Bài giảng Toán kinh tế

Mục tiêu cụ thể của môn học: Cung cấp cho sinh viên về một số dạng toán quy hoạch tuyến tính, cách xây dựng mô hình toán học cho một số bài toán thực tế những hiện tượng kinh tế rất thư

LỜI NÓI ĐẦU

1 Đối tượng sử dụng

Tài liệu toán kinh tế dùng cho sinh viên khối ngành kinh tế, các ngành kế toán, quản trị kinh doanh, và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài giảng xem như một tài liệu tham khảo

2 Cấu trúc bài giảng

Bài giảng toán kinh tế được biên soạn theo đề cương môn học đã được hội đồng khoa học trường thông qua với 30 tiết bao gồm các chương:

Chương 0 Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính

Chương 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

Chương 2 Phương pháp đơn hình

Chương 3 Bài toán đối ngẫu

Chương 4 Bài toán vận tải Bài toán thế vị

3 Mục tiêu môn học

Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn của Tối ưu hóa, được áp dụng trong kinh tế và nhiều ngành khoa học khác cả lý thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết quả đạt được Kiến thức về quy hoạch tuyến tính rất cần cho sinh viên ở bậc đại học, cao đẳng nói chung và khối ngành kinh tế nói riêng Mục tiêu cụ thể của môn học:

Cung cấp cho sinh viên về một số dạng toán quy hoạch tuyến tính, cách xây dựng mô hình toán học cho một số bài toán thực tế những hiện tượng kinh tế rất thường gặp sản xuất kinh doanh và các cách đưa bài toán QHTT tổng quát về dạng chính tắc Trên cơ sở đó để tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất

Cung cấp cho sinh viên về cơ sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ đó có thể giúp sinh viên giải quyết các bài toán để tìm được tính tối ưu của từng bài toán cho phù hợp

Giới thiệu cho sinh viên về bài toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu

Giới thiệu cho sinh viên về bài toán vận tải, ý nghĩa kinh tế của bài toán vận tải Các phương pháp giải các bài toán vận tải tổng quát và các bài toán vận tải đặc biệt

