Nguyên tắc cơ bản ở đây là đem tấtcảtụ điện và cuộn cảm ra các cửa mạch N, còn tất cả các điện trở, các nguồn độc lập, các nguồn điều khiển vào bên trong mạch N. Mỗi phần tửL, c đem ra ngoài cửa cốthểđược thay thế bằngcửa áp hoặc cửa dòng. Chỉ có một điều kiện duy nhất là tổ hợp trong biểu thức (7-10):
‘a ub.
Haa
H ba
Hab
H bb
ea Sa
sb (8-28)
b
Sau đóvới các biểu thức:
ic = C“c
UL ~ ^L’
taco' thể khử các biến ic, UL. Các thành phần đạo hàm cố thể xuất hiện ở cả hai vế của phương trình (8-28). Chuyển các thành phần đạo hàmsang vế trái, các thành phần không đạo hàm sang vếphải, ta nhận đượcphương trình trạngthái đầu tiên dạng (8—27).
Ví dụ 8-4:
Hãythành lập phương trình trạng thái đầu tiên của mạch điện hỉnh8-7
<5 Rs
Hình8-7.
Bài giải
Đem các phần tử L, c ra ngoàimạch, chúng ta có mạchN 4 cửa. Có 24 = 16 tổ hợp cửa. Vì có vòng gồm Cp C2, Ea, do đo' ta không thể thay cả hai tụ điện bằng các cửa áp.
cáccửa dòng.
Cũng như vậy vỉ có vếtcắtL4, L3,Jb chúng ta cũng không thể thay cả hai cuộn cảm bàng
Hình 8-8
Chúng ta hãy đặt cửa 1 và cửa 4 là các cửa áp, cửa 2 và cửa 3 là các cửa dòng. Ăp dụngphương pháp viết phương trình hỗn hợp trình bày ở mục 4 và chú ý:
iị = - i2 - i5, is - 2i5 + i3 = 0 , do đo' 13 — ỈJ, và IJ — 12
Tacó phương trình hỗn hợp sau:
'i i u2 u3
0 0 1 -1
0 -1 -f
0 0 1
0 0 0
-1 0 1
ui
u4
*2
*3
1 -1
01
-1 r^a
0 \
0
(8-29)
1 4
0 0
Thay vào (8-29) các giá trị:
í. =2zzp i2 = 2u2, u 3 =2i3, u4 = 2i4, chúng tacó:
2u ĩ 0 0 -1 -ĩ “ị 0 0
*4 = 0 0 0 1 2i4 + 0 -1 K (8-30)
u2 1 0 0 0 2u2 1 0
2i3 -1 -1 0 1 J3 -1 0
Sắp xếp lại phương trình (8-30) chuyển các đạo hàm sang vế trái, và các biến thường sang vế phải, cuối cùng ta có dạng phương trình đầu tiên.
B e
(8-31)
Trên quan điểm phân tích mạch bằng máy tính, chúng ta phải tìmphương pháp đễ dàngchương trình hóa để xác định tổhợp cửa. Trongphương pháp này đầu tiên chúng ta phải chọn câytheo thứ tựcủacácnhánh câynhưsau: Các nguồn độc lập, các nguồn áp điều khiển, tụ điện, điện trỏ, cuộn cảm, nguồn dòng điều khiển, nguồn dòngđộc lập.
Cây được chọn như vậy gọi là cây chuần của mạch điện tuyến tính, tích cực. Cây chuẩn phải chứa tấtcảcácnguồnáp độc lập và không chứa nguồndòng độclập nào. Những tụ điện không thuộc cây chuẩn đượccoi là tụ điện thừa, và các cuộn cảm thuộccây chuẩn gọi là các cuộn cảm thừa.
Nguyên tấc đưaL, c ra các cửa như sau:
1. Tụ điện thuộccây, vàcuộncảm thuộc cây được đưa rangoài mạch như các cửa áp.
2. Tụđiệnthuộccây, và cuộncảm thuộc câyđược đưa ra ngoài mạch nhưcáccửadòng.
Như trong ví dụ 8-4, cây chuẩn co' thể chọn gồm các nhánh La, Cp Rs, L4. Lúc đó Cp và L4 được coi là các cửa áp và C2, L3 như các cửa dòng (như đã minh họa trong hình vẽ 8—8).
