Các Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 744667

Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A.. Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng tro

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) 3, 8, 15, 24, 35,

b) 3, 24, 63, 120, 195,

c) 1, 3, 6, 10, 15,

d) 2, 5, 10, 17, 26,

e) 6, 14, 24, 36, 50,

f) 4, 28, 70, 130, 208,

g) 2, 5, 9, 14, 20,

h) 3, 6, 10, 15, 21,

i) 2, 8, 20, 40, 70,

Hướng dẫn:

a) n(n+2)

b) (3n-2)3n

c) ( 1)

2

n n 

d) 1+n2

e) n(n+5)

f) (3n-2)(3n+1)

g) ( 3)

2

n n 

h) ( 1)( 2)

2

n n

i) (  1)(  2)

3

n n n

Bài 2: Tính:

a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n

b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100

Hướng dẫn:

a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n

A = n (n+1):2

b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)

3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100

3A = 99.100.101

A = 333300

Tổng quát:

A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n

A = (n-1)n(n+1): 3

Bài 3: Tính:

A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101

Hướng dẫn:

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1)

A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99)

A = 333300 + 4950 = 338250

Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1)

A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2

A= (n-1)n(2n+1):6

Bài 4: Tính:

A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102

Hướng dẫn:

A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2)

A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99)

A = 333300 + 9900

A = 343200

Bài 5: Tính:

A = 4+12+24+40+ +19404+19800

Hướng dẫn:

1

2A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100

A= 666600

Bài 6: Tính:

A = 1+3+6+10+ +4851+4950

Hướng dẫn:

2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100

A= 333300:2

A= 166650

Bài 7: Tính:

A = 6+16+30+48+ +19600+19998

Hướng dẫn:

2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101

A = 338250:2

A = 169125

Bài 8: Tính:

A = 2+5+9+14+ +4949+5049

Hướng dẫn:

2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102

A = 343200:2

A = 171600

Bài 9: Tính:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100

Hướng dẫn:

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101

A = 2449755

Tổng quát:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n

A = (n-2)(n-1)n(n+1):4

Bài 10: Tính:

A = 12+22+32+ +992+1002

Hướng dẫn:

A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1)

A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100)

A = 333300 + 5050

A = 338050

Tổng quát:

A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2

A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2

A = n(n+1)(2n+1):6

Bài 11: Tính:

A = 22+42+62+ +982+1002

Hướng dẫn:

A = 22(12+22+32+ +492+502)

Bài 12: Tính:

A = 12+32+52+ +972+992

Hướng dẫn:

A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002)

A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502)

Bài 13: Tính:

A = 12-22+32-42+ +992-1002

Hướng dẫn:

A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002)

Bài 14: Tính:

A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992

Hướng dẫn:

A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)

A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99)

Bài 15: Tính:

A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101

Hướng dẫn:

A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2)

A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99)

Bài 16: Tính:

A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102

Hướng dẫn:

A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2)

A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50)

Bài 17: Tính:

A = 13+23+33+ +993+1003

Hướng dẫn:

A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1)

A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002)

A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002)

A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-

98.99+(12+22+32+ +992+1002)

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99)

(12+22+32+ +992+1002)

Bài 18: Tính:

A = 23+43+63+ +983+1003

Hướng dẫn:

Bài 19: Tính:

A = 13+33+53+ +973+993

Hướng dẫn:

Bài 20: Tính:

A = 13-23+33-43+ +993-1003

Hướng dẫn:

Chuyên đề:

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I TỈ LỆ THỨC

1 Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số

d

c b

a  (hoặc a : b = c : d)

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ

2 Tính chất:

Tính chất 1: Nếu

d

c b

a  thì ad  bc

Tính chất 2: Nếu ad  bc và a, b, c, d  0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

d

c

b

a  ,

d

b c

a  ,

a

c b

d  ,

a

b c

d 

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ

d

c b

a  suy ra:

d b

c

a d b

c

a d

c b

a















-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

b a  d c  e f suy ra: 

























f d b

c b

a f d b

c b

a f

e d

c b a

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b

a   ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

3 2

y

x  và xy 20

Giải:

Cách 1: (Đặt ẩn phụ)

Đặt x  y k

3

2 , suy ra: x 2 k , y 3 k

Theo giả thiết: x y 20  2k 3k 20  5k 20 k 4

Do đó: x 2  4 8

y 3  4 12

KL: x 8 , y 12

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4 5

20 3

2

3





x

2 x

x

4 12

3   y

y

KL: x 8 , y 12

Cách 3: (phương pháp thế)

Từ giả thiết

3

2 3

2

y x y

x   

3

2



x

3

12



x

KL: x 8 , y 12

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:

4 3

y

x  ,

5 3

z

y  và 2x3yz6

Giải:

Từ giả thiết:

12 9 4 3

y x y

x    (1)

20 12 5 3

z y z

y    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

20 12 9

z y

x   (*)

2

6 20 36 18

3

2 20 36

3 18

2 20 12















x

9  x

x

3 36

12y   y

3 60

20 z

KL: x 27 , y 36 ,z 60

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt x  y  z k

20 12

9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1)

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết:

5

3 5

3

z y z

20

9

45

3 3 4

3 4

3

z

z y

x y

10

6 5

3 3 20

9 2 6 3

2x yz  z zz  z  z

5

60



20

60



x

KL: x 27 , y 36 ,z 60

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:

5 2

y

x  và x y 40

Giải:

Cách 1: (đặt ẩn phụ)

Đặt x  y k

5

2 , suy ra x 2 k , y 5 k

Theo giả thiết: x.y  40  2k 5k  40  10k2  40 k2  4 k   2

+ Với k  2 ta có: x 2  2 4

y 5  2 10

+ Với k   2 ta có: x 2 (  2 )   4

y 5 (  2 )   10

KL: x 4 , y 10 hoặc x  4 , y  10

Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Hiển nhiên x 0

Nhân cả hai vế của

5 2

y

5

40 5 2

2





 xy

x

4

16 2











x x

2

5 4 5

2

4  y y 

2

5 4 5

2

KL: x 4 , y 10 hoặc x  4 , y  10

Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a)

21

6

10

z

y

x   và 5x y 2z 28 b)

4 3

y

x  ,

7 5

z

y  và 2x3yz124 c)

5

4 4

3

3

2x  y  z và x yz 49 d)

3 2

y

x  và xy54

e)

3

5

y

x  và x2 y2 4 f) x y z

y x

z x

z

y z

y















Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a)

21

6

10

z

y

x   và 5x y 2z 28 b)

4 3

y

x  ,

7 5

z

y  và 2x3yz124 c)

5

4 4

3

3

2x  y  z và x yz 49 d)

3 2

y

x  và xy 54 e)

3

5

y

x  và x2 y2  4 f) x y z

y x

z x

z

y z

y















Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x 2y, 7y 5z và x yz 32 b)

4

3 3

2 2

x và 2x 3yz 50

c) 2x 3y 5z và x yz 95 d)

5 3 2

z y

x   và xyz 810

e) yx z1  zx y2  xz y3  x1yz f) 10 x 6 y và 2x2 y2   28

Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x 2y, 7y 5z và x yz 32 b)

4

3 3

2 2

x và 2x 3yz 50

c) 2x 3y 5z và x yz 95 d)

5 3 2

z y

x   và xyz 810

e) yx z1  zx y2  xz y3  x1yz f) 10 x 6 y và 2x2 y2   28

Bài 5: Tìm x, y biết rằng:

x

y y

y

6

6 1 24

4 1 18

2

Bài 6: Tìm x, y biết rằng:

x

y y

y

6

6

1 24

4

1 18

2

Bài 7: Cho abcd  0 và

c b a

d d

b a

c d

c a

b d

c b

a





















 Tìm giá trị của:

c b

a

d b a

d

c d a

c

b d c

b a A

























Giải: 1

b c d a c d a b d a b c a b c d

  