4 Phương pháp giảng dạy

Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

Chương 0 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1

0.1 Ma trận 2

0.1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận 2

0.1.2 Định thức 9

0.1.3 Ma trận nghịch đảo 11

0.1.4 Hạng của ma trận 12

0.2 Vectơ 13

0.2.1 Vectơ 13

0.2.2 Không gian vectơ 14

0.2.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 15

BÀI TẬP CHƯƠNG 0 17

Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 18

1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT 19

1.2 Phân loại dạng bài toán 23

1.2.1 Dạng tổng quát 24

1.2.2 Dạng chính tắc 25

1.2.3 Dạng chuẩn 26

1.3 Biến đổi dạng bài toán 27

1.3.1 Đưa một bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc 27

1.3.2 Khái niệm tập hợp lồi, điểm cực biên, phương án cực biên 29

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 32

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 36

2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp đơn hình 37

2.2 Thuật toán đơn hình với vectơ đơn vị có sẵn 38

2.2.1 Trường hợp → 38

2.2.2 Trường hợp → 40

2.3 Thuật toán đơn hình với vec tơ đơn vị không có sẵn (Bài toán mở rộng) 45

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 53

Chương 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 56

3.1 Khái niệm 57

3.1.1 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng chính tắc 57

3.1.2 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng tổng quát 58

3.2 Quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu 59

3.2.1 Các định lý đối ngẫu 59

3.2.2 Tìm P.A.T.Ư của bài toán đối ngẫu qua P.A.T.Ư của bài toán gốc 60 3.3 Ý nghĩa bài toán đối ngẫu 63

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 65

Chương 4 BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN THẾ VỊ 67

4.1 Bài toán vận tải cân bằng thu phát (bài toán cổ điển) 68

4.1.1 Thiết lập bài toán 68

4.1.2 Đặt bài toán dưới dạng bảng 69

4.1.3 Các tính chất 70

4.2 Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải cân bằng thu phát 71

4.2.1 Lập phương án cơ bản ban đầu 71

4.2.2 Thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn” 73

4.2.3 Phương pháp thế vị 77

4.3 Bài toán vận tải có ô cấm 80

4.4 Bài toán vận tải không cân bằng thu phát 82

4.5 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức 84

4.5.1 Định nghĩa 84

4.5.2 Điều kiện tối ưu 85

4.5.3 Cách giải 85

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

Chương 0 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Mục đích yêu cầu

Nhằm củng cố các kiến thức về đại số tuyến tính cho sinh viên để có thể vận dụng tốt và linh hoạt vào các chương sau Sau khi học xong chương này, Sinh viên cần đạt được:

Sử dụng thành thạo các phép toán của ma trận: phép toán cộng, trừ, nhân

Tính được định thức của một ma trận cấp 2, cấp 3, …, cấp theo công thức,

qui tắc Laplace hay bằng phép biến đổi sơ cấp

Thành thạo kỹ năng “phép biến đổi sơ cấp trên ma trận”, từ đó rút ra phương

pháp tìm hạng của ma trận bất kỳ

Áp dụng giải các hệ phương trình tuyến tính bằng hai phương pháp cơ bản:

Cramer và Gauss

Cần hiểu rõ cấu trúc không gian vectơ V, cách xác định một hệ độc lập độc lập

tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

Làm được các bài tập tương tự

: là phần tử (hay số hạng) nằm ở dòng (hay hàng) i, cột j của A

: được gọi là kích thước của A

Đường chéo của A là {1, 7},

Đường chéo của B là {0, 2, 2}

Các ma trận đặc biệt

* Ma trận dòng: là ma trận có = ( ) = ( ) × (0.1.4)

ij = 0, ∀ ,

e) Ma trận tam giác và ma trận chéo

Ma trận vuông là ma trận tam giác, nếu các phần tử ở một phía đường chéo bằng 0

(các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0)

Là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, các

Khi: ≠ , ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa

Cho ma trận A = (a ij)mxn Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận cấp

Tức là: AT = (a ji)nxm

Ví dụ 11: Một người có hai cửa dòng bán dòng tin học Số lượng dòng hóa bán ra

trong tháng thứ nhất và tháng thứ hai cho bởi hai ma trận A và B Tìm lượng dòng hóa bán trong cả hai tháng của người đó

?

Tích của hai ma trận Cho ma trận = × = × là một ma trận

×

(0.1.13)

của ma trận A với các phần tử tương ứng ở cột j của ma trận B

0.1.2 Định thức

Khái niệm định thức chỉ áp dụng cho ma trận vuông Định thức của ma trận A là

+ Định thức cấp 3 là tổng đầu gồm 3 tích số lấy theo đường chéo chính và 2 đường song song với nó nhân với phần tử đối diện Tổng sau cùng cũng gồm 3 tích số nhưng lấy theo đường chéo còn lại và 2 đường song song với nó nhân với phần tử đối diện

Giải Khai triển theo dòng 1, ta có:

(khai triển theo dòng 1)

Nhận xét: Do giá trị định thức không đổi dù ta khai triển theo dòng (cột) bất kỳ nên

khi thực hành ta chọn những dòng (cột) có nhiều số 0 nhất rồi khai triển theo dòng (cột) đó

0.1.3 Ma trận nghịch đảo

* Định nghĩa Ma trận vuông cấp được gọi là ma trận không suy biến khi

và chỉ khi A ≠0

* Định nghĩa Cho ma trận vuông cấp Nếu tồn tại ma trận vuông cấp

2 1

2 7

2 1

2 7

0 1

2 7

2 1

0 1

0.1.4.2 Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp

Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

Để tính hạng của ma trận ta thường dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma

trận về ma trận B có dạng:

Biến đổi sơ cấp

i) Đổi chỗ hai hàng cho nhau (h ↔ i h j)

iii) Cộng một hàng với lần hàng khác(h + i k.h j)

Ta gọi V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ (hay

1) u v v u+ = +

2) (u v+ ) w+ = +u (v+w)