3. Đưa phương trình đầu tiên về dạng phương trìnhchuẩn theo biểu thức (8—27).
Trong phươngtrình (8—26) matrận x(°) gồm tấtcả cácđiện áp của tụ điện và dòng trên cuộn cảm, nhưng chúng không nhất thiếtđộc lập tuyến tính với nhau.
(Trongtrường hợp mạch RLC khôngco' vòng(E + C) vàvết cát (—L (J + L) thỉ các phần tử trong x(°) thườngđộclập với nhau).Vậynhiệm vụcủachúngtalàphát hiện racác biến phụ thuộctrong x(°) và loại trừ chúng. Trong trường hợp mạch RLCM các điện áptụ điện thừa, dòngđiện cuộn cảm thừa có thể được loạitrừ dễdàng, vàcác biến còn lại là các biến độc lập với nhau. Tuy nhiên, đối với mạch tích cực thì khôngphải là tất cả cácbiến thừađều co' thể khử được,trong vàitrường hợp thậm chí khi tất cả các biến thừađã được khử thì vẫn còn mộtsố biến trong số biến còn lại phụ thuộc vào nhau do ảnh hưởng của nguồn điều khiển. Dể phát hiệnra các mối quanhệẩn của các biếnnhưvậy, chúngta phải thực hiện nhiều bưốc liên tiếpcủa mộtquátrình hồi qui. Cácbước này sẽ là các thuật toán biến đổi hàng của ma trận để đưa các ma trận hệ số trong phương trình đầu tiên dưới dạng:
[M<°), A<°), B<°>] (8-32)
về dạng chuẩnmongmuốn:
[1,A,B] (8-33)
Dạng (8-33) tươngđương với dạng nhận được nếu nhân (8-32) với *.
VÍ dụ 8—5.
Giảsử co' một mạchđiện tích cực nhất định gồm 2 tụ điện và mộtcuộn cảm. Phương trình trạng thái đầu tiên của mạchđược viết:
Hãy tỉm phương trình cùa mạchcó dạng (8—27).
Bàigiải
Dưa các ma trận [M*-0), A^°\ B^0)] về dạng bậc thang bằng thuật toán đã nói đến
trongchương5. Sau khi biếnđổi tacó phương trình:
(8-35)
Từ hàngcuối cùng của M chúng ta có:
4zzci + 6uC2— 2i|3 + 2e = 0, từ đó:
3 1 1
“ci ---;“C2 + ~lL3 - ~e
íi íi £ (8-36)
Thay (8—36) và đạohàm của nó vào (8—35), ta có:
Bp)e (8-37)
là kếtquả khử bước đầu tiên.
Trở lại bước đầu củaqui trình, đưa M^1) về dạng bậc thang (chú ý có hàng cvối cùng làhàng 0) chúng ta có:
(8-38)
Từ (8—38), chúng ta có:
19 2 . uc2=-3iL3- — e- — ẽ
Oơ
Thay (8—39) và đạo hàm của nóvào (8-38) để khử UC2, và ŨC2, ta có:
1 10 . 1 ..
It o —— “hl- ----4Ĩ — ---c — ---c
3 3 3
(8-39)
(8-40) (8—40)chính là dạng phương trình mong muốn.
ví dụ 8—6
Hâythành lậpphương trình trạng thái của mạch tuyến tính, tíchcực trên hình 8-9.
Hình 8-9.
Bài giải
Theo thứ tự ưu tiên khi chọn câyđã nêu ở phần trên, hai nguồn điều khiển điện áp sẽ được chọn làm nhánh cây. Như vậy các tụ điện C5, C6 trở thành các bù cây.Dođó các tụ điện này gọi là tụ điện thừa, và theo nguyên tắc đà nêu ở phần trên, nếu đưa các tụ điện này ra ngoài mạchđể thành lập cửa,thì các cửa phải là các cửa đòng.
Hệ phươngtrình đặc trưngcho 2 cửanày được viết:
Thay
ằ6 = 4u6
(8-41)
vào(8—41), chúng ta nhận phươngtrình trạng tháiđàu tiên.
