CHUYỀN đề bồi DƯỠNG HSG TOÁN 7

Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s.. Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi

Trang 1

Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 1

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

Trang 2

Ta có : aS – S = an+1 – 1  ( a – 1) S = an+1 – 1

Nếu a = 1  S = n

Nếu a khác 1 , suy ra S =

111

n a a

Trang 3

511

55,0625,0

12

311

33,0375,025,13

55,2

75,015,

1

3

13

112:3

1010

31

4

34625

1230.6

51027

524

113

4321

)6,3.212,1.63(9

17

13

12

1)10099

321(

141.3

15126

16

54

19

2.3

16157

34.31

111

1

3

13

12

1

1 2  2  2   2 



B

Trang 4

Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

25

13:)75,2(53,388,0:2511

4

3125505

,43

44:624,81

2

2 2

12

1

2

12

1

2

12

1

2004 2002

4 2 4 6

Trang 5

CHUYÊN ĐỀ 2: BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU



Trang 6

Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu

d

c b

a  th×

d c

d c b a

b a

35

3535

35

d c b a

b a

35

3535

35

a

 Chøng minh r»ng:

2 2

d c

b a cd

d c

b a d

c

b a

a  biến đổi theo các

hướng làm xuất hiện

Trang 7

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

2               

TÝnh

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

z c

b a

y c

b a

c z

y x

b z

y x

b b

c b a

z c

b a

y c

b a

Trang 8

c z

y x

b z

y x

t y

x t

z x

t z

y t

z y

x t y x

t z x t

z y t z

y x P

t y

x t

z x

t z

y t

Trang 9

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

Trang 10

DẠNG 2 : VẬN DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ TÌM X,Y,Z,…

Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 1+3y  1+5y  1+7y

Trang 11

z z

x

y y

38

Trang 12

CHUYÊN ĐỀ 3: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHÉP TOÁN ĐỂ TÌM X, Y

1 Kiến thức vận dụng :

- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; , 0

A A A

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A B  A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B  A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A

Am = An m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)

Trang 13

Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)

Nếu x 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2

Một số bài tương tự:

Bài 2 : a) T×m x biÕt x1 x3 4

b) T×m x biÕt: x2  6x2  x24

Trang 14

DẠNG TOÁN: SỬ DỤNG BĐT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x       1 x 3 x 5 x 7 8

Trang 15

Suy ra : x2006y  x 2012 0 với mọi x,y mà x2006y  x 2012 0

DẠNG CHỨA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

Trang 16

HD : ta có x2011y 0 với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y

Suy ra : x2011y (y1)2012 0 với mọi x,y Mà x2011y (y1)2012 0

Trang 17

1 Các kiến thức vận dụng:

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng , một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

  



   

d) x2-2y2=1 x2 1 2y2  (x 1)(x 1) 2y2

Trang 18

Bài 3 a) T×m gi¸ trÞ nguyªn d-¬ng cña x vµ y, sao cho: 1 1 1

y



 + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:

5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có

  Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5b – 1 - 1 không chia hết cho 5

do đó a không là số nguyên.) Với c = 1 a = 2 và b = 2

Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:

HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7

Với n 3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( kN*)

Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7

Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7 Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7 Vậy n = 3k với *

Trang 19

Nếu m < -2 thì m 1 2m1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1

Trang 20

CHUYÊN ĐỀ 5 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

1.Các kiến thức vận dụng :

* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

* a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

*A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

* A  0, A ,  A  0, A

* A  B  A B,A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

* A  B  A B,A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

2 Bài tập vận dụng:

* Dạng vận dụng đẳng thức : a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

Và a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

ac b a

 khi x =

2

b a



Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = - a2 + 3a + 4

b) B = 2 x – x2

Trang 21

Vậy Max B = 1 khi x = 1

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a a



* Dạng vận dụng A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :

Bài 4 : Cho ph©n sè:

54

23

Trang 22

Đăng ký học Toỏn lớp 7 cơ bản và nõng cao | Tel: 0936.128.126 22

Vậy Max C = 3(1 23) 8

4  9 3 khi x = 2

Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số

32

87

A  B  A B,A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

A  B  A B,A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A = ( x – 2)2 + yx + 3

b) B = 2011

2012 x 2010HD: a) ta cú (x2)2 0 với mọi x và y x 0 với mọi x,y  A  3 với mọi x,y

Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi

2

( 2) 0 2

20

Trang 23

Trang 24

CHUYÊN ĐỀ 6 : DẠNG TOÁN CHỨNG MINH CHIA HẾT

Trang 25

Bài 4: a) Số A1019984 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?

b) Chứng minh rằng: A36384133 chia hết cho 7

chia hết cho 30 với mọi n nguyên d-ơng

b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)

Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a2b17 10ab17 (a, b  Z )

b) Cho đa thức f x ax2bxc

)( (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

Trang 26

c c b

b b a

a M

Trang 27

Bài 3 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

z y

y z

y x x

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0 Chøng minh r»ng: abbcca0

HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm được abbcca0

Trang 28

CHUYÊN ĐỀ 8 : CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN

Bài 5 : T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®-îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) =

2005 2 2004

2

)43(.)