3) ∃ ∈θ V u: + = , θ u θ được gọi là phần tử không

4) ∃− ∈u V u: + − = ( u) θ , − được gọi là phần tử đối của u u

5) k u v( + )=ku kv+

6) (k r u ku ru+ ) = +

7) k ru( ) ( )= kr u

8) 1.u u=

Mỗi phần tử của một không gian vectơ được gọi là một vectơ

Ta còn viết u + − = − và gọi là hiệu của u và v ( )v u v

Phép toán u + v gọi là phép cộng vectơ

Phép toán k.u gọi là phép nhân vectơ với một vô hướng, hay đơn giản là phép

nhân với vô hướng

Ví dụ 18: R n ={(x1,x2 ,x n)x i∈R,i=1, ,n} ta trang bị hai phép toán:

Phép cộng: (x1,x2, ,x n) + (y1,y2, ,y n) = (x1+y1,x2 +y2, ,x n+ y n)

Phép nhân: k(x1,x2, ,x n) = (kx1,kx2, ,kx n),k∈R

là một không gian vectơ

0.2.3 Độc lập tuyến tính # phụ thuộc tuyến tính

* Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của một hệ véctơ

Giả sử S={u u1, , ,2 u n} là một hệ (hay một tập) của không gian vectơ V Vectơ

* Định nghĩa hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tính

Hệ vectơ S ={u u1, , ,2 u n} của không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến

tính nếu có các số k k1, , ,2 k n không đồng thời bằng 0 sao cho

k u +k u + +k u = θ

Hệ vectơ S ={u u1, , ,2 u n} được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ

thuộc tuyến tính, tức là nếu k u1 1+k u2 2 + + k u n n = thì suy ra θ k1=k2 = =k n = 0

Ví dụ 19: Trong ℝ , hệ vectơ {e e e với 1, ,2 3} e =1 (1,0,0), e =2 (0,1,0), e =3 (0, 0,1) là một hệ độc lập tuyến tính

Thật vậy: Giả sử có: k e1 1+k e2 2+k e3 3 = θ

0

) 0 , 0 , 0 ( ) , , (

) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 (

3 2 1

3 2 1

3 2

+

⇒

k k k

k k k

k k

) 1 , , 0 , 0 (

) 0 , , 1 , 0 (

) 0 , , 0 , 1 (

2 1

là hệ độc lập tuyến tính

Ví dụ 20: Hệ {u 1 ,u 2 ,u 3 } với u 1 = (1,1,1), u 2 = (1,1,0), u 3 = (2,2,1) là phụ thuộc tuyến

tính Vì u 1 + u 2 H u 3 = (1,1,1) + (1,1,0) H (2,2,1) = (0,0,0) = θ

Nhận xét: Từ định nghĩa trên, suy ra:

Xét phương trình: x u1 1+x u2 2+ + x u n n = , với θ x là các ẩn số thực Phương i

trình này luôn có nghiệm không x1 =0,x2 =0, ,x n = Nếu nghiệm đó là duy nhất thì 0

hệ vectơ {u u1, , ,2 u n} là độc lập tuyến tính Còn nếu phương trình có nghiệm khác nghiệm không thì hệ vectơ {u u1, , ,2 u n} là phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 21: Xétxem hệ vectơ = = là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Mục đích yêu cầu

Tư tưởng tối ưu hóa có từ rất lâu và con người luôn phải suy nghĩ tìm các giải

pháp thực hiện các công việc sao cho có lợi nhất theo những mục đích xác định

Những yêu cầu cấp bách của sự phát triển nền kinh tế và quốc phòng làm nảy sinh ra nhiều ý tưởng về bài toán tối ưu Do đó đã xuất hiện một dạng bài toán cần phải giải

quyết, đó là bài toán tìm phương án tối ưu

Để giải quyết hiệu quả bài toán tối ưu, trước hết sinh viên cần phải:

hiện được bản chất của mỗi đối tượng được khảo sát, các mối liên quan giữa chúng và cần chỉ rõ mục tiêu mong muốn đạt được

Phân biệt được sự khác nhau giữa bài toán QHTT dạng tổng quát, dạng chính tắc và dạng chuẩn

tắc

phải là phương án cực biên không?