(8-42)
Ăp dụng qui trình khử cho phươngtrình (8-42), chúng ta co':
Ví dụ này nhầm đê’ nhấn mạnh rằng mặc dù trong trường hợp tụ điện không thuộc nhánh cây, nhưng điện áp của chúng vẫn được coi là biến trạng thái, vỉ vậy cây chuẩn trong trường hợp mạch tích cực chỉ có ýnghĩa giúp đỡ đê’ thành lập ma trận hỗn hợp mà từ đó chúngta rút ra được phương trình trạng thái đầu tiên.
6-6. Thành lập các phương trình ra bằng máy tính
Trong mục 8—4, 8—5 đã trìnhbày việc thành lập các phương trình trạng thái dạng biểu thức (8—13). Trongmục này chúng ta sẽ no'i đến cách thành lập phươngtrình ra có dạng (8—14) bằng máy tính. Dến lúc này khái niệm về ma trận hỗn hợp n cửa trình ở chương7co' ý nghĩa ứng dụnghếtsức quan trọng. Nhưng trong trường hợp nàyviệc thành lập hệ phương trình hỗn hợpco' cácđại lượng muốn tìm nằm trong ma trận bênvế trái cần phải tuântheo một số nguyên tắc sau:
- Nếu điện áp muốn tìm (có mặt ởphương trình ra) khôngthuộc các phần tử LC, thì chúng ta coi no' như điện áp của phần tử hở mạch (ihm = 0) và đưa nó ra cửa ngoài mạch như mộtnguồn dòng độclập co' dòng bằng 0.
— Nếu đại lượng muốn tìmlà dòng điện không thuộc phàn tử LC, chúngta có thê’ coi no' như dòng của một phần tử ngắn mạch (ungm = 0), và đưa no' racửa ngoài mạchnhư một nguồn áp độc lập co' điện ápbàng 0.
Như vậy ma trận y trong phương trình đầu ra bao gồm các đại lượng ingm, ungm và các đại lượng điện áp hoặc dòng của vài phần tửLC. Bên trong của mạch nhiễu cửa gồm các điện trở, các nguồn điều khiển và các nguồn độc lập.
Nếu gọiua, ia là ma trận của cáccửa điện ápthay thế cho các phần tử L, c bị đưara ngoài, ub, ib là ma trận các cửa dòng thay thế cho cácphần tử LC bị đưa ra ngoài, còn s là ma trận của các nguồn độc lập bên trong mạch, chúng ta có thê’ viết phương trình hỗn hợp (theo phương pháp đã nóiở chương 7) biểudiễn quan hệ giữacác ma trận trên.
■fa ■
“b zngm
hm
■“a ■
‘b
u___
ngm
*hm
*11 *12 *13 *14
*21 *22 ằ23 *24
*31 ằ32 ằ33 ằ34
*41 *42 ằ43 ằ44
‘V
S2 S3
ô4
vì ‘hm = °’ ungm = o do đó (8—44) có thể viết:
“b
*11
*21
*12
ằ22 zb
-Sf S2
Jngm
u,_
hm
■*31
*41
ằ3Ỉ
^42
'ua'
‘b
-s3- s4
(8-45ữ)
(8-45Ò)
a
Ma trận y đầu ra gồm ỉngm, uhm và điện áp hoặc dòng điện của vài phàn tử LC (ua, í u ib) . Các ma trận này lại bao gồm tất cả các điện áp, đòngcủa tụ điện, dòngvà áp trên cuộn cảm và vì:
i = c ú„ c c
UL = L k
do đó các ma trận trên có thể được biểu diễn theo uc, uc> í’|, iL, và ma trận nguồn e. Vỉ vậy phươngtrình ra đầu tiên có dạng:
Y = C^ + ửM + D^e (8-46) Việc đưa (8-46) về dạng cuối cùng của phương trình đầu ra theo (8—14) được thực hiện bằng quitrình giống như qui trình giản ước phươngtrình trạng thái đàu tiên đã trình bày ở mục 8—5.
