Phân tích mạch điện (Tập 1): Phần 2

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu Phân tích mạch điện (Tập 1) tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Phân tích mạch tuyến tính, có thông số tập trung, bất biến, tích cục bằng máy tính; Phân tích mạch điện không tuyến tính theo phương pháp điện áp nút bằng máy tính; Thuật toán thành lập hệ phương trình hỗn hợp cho mạch n của tuyến tính thuần trở;... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương 5

PHÂN TÍCH MẠCH TUYẾN tính , có thông số TẬP TRUNG,

BẤT BIẾN TÍCH cực BANG MÁY TÍNH

Trong chương 2 đã trình bày các định luật và các phương pháp cơ bản phân tích mạch điện Với các mạch điện đơn giản với vài nút và vài nhánh, việc giải các hệ phương tình theo các định luật Kirchhoff, theo các phương pháp điện áp nút, hoặc dòng điện vòng không gặp nhiều khó khăn lắm Nhưng nếu phải giải các hệ phương trình đo' với các mạch điện phức tạp hơn, với số nút lớn (hàng chục nút) vối số phần tử nhiều hơn, thì chắc chắn chúng ta gặp rất nhiều khó khăn nếu chúng ta không tìm ra phương pháp giải có sự giúp

đỡ cùa máy tính Vì vậy cũng trong chương 2 đã giới thiệu các định luật Kirochhoff viết dưới dạng ma trận, phương pháp điện áp nút, dòng điện vòng viết dưới ma trận Dó là các phương pháp cho phép chúng ta với sự giúp đỡ của các ma trận tôpô của mạch, co' thể xây dựng được các ma trận dẫn nạp nút, trở kháng vòng một cách hoàn toàn tự động Vỉ vậy no' chính là các phương pháp cho phép chúng ta thực hiện phân tích mạch điện trên máy tính, ỏ đây chúng ta tóm tát lại các khái niệm tôpô cơ bản quan hệ giữa các ma trận tô pô: ma trận nút, ma trận vết cắt, ma trận mạch Sau đo' chúng tôi sẽ nêu phương pháp xây dựng mặt trận dẫn nạp nút đối với các mạch điện tích cực

5-1 Các khái niệm và các định lý tôpô cơ bân

Mạch điện - nếu xét về mặt cấu trúc - là graph gồm có các nút và các nhánh Để có thể xử lý các yếu tố hình học này về mặt toán, người ta phải đưa ra các ma trận tôpô Vối các ma trận tôpô chúng ta có thể biểu diễn được bằng toán các qui luật hình học trong cấu trúc đó Với quan điểm phân tích tự động bằng máy tính chúng tôi sẽ nêu định nghía một số yếu tố cơ bản(*) Nút là điểm nối phần tử này với phần tử kia Nhánh là phần mạch chỉ chứa một thông số nối giữa hai nút Cây là phần mạch chứa tất cả các nút, và một số nhánh thuộc các nút đo' nhưng không tạo thành một vòng kín nào Các nhánh thuộc cây đang xét gọi là các nhánh cây của cây đo' Các nhánh cây không thuộc cây đang xét gọi là các bù cây của cây đó Từ một cấu trúc mạch điện có thể chọn nhiều cây khác nhau Vòng

là phần của mạch bao gồm một số nhánh và nút hợp thành một đường đi kín, qua đo' mỗi nhánh và nút chỉ gặp nhau một lần Vòng cơ bản (ứng với một cây) là vòng kín hợp thành bởi các nhánh cây và một bù cây Vậy số vòng cơ bản trong một mạch điện chính bàng số bù cây của mạch đó

Có thể giải thích định lý trên như sau:

(Nn - 1) chính là số nhánh cây ứng với 2Vnn út, Nv chính là số bù cây Tổng số bù cây

và nhánh cây chính bằng số nhánh trong mạch điện

6 ứng với cây c; e) Một vòng; 0 Một vòng cơ bản

Graph liên, thông là graph mà trong đó từ một nút bất kỳ này bao giờ cũng có ít nhất

Vết càt là tập các nhánh chia số nút của graph thành hai nho'm nũt riêng biệt nhau

Bỏ các nhánh trên vết cắt graph sẽ trở thành graph không liên thông, co' hai graph thành phàn ứng với các nho'm nút trên Hệ thống vết cắt gọi là độc lập (hoặc cơ bản) khi mỗi vết cắt đi qua một nhánh cây, còn các nhánh khác là các bù cây (hình 5- 2c)

Vậy số vết cắt cơ bản của hệ thống (ứng với từng cây) bàng số nhánh cây Thường

V,chọn hướng của vết cắt theo hướng cùa nhánh cây

Oịj = 1 nếu nhậnh j có chiều chỉ ra khỏi nút i.