Kiến thức chuẩn bị

Để nắm vững chương này sinh viên cần rèn luyện:

Các phương pháp phân tích, hiểu rõ các tình huống, các mối quan hệ của các đối tượng khi khảo sát, nắm vững các kỹ năng biến đổi

Các khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính

1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT

Ví dụ 1: (Bài toán lập kế hoạch sản xuất khi biết trước nguyên vật liệu)

Một xí nghiệp dùng 3 loại nguyên liệu N1; N2; N3 để sản xuất ra một loại sản phẩm theo ba theo ba phương pháp khác nhau: PP1, PP2, PP3 Định mức nguyên liệu

và số lượng sản phẩm sản xuất ra trong một giờ theo các phương pháp cho ở bảng sau:

Nguyên liệu

2x + 4x +x ≤ 350; 3x + 6x + 4x ≤ 450

Dĩ nhiên ta phải có x x x1, 2, 3 không âm

Vậy mô hình của bài toán kinh tế được phát biểu như sau:

Tìm các biến x x x1, 2, 3 sao cho

Gọi x là số sản phẩm j được sản xuất Điều kiện j x j ≥ 0

là tổng doanh thu ứng với kế hoạch sản xuất x ( x ,x , ,x )= 1 2 nKhi đó có mô hình toán học là:

Ví dụ 2: (Bài toán khẩu phần)

Có hai loại thức ăn I và II dùng trong chăn nuôi Để nuôi một loại gia súc trong

1 ngày đêm cần có khối lượng tối thiểu các chất dinh dưỡng chất béo, đạm, chất

khoáng tương ứng là 130, 90, 10 gram Tỷ lệ phần trăm theo khối lượng các chất trên

có trong các loại thức ăn I và II như sau:

Cho biết giá 1 kg thức ăn I và II tương ứng là 4000 và 7000 đồng

Hãy lập mô hình bài toán, xác định khối lượng thức ăn cần mua sao cho chi phí

nuôi gia súc là thấp nhất

Giải

Gọi x x1, 2là số gram thức ăn I, II cần mua

Ta có mô hình của bài toán như sau:

Hãy xác định khẩu phần thức ăn cho gia súc sao cho chi phí thấp nhất đồng thời đảm bảo các chất dinh dưỡng cho gia súc

f(x) là giá khẩu phần x ( x ,x , ,x )= 1 2 nKhi đó có mô hình toán học là:

Ví dụ 3: (Bài toán vận tải)

Giả sử có 2 kho hàng chứa 30 tấn và 40 tấn hàng Có 3 cửa hàng có khả năng

tiếp nhận 20 tấn, 25 tấn và 35 tấn Cước phí vận chuyển (ngàn đồng/tấn) từ kho đến

các cửa hàng như sau:

CH

Hãy lập mô hình bài toán vận chuyển thỏa hai yêu cầu: chi phí vận chuyển ít

tiền nhất và giải tỏa kho

Giải

Gọi x x x1, 2, 3 lượng hàng từ kho K1 về các cửa hàng C1, C2, C3

Gọi x x x4, 5, 6 lượng hàng từ kho K2 về các cửa hàng C1, C2, C3

Ta có mô hình của bài toán như sau:

Gọi x là số hàng chuyển từ kho i đến cửa hàng j Điều kiện ij x ij ≥ 0

f(x) là tổng chi phí cho kế hoạch vận chuyển x

Khi đó có mô hình toán học là:

ij j

i 1 ij

Phương pháp lập mô hỉnh toán học

Để lập mô hình toán học của một bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo

ba bước sau:

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn

Căn cứ vào yêu cầu của bài toán ta xác định được số ẩn và đơn vị tính của ẩn, sau

đó ta đặt cho các ẩn các điều kiện để phù hợp với thực tế (như không âm, nguyên, lớn hơn bao nhiêu, )

Bước 2: Lập hàm mục tiêu

Dựa vào các ẩn đã đặt và yêu cầu tối ưu của bài toán, ta tìm ra được biểu thức diễn tả yếu tố “kinh tế” của bài toán (như tổng doanh thu, tổng lợi nhuận, tổng số tiền phải chi ra, ) và đặt yêu cầu tối ưu cho biểu thức đó