Thông thường quá trình khử được thực hiện đồng thời vối cả hai phương trình (phương trình trạngthái đàu tiên, và phương trình ra) cho đến khi tất cả cácbiến số phụ thuộcbị khử khỏi (8—26) và (8—46).
Dạng cuối cùngcủa chúng phải là:
• _ _ de _ dpe
X = Ax + B e + B,—— + ... B- —— (8-47)
1 dt p dtp
de _ dpe Y = Cx + De + D| —— 4- ... D ——-
1 dt p dtp
Nếu co' p biến phụ thuộc khử khỏi X thì sẽ xuất hiện đạo hàm thứ p của ma trận nguồn.
Ví dụ 8-7. Hãy tỉm phương trình trạng thái và phương trình đầu ra của mạch điện hình 8-7 nếu các đại lượng đâu ra cần tìm là i3, i4, u6.
Bài giải
Đưa Cị và L4 ra ngoài mạch như các cửa áp, C2, L3 như các cửa dòng, và một phần tử hở mạch song songvới nguồn dòng được điều khiển như cửa dòng và một phàn tử hở mạch song song với nguồn dòng được điều khiển như cửa dòng (ubm = u6, ibm = 0) với mạch 5 cửa chúng ta có phương trình hỗn hợp sau:
(u6 = Uị +Ea - i5;i5 = i3)
■ằ1 ■ - 0 0 -1 -1 r ■“1 ■ ■ 0
l4 = 0 0 0 1 0 “4 + 0
u2 1 0 0 0 0 *2 1
u3 -1 -1 0 1 -ĩ *3 -1
_u<>_ 1 0 0 -1 1 _ hm 1
Phương trình đầu rađược viết:
Thay:
ô2 = ul +Êa
i4 = i3 - Jb
(8-50)
vào phương trình (3-31) để khửu2, i4, chúng ta co':
°] r
(8-51)
(8-52)
Các phương trinh (5-51), (5 — 52) co' dạng mong muốn. Nếu muốn khử Ẽa, jb chúng ta định nghỉacác hiến trạng thái mới.
(8-53)
Thay (8—53): vào (8—51), (8—52), chúng ta có:
(8-54)
(8-55)
Hai phương trình (8-54) và (8-55) co' đúng dạng phương trình (8-10) là phương trình mong muốn.
Chương 9
GIẤI CÁC PHƯƠNG TRÌNHTRẠNG THÁI BANG CÁC PHƯƠNGPHÁP SỐ
Trong chương 5 chúng ta đã nói kỹ đến việc thành lập các phương trình trạng thái cho mạchđiện tuyến tínhtrên quan điểm giải bằng máy tính. Hệ phương trình đo' códạng:
X = A X + B e (9—1)
y = Cx + De(+ Dje+ ...) (9-2)
Nhiệm vụ tiếp theo củachúngta là giải các phương trình trên bằngmáy tính. Chúng ta sẽ phải nói đến cách giải haiphương trìnhtrêncảtrong miền thời gian và cả trong miền, tần số. Do giới hạn của cuốn sách chúng tôi không thể trình bày được tất cả các phương pháp tính số thường dùng, mà chúng tôi chỉ co' thể nói đến một vài phương pháp tượng trưng mà thôi.
9-1. Giải các phương trình trạng thái trong miền thời gian
Cho một mạch điện tuyến tính đặc trưng bởi các phương trình (9-1), (9-2), giá trị ban đãu của biến là x(ío), và đầu vào e(t) với t > ío). Chúng ta muốn tìmđầu ray(rì với t > to. Vỉ bài toán cần giải với các phương pháp số, cảx(í) và y(f) cần được xác định vối nhữnggiá trị rời rạc, ví dụ như:
í = to, to + T,to + 2T, ...
trong đóT được gọilà bước thời gian. Dầuvào u(í) có thê’ được cho bằng hàm của thời gian, cũngco'thể cho dưới dạng các giá trị lấy mẫu. Vấn đề trọng tâm ở đây là giảiphương trình (9—1).
Chúng ta sẽ giải phươngtrình vi phân tuyến tính bậc một bàng phương pháp biến đổi các thông sổ.