Ojj = — 1 nếu nhánh trên có chiều chỉ vào nút i

Oịj = 0 nếu nhánh j không nối với nút i

Thứ tự ký hiệu các nút và nhánh không quan trọng

Hàng của'nút bất kỳ được chợn làm gốc có thể suy luận được từ (Nn - 1) hàng ứng với các nút còn lại Bởi vì mỗi nhánh đều nối hai nút vì nếu nối dòng trên nhánh đi vào nút này, tức là đi khỏi nút kia, vì vậy tổng giá trị các phần tử của một cột bao giờ cũng bằng 0 (nếu tính cả hàng ứng vối nút gổc), từ đo' dễ dàng suy luận hàng ứng với nút gốc

Định nghĩa

Ma trận mạch của mạch điện có 2Vv hàng 2Vnh cột (trong đố ATV là số vòng cơ bản) với các phần tử ma trận

ởịj = 1 nếu chiều nhánh j thuộc vòng i cùng chiều với qui ước của vòng

6jj = — 1 nếu chiều nhánh trên ngược với chiều qui ước của vòng

= 0 nếu nhánh j không thuộc vòng i.

ví dụ: Trên hình 5-3 chọn D làm nút gốc Ma trận nút A được viết

Ac =1 , Bb =1, Qc =1 Dó là kiểu chọn cây gồm các nhánh

gốc Dê’ Ac = 1 thì chiều của các nhánh cây phải hoặc

cùng đi vào nút gốe, hoặc cùng ra khỏi nút gốc và chiều

của nhánh phải được qui định là chiều dương Cũng như

nối từng nút với nút

Hình 5-4.

vậy Bb = 1, với cách chọn các vòng cơ bản với chiều của

bù cây cùng chiều với chiều qui ước của V

5- 3.Các định luật Kirchhoff với ma trận tôpô

Định luật Kirchhoff 1: "Tổng đạí số các dòng điện đi vào một nút bằng 0", ta có thể biểu diễn hệ phương trình dòng điện ở các nút của mạch điện với sự giúp đỡ của ma trận

A dưới dạng ma trận như sau:

Định lý

Nếu các cột của B và Q được xếp theo cùng thứ tự các nhánh trong mạch thì

Biểu thức (5- 7) có thể được viết:

Nnh ,

k=l J

Có thê’ chứng minh biểu thức (5 - 8) như sau: nếu nhánh k thuộc vòng i không có mật

trong vết cắt j thì tích của hai phần tử đo' bằng không Nếu nhánh k thuộc vòng i cũng có

mặt trong vết cắt j thì tích của hai phần tử sẽ khác không Nếu vòng ivà vết cát j có chung nhánh nào đo', thì số nhánh chung chắc chắn phải là 2ni nhánh (tức là số chẵn nhánh ) Và nếu một nhánh có cùng chiều với vết cát, và cùng chiều với vòng, thì nhánh còn lại nếu cùng chiều với vết cát thì phải ngược chiều với vòng, hoặc ngược lại, như vậy tích của hai cặp phàn tử đo' bao giờ cũng khác 0 và đối dấu nhau, tức là nếu tích hai phần tử này là (+1), thì tích hai phần tử kia phải là (- 1) Do đó:

Định lý

Nếu các cột của A và B được sap xếp theo cùng thứ tự các nhánh trong mạch thỉ

[hàng i của B] [hàngj của A] 1 = 0 (5-11)(5 - 11) có thể viết

s=g"&ik -a kj

(5 - 12)

Biểu thức trên có thê’ giải thích như sau: nếu nút j không thuộc vòng i, tức là vòng i

không chứa nhánh nào thuộc nút j, như vậy tích của hàng i của B và hàng j của A sẽ bàng 0' Nếu-hai nhánh đều cùng chiều (hoặc cùng ngược chiều) với vòng ỉ thì đối với nút j một nhánh chỉ vào nút còn nhánh kia chỉ ra khỏi núl, cố nghĩa là tích của hai phần tử này sẽ khác không nhưng đối dấu nhau, nếu cặp này cố gia trF■(+!), thì cặp kia co' giá trị’ (- D.Còn nếu một nhánh co' cùng chiều với vòng i, nhánh kia ngược chiều với vòng i thì hai nhánh đó sẽ cùng chỉ vào nút j, như vậy tích của hai cặp phan tử đo’luôn luôn ngược dấu nhau, vì vậy:

s = 0 + 0 + ± 1 ±1 ± 1± 1 ± 1

m nhánh - m nhánh, Nnh nhánh

Theo (5 - 14a) ta viết được quan hệ giữa B và A như sau:

■ Af 4. = 0, từ đo' ta co'

Bc = -AĨ(Acy

mà theo (5 - 17) Ưb = - Bc Uc, ta có thể viết

Theo tính chất ma trận tôpô A, ta nhận thấy ràng

5 - 4 Phân tích mạch điện tuyến tính một chiều, xoay chiều theo phuơng pháp điện áp nút bằng máy tính

Chúng tôi trình bày chủ yếu việc phân tích mạch xoay chiều, vì mạch một chiều sẽ là trường hợp đơn giản của trường hợp trên (khi chỉ có điện trở, không co' các thông số điện cảm, điện dung, hỗ cảm) và các giá trị dẫn nạp, của nguồn áp, dòng đều là giá trị thực Một nút tổng quát của mạch tuyến tính được vẽ ở hình 5-5

Theo hình 5- 5 các phần tử được nối vào nút co' thể là các phần tử thụ động: điện trở, điện cảm, tụ điện, các cuộn dây ghép, các nguồn tác động độc lập: nguồn điện áp, nguồn dòng; các nguồn phụ thuộc dòng hoặc áp điều khiển bằng điện áp, nguồn dòng hoặc áp điều khiển bằng dòng

Dặc biệt cần chú ý, với phương pháp điện áp nút, khi chọn nút để vẽ graph của mạch