4

3

(  xx  xx

Trang 29

- Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận :

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :

y = k.x  1 2 3

1 2 3

n n

Trang 30

*Phương phỏp giải :

- Đọc kỹ đề bài , từ đú xỏc định cỏc đại lượng trong bài toỏn

- Chỉ ra cỏc đại lượng đó biết , đại lượng cần tỡm

- Chỉ rừ mối quan hệ giữa cỏc đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)

- Áp dụng tớnh chất về đại lượng tỉ lệ và tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để giải

Bài 1 : Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận

tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy

Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A

trồng đ-ợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đ-ợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng

đ-ợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đ-ợc

đều nh- nhau

Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đ-ợc nửa quãng đ-ờng ô tô

tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Bài 4 : Trên quãng đ-ờng AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận tốc An so với

Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đ-ờng mỗi ng-ời đi tới lúc gặp nhau ?

Bài 5 : Ba đội cụng nhõn làm 3 cụng việc cú khối lượng như nhau Thời gian hoàn thành cụng việc

của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau Hỏi mỗi đội cú bao nhiờu cụng nhõn ?

Bài 6 : Ba ụ tụ cựng khởi hành đi từ A về phớa B Vận tốc ụ tụ thứ nhất kộm ụ tụ thứ hai là 3 Km/h

Biết thơi gian ụ tụ thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quóng đường AB lần lượt là : 40 phỳt, 5

8 giờ ,

59giờ Tớnh vận tốc mỗi ụ tụ ?

Trang 31

PHẦN HÌNH HỌC

I Một số phương pháp chứng minh hình hoc

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó

- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân

- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng

- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng

2.Chứng minh hai góc bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó

- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân

- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị

- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

P 2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)

- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm

- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3

- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao

4 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

P 2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo

- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc

- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao

5 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )

P 2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác

6 So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :

P 2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác

- Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc

Trang 32

II Bài tập vận dụng

Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 900

Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC

Cú : BAE900BACDAC

* Gọi I là giao điểm của AB và CD

a) Ta cú BAE900BACDAC DACBAE , mặt khỏc AB = AD, AC = AE (gt)

Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c)  DC = BE

b) Gọi I là giao điểm của AB và CD

Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn, vậy nếu cú ∆ABD và ∆

Ta cú bài toỏn 1.2

Bài 1 1: Cho tam giác ABC có Â < 900

Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Từ B kẻ BK CD tại K

Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng

HD : Từ bài 1 chứng minh được DC BE mà BK CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng

1

121

Trang 33

*Khai thỏc bài 1.1

Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thỡ MA BC từ đú ta cú bài toỏn 1.2

Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900

Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A Chứng minh rằng : MA BC

Phõn tớch tỡm hướng giải

HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC

Để CM MA BC  ta cần CM ∆AHC vuụng tại H

Để CM ∆AHC vuụng tại H ta cần tạo ra 1 tam giỏc

C

E

D

BA

Trang 34

Lời giải

Gọi H là giao điểm của tia MA và BC , Trờn tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN

kẻ DQ  AM tại Q

Ta cú ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vỡ :

AM = MN ; MD = ME (gt) và EMADMN( hai gúc đối đỉnh)

 DN = AE ( = AC) và AE // DN vỡ N1MAE ( cặp gúc so le trong )

∆ABC = ∆DNA (c.g.c)  N1 ACB

Xột ∆AHC và ∆DQN cú : AC = DN , BAC ADN và N1 ACB

 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ∆AHC vuụng tại H hay MA BC

* Khai thỏc bài toỏn 1.3

Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE

HD : Từ bài 1.2 ta cú định hướng giải như sau:

Kẻ DQ  AM tại Q, ERAM tại R

Ta cú : + DAQHBH ( Cựng phụ BAH )

AD = AB (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

 DQ = AH (1)

+ACHEAR ( cựng phụ CAH)

AC = AE (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

ER = AH ( 1) Từ (1) và (2)  ER = DQ

Lại cú M1 M2 ( hai gúc đối đỉnh )

 ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung

điểm của DE

21R

1Q

HM

C

E

D

BA

Trang 35

nếu H là trung điểm của BC thỡ tia KA sẽ vuụng gúc với DE, ta cú bài toỏn 1.4

Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H trung điểm của BC

Chứng minh rằng tia HA vuụng gúc với DE

HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toỏn 1.4

Trờn tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’

Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)

 A’B = AC ( = AE) và HACHA B'

 AC // A’B BACABA' 180 0 ( cặp gúc trong cựng phớa)

Mà DAEBAC1800 DAE ABA'

Xột ∆DAE và ∆ABA’ cú : AE = A’B , AD = AB (gt)

'

DAEABA ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)

 ADEBAA ' mà ADEBAA '900 ADEMDA900

Suy ra HA vuụng gúc với DE

A'HM

C

E

D

BA

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	1,2 MB