9-1.1. Phuong pháp biến đối các thông số Cho một phương trình vi phân bậc một:
X = ox + be (9-3)
và x(Zo)
Chúng ta càn tìm x(í) với t > tQ.
Đâu tiên hãy coi như e(-í) = 0, và (9-3) là phương trình thuần inhất. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhấtđo' là:
x(í) = eMK (9-4)
trong đo' K là hằngsốbất kỳ.
Trong trường hợp e(t) * 0, chúng ta cố gắng tìm lời giải của (9-3) bằng cách đặt K
như là hàm của thời gian, vậy (9-4) có thể viết:
xơ) = eaiK(t). (9-5)
Giả thiết (9—5) là lời giải của (9—3), ta thaythế (9 — 5) và đạo hàm của nó vào(9—3), taco':
aeMK(t) + ea'k(t) = aea{K(t) + be(t) (9-6) do đó:
k(t) = (eal)-16eơ) =e~albe(t). (9-7) Lấytích 'phân cả hai vế của (9 — 7) từ t = to đến t
*ọ. 1 _
ỊKMdr= Ịe aT6eơ)c(r (9—8)
*0 *0
hoặc t
K(t) = Ịe-^beMdĩ + K(t„) (9-9)
'o
Từ (9—9) và (9 — 5) chúng ta có:
x(t) = eat [ /c“aT6c(ĩ)rfĩ + Kơo)] (9-10)
*0
Dể xácđịnh K(to), hãy cho t = t ở phương trình (9 — 5)
xơo) = ea,°jrơo) (9-1 la)
hoặc Kơo) = e—al°xơ0) (9—116)
Do đó nghiệm của (9—3) sẽ là:*
x(t) = eat je~aTbe(r)dr + ea(t—*o)xơo) (9-12)
'o
9-1.2. Nghiệm cùa phuong trinh trạng thái
Đối với một phương trình vi phân bậc một dạng (9—3) ta đã tìm ra nghiệm x(t) theo (9—12). Vậy nếu co' hệ n phương trình thuần nhất tức là:
X = Ax (9-13)
thì nghiệm tổng quátcủa (9—13) cũng sẽ tươngtự như biểu thức (9—4)
xơ) = eA,K (9-14)
trong đo' K là véc tơbất kỳ (nX 1) với các phần tử hằng.
Dê’chuẩn bịtính toán,với ma trận eAl chúngta cầnno'i qua một số tính chấtcủa ma trận này. eAl được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:
eAl = 1 + At + ị: (At)2 + ... +77(AZ)n + ... (9-15)
Z: n!
eAt có một số tính chất sau:
l. eA°=l (9—16a)
2. eA' . eBt = e(A+B)' (nếu và chi nếu AB = BA) (9-166)
3. [eA‘l-1 = e"At (9—16c)
4. -ịeAl = AeAt = eA,A ’ (9-16d)
at
5. /eArdr = A-1 (eA1 - 1) = eAt- 1)A-1 o
(nếu AA * 0) (9—16e)
Các bước suy luận hoàn toàn tương tự như trong mục 9—1.1, chúng tacó đạo hàm của xơ).
xơ) = Ặ(eAtK) = AeA,K = A X (9-17) at
Từ(9-15): x(t) = eAỉK(t). (9-18)
Cuốicùngtươngtự như biểu thức (9-9), ta nhận được:
K(t) = }e~ATBe(T)dT 4- Kơo) (9-19)
o
Từ đóx(t) được viết);
x(t) = eA,[/e~ATBe(r)dr + Kơo)] (9-20)
‘o
xơ0) = e-A,KƠ0). (9-21Ơ)
hoặc xơo) = eA,xơ0) (9-216)
(9—20) chính là nghiệm cùaphươngtrình (9— 1).
Thay (9—20) vào (9—2) tacó:
y(t) = CeA(,_,o)xơo) + {Ce^ ỉ eAT Be(ĩ)dĩ + Deơ) + Djeơ) + ... } (9-22)
‘o Biểu thức (9-22) gồm hai thành phần:
— Thành phần thứ nhất có sự thamgiacủa cácgiátrị ban đàu đo'làthànhphầnquá độ.
— Thànhphàn thứhai co' sự tham giacủa các đại lượng nguồntác động, đólà thành phần cưỡngbức.
9-1.3. Phuong pháp tính các nghiệm (9-20), (9-22) bằng máy tính
Mặc dù (9-20) là nghiệm chính xác của (9-1), nhưng đó không phải là dạng thích hợpcho quá trình tính bàngmáy tính. Vớimáy tính số, chúng tachỉ co' thể tính x(t) với các giá trị cụthể của t. Thôngthườngngười tatínhx(t)vớit = kT,trong đo' k là số nguyên và
T là bước thời gian được chọn thích hợp. Bởi vì đầu vào u(kT) giả thiết là đã được biết với mọik, chúng ta cần thành lập phương trình quan hệ giữax[(k + 1)71 với u(kT) và x(kT).
Phương trình như vậy là phương trình đặc biệt của phương trình sai phân. Nếu đã biết phương trình sai phân thì x(kT)được tính kế tiếp nhau với mọi k. Có hai phương pháp cơ bản đê’ đưa phươngtrinh (9—20) vềphương trình saiphân, vì điểm xuất phát của chúng ta là phương trình (9—20) nên các kết quảchidùng cho mặch tuyến tính, bất biến.
Tínhx(kT) thôngquaphương trìnhsai phân là một dạng của tíchphân số.
Trongphươngtrình (9—20), hăy cho to = kT, vàt = (k + 1)T), chúngtacố:
(k+l)T
x[k + 1)71 =eAtx(kT) +eA(k+1)T f e-ArBe(r)rfr (9-23)
Út Nếu chúng taxấp xi hàm vàoe(t) bàng:
— Các đoạn thẳng hàng số, hoặc(hình 9—la)
— Các đoạnthẳng tuyến tính (hình 9-lố)
thì tích phân trong(9—23) được tính với đánh giá sai số chính xác. vì giới hạn của cuốn sách, chúngtôichỉ trinh bày ván tát cácphương pháp xấp xỉhàm e(t), vàsự đánh giá sai số eAt chúng tôi không trình bày ở đây.
Hình '>
Trong trường hợp xấp xỉe(t) bàng các đoạn thẳng khôngthay đổi (hình 9-lữ), hàm e(t) được viết:
e(t) =e(kT) vỡikT< t < (k + 1)T; k = 0, 1, 2, ... (9-24) Theo tính chất (9-16e)) của eAt, tích phân trong (9—23) có thểviết
(k+l)T (k+l)T
J e~AT Be(ĩ)dr = f e~ATdĩ Be(kT) =
kT Út
= l-e-AT] (k+1) . A~1Be(A7’) = [-e-A(k+1)T + eAkT]A-1e(Ã71.
kT
Tìí đó(6—23) được viết:
x[(Ã + 1)71 = eATx(*T) + [eAT - l]A-1BeGfe71
(9-25) chính làphương trình sai phân mong muốn.
(9-25)
Trong(9-25)
[eAT - 1]A—1 = [(1 + AT + ị A2T2 + ...)- 1]A—1
= 1T+ -AT2 + ịịA2?3 + ... (9-26)
Với sựkhai triển của (9—26) ta thấy rằng A—1 ở biểu thức (9—25) không càn tính.
Trong trường hợpe(t) được xấpxỉbàng các đoạn tuyến tính hình 9— lồ có nghía là:
u[(Ẳ + 1)T] - u(kT)
u(t) = u(kT) - ---—--- (t - kT) (9-27) T
với kT < t < {k + 1)T, (Ẵ = 0, 1, 2, ...).
Thay (9—27) vào (9—23), sau khi thực hiệncác phépbiến đổi, cuối cùng chúng ta có kết quả sau:
x[(Â! + 1)71 = Fx(ÃT) + Ge(ÃT) +He[(Â! + 1)71 (9-28) trong đó:
._ 00 1 F = = Ẹ —7- (AT)n
n=0 nỉ
G = [eAT(-1 + AT) + 1] (A2T2)-1BT = 00 1 _
= 2 —(AT)n BT
n=0 nỉ(n + 2)
* -T- o 00 1
H = [eAT - 1 - ATI (A2T2)“1BT = V ——— (AT)n)BT n=0 (n + 2)!
(9—25) cũng là dạng phương trình sai phân mong muốn. Với e(t) là hàm liên tục thì các biểuthức xấp xỉ (9—24), (9—27) sẽ gây ra các saisố. Các sai số này có thể giảm bằng cách dùng bước T nhỏ hơn. Nhưng với bước T nhỏ hơn thìthời gian tính lại dàihơn.VI vậy với mỗi phươngpháp giải phương trình saiphân cần điềukiện thích hợp nhấtcho nó. Rõ ràng làsự xấp xỉ theo (9—27) tốt hơn sự xấpxỉ theo(9-24).
9-2. Giải các phương trình trạng thái trong miền tần số
Hệ phương trình tuyến tính được đặc trưngbởi các phương trình (9—1), (9—2) được gọi là hệ thựcnếu không có mặtcác thành phần chứa đạo hàm củae(t). Ngược lại, hệ được coi là hệ không thực. Trong phàn này chúng tachỉxéthệ thực:
X =A X + B e (9—29)
y = c X + D e (9-30)
Theo địnhnghĩa matrận hàm truyền Hộrì của một hệ tuyếntínhbất biến là ma trận quan hệgiữa ảnh Laplace củahàm ra và hàm vào, với hệ co' các giá trị ban đầu của biến bằng 0 (X(0) = 0), nói cách khác:
Y(p) = H(p)E(p) (9-31)
Hàm truyền H(p) thường được quan tâm đến vì nhữngý nghĩa quan trọng sau:
1. Từ các điểm cực củahàm truyền, chúng tacó thểxác định được lậptức độ ổn định của hệ thống.
2. Khi đáp ứng tần số cần được tính cho trạng thái xác lập của mạch xoay chiều, chúng ta chi việcthay thếp =ja) và tính:
Y(M = H(/w) EỢíơ) (9-32)
với những tần số cần thiết.
Nếu dùng biến đổi Laplace cho phương trình (9-29), (9-30) vàgiảthiết rằng x(0) = 0, chúng tacó:
p X = AX + B E (9-33)
Y = cx + DE (9-34)
với X,Y, E là ảnh của X,y, e. Từ (9-33)tacó:
(p 1 - A) X= B E
từ đo': __ .
X=(pl-A)-BE (9-35)
Thay (9-35) vào (9-34) ta co':
Y = [C(pl - A)-1 B + D] E (9-36)
So sánh (9—36) với (9-31), rút ra:
H(p) = c(p 1 - A)-1 B + D (9-37) Trong tính toán bằngmáy tính biểu thức (9-37), điều đáng quan tâm nhất là tính giá trị:
(pl-A)-1 (9-38)
Để tính (9—37) có nhiều algôrít được đưa ra. Do' là algôrít Souriau—Frame để xác định (9—38), algôrítQR - algôrít tốt nhất đểxác định các giá trị đặc tính của hàm truyền đạt v.v... Vì giới hạn của giáo trình, chúng tôi chi nêu ở đây algôrít Souriau—Frame (viết tắt S-F) đê’ làm ví dụ tính bằng máy tính biểu thức (9—37).
Algôrít Souriau — Frame:
Trọng tâm của algôrítnày nhằm tính (9—38). Nếu A là matrận [n X n.] thì:
. , P^”-1 + P^11-2 + ... + Pn-iP + pn
[p 1 - A)-1 =--- ----Ểỵ---—---— (9-29) p + <hP + ••• + 7 n -iP + <?n
trongđo' q là hằng số và Pj là cácma trận (n X n). Algôrít S—F làphương pháp đệ qui để tính Pp Ọp P2, ợ2,... bằng việc sử dụng đơn giản các phép tính cộng, nhân các ma t.ặn thực, hằng số.
Để no'i về algôrít, đầu tiên chúng taphải định nghĩa khái niệm "vết" của ma trận A vuông, ký hiệu tr(A) là tổng đại sô' các phần tử trên đường chéo của ma trận, tức là:
tr(A) = ị ôii (9-40)
i=l