điện ta không được đặt nguồn điện áp giữa hai nút (đù đó là nguồn độc lập, hay nguồn phụ thuộc) Có nghĩa là, nhánh chứa nguồn điện áp, phải chứa thêm một thông số thụ động Trong trường hợp nhánh chứa nguồn điện áp thực sự nằm giữa hai nút, hay nói cách

khác trường hợp nguồn điện áp lý tưởng thì chúng ta phải thực hiện sự biến đổi như sau(hình 5 - 6)

Chập nút i và j lại thành một nút và

chuyển nguồn đo' sang các nhánh khác nối với

nút i (nhánh k, l, ni ) Chứng minh sự tương

đương của phép biến đổi này rất đơn giản

Theo hình vẽ trên, vỉ

Ư.^Uị+Ei

Điện áp trên các nhánh k, l, với

nút ỉ cũng tương đương với điện áp trên các

nhánh đó nối với nút jvà cộng thêm một

nguồn áp được điều khiển bàng dòng điện trở thành nguồn dòng điểu khiển bằng điện áp (hình 5 - 7).

Nguồn dòng điều khiển bằng đòng được thay thế bằng nguồn dòng điều khiển bằng

Bây giờ ta hãy xét một nhánh phức tạp điển hình cùa mạch (hình 5-9) gồm phần tử

zk là một thông số thụ động, nguồn áp độc lập với sức điện động Ek, nguồn dòng độc lập với

dòng điện nguồn ingk

của các véc tơ dòng điện

Dối với các nguồn dòng nhánh k điều khiển bàng điện áp của nhánh j.

Phương trình (5- 30) được viết dưới dạng khác

\ u = uk/

ta tìm được điện áp trên các nhánh (u) và theo (5 - 25a)ta tìm được điện áp trên các phần

tử thụ động (u) Công thức (5- 42)được gọi là công thức biến đổi nút

Cồn chú ý đến dấu khi thành lập ma trận cột và E Các phần tử ma trận cột I „

sẽ mang dấu dương nếu chiều dòng điện của nguồn chỉ ngược chiều với chiều của nhánh và mang dấu âm nếu chiều dòng điện nguồn cùng chiều với chiều của nhánh Còn các phần tử trong ma trận cột E sẽ mang dấu (dương) nếu chiều dòng điện trong nguồn điện áp có cùng chiều với chiều dòng điện qui ước trên nhánh chứa nó, và sẽ mang dấu (âm) nếu hai chiều dòng điện trên ngược nhau, vì vậy đây là mạch điện xoay chiều nếu các phần tử trong các

ma trận trong phương trình (5 - 40) mang giá trị phức Hay no'i cách khác để tìm UN ta phải giải hệ phương trình tuyến tính co' hệ số phức Việc giải hệ phương trình (5 - 40, (5 - 42), (5- 25a) hoàn toàn được thực hiện trên máy tính bằng các chương trình co' sẵn

Trên quan điểm dùng máy tính, việc giải UN trực tiếp từ hệ phương trình tuyến tính (5- 40) tiện lợi hơn rất nhiên so với việc giải trên máy biểu thức (5- 41) Việc giải theo (5- 41) đòi hỏi phải lấy nghịch đảo của ma trận (N X N) Như chúng ta đã biết, thuật toán này đòi hỏi thời gian nhiều hơn so với thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss Thuật toán khử Gauss cũng được dùng tốt trong việc giải hệ phương trình

tuyến tính có hệ số phức Chi có một điều càn biết là phép uuàu hai số phức đòi hỏi số phép nhân gấp bốn làn phép nhân hai số thực trong mạch điện một chiều, bởi vì

= (x ! + jjjXx 2 + jy2) = (*!* 2 - yjy2 ) + j (x jy 2 + Ji X 2 )

Bây giờ chúng ta hây xét trường hợp mạch điện xoay chiều chứa thông số hỗ cảm

Giả sử trong mạch điện có hai nhánh k và l chứa hai cuộn dây Lk và Lị ghép hỗ cảm với nhau (hình 5- 10a), ta

có thể viết phương trình đặc trưng cho các nhánh k và l như sau

UL

uk = j aìLịỊị + j u)Muiị (5- 43a)

U/ = j a>M[ki^ + j (ưLịiị (5- 43Ò)công thức (5- 43) có thể viết dưới dạng ma trận

L là ma trận điện cảm, với các phần tử trên đường chéo là các thông số điện cảm, các phần

tử nằm ở hai bên đường chéo là các thông số hỗ cảm Mkl giữa nhánh k và nhánh l. vì

Các phần tử Lkk là các thông số điện cảm trên nhánh Ã, các phần tử Ljk là các thông

số hỗ cảm giữa nhánh i và nhánh k.