           ( Vìabcd  0)

=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4

Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:

a) x 7

y 3 và 5x – 2y = 87; b) x y

19 21 và 2x – y = 34;

b) x3 y3 z3

8 64 216 và x2 + y2 + z2 = 14 c) 2x 1 3y 2 2x 3y 1

Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30

Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :

a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;

b) x + y = x : y = 3.(x – y)

Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15

b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y

Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3

Bài 11 Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và

bằng hai

lần tổng của a và b ?

Giai Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b    Biết a+b+c 0.Tìm giá trị của mỗi tỉ

số đó ?

Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8

Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó?

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

abab 2cdc2d2.abab 2 2 (ab 1 ) 0

thì chúng lập thành một tỉ lệ thức

Giải: ab ab  2cdc d2 2  ab ab   2 2( ab 1)  0

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Để chứng minh tỉ lệ thức:

D

C

B A  ta thường dùng một số phương pháp sau:

Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A D = B.C

Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số

B

A và

D

C có cùng giá trị

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

Một số kiến thức cần chú ý:

+)  ( n 0 )

nb

na

b

a

d

c b

a d

c

b

a































Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức

d

c b

a  .Chứng minh rằng:

d c

d c b a

b a











Giải:

Cách 1: (PP1)

Ta có: (ab)(cd) acadbcbd (1)

(ab)(cd) acadbcbd (2)

Từ giả thiết: ad bc

d

c b

a    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: (ab)(cd)  (ab)(cd)



d c

d c b a

b a









 (đpcm)

Cách 2: (PP2)

d

c

b

a   , suy ra abk ,cdk

Ta có:

1

1 )

1 (

) 1 (























k

k k

b

k

b b kb

b

kb b

a

b

1

1 )

1 (

) 1 (























k

k k

d

k

d d kd

d

kd d

c

d

Từ (1) và (2) suy ra:

d c

d c b a

b a









 (đpcm)

Cách 3: (PP3)

Từ giả thiết:

d

b c

a d

c b

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

d c

b a d c

b a d

b

c

a

















d c

d c

b

a

b

a









 (đpcm)

Hỏi: Đảo lại có đúng không ?

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức

d

c b

a  Chứng minh rằng: 22 22

d c

b

a cd

ab







Giải:

Cách 1: Từ giả thiết: ad bc

d

c b

a    (1)

Ta có: abc2 d2abc2 abd2 acbcadbd (2)

cda2 b2a2cdb2cd acadbc.bd (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: abc2 d2cda2 b2

 22 22

d c

b

a cd

ab





 (đpcm)

Cách 2: Đặt k

d

c b

a   , suy ra abk ,cdk

Ta có: 22 22

.

.

d

b kd

kb d dk

b

bk

cd

ab    (1)

2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

2

1

1 )

(

) (

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

c

b





















Từ (1) và (2) suy ra: 22 22

d c

b

a cd

ab





 (đpcm)

Cách 3: Từ giả thiết: 22 22 22 22

d c

b

a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

a



















 22 22

d c

b

a cd

ab





 (đpcm)

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Cho tỉ lệ thức:

d

c b

a  Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết

các tỉ số đều có nghĩa)

1)

d c

d c b

a

b

a

5 3

5 3

5

3

5

3









 2) 2 22 22

d c

b a d c

b a























3)

d c

d c

b

a

b

a









 4)  