Bước 3: Lập hệ ràng buộc chính

Dựa vào các ẩn đã đặt, ta tính được các số liệu “kĩ thuật” của bài toán (như tổng

số nguyên liệu sẽ sử dụng, tổng khối lượng các chất có trong nguyên liệu, tổng số sản phẩm thu được, ) để được các biểu thức toán học

Dựa theo yêu cầu “kĩ thuật” của bài toán, ta đặt điều kiện cho các biểu thức toán học đó để được các phương trình hay bất phương trình ràng buộc của bài toán

Hãng hàng không Vietnam Airline có nhu cầu vận chuyển 1500 hành khách và

150 tấn hàng hóa tại sân bay Nội Bài Giả sử có hai loại máy bay có thể sử dụng với khả năng vận chuyển mỗi loại như sau:

Máy bay loại A: Một máy bay có thể chở 180 hành khách và 40 tấn hàng hóa với chi phí tương ứng là 350 triệu đ

Máy bay loại B: Một máy bay có thể chở 200 hành khách và 20 tấn hàng hóa với chi phí tương ứng là 320 triệu đ

Hãy lập mô hình bài toán tìm phương án sử dụng số máy bay mỗi loại sao cho thỏa mãn yêu cầu vận chuyển với tổng chi phí ít nhất?

1.2 Phân loại dạng bài toán

Mô hình bài toán QHTT gồm có 3 phần

Là các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính ẩn số, nảy sinh do yêu cầu thực tế,…

Các hạn chế về dấu của các ẩn số

Trong các ví dụ ở mục 1.1 thì các không âm (vì nó là số sản phẩm, số vốn, số lợi nhuận,…) Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát có thể âm hay dương hoặc tùy ý

Từ đó người ta phân dạng bài toán thành 3 loại:

Một vectơ x= ( , , , , )x x x1 2 x n thỏa mãn (1.2.2) và (1.2.3) gọi là một phương án

(P.A) của bài toán

Tập hợp tất cả phương án của bài toán được gọi là miền xác định của bài toán

Ký hiệu

(1.2.1) hay f x( *)≤ ≥( ) f x( ),∀ ∈x D (bị chặn)

Bài toán QHTT gọi là

Giải được nếu có ít nhất một phương án tối ưu

H Không giải được nếu = ∅ (không có phương án) hay có P.A nhưng không

Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung tập hợp các phương án tối ưu

Giải một bài toán QHTT là đi tìm phương án tối ưu của bài toán hoặc chỉ ra

rằng nó không có phương án tối ưu

* Quan hệ giữa bài toán cực đại và bài toán cực tiểu:

Ví dụ 4: Các ví dụ 1, 2, 3 đều là các bài toán có dạng tổng quát

Ví dụ 5: Cho bài toán

Nhận xét: Bài toán dạng chính tắc là bài toán dạng tổng quát, trong đó:

+ Các điều kiện điều là phương trình

+ Mọi ẩn số của bài toán đều không âm

+ Các b i là tùy ý

Ví dụ 6: Cho bài toán

Ma trận hệ số ràng buộc A có chứa một ma trận đơn vị cấp (tức mỗi

phương trình có một biến số với hệ số bằng 1 đồng thời không có trong các phương trình khác)

Các ẩn ứng với các vectơ cột đơn vị trong ma trận ràng buộc A được gọi là các

ẩn cơ bản Ẩn cơ bản ứng với vectơ đơn vị thứ gọi là ẩn cơ bản thứ = Các

ẩn còn lại gọi là các ẩn không cơ bản

Một phương án mà các ẩn không cơ bản đều bằng không gọi là phương án cơ

bản (PACB)

Một phương án cơ bản có đủ thành phần dương gọi là không suy biến Nếu

có ít hơn thành phần dương gọi là suy biến

Nhận xét

a) Với bài toán dạng chuẩn, ta luôn có phương án cơ bản ban đầu là:

dạng chuẩn được gọi là bài toán mở rộng của bài toán đã cho (gọi là bài toán gốc)