Với cách biểu diễn quan hệ dòng và áp trên các nhánh có ghép hỗ cảm theo phương trinh (5 - 48) chúng ta có thê’ dễ dàng đưa các dẫn nạp nhánh có ghép hỗ cảm này vào ma trận dẫn nạp nhánh Yb

(5) (6)

1

Y = —

jw f»

r = j2 r = - j ' 5

-3

-3'2

(5)(6)Dưa ma trận đẫn nạp nhánh hỗ cảm vào ma trận dẫn nạp nhánh Yb, ta có

Phần tử 8 nằm ở hàng 3 cột 2 là hệ số điều khiển của nguồn phụ thuộc nằm ở nhánh

3 chịu sự điều khiển của điện áp trên nhánh 2

Ma trận cột và E„„ được viết •ng ng •

■- 1 ■00E„.ng 0

00Thay các ma trận trên vào các biểu thức (5 - 38) (5 - 39) ta nhận được

'l-j5 j8 -j3 • j8 -J10 j5 -j3 8+j5 2-j2

^ngN 0

0Nếu cần xác định điện áp nút UN thì chương trình mẫu trong máy tính sẽ tự động giải từ biểu thức (5 - 40)

YHU N = IngN

Nếu mạch điện là mạch một chiều, thông số thụ động trên nhánh k chí có thể là điện trở, nghĩa là Zk = J?k, lúc ấy Ykh, hoặc YN, chỉ gồm các phần tử co' giá trị thực Cũng như vậy I và E cũng chi chứa các phần tử co' giá trị thực Và máy tính sẽ giải UN từ biểu thức (5 - 40) một cách nhánh chóng hơn so với trường hợp mạch điện xoay chiều vì lúc đo' các

hệ số của hệ phương trình tuyến tính có giá trị phức.

_ 0

E =

5 00000-6 0

5-4.2 Cách thành lập trục tiếp ma trận dẫn nạp nút và ma trận nguồn dòng

Ỏ phần trên chúng ta đã nối đến việc thành lập bằng máy tính ma trận dẫn nạp nút

và ma trận nguồn dòng theo các biểu thức

điểm trên bàng cách xây dựng trực tiếp YN, IngN

tù các sô' liệu đầu vào mô tả cách nối và tính

chất của các nhánh các mạch điện Các nhánh

mạch điện có thể chia làm hai loại: nhánh dẫn

nạp (không chứa nguồn điều khiển, có thể chứa

nguồn điện áp độc lập) và nhánh có chứa nguồn

điều khiển

a) Loại thứ nhát: nhánh dẫn nạp

Thi nút i, dòng điện của nhánh được vẽ

trong hình 5- 13 được viết:

Tại nút j dòng điện cùa nhánh trên hình vẽ được viết

Để làm ví dụ ta hây xét ma trận dẫn nạp nút thành phần của nhánh hỉnh 5-13 dựa vào biểu thức (5 - 50), (5 - 51)

(Y^ ký hiệu ma trận dẫn nạp nút thành phàn của nhánh 1)

Chúng ta hãy xem vị trí của các phần tở ma trận dẫn nạp nút thành phần trên trong

sẽ xây dựng được ma trận IngN của toàn mạch

Như một ví dụ, ta hãy xem vị trí của các phần tử dòng điện nguồn của nhánh trên hình vẽ 5- 13 trong ma trận cột IngN 'J

Nhưng nếu một nút i hoặc dược chọn làm gốc thì trong ma trận dẫn nạp nút sẽ không còn hàng và cột ứng vói nút dó Nói rõ hơn Yị chi xuất hiện trong YNtại một vị trí Yịị (hoặc Vjj)

ứng với nút không chọn làm gốc

b) Loại nhánh thứ hai: Nhánh co' chứa nguồn điều khiển dòng theo áp Như đã nói ở

phàn đầu của mục 5- 4 nếu trong mạch co' các

nguồn điều khiển thì trước khi áp dụng phương

pháp điện áp nút để phân tích mạch điện, ta cần

biến đổi tương đương chúng về dạng các nguồn

điều khiển dòng theo áp Do đó ở đây chúng ta chi

xét cụ thể trường hợp nhánh có nguồn điều khiển

dòng theo áp (hình 5- 14) Còn trường hợp các

nguồn điều khiển khác chúng ta sẽ thành lập ma

trận dẫn nạp nút thành phần của chúng dựa theo

các phương trình đặc tính của các nhánh trên

từng nút

Phương trình đặc tính của nhánh có chứa nguồn điều khiển:

ỉ, = I ° m K m c ngl- u„ + E„) - (5 - 55a)

I, = I, = - gm (u, - u + E„) + I J 1 °m ' k m c' ngl (5 ' - 55Ờ)z

Tìí (5 - 55) ta có ma trận dẫn nạp nút của nhánh 1 nối giữa hai nút i vàj

m k

/q =gUị = g(Up - ơ s ) 't =-g(Up - us)

/ =- Í7(ờp - ơ Nếu chập s và t ta có 's,t 'p + 'q = ( y i + - ^s)

p s q

>1^-7 4'

+ :Óq - Ư t)

zt =_, q

p s

q t

p » <ì t

- Yj Y ị 0 0 rYịYi -rYịYi Yị Yị

rK-Xi TYịYị Yị Yị

của các nguồn điều khiển có trở kháng trong, được xây dựng từ các phương trình đặc tính của các dòng điện chảy trên các nhánh từ các nút p, q, r, t Trong trường hợp nút s và nút

t được chập lại, thì ma trận dẫn nạp nút sẽ thay đổi như sau: các phần tử của hai hàng s

và t sẽ được cộng lại theo từng cột, tạo thành hàng s, t duy nhất Nếu có nút nào trong bốn

nút trên được chọn làm gốc thì hàng và cột ứng với nút đo' sẽ bàng không, hay nói cách khác không cần viết hàng và cột trong ma trận dẫn nạp nút thành phàn

Bằng cách cộng các phần tử trong bảng ở các vị trí tương ứng ta co'

của nó:

1) Các phần tử trên đường chéo là các dẫn nạp nút, tức là tổng các dẫn nạp ở các nút

2) Hai bên đường chéo các phần tử (í, j).và ợ,i) là các dẫn nạp chung giữa nút i và j và lấy giá trị âm Theo những nguyên tắc này ta co' thể xây dựng dễ dàng YN bằng bút và giấy.Khi dùng máy tính số, các biểu thức (5- 53), (5- 55), (5- 57), (5- 58) được thực hiện rất dễ trong chương trình Nếu có nguồn điều khiển khác loại DA’ thì người sử dụng hoặc

tự động bằng chương trình ta có thể chuyển chúng về dạng DÁ’

5 5 Cách thành lập các ma trận tô pô A, B, Q bằng máy tính

Đầu tiên chúng ta sẽ nói đến cách thành lập ma trận A Cách thành lập này rất đơn giản Chúng ta ký hiệu bằng các sổ nguyên liên tiếp bắt đầu từ lcác nhánh của graph mạch Tương tự như vậy các nút trên graph cũng được đánh số từ 1 (nút gốc được ký hiệu số 0) Sau đo', nếu nhánh k được nối giữa các nút i và j, với hướng của nhánh chỉ vào nút

j thì chúng ta sẽ diễn tả các thông tin về nhánh đó bởi ba số nguyên theo thứ tự (k, i j.

Nếu hướng của nhánh chỉ vào nút i thì bộ ba số nguyên biểu diễn nhánh k được sắp xếp

(k, j, i). Các số liệu này được cho vào máy Từ đo' ma trận A được thành lập với các phàn tửaik = + 1, ơjk = - 1

Sự lưu trữ thông tin của graph theo ma trận A là không hiệu suất trên quan điểm sử dụng bộ nhớ của máy tính, ví dụ mạch điện có 50 nút và 200 nhánh, lúc ấy ma trận A có

50 X 200 = 10000 phàn tử và cần 10000 vị trí trong bộ nhớ Vậy co' thể tiết kiệm được trong bộ nhớ nếu A không viết dưới dạng ma trận [(Nn - 1) X Nnh ] ví dụ, với phương pháp điện áp nút, ta cần xây dựng ma trận dẫn nạp nút bởi tích các ma trận AYbA! Trong trường hợp này, bộ ba số nguyên biểu diễn thông tin của các nhánh nên được viết dưới dạng bảng như trong ví dụ 5- 3, và máy thực hiện các thuật toán trên cơ sở bảng này vì vậy, với mạch điện co' 50 nút, 200 nhánh, bộ nhớ cần thiết cho thông tin các nhánh ở đầu vào chỉ là 200 X 3 = 600 vị trì (so sánh với kết quả trên, bộ nhớ cần đến 10000 vị trí, chúng ta thấy đã tiết kiệm được bộ nhớ)

Cách thành lập ma trận B và Q

Dể thành lập ma trận B và Q, đầu tiên máy cần phải chọn cây Sự chọn cây cần được thực hiện với sự ưu tiên về thứ tự của các loại phần tử khác nhau trong mạch Thứ tự đo' thường được qui định như sau: đầu tiên là các nguồn điện áp độc lập, sau đó đến các nguồn

áp điều khiển, rồi đến tụ điện, điện trở, điện cảm, và cuối cùng là các nguồn dòng

Một trong các phương pháp chọn cây là đưa A về dạng bậc thang sao cho các phần tử

ở dưới bậc thang phải lấy giá trị 0, còn các phần tử đầu tiên ở trên các bậc thang phải lấy giá trị 1, còn các phân tử còn lại lấy các giá trị bất kỳ

Ví dụ A dưới dạng bậc thang (Abth)

ỏ đây chúng tôi không nêu phàn chứng minh tại sao phải đưa A về dạng bậc thang

Dê’ đưa A về dạng bậc thang người ta thường thực hiện các qui tắc ’biến đổi hàng và cột của ma trận:

1 Thay đổi chỗ của hai hàng

Tho Abth các nhánh cây sẽ là các nhánh E, , Cp C3, L, Từ A.3 bth ta <co' thê’ viết A dưới

dạng phân hoạch thành A c và Ab như sau:

Q = [1C QblBiểu thức (5-61)là chìa khóa để thành lập ma trận tô pô B và Q Theo

(5-61)đàu tiên từ cây chúng ta tìm A”1, rồi nhân nó với A, kết quả sẽ là Q Sau đo'

5.6.1 Phuong pháp dòng điện vòng

Hãy xét mạch điện trong trường hợp các nhánh của mạch

được biểu diễn một cách tổng quát theo hỉnh 5-15, hoặc có thể đưa

về dạng đo' một cách tương đương

Mỗi nhánh hình 5-15 được đặc trưng bằng phương trình đặc

tính tổng quát sau:

Nph

U^iỉiZưIl-Ek (k = 1,2, JVnh) (5-63)

Dạng phương trình ma trận của hệ phương trình (5-63):

Nếu ta chọn các vòng mạch chính là các vòng cơ bản (tức là vòng được tạo ra từ một

bù cây với các nhánh cây )lúc ấy ta có

(5-71) chính là phương trình dòng điện vòng của mạch điện viết dưới dạng ma trận, trong