 2

2

d c

b a cd

ab







5)

d c

d c b

a

b

a

4 3

5 2

4

3

5

2









 6)

b a

d c

d c

b a

2007 2006

2006 2005

2007 2006

2006 2005











7)

d c

c

b

a

a





 8)

bd b

bd

b ac a

ac

a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

2











Bài 2: Cho tỉ lệ thức:

d

c b

a 

Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

a)

d c

d

c b

a

b

a

5 3

5 3

5

3

5

3









 b) 2 22 22

d c

b a d c

b a





















 c)

d c

d

c b a

b

a











 2

2

d

c

b

a

cd

ab





 e)

d c

d

c b a

b

a

4 3

5 2 4 3

5 2











f)2008 2009 2008 2009

2009 2010 2009 2010

g)

d c

c

b

a

a





 h)

bd b

bd b ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5

7

2

2 2

2









 i) 7a22 3ab2 7c22 3cd2

Bài 3: Cho

d

c c

b b

a   Chứng minh rằng:

d

a d c b

c b

















Bài 4: Cho

d

c c

b b

a   Chứng minh rằng:

d

a d c b

c b

















Bài 5: Cho

2005 2004

2003

c b

Chứng minh rằng: 4 (ab)(bc)  (ca) 2

Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008

a  a  a   a CMR: Ta có đẳng thức: 1 1 2 3 20 08 2 008

a

Bài 7: Cho

1

9 9

8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

a     và a1a2 a9  0

Chứng minh rằng: a1 a2  a 9

Bài 8: Cho

2005 2004

2003

c b

Chứng minh rằng: 4 (ab)(bc)  (ca) 2

Bài 9: Chứng minh rằng nếu :

d

b b

a  thì

d

a d b

b



 2 2

2 2

Bài 10: Cho

1

9 9

8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

a     và a1a2 a9  0

Chứng minh rằng: a1 a2  a 9

Bài 11: CMR: Nếu a 2 bc thì

a c

a c b a

b a









 Đảo lại có đúng không?

Bài 12: Chứng minh rằng nếu :

d

b b

a  thì

d

a d b

b



 2 2

2 2

Bài 13: Cho

d c

d c b a

b a









 CMR:

d

c b

a 

Bài 14 Cho tỉ lệ thức : a22 b22 a b

 Chứng minh rằng: ab  dc Giải Ta có :

cd

ab d c

b





2 2

2 2

     c d

b a d c d c

b a b a cd

ab d c

b a d cd c

b ab a cd

ab

.

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2





























c b

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

d

c

a

b

a





























Bài 15: Chứng minh rằng nếu:

3

3 2

2











v

v u

3 2

v

u 

Bài 16: CMR: Nếu a 2 bc thì

a c

a c b a

b a









 Đảo lại có đúng không?

Bài 17: CMR nếu a(yz) b(zx) c(xy)

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

) ( ) ( )

y

x a c b

x

z c b a

z

y

















Bài 18: Cho

d c

d c b a

b a









 CMR:

d

c b

a 

Bài 19: Cho

d

c b

a  Các số x, y, z, t thỏa mãn: xayb 0 và zctd  0

Chứng minh rằng:

td zc

yd xc tb za

yb xa











Bài 20: Chứng minh rằng nếu:

3

3 2

2











v

v u

3 2

v

u 

Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2 ac ;c2 bd

và b3 c3 d3  0

Chứng minh rằng:

d

a d c b

c b









3 3 3

3 3 3

Bài 22: CMR nếu a(yz) b(zx) c(xy) Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

) ( ) ( )

y x a c b

x z c b

a

z y

















Bài 23: Cho

1 1

2 1

2

c x b x a

c bx ax P









 Chứng minh rằng nếu

1 1

c b

b a

a   thì giá trị của P

không phụ thuộc vào x

Bài 24: Cho biết : a b' ' 1;b c' ' 1

a  b  b  c CMR: abc + a’b’c’ = 0

Bài 25: Cho

d

c b

a  Các số x, y, z, t thỏa mãn: xayb0 và zctd  0

Chứng minh rằng:

td zc

yd xc tb za

yb xa











Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2 ac ;c2 bd và b3 c3 d3  0

Chứng minh rằng:

d

a d c b

c b









3 3 3

3 3 3