạo hàm theo tọa

độ của nó phải liên tục Ta hãy chứng minh tính liên tục của đạo hàm Giả sử thế năng bị gián đoạn tại như

hình Tức là khi ở bên trái và bên phải thì thế năng không liên tục, hai giá trịkhác nhau một lượng hữu hạn như hình Phương trình Schrodinger cho ta

III HỐ THẾ CÓ CHIỀU SÂU VÔ HẠN:

Ta hãy xét bài toán mà hạt chuyển độngtrên trục ox, thế năng có dạng:

Một trường thế như vậy gọi là hố thế có

bề sâu vô hạn, chiều rộng là 2a

Muốn cho hạt chuyển động được trên miềnngoài khoảng (- a,a) thì ta phải cấp cho hạt mộtnăng lượng bằng (vì V= và năng lượng E =

T +V).Ta không thể làm được điều này Vậy hạt

bị nhốt trong hố thế, nên nó chỉ có mặt trongkhoảng (- a , a) mà thôi

Như vậy ngoài khoảng (- a , a) hàm sóngcủa hạt là Còn trong khoảng (- a , a) thìhàm sóng tuân theo phương trình Schrodinger

như sau:

là phương trình dao động điều hòa

Nghiệm của phương trình này là

Trong đó A và B là các hằng

số phải xác định từ các điều kiện biên và điềukiện chuẩn hóa

Với bài toán này thì thế năng là hàm chẵncủa tọa độ nên bài toán có hai lớp nghiệm riêngbiệt chẵn và lẻ

b/ Lớp nghiệm lẻ:

IV HỐ THẾ CÓ BỀ SÂU

HỮU HẠN

Xét hạt chuyển động trên trục ox và thế năng có dạng

Ta thấy rằng hạt chuyển động tự do trong

khoảng (-a,a) và muốn hạt ra khỏi khoảng nàythì

phải cấp cho hạt một năng lượng lớn hơn hoặcbằng V0

-

Phương trình Schrodinger trong miền /x/ < a có

V THẾ BẬC THANG

Xét hạt chuyển động trên trụ x và thế năng

có dạng:

Như vậy khi đi từ miền (I) qua miền (II) thìhạt phải tốn một công bằng Còn khi hạt

đi từ miền (II) qua miền (I) thì động năng của hạttăng thêm một lượng là

Ta hãy xét hạt có năng lượng E đi từ miền(I) qua miền (II) Theo cổ điển thì nếu hạt sẽqua được miền (II), còn nếu thì hạt sẽ bịphản xạ trở lại tại gốc tọa độ và không quađược miền (II) Ta hãy xét bài toán theo cơ họclượng tử

a/ Trường hợp :

Ở miền (I) phương trình chuyển động là:

Còn sóng truyền qua không có dạng củasóng tới nên hệ số truyền qua không khải là

Ðiều kiện biên ở x=0 cho ta:

Ta cũng thấy A,B có giá trị tùy ý nên nănglượng của hạt cũng có giá trị tùy ý

Ta hãy xét hệ số phản xạ Thaybiểu thức của A*, A ta sẽ tính được R = 1 Tức

là hạt cũng phản xạ hoàn toàn nhưng khôngphải tại x=0 mà chỉ là chủ yếu tại đó mà thôi Vì

rằng ta thấy xác suất tìm thấy hạt ở miền x>0 làkhác không Cụ thể Nhưng ta thấymật độ giảm nhanh về số không khi x tăng Ðiềunày cũng hơi khác cổ điển

VI HÀNG RÀO THẾ VÀ HIỆU ỨNGĐƯỜNG NGẦM

Hàng rào thế năng là miền của không gian

mà tại đó thế năng lớn hơn miền lân cận Thí dụ

hàng rào thế đơn giản nhất là hàng rào thếvuông góc có dạng:

Giải hệ bốn phương trình trên ta tìm đượccác hệ số A,B,C,D Ta chú ý vì ở đây ta thấysóng truyền qua có dạng của sóng tới nên hệ số

D xác định hệ số truyền qua

Như vậy, theo cơ học lượng tử, dù cho

hạt vẫn có thể chuyển động được ở miền (III).Tức hạt qua được hàng rào thế Hiện tương trên

gọi là hiệu ứng đường ngầm.Hiệu ứng đườngngầm giải thích được nhiều hiện tượng vật líhiện đại

VII DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Hạt chuyển động trên trục ox dưới tác dụngcủa lực hồi phục F = - kx Với k là hệ số đàn hồi.Theo cổ điển thì hạt sẽ dao động xung quanh vịtrí cân bằng x = 0 Ta gọi hạt chuyển động nhưvậy là dao động tử điều hòa

Theo cổ điển thì phương trình chuyển độngcủa hạt là:

Nghiệm tổng quát của phương trình códạng:

x =Asin(ωt) + Bcos(ωt) =acos(ωt+ϕ)

Trong đó a là biên độ, ( là pha ban đầu

Ta thấy rằng với mọi giá trị của , nănglượng E của hạt đều được xác định và tỉ lệ với Vậy năng lượng của dao động tử điều hòa làtùy ý và nhỏ nhất là

Bây giờ ta hãy giải bài toán theo quan điểm

Ðây là phương trình vi phân hạng hai đốivới n(x) có hệ số thay đổi Giải phương trìnhnày ta tìm được nghiệm n(x) Nghiệm này phảithỏa mãn một số điều kiện vật lí và chính từnhững điều kiện này, ta tìm được năng lươngcủa hạt là:

Như vậy, khác với cổ điển, năng lượng củadao động tử điều hòa là gián đoạn theo sốnguyên n chứ không phải là liên tục và giá trịnhỏ nhất của năng lượng là chứ không phảibằng 0 như cổ điển

Từ đó, bằng phương pháp quy nạp toánhọc, ta tìm được công thức cho hàm

2- Giả sử trạng thái của hạt được mô

1/ Tìm các hàm riêng dạng sin và các trị riêng tương ứng của năng lượng

2/ Giả sử trạng thái của hạt là Vẽ đồthị phân bố xác suất tìm thấy hạt theo tọa

độ và tìm xác suất để phép đo năng lượng cho ta giá trị:

,

Bài 4-4 Cho bài toán như bài (4.2) Trạng

thái của hạt là:

1/ Tìm xác suất của phép đo năng

lượng cho ta giá trị ,

2/ Tìm mật độ xác suất để hạt có tọa độ