đó Zv được gọi là ma trận trở kháng vòng [Nv X Nv] với các phần tử Zịị trên đường chéo chính là tổng các trở kháng trong vòng i (gọi là trở kháng vòng i) và các phần tử nằm hai bên đường chéo Zjj là trở kháng chung giữa vòng i vào vòngý

Dễ dàng co' thể nhận thấy Zịj = Zj j nếu mạch điện là tương hỗ Vậy nếu mạch điện

là tương hỗ thì ma trận Zv sẽ là ma trận vuông, đối xứng qua đường chéo Phương trình (5-71) là hệ phương trình tuyến tính, để cho việc giải bằng máy tính có hiệu suất cao, ta có thể giải bằng phương pháp khử Gauss (giống trường hợp giải phương trình điện áp nút )

Từ (5-71)ta nhận được dòng điện trên các nhánh

To'm lại, thuật toán phân tích mạch điện bằng phương pháp mạch điện vòng được thực hiện với các bước sau:

1 Tìm cây của mạch

2 Từ cây đó thành lập ma trận B theo (5-60)

3 Thành lập Zv theo (3-69) Ev theo (5-70)

trong đo' yb là ma trận vuông [Nnh X NnhJ, co' ykk là dẫn nạp nhánh k

Phương pháp vết cắt được xây dựng trên cơ sở định luật Kirchhoff I phát triển trên vết cất, theo (5 - 5) ta có:

nhánh cây với với các điện áp Bị, u2, Uy Các vết cát

cơ bản Vp V2, V3 làn lượt đi qua các nhánh cây 1, 2,

3 (với các chiều qui ước dương như vẽ trên hình

Trong trường hợp cụ thể này điện áp trên nhánh i

(5 - 740

(5 - 75)

(5 - 76)

thì Yjj là tổng các dẫn nạp thuộc vết cắt i và Yịj là tổng dẫn nạp chung giữa vết cắt i và vết

cắt j Điện áp vết cắt, hay no'i cách khác điện áp trên các nhánh cây được xác định từ phương trình (5 - 78), và sau đó điện áp trên các nhánh khác của mạch điện được xác định theo (5 - 746) vì (5 - 78) hoàn toàn đồng dạng vối phương trình (5 - 71) nên thuật toán giải phương trình này giống hệt như thuật toán giải phương trình (5 - 71) đã được trình bày trong phương pháp dòng điện vòng Phương pháp dòng điện vòng và phương pháp vết cắt co' ưu điểm:

- Chỉ cần biết các ma trận tô pô Q hoặc B

- Ma trận Zv trong (5 - 71) và ma trận Y q trong (5 - 76) có số hàng và cột ít hơn so với ma trận Y

Tuy vậy hai phương pháp này đều có nhược điểm là cần phải tìm cây, nên chúng trờ thành phức tạp hơn so với phương pháp điện áp nút Phương pháp điện áp nút chẳng qua

là trường hợp đặc biệt của phương pháp vết cát khi cúng ta chọn các vết cát theo các nhánh nối vào các nút ví dụ trên hình 5 -16, nếu giữ nguyên Vp V3 còn V2 được lấy theo vết cắt các nhánh 2, i và 3 thì Q = A

Thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang

Bắt đầu với một ma trận [m X n], thuật toán thực hiện những thay đổi các hàng và cột trong ma trận phụ của A Cuối cùng phương trình cho ra ma trận A dạng bậc thang

Các bước của algorithm

1 Cho As là ma trận phụ của A Đầu tiên As = A

2 Do As theo từng cột từ phía trái, cho đến khi gặp phàn tử khác 0 - cột c - Nếu không co' cột nào như vậy thì As = 0 và chương trình dừng lại

3 Dò theo cột c tù trên xuống dưới theo tùng phần tử đến khi gặp phần tử khác 0 ở hàng r nào đo'.

4 Dổi hàng 1 và hàng r của As (nhớ rằng các bước phải thực hiện với As mới nhất).

5 Nhân hàng 1 của As với nghịch đảo của phần tử (1, c)của As

6 Dưa tất cả các phần tử ở dưới hàng 1, thuộc cột c về số 0

7 Một As mới sẽ xuất hiện từ As cũ As mới sẽ gồm các phần tử của As cũ trừ hàng

1 và cột c Nếu As mới không tồn tại thì chương trình chấm dứt, nếu không thì phương trình trở về bước 2

Ví dụ 5- 5

Hãy đưa ra ma trận A sau đây về dạng bậc thang theo các bước đã nêu trong chương trình \

2-1

42

24

41

A s2

-03

52

31

42

-25

-43

-ĩ4

Bước 7: 41

5415

7 ■575Chu trình thứ 4:

PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN KHÔNG TUYEN tính

THEO PHƯONG PHÁP ĐIỆN ÁP NÚT BANG MÁY TÍNH

CÁC THUẬT TOÁN VÀ PIIƯONG PHÁP TÍNH

Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến các mạch điện chứa các điện trở tuyến tính, điện trở không tuyến tính phụ thuộc vào điện áp, các nguồn độc lập, các ngu&n dòng tuyến tính và không tuyến tính được điều khiển bằng điện áp

quát theo hỉnh 6-1.

