CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1 Các bài toán thực hiện phép tính 1 Các kiến thức vận dụng Tính chất của phép cộng , p[.]

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

PHẦN ĐẠI SỐ

Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:

1 Các kiến thức vận dụng :

- Tính chất của phép cộng , phép nhân

- Các phép toán về lũy thừa:

an =

n

a a a

   ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, mn) (am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( ) ( 0)

n n n

b

b b 

2 Một số bài toán :

Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +… + n , 1+ 3 + 5 +… + (2n -1)

b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1)

1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

Với n là số tự nhiên khác không

Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an

b) Tính tổng : A =

a a a a  a  a với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + ….+ n2

b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3

HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6

b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2

Bài 3: Thực hiện phép tính:

a) A = ( 1 1 1 1 )1 3 5 7 49

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

b)

12 5 6 2 10 3 5 2





Bài 4: 1, Tính: P =

2003 2004 2005 2002 2003 2004

2003 2004 2005 2002 2003 2004



2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025

Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203

2005

1890 : 12

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0

25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1





















































A

b) Cho 2 3 4 2004 3 2005

1 3

1

3

1 3

1 3

1 3

1















B

Chøng minh r»ng

2

1



B

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7

Bài 6: a) Tính :















































7

2 14 3

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1 13

b) TÝnh

2 3 4 2012

2011 2010 2009 1

P

   



c)

100 99

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1 (













































A

Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức:

50

31 93

14 1 3

1 5 12 6

1 6

5 4

19

2 3

1 6 15 7

3 4 31

11 1









































































A

b) Chứng tỏ rằng:

2004

1 2004

1

3

1 3

1 2

1

1  2  2  2   2 



B

Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức:

25

13 : ) 75 , 2 ( 53 , 3 88 , 0 : 25 11

4

3 125 505

, 4 3

4 4 : 624 , 81

2

2 2

2



































































A

b) Chứng minh rằng tổng:

2 , 0 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2004 2002

4 2 4 6

4



n S

Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

1 Kiến thức vận dụng :

- a c a d b c .

b d  

-Nếu a b d c e f thì a b d c e f b d a b e f

  với gt các tỉ số dều có nghĩa

- Có b a d c e f = k Thì a = bk, c = d k, e = fk

2 Bài tập vận dụng

Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức

Bài 1: Cho a c

c b Chứng minh rằng: a22 c22 a

b c b







Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7

Bài 2: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng:

a c =

2 2

( 2012 ) ( 2012 )





Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu

d

c b

a

 th×

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5











Bài 4: BiÕt

2 2

2 2

a b ab

c d cd





 với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :

a c

b d hoặc

a d

b c

Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc

d

c b

a

 Chøng minh r»ng:

2 2

2 2

d c

b a cd

ab





 vµ 22 22

2

d c

b a d c

b a























Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

























Tính

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

























Bài 7 : a) Chứng minh rằng:

Nếu

c b a

z c

b a

y c

b a

x















Thì x a y z x b y z x c y z















b) Cho:

d

c c

b b

a



 Chứng minh:

d

a d c b

c b a





















Bài 8: Cho y x z t z t y x t x z y x y t z























chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên

P x z t y t y x z x z y t y t x z

























Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x x z x y y x y z z

Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z

     

     

Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 Tính

T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011

Biết x,y,z,t thỏa mãn: x2010 2y20102 z22010 2t2010 x20102 y20102 z20102 t20102

b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:

M = a + b = c +d = e + f

Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và 14

22

a

b  ; 11

13

c

d  ; e f 1713

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7

b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :

2009 2010 2011

Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2

Một số bài tương tự

Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d

TÝnh

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

























Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :

y z t nx  x z t x ny  y t x y nz  z x y z nt  t ( n là số tự nhiên)

và x + y + z + t = 2012 Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z,…

Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 1+3y 1+5y 1+7y

Bài 3 : Cho a b c

b  c a và a + b + c ≠ 0; a = 2012

Tính b, c

Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : y x x 1x z y 2x y z 3x y z1

 

Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 1 2 1 4 1 6

x

y x

z z

x

y y

z

x





















 1 1 2 (x, y, z 0)

Bài 7 : T×m x, y, z biÕt 38x 364y 2163z vµ 2 2 2 2 2 1





x

Bài 8 : Tìm x , y biết : 2 1 4 5 2 4 4

x

Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y

1 Kiến thức vận dụng :

- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; A A A,, 00

A A





 



- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7

A m A m (m 0)

A m







 ; A m A m (hay m A m)

A m







- Tớnh chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A

Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)

0< A < B  An < Bn ;

2 Bài tập vận dụng

Dạng 1: Cỏc bài toỏn cơ bản

Bài 1: Tỡm x biết

a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013

b) 1 2 3 4

2011 2010 2009 2008

x x x x

Bài 2 Tỡm x nguyờn biết

1.3 3.5 5.7   (2x 1)(2x 1)99

b) 1- 3 + 3 2 – 3 3 + ….+ (-3) x = 91006 1

4



Dạng 2 : Tỡm x cú chứa giỏ trị tuyệt đối

 Dạng : x a  x b và x a  x b  x c

Khi giải cần tỡm giỏ trị của x để cỏc GTTĐ bằng khụng, rồi so sỏnh cỏc giỏ trị

đú để chia ra cỏc khoảng giỏ trị của x ( so sỏnh –a và –b)

Bài 1 : Tỡm x biết :

a) x 2011  x 2012 b) x 2010  x 2011 2012 

Một số bài tương tự:

Bài 2 : a) Tìm x biết x 1  x 3  4

b) Tìm x biết: 2 6 2 2 4







x

c) Tìm x biết: 2x 3  2 4  x  5

Bài 3 : a)Tìm các giá trị của x để: x 3  x 1  3x

b) Tỡm x biết: 2x 3  x  2  x

Bài 4 : tỡm x biết :

a) x  1 4 b) x  2011 2012 

Dạng : Sử dụng BĐT giỏ trị tuyệt đối

Bài 1 : a) Tỡm x ngyờn biết : x 1  x 3  x 5  x 7  8

b) Tỡm x biết : x 2010  x 2012  x 2014  2

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7

Các bài tương tự

Bài 2 : Tìm x nguyên biết : x 1  x 2   x 100  2500

Bài 3 : Tìm x biết x  1 x 2   x 100  605x

Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x 1  x  2  y 3  x  4 = 3

Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2006y  x 2012  0

Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.

2004  x 4  x 10  x 101  x 990  x 1000

Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162

Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:

a) 2x + 1 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y

Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :

a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256

Bài 4 : Tìm x , biết :  x 7x1 x 7x11 0

Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2011y  (y 1) 2012  0

Các bài tập tương tự :

Bài 6 : Tìm x, y biết :

a) x 5 (3  y 4) 2012  0 b) (2x 1) 2  2y x  8 12 5.2   2

Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị

của biểu thức.

1 Các kiến thức vận dụng:

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng , một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7 (x 2004 ) 2  23  y2

c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6

d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1

Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7

Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7

b) Tỡm x y  , biết: 25  y2  8(x 2012) 2

Bài 3 a) Tỡm giỏ trị nguyờn dương của x và y, sao cho: 1 1 1

x  y 5 b) Tỡm cỏc số a, b, c nguyờn dương thoả món :

a3 3a2 5 5b





Bài 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

2

5 p 2013 5  p q

Bài 5 : T ỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n sao cho: 2 n 1 chia hết cho 7

HD : Với n < 3 thỡ 2n khụng chia hết cho 7

* Tỡm x , y để biểu thức cú giỏ trị nguyờn, hay chia hết:

Bài 1 Tìm số nguyên m để:

a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1 b) 3m 1  3

Bài 2 a) Tìm x nguyên để 6 x  1 chia hết cho 2 x 3

b) Tìm x  Z để A Z và tìm giá trị đó

A =

3

2 1





x

x

Chuyờn đề 5 : Giỏ trị lớn nhất , giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

1.Cỏc kiến thức vận dụng :

* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

* a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

*A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

* A   0, A ,  A   0, A

* A B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

* A B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

2 Bài tập vận dụng:

* Dạng vận dụng đẳng thức : a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

Và a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc đa thức sau:

a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012

b) Q(x) = x2 + 100x – 1000

Từ đõy ta cú bài toỏn tổng quỏt : Tỡm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x

2

b

a + ( ) 2

2

b

a ) + ( c - 2

4

b

a) = a( 2 4 2 4 2

4

ac b a



khi x =

2

b a



Bài 2 : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức sau:

a) A = - a2 + 3a + 4

b) B = 2 x – x2

Bài 3 : Tỡm giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức sau:

a) P = 2

2012

4 2013

x  x b) Q = 20122012 2013

2011

a a





* Dạng vận dụng A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

Bài 1 : Tỡm GTNN của biểu thức :

Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7

a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012

b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012

Bài 3 : Tỡm GTLN của R = 2 4

2013 (x 2)  (x y )  3

Bài 4 : Cho phõn số: 43 52







x

x

C (x  Z) a) Tỡm x  Z để C đạt giỏ trị lớn nhất, tỡm giỏ trị lớn nhất đú

b) Tỡm x  Z để C là số tự nhiờn

Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số

3 2

8 7





n

n

có giá trị lớn nhất

* Dạng vận dụng A   0, A ,  A   0, A

A B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

A B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A = ( x – 2)2 + y x + 3 b) B = 20122011x 2010

Bài 2 : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức

a) A x 2011  x 2012

b) B x 2010  x 2011  x 2012

c) C = x 1  x 2   x 100

Chuyờn đề 6 : Dạng toỏn chứng minh chia hết

1.Kiến thức vận dụng

* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

* Chữ số tận cựng của 2 n , 3 n ,4 n , 5 n ,6 n , 7 n , 8 n , 9 n

* Tớnh chất chia hết của một tổng

2 Bài tập vận dụng:

Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ :

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài 2 : Chứng tỏ rằng:

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100

Bài 3 : Cho m, n  N* và p là số nguyờn tố thoả món: 1



m

p

= m  p n(1) Chứng minh rằng : p2 = n + 2

Bài 4: a) Số A 10 1998  4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?

b) Chứng minh rằng: A 36  38 41 33 chia hết cho 7

Bài 5 :

a) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n





 chia hết cho 30 với mọi n nguyờn dương

b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)

Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b 17  10ab 17 (a, b  Z )

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7

b) Cho đa thức f(x) ax2 bxc (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

Bài 7 : a) Chøng minh r»ng 102006 53

9



lµ mét sè tù nhiên b) Cho 2 n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2 n 1 lµ hîp sè

1.Kiến thức vận dụng

* Kỹ thuật làm trội : Nếu a 1 < a 2 < a 3 <… < a n thì n a 1 < a 1 + a 2 + … + a n < na n

* a(a – 1) < a 2 < a( a+1) 2

a a a a a

* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 , * a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

2.B ài tập vận dụng

Bài 1: Cho a, b, c > 0 Chứng tỏ rằng:

a c

c c b

b b a

a M











Bài 2 Chứng minh rằng : a b  2 ab (1) , a b c   3 3 abc (2) với a, b, c  0

Bài 3 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

a) (a b)(1 1) 4

a b

   (1) b) (a b c)(1 1 1) 9

a b c

     (2)

Bài 4 : a) Cho z, y, z là các số dương.

Chứng minh rằng: 2 2 2 43















z x

z y

y z

y x x

b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 Chứng minh rằng: abbcca 0

Ch

uyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn

Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0)

Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 Tính P(3)

Bài 2 : Cho f(x) ax2 bxc với a, b, c là các số hữu tỉ

Chứng tỏ rằng: f(  2 ).f( 3 )  0 Biết rằng 13ab 2c  0

Bài 3 Cho đa thức f(x) ax2bxc với a, b, c là các số thực Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên

Bài 4 Chứng minh rằng: f(x)ax3bx2cxd có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu

thức: A(x) = ( 3  4xx2 ) 2004 ( 3  4xx2 ) 2005

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7

Bài 6 : Cho x = 2011 Tính giá trị của biểu thức:

2011 2012 2010 2012 2009 2012 2008 2012 2 2012 1

x  x  x  x   x  x

Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế

1 Kiến thức vận dụng

- Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận :

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :

y = k.x  1 2 3

n n

y y

k

x x x  x  ( k là hệ số tỉ lệ )

- Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch :

Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi :

x.y = a  x y1 1 x y2 2 x y3 3  x y n. n a ( a là hệ số tỉ lệ )

- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

2 Bài tập vận dụng

*Phương pháp giải :

- Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán

- Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm

- Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)

- Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải

Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển

động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây

Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A

trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau

Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi được nửa

quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Bài 4 : Trên quãng đường AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A.

Vận tốc An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?

Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau Thời gian hoàn

thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ

là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?

Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô thứ

hai là 3 Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường AB lần lượt là : 40 phút, 5

8 giờ , 5

9 giờ Tính vận tốc mỗi ô tô ?

PHẦN HÌNH HỌC