Chú ý: Ở trên, để cho tiện cách trình bày, ta xem ẩn đầu là cơ bản, đồng thời số

thứ tự của ẩn cơ bản cũng chính là số thứ tự của ẩn Trong thực tế có sự xáo trộn và ta phải nhận ra

Ẩn nào là ẩn cơ bản

Ẩn cơ bản ấy là ẩn thứ mấy

Ví dụ 7: Bài toán sau đây cũng có dạng chuẩn:

1.3 Biến đổi dạng bài toán

1.3.1 Đưa một bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc

Khi xét bài toán QHTT, người ta thường sử dụng dạng chính tắc, có thể đưa một bài toán về dạng chính tắc bằng các phép biến đổi sau:

Bước 1: Kiểm tra hệ ràng buộc chính (để đưa bất phương trình về phương trình)

ii) Nếu gặp ràng buộc dạng ij

Bước 2: Kiểm tra điều kiện dấu của ẩn số (để đưa về dạng không âm)

iv) Nếu gặp ẩn x jtuỳ ý thì ta thay x j = x'j− x"jvới x'j ≥ 0, "x j ≥ 0. (1.3.4)

Chú ý

a) Các ẩn phụ chỉ là những số giúp ta biến bất phương trình thành phương trình, không đóng vai trò về kinh tế nên không ảnh hưởng đến hàm mục tiêu Vì vậy hệ số

của nó trong hàm mục tiêu bằng 0

b) Bài toán QHTT đã được thêm các ẩn phụ hoặc đổi ẩn để có dạng chính tắc ta

gọi là bài toán phụ của bài toán đã cho

Nếu bài toán phụ không có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng không có

phương án tối ưu

Nếu bài toán phụ có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng có phương án tối

ẩn phụ và đổi các trị số của ẩn mới về ẩn cũ theo công thức đổi ẩn Giá trị tối ưu của

2 bài toán là bằng nhau

Ví dụ 8: Đưa bài toán sau đây về dạng chính tắc:

1.3.2 Khái niệm tập hợp lồi, điểm cực biên, phương án cực biên

Tập lồi: Tập hợp con S của không gian ℝ được gọi là tập lồi nếu chứa hai điểm

Hình 1: Tập lồi Hình 2: Không là tập lồi

Điểm cực biên: Cho là tập lồi trong không gian ℝ Điểm của được gọi là

điểm cực biên của nếu trong không một đoạn thẳng nào nhận làm điểm trong

Ví dụ 9: Các đỉnh của một đa giác lồi chính là các điểm cực biên của đa giác đó

Trong hình 1 các điểm A, B, C, D, E là các điểm cực biên Hình 2 các điểm A,

B, D là điểm cực biên

Định nghĩa phương án cực biên

(P.A.C.B) nếu thỏa mãn chặt ràng buộc độc lập tuyến tính

?

Tức là: là P.A.C.B

0 ij 1 0

Tập hợp của các phương án của bài toán QHTT là tập lồi

phương án cực biên

Các ràng buộc của bài toán dạng chính tắc còn có thể viết như sau:

j 1

B

n j j

P.A.C.B còn được gọi là phương án cơ bản

Định lý 1 (Tính chất đặc trưng của P.A.C.B)

các vectơ cột ứng với các thành phần x >0j 0 là độc lập tuyến tính

Định lý 2 (Sự tồn tại của P.A.C.B tối ưu)

Nếu bài toán QHTT (chính tắc) có phương án tối ưu thì sẽ có ít nhất một phương án cực biên tối ưu

Ví dụ 10: Cho bài toán QHTT

Với X =(2, 2, 0), 1 1 2

Với Y =(0, 0, 4), hệ chỉ gồm một vectơ A3 nên cũng là P.A.C.B

Với Z =(1,1, 2), ta thấy hệ { ,A A A1 2, }3 phụ thuộc tuyến tính vì A1+A2− 2A3 = 0nên không là P.A.C.B