Hãy giả thiết ràng phần tử bị. là điện trở không

tuyến tính phụ thuộc vào điện áp

‘k = sk(tụhoặc nguồn dòng được điều khiển bàng điện áp được

đặc trưng bởi phương trình:

(6-2)

(6-1)

ik = gk (ưj)trong đo' C7j là điện áp trên điện trở Zj nào đó

Tổng quát hóa các phương trình đặc trưng ở (6-1) và (6-2) dưới dạng véc tơ ta viết được:

Cuối cùng để tìm điện áp nút, ta cần giải hệ phương trình không tuyến tính (6-8).

g(AT UN + E) =

g/Ej-Uj) g2(u1 - u2)

g3(«i - u3)

g4(-u2 4- u3)

g5(u2) g6(w3>

Thay các ma trận trên vào (5-6), ta co': A Ing

gj(E| - Uj)g2^1 " u2^

g3(Wj _u3) g4(-u2 + u3) g5(w2)

-g/E! - up + g2(Uj - u2) + g3(Uj - u3) = 0

-g2<ui - u2) + g4(-u2 +u3) + g5(u2) = -Zng4 (6-13)

-g3< “l - “ + g 4 <-“2 +u 3> +g6< M3> = zng4

Nếu ta có các đặc tuyến V-A cùa các điện trở phi tuyến, thay các biểu thức trên vào

hệ phương trình (6-13)ta co' hệ phương trình cụ thể:

CEj - up3 + -^-(Uj - u2) +e =0

6

(6-15)là hệ phương trình đại số không tuyến tính Các phương trình này phải được giải bằng

kỹ thuật truy chứng số (numerical iteration techniques)

6.2 Cách giải phương trình theo thuật toán Newton - Raphson

Trước hết chúng ta hăy xét thuật toán Newton - Raphson để giải phương trình phi tuyến có một ẩn số

Hãy xét phương, trình:

f(x) = 0

và cho X = x^) là giá trị gần đúng thứ j Bởi vì x^) chưa phải là nghiệm, do đo' f(x^ b O.Ta

có chuỗi khai triển Thylo trên hàm f(x) ở quanh điểm X = x^):

(6-18, co' nghĩa là (6-18) co' thể viết gần đúng:

(6-20) được coi là phương trình Newton - Raphson Tiếp theo chúng ta sẽ no'i đến ý nghĩa

hình học của thuật toán này Đò thị biểu diễn y =f(x) được biểu diễn ở hình 6-3.

(điểm trên đồ thị đại diện cho giá trị hàm f (x^), đạo hàm của đồ thị f(x) tại

điểm đo' bằng:

df(x)

J(x(j)) = 2222

Điểm cát giữa tiếp tuyến hàm fix') tại p^ cát trục X tại giá trị x^ + ứng với hàm

f(x<j + ’)) được đại diện bởi điểm p^ + Lặp lại quá trình này, ta sẽ tìm được sự truy chứng nhanh chóng tiến đến điểm Q là nghiệm của hàm

Cũng co' thể với thuật toán này giá trị chọn ban đầu nào đó sẽ không hội tụ Tuy nhiên từ ý nghĩa hình học của thuật toán chúng ta có thể hy vọng ràng với giá trị ban đầu được tiến đến nghiệm đúng thỉ thuật toán này thường sẽ được hội tụ

Thuật toán Newton - Raphson giải hệ n phương trình.

Trên cơ sở thuật toán Newton - Raphson vừa trình bầy chúng ta mở rộng thuật toán này để giải hệ n phương trình với n ẩn số, có nghĩa là:

Giả thiết rằng:

X® — (Xj Ù) f x2®, Xjj ) là giá trị điểm X ở bước truy chứng thứ j.

Chúng ta hãy khai triển chuỗi Taylor tại điểm x®:

ỡ//(x)/•/Xp x2, xn) = ), x20 ), jcnơ)) +

Ị

ỡx2 x = x® (x2 -x2®) + +

X = X0)

a/x*)ỠX,J x = x®

Nếu X = x^ + là giá trị truy chứng thứ (j + 1), thay giá trị này vào (6-24), ta có:

/■/x/i+ 1\ x2<j + 1\ JCníi + ’)) = fị (Xj ° \ x2<i +

Nếu điểm X® rất gần vối nghiệm thì véc tơ I xG + - xG) I rất nhỏ nên các số hạngchứa các đạo hàm bậc cao (tìx 2 trở đi) có thể bỏ qua được, từ đo' (6-25) được viết gàn đúng như sau

(6 - 28)

XG+1) =

G+1) X1 G+1)

0) X1 0) x2 ;flxG>) =

■.0+1) Xn

■ G) xn

Khối lượng tính toán lớn này chỉ có thể được thực hiện nhờ sự giúp đỡ của máy tính

Dể khắc phục khó khăn khi tính ma trận J, người ta đã đưa ra m®t số phương pháp tính chúng tôi không nêu ra ở đây

Cuối cuốn sách là phụ lục thuyết minh chương trình phân tích mạch điện tử bằng phương pháp điện áp nút nhờ máy tính

Chương 7

MẠCH n CỬA TUYEN TÍNH THUÂN TRỎ

Dối với mạch tuyến tính, phương pháp điện áp nút dùng để phân tích mạch điện là phương pháp thông dụng nhất vì sự đơn giản và dễ dàng của nó Tuy nhiên phương pháp này co' một số nhược điểm sau:

- Phương pháp này chi cho phép một loại nguồn điều khiển, đo' là loại nguồn dòng điều khiển bằng điện áp Tất cả những loại nguồn điều khiển khác co' mặt trong mạch đều phải được đưa về loại nguồn trên

- Sự co' mặt của những phần tử nhiều cực không co' ma trận dẫn nạp cũng gây khó khăn cho sự phân tích mạch điện bằng phương pháp này

Dể khắc phục các khó khăn trên người ta sẽ phân tích mạch điện dựa trên các phương pháp hỗn hợp n cửa Sở dĩ có danh từ "hỗn hợp "vì cả dòng điện và điện áp sẽ đều xuất hiện như các ẩn số trong các phương trình viết cho các cửa

7-1 Thành lập phương trình cho n cửa tuyến tính thuàn trở

Giả sử có mạch điện chứa các phần tử tuyến tính và không tuyến tính: điện trở, cuộn cảm, tụ điện cùng với các nguồn áp, hoặc dòng độc lập và bốn loại nguồn phụ thuộc Lúc ấy

loại nguồn phụ thuộc

Sau đo' mỗi

Mạch M cón cúa bao gôm

được thay thế bằng nguon độc lập (hình 7-2) Cửa chứa nguồn áp độc lập được gọi là cửa

áp, cửa chứa nguồn dòng độc lập gọi là cửa dòng Nguyên tắc thay thế các phàn tử hai cực bằng các nguồn độc lập như sau:

1 Thay thế điện trở phi tuyến được điều khiển bằng áp bởi nguồn áp độc lập

2 Thay thế điện trở phi tuyến được điều khiển bằng dòng bởi nguồn dòng độc lập

3 Thay thế các cuộn cảm bởi các nguồn dòng độc lập

Trong hình 7 - 2 các nguồn áp được ký hiệu từ 1 đến nip các cửa dòng được ký hiệu

từ niị + 1 đến niị + ni2 (biết ràng ni = niị + m2).

Mạch M có n cửa bao gôm

Còn u là ma trận biểu thị các nguồn độc lập ở trong mạch M

Bởi vì mạch M chỉ chứa các điện trở tuyến tính, các nguồn độc lập, và các nguồn phụ

thuộc, do đo' quan hệ giữa các áp và dòng ở các cửa có thể được biểu diễn như sau:

ba bb.

■Na' _Nb.

(Ma trận s được gọi là ma trận nguồn)

Còn mỗi phần tử của H được tính với giả thiết cho tất cả các nguồn độc lập bên trongmạch M bằng 0, co' nghĩa là s =0, lúc đo':

đáp ứng ở cửa j

J tác động ở cửa kvới các điều kiện sau:

1 Ngoài cửa thứ k, tất cả các cửa áp được ngắn mạch các cửa dòng được hở mạch.

2 The động đặt ở cửa k cũng là độc lập, và:

- Là nguồn áp nếu cửa k là cửa áp

- Là nguồn dòng nếu cửa k là cửa dòng

3 Dáp ứng ở cửaýđược coi là:

- Dòng ở cửa j nếu cửa jlà cửa áp

- Ăp ở cửa j nếu cửa j là cửa dòng.

7-2 Mạch n cửa tuyến tính thuần trở không có các nguồn điều khiếnChúng ta hãy xét mạch chỉ gồm các điện trở và các nguồn độc lập Lúc đó các nguồn độc lập u được đưa ra các cửa, vậy bên trong mạch M sẽ không cờn các nguồn độc lập, do

đó s = 0 trong trường hợp này

Chúng ta có thể đặt các câu hỏi: liệu ma trận H có tồn tại không? và nếu tôn tại thì tính II như thế nào?

ỏ đây chỉ đưa ra một số định lý, mà không chứng minh

Định lý 1

Các điều kiện cần và đủ để mạch M có ni cửa chỉ chứa các điện trở có được ma trận

II như phương trình (7-2) là:

1 Các nhánh đại diện cho các cửa áp không làm thành vòng kín

2 Các nhánh đại diện các cửa vòng không nằm trong vết cắt

nhánh thuộc các cửa dòng là các bù cây hình 7-4 Một cây như vậy thường bao giờ cũng chọn được nếu các điều kiện trong định lý được thỏa mãn Hãy cho tất cảtcác điện trở tuyến tính bên trong mạch M thuộc cây vào ma trận điện trở đường chéo ZR, và tất cả các điện trở không thuộc cây vào ma trận điện dẫn đường chéo YG.

Hệ phương trình vết cắt cơ bản của mạch được viết:

Hệ phương trình vòng cơ bản của mạch được viết:

(Ma trận B có các cột tương ứng với các nhánh và các hàng tương ứng vớỉ các vòng) Các điện trở trong mạch M được đặc trưng bởi các phương trình:

iG = Y g ug hoặc UG = ZG iG

(trong đó Y r = ZK *) 7(tronẹđo' ZG = Y g “ ) (7-8)Các hệ phương trình (7-6), (7-7),(7-8) tạo thàĩih toạn bộ hệ phương trình mạch theo quan điểm phân tích này

Để xác định được H trong (7-2), chung ta cần giải iE và Uj theo Mp và Uj Dể thực

hiện được điều đo', trước tiên chúng ta càn tìm UR, theo UE và i