Cho bài toán QHTT

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1 Một nhà máy chuyên sản xuất hai loại phụ tùng P1 và P2, các phụ tùng này được gia công lần lượt trong hai phân xưởng A1 và A2 Thời gian tiêu thụ cho việc sản xuất trong các phân xưởng được trình bày trong bảng sau:

40 sản phẩm P1 và 35 sản phẩm P2

Sản phẩm bán ra cho mức lời 120 VNĐ đối với P1 và 100 VNĐ đối với P2 Mỗi tuần phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm P1 và P2 để nhà máy có mức lời tối đa? (Yêu cầu chỉ lập mô hình)

2 Một xí nghiệp may mặc cần sản xuất 2000 quần và ít nhất 1000 áo Mỗi tấm vải có

6 cách cắt được cho bởi bảng sau:

Cách Quần, Áo

Hãy lập mô hình bài toán cắt quần áo sao cho tổng số tấm vải là ít nhất?

3 Một xí nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C với các số liệu sau:

phải có lượng sản xuất ít nhất là 100 đơn vị Giả sử mọi sản phẩm sản xuất ra đều tiêu thụ được hết

Tìm kế hoạch sản xuất sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất?

(Biết rằng tổng lợi nhuận = giá bán – chi phí sản xuất)

4 Một công ty muốn có kế hoạch quảng cáo một loại sản phẩm trong thời gian một tháng với tổng chi phí là 100 triệu đồng Các phương tiện được chọn để quảng cáo là: Truyền hình, Báo, Phát thanh với các số liệu sau đây:

mỗi lần quảng cáo (triệu đồng)

Số lần quảng cáo tối đa trong

1 tháng

Dự đoán số người tiếp nhận quảng cáo trong mỗi lần

5 Doanh nhân A có số vốn 2 tỷ đồng muốn đầu tư và danh mục sau đây:

Gửi tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 4%/năm

Gửi tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8%/năm

Mua trái phiếu chính phủ với lãi suất 8,5%/năm

Cho doanh nghiệp tư nhân vay với lãi suất 15%/năm

Mua đất phân lô bán nền với suất 20%/năm

Thời gian đáo hạn giả thiết là như nhau

Các hình thức đầu tư đều có rủi ro Để hạn chế rủi ro cho doanh nhân A được nhà tư vấn hướng dẫn như sau:

1 Không cho doanh nghiệp tư nhân vay quá 30% vốn

2 Số tiền mua trái phiếu chính phủ không vượt quá số tiền đầu tư trong 4 lĩnh vực kia

3 Ít nhất 20% số tiền đầu tư phải thuộc lĩnh vực tiết kiệm có kỳ hạn và trái phiếu

4 Tỷ lệ tiết kiệm không kỳ hạn trên tiết kiệm có kỳ hạn không vượt quá 1/3

5 Số tiền mua đất không vượt quá 40% số vốn

Doanh nhân A muốn đầu tư toàn bộ số vốn

Hãy tìm phương án đầu tư sao cho thu được lợi nhuận tối đa?

6 Người ta dự định trồng 2 loại cây C1, C2 trên 3 khu đất A, B, C có diện tích tương ứng là 8, 5, 9 (ha) Do đặc điểm của các khu đất khác nhau nên chi có phí sản xuất ( triệu đồng/ha) và năng suất (tạ/ha) khác nhau theo bảng như sau:

(Số ở bên trái của mỗi ô là chi phí sản xuất, số ở bên phải của mỗi ô là năng suất)

Yêu cầu sản lượng của của các loại cây C1, C2 tương ứng là 500, 400 tạ

Hãy lập mô hình bài toán xác định phương án phân phối đất trồng sao cho đảm bảo yêu cầu về sản lượng và chi phí thấp nhất

7 Công ty trang trại cao nguyên dự định trồng 2 loại cây cà phê và tiêu trên 3 khu đất

A, B, C có diện tích tương ứng là 50, 60, 40 (ha) Do đặc điểm của các khu đất khác nhau nên chi phí sản xuất ( triệu đồng/ha) và năng suất (tạ/ha) khác nhau và cho ở bảng sau: