TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– ĐÀM THANH PHƯƠNG, NGÔ MẠNH TƯỞNG BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Thái Nguyên, năm 2015 Danh sách[.]
Một số ứng dụng mở đầu
Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế
1.1.1 Hàm cung và hàm cầu Định nghĩa 1 Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó.
Lượng cung làQs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá;
Lượng cầu là Q d - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá;
Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng:
- Hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm: Nếu các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi.
- Đồ thị của hàm cung và hàm cầu được gọi là đường cung và đường cầu.
- Điểm cân bằng thị trường: Là giao điểm của đường cung và đường cầu Để tìm mức giá cân bằng p¯và lượng cân bằng Qs = Qd = ¯Q ta lập phương trình hoành độ điểm chung S(p) =D(p).
- Ý nghĩa kinh tế của điểm cân bằng thị trường: Tại mức giá cân bằng p, người bán sẽ¯ bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa.
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Khip > p¯thị trường có hiện tượng dư thừa hàng hóa, cung vượt cầuQ s > Q d Ngược lại Khi p 0, ngoài ra việc so sánhN P V giữa các dự án cũng cho phép chúng ta lựa chọn dự án tốt nhất.
Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm;
Dự án 2: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 4000$ sau 6 năm;
Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm
Với lãi suất thịnh hành 10% một năm thì nên chọn dự án nào?
N P V 3 = 4800(1 + 0.1) −5 =−20 Vậy nên chọn dự án 2.
1.3.3 Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn
Kỳ khoản là số tiền tích cóp đều đặn theo định kỳ (hàng tháng, hàng quý, hàng năm ).
Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản.
Sử dụng công thức tính giá trị hiện tại và tương lai của tiền tệ và công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một luồng kỳ khoản.
Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại đều đặn 5000$ mỗi năm, liên tiếp 10 năm sau đó Hỏi rằng với lượng vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì có thể chấp nhận dự án đó với điều kiện lãi suất 10% một năm.
Giải: Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại của luồng thu nhập, ký hiệu là PV(PresentValue),
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Vậy chỉ có thể thực hiện dự án nếu đầu tư ban đầu nhỏ hơn 30723$.
Giả sử người P định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp Theo phương thức này sau một tháng kể từ khi nhận hàng, P phải đều đặn trả mỗi tháng một khoản tiền nhất định, liên tiếp trong 24 tháng Giả sử giá xe máy tại thời điểm P mua là 2500$ (Giá trả ngay) và giả sử lãi suất là 1% một tháng Hỏi với mức trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp của P là chấp nhận được?
Gọi a là khoản tiền phải trả hàng tháng Giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp tại thời điểm hiện tại là:
Việc mua trả góp sẽ tương đương với việc mua trả ngay nếu: P V = 21.24a = 2500, hay a= 117.7$
Vậy chỉ có thể bằng lòng mua trả góp nếu số tiền định kỳ phải trả hàng tháng không vượt quá 117.7$, nếu không thì vay ngân hàng để trả ngay 2500$ có lợi hơn.
Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế
1.4.1 Đạo hàm và giá trị cận biên
Xét mô hình hàm số:y=f(x), trong đó xvà y là các biến số kinh tế Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của y tại một điểm x0 khi x thay đổi một lượng nhỏ Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f 0 (x 0 ) = lim
∆x Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có: f 0 (x 0 )≈ f(x 0 + ∆x)−f(x 0 )
∆x ⇒∆y=f(x 0 + ∆x)−f(x 0 )≈f 0 (x 0 ) ∆x Khi ∆x= 1 ta có∆y≈f 0 (x 0 ). Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 13 Định nghĩa 7 Đạo hàm f 0 (x 0 ) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của y khi x tăng thêm 1 đơn vị tại điểm x 0 Giá trị này được gọi là giá trị y- cận biên của x tại điểm x 0 Đối với một số hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau:
Mô hình hàm sản xuất ngắn hạnQ=f(L),f 0 (L 0 )được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên tại điểm L 0 Giá trị này được ký hiệu là M P P L (Marginal Physical Product of Labor), nó cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động tại điểm L 0
Với mô hình hàm doanh thuT R =T R(Q), T R 0 (Q 0 ) được gọi là doanh thu cận biên tại điểmQ 0 , ký hiệu là MR(Marginal Revenue) Giá trị này cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Đối với hàm chi phí T C = T C(Q) thì T C 0 (Q 0 ) gọi là chi phí cận biên tại điểm Q 0 , ký hiệu là MC(Marginal Cost), MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.
Tương tự, hàm tiêu dùngC =C(Y)thì xu hướng tiêu dùng cận biên làC 0 (Y 0 ), ký hiệu là MPC (Marginal Propensity Consume); Hàm tiết kiệm S =S(Y) thì xu hướng tiết kiệm cận biên làM P S =S 0 (Y 0 )(Marginal Propensity to Save).
Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: Q= 5√
L ở mức sử dụng L = 100 đơn vị lao động, mức sản lượng tương ứng làQ= 50 sản phẩm Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểmL= 100 là:
L = 0.25 Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng tương ứng sẽ tăng khoản 0.25 đơn vị hiện vật.
1.4.2 Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá Để đánh giá độ nhạy cảm của cung, cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn. Định nghĩa 8 Hệ số co dãn của cung (cầu) theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cung (cầu) khi giá tăng 1%.
Giả sử có hàm cầu: Q d = D(p) Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Q d Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là:
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế ε ∆Q d
Q d Chuyển qua giới hạn khi ∆p→ 0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểmp: ε=D 0 (p) p
Tương tự, với hàm cungQs =S(p), hệ số co dãn của cung theo giá được tính theo công thức: ε=S 0 (p) p
Nếu hàm cầu là Q= 1400−p 2 thì hệ số co dãn tại điểm p là ε =D 0 (p) p
Tại điểm p= 20 ta có ε =−0.8 Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0.8%.
1.4.3 Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên
Chúng ta đã biết hàm chi phí T C = T C(Q) biểu diễn tổng chi phí T C ở mỗi mức sản lượng Q Khi phân tích sản xuất, người ta còn sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân trên một đơn vị sản phẩm được định nghĩa là;
Từ đây ta thấy đạo hàm của hàm chi phí bình quân là tỷ số giữa hiệu chi phí cận biên và chi phí bình quân với mức sản lượngQ Do đó:
- NếuM C > AC thì (AC) 0 >0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng.
- Nếu M C < AC thì (AC) 0 < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giảm.
-M C khi và chỉ khi(AC) 0 = 0, tức là chi phí bình quân chỉ có thể đạt cực tiểu tại điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân
Tương tự, doanh thu bình quân AR= T R(Q) Q và doanh thu cận biên M R =T R 0 (Q) liên Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 15 hệ với nhau như sau:
- Nếu M R > ARthì AR 0 (Q)>0, tức là khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân tăng.
- NếuM R < ARthì AR 0 (Q) x , C là hằng số, là nghiệm của phương trình vi phâny=y 0 Vì
(Ce x ) 0 small> x b, Hàm sốy= 1 x là nghiệm của phương trình xdy+ydx= 0 Vì xd
+ 1 xdt = 0 Định lý 1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm).
Cho phương trình vi phân cấp một y 0 = f(x, y) Giả sử f(x, y) xác định, liên tục trong một lân cận V của điểm M 0 (t 0 , y 0 ) và tồn tại hằng số L sao cho:
Khi đó, trong một khoảng (x 0 −δ, x 0 +δ) với δ đủ nhỏ, tồn tại một và chỉ một nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện y=y 0 khi x=x 0 Điều kiện y = y(x) lấy giá trị y 0 khi x = x 0 được gọi là điều kiện ban đầu và viết y| x=x
0 =y 0 Bài toán tìm nghiệm của phương trình y 0 =f(x, y) thỏa mãn điều kiện ban đầu được gọi là bài toán Cauchy.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một y 0 = f(x, y) là một hàm số có dạng y = ϕ(x, C) trong đó C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình vi phân với mọi giá của C Nghiệm riêng của phương trình y 0 =f(x, y) là hàm số y=ϕ(x, C 0 ) mà ta có được bằng cách cho C trong nghiệm tổng quát một giá trị C 0 xác định Phương trình y 0 =f(x, y) có thể có một số nghiệm không nằm trong nghiệm tổng quát, những nghiệm ấy gọi là nghiệm kì dị.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
2.2.1 Định nghĩa. Định nghĩa 11 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình vi phân có dạng y 0 +p(x)y=q(x) hay dy dx +p(x)y =q(x) trong đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục. Đặc biệt nếuq(x) = 0phương trình được gọi làphương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, nếuq(x)6= 0 khi đó phương trình được gọi làphương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 21
2.2.2 Cách giải. a Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
Với q(x) = 0, ta có phương trình y 0 +p(x)y= 0 hay dy dx +p(x)y= 0 (2.1) y 6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho y ta có dy y =−p(x)dx Lấy tích phân hai vế ta được ln|y|=−
Z p(x)dx+ ln|C| với C là hằng số tùy ý.
Do đó y= C.e − R p(x)dx là nghiệm tổng quát của phương trình 2.1 Mặt khác y = 0 cũng là nghiệm riêng của phương trình 2.1ứng với C = 0. b Giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (Phương pháp biến thiên hằng số)
Với q(x)6= 0, ta có phương trình y 0 +p(x)y=q(x)hay dy dx +p(x)y=q(x) (2.2)
+ Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 2.1, có nghiệm tổng quát là y C.e − R p(x)dx
+ Coi C là hàm số của x;C =C(x), ta có y 0 =C 0 (x).e − R p(x)dx +C(x).(−p(x)).e − R p(x)dx
Thay vào phương trình 2.2 ta được
C 0 (x).e − R p(x)dx −C(x).p(x).e − R p(x)dx +C(x).p(x).e − R p(x)dx =q(x)hay C 0 (x) = q(x).e R p(x)dx do đó
C Z q(x).e R p(x)dx dx+K trong đó K là một hằng số tùy ý Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 2.2 là y=e − R p(x)dx
Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của phương trình (x 2 + 1)y 0 +xy = 1 thỏa mãn điều kiện y| x=0 = 2.
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
+ Giải phương trình thuần nhất
(x 2 + 1)y 0 +xy= 0 hay (x 2 + 1)dy dx =−xy hay dy y =− x x 2 + 1dx Lấy tích phân hai vế ta được ln|y|=−1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y= C
√x 2 + 1. + Coi C là hàm số củax ta có y 0 = C 0 (x 2 + 1)−Cx (x 2 + 1)√ x 2 + 1 thay y và y 0 vào phương trình ban đầu ta được
+K trong đó K là hằng số tùy ý Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là y= ln x+√ t 2 + 1 +K
Mặt khác ta có y| x=0 = 2 ⇒K = 2 Vậy nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện y| x=0 = 2 là y= ln x+√ x 2 + 1 + 2
Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân e y dx+ (xe y −1)dy= 0.
Nếu xemy là hàm số phải tìm với biến sốxthì phương trình có dạng(xe y −1)y 0 +e y = 0 phương trình này không có dạng phương trình vi phân tuyến tính.
Nếu xem x là hàm số phải tìm với biến số y ta có phương trình x 0 +x = 1 e y Phương trình này là phương trình vi phân tuyến tính.
Xét phương trình x 0 +x = 0 hay dx dy = −x hay dx x = −dy Lấy tích phân hai vế ta có ln|x|=−y+ ln|C|trong đó C là hằng số tùy ý Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất làx=C.e −y
Coi C là hằng số của y suy ra x 0 = C 0 e −y −C.e −y , thay x và x 0 vào phương trình ban đầu ta đượcC 0 e −y −C.e −y +C.e −y =e −y hay C 0 = 1 hayC =y+K trong đó K là hằng số tùy ý Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho làx= (y+K).e −y
Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân y 0 = x cosy −tany. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 23
Ta có phương trình đã cho không phải là phương trình vi phân tuyến tính. Đặt z(x) = siny ta có z 0 = y 0 cosy , thay vào phương trình đã cho ta được z 0 +z = x. Đây là phương trình vi phân tuyến tính.
Xét phương trìnhz 0 +z = 0 hay dz z =−dx hay ln|z|=−x+ ln|C| hay z =C.e −x trong đó C là hằng số tùy ý.
Coi C là hàm số của xsuy ra z 0 =C 0 e −x −C.e −x , thay z và z 0 vào phương trình trên ta được C 0 e −x −C.e −x +C.e −x = x hay C 0 = x.e x hay C = x.e x −e x +K trong đó K là hằng số tùy ý, do đó nghiệm tổng quát của phương trình trên làz =x−1 +K.e −x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là siny=x−1 +K.e −x
Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 1
2.3.1 Phương trình biến số phân ly.
Phương trình biến số phân ly có dạng f(x)dx=g(y)dy (2.3) trong đó f(t), g(y) là các hàm số liên tục trên miền D nào đó.
Cách giải: Lấy tích phân hai vế của phương trình ta cóR f(x)dx=R g(y)dy Vậy nghiệm tổng quát của phương trình(2.3)làF(x) = G(y) +C trong đóF(x),G(y)là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(y), C là hằng số tùy ý.
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân (1 +x)ydx+ (1−y)xdy= 0.
Giải: Với x6= 0,y6= 0 chia cả hai vế của phương trình choxy ta có
Lấy tích phân hai vế ta được
Z 1 y −1 dy =C hayln|x|+x+ln|y|−y=C Vậy nghiệm tổng quát của phương trình làln|xy|+x−y =C. Ngoài ra x= 0, y = 0 cũng là nghiệm của phương trình.
- Nếu phương trình có dạng f 1 (x).g 1 (y)dx=f 2 (x).g 2 (y)dy (f 2 (x) 6= 0, g 1 (y)6= 0) đưa về dạng phương trình(2.3)bằng cách chia hai vế cho f 2 (x).g 1 (y) ta được x 1 (x) f 2 (x)dx= g 2 (y) g 1 (y)dy
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
- Nếu phương trình có dạng y 0 =f(ax+by) Đặt z =ax+by và xem z là hàm số của xta có z 0 =a+by 0 hay dz dx =a+bdy dx hay dy dx = 1 b dz dx − a b Thay vào phương trình trên ta được
1 b dz dx− a b =f(z) hay dz dx =b.f(z) +a đây là phương trình biến số phân ly.
Ví dụ 2.Giải phương trình dy dx = 2x+y.
Giải: Đặt z = 2x+y suy ra dz dx = 2 + dy dx hay dy dx = dz dx −2 Thay vào phương trình ta có dz dx −2 =z hay dz dx =z+ 2 hay dz z+ 2 =dx Lấy tích phân hai vế ta có ln|z+ 2|=x+ ln|C| hay z+ 2 = C.e x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 2x+y=C.e x −2.
Ví dụ 3 Tìm hàm cầu Q=D(p) biết hệ số co dãn của cầu theo giá là ε=−5p+ 2p 2
Q và lượng cầu ở mức giáp= 10 là 500.
Giải: Từ công thức xác định hệ số co dãn của cầu theo giá, ta có phương trình vi phân: dQ dp p
Ta có nghiệm tổng quát:Q=−p 2 −5p+C Tìm nghiệm riêng vớip= 10 và Q= 500ta xác định được hằng sốC = 650 Vậy nghiệm cần tìm là Q= 650−p 2 −5p
2.3.2 Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất).
Phương trình đẳng cấp có dạng y 0 =fy x
(phương trình này không đổi khi ta thay(x, y) bởi (kx, ky) với k là hằng số).
Cách giải: Đặt u= y x trong đó u là hàm số của x Ta có y=ux suy ra y 0 =u 0 x+u=f(u) hay xu 0 =f(u)−u hay xdu dx =f(u)−u
Nếuf(u)−u6= 0, ta có dx x = du f(u)−u Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 25 đây là phương trình vi phân với biến số phân ly Lấy tích phân hai vế ta được ln|x|Z du f(u)−u =φ(u) + ln|C| trong đó φ(x)là nguyên hàm của hàm số 1 f(u)−u Do đó x=C.e φ(x) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 2.4 làx=C.e φ y x
Nếu f(u)−u = 0 thì phương trình có dạng y 0 = y x Nghiệm tổng quát của phương trình 2.4 lày=Cx.
Ví dụ 1.Giải phương trình y 0 = x+ay ax−y. Giải:Ta có y 0 1 +ay x a− y x Đặtu= y x hay y=ux suy ra y 0 =u 0 x+u Thay vào phương trình ta được u+xu 0 = 1 +au aưu hay xdu dx = 1 +au aưu ưu hay dx x = aưu
1 +u 2 du Lấy tích phân hai vế ta có ln|x|Z aưu
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là x q
Phương trình có dạngy 0 =f a 1 x+b 1 y+c 1 a 2 x+b 2 y+c 2 trong đóa1, a2, b1, b2, c1, c2 là các hằng số.
+ Nếu a1 a 2 = b1 b 2 =k đặt z(x) =a2x+b2y và đưa phương trình về dạng phương trình biến số phân ly.
+ Nếu a1 a 2 6= b1 b 2 ta biến đổi phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bằng cách:
- Giải hệ phương trình a 1 x+b 1 y+c 1 = 0 a 2 x+b 2 y+c 2 = 0 , ta tìm được (x 0 , y 0 ).
- Đặt x=t+x0 y =u+y 0 ⇒ dx=dt dy=du ⇒ dy dx = du dt Thay vào phương trình ta được du dt =f a 1 t+b 1 u a 2 t+b 2 u
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế hay u 0 =f
=f u t Đây là phương trình đẳng cấp.
Ví dụ 2.Giải phương trình (x+y−3)dy−(x−y+ 1)dx= 0.
Giải:Giải hệ x+y−3 = 0 x−y+ 1 = 0 có nghiệm duy nhất x 0 = 1 y 0 = 2 Đặt x=t+ 1 y=u+ 2 ⇒ dx=dt dy=du thay vào phương trình ta có
(t+ 1 +u+ 2ư3)duư(t+ 1ưuư2 + 1)dt= 0 hay du dt = tưu t+u hay u 0 1− u t
1 + u t Đặt u t =z hay u = zt⇒u 0 =z 0 t+z thay vào phương trình trên ta có z 0 t+z = 1−z
1−2z−z 2 dz = dt t Lấy tích phân hai vế ta được
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
Là phương trình vi phân có dạng y 0 +p(x)y=q(x)y α (2.5) trong đó α 6= 0, α 6= 1 (nếu α = 0, α = 1 phương trình có dạng phương trình vi phân tuyến tính).
Cách giải: Với y6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho y α ta được y −α y 0 +p(x)y 1−α =q(x) Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 27 Đặtz =y 1−α ta có z 0 = (1−α)y −α y 0 thay vào phương trình ta được z 0 + (1−α)p(x)z = (1−α)q(x) Đây là phương trình vi phân tuyến tính.
Mặt khác y= 0 cũng là một nghiệm của phương trình 2.5.
Ví dụ Giải phương trình y 0 + y x =x 2 y 4 Giải:
+ Vớiy6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho y 4 ta có y −4 y 0 + y −3 x =x 2 Đặt z = y −3 ta có z 0 =−3y −4 y 0 thay vào phương trình trên ta được −z 0
3 + z x =x 2 , đây là phương trình tuyến tính.
3 +z x = 0 hay dz z = 3dx x Lấy tích phân hai vế ta được ln|z|= 3 ln|x|+ ln|C| ⇒z =C.x 3
Coi C là hàm số của x suy raz 0 =C 0 x 3 + 3Cx 2 thay vào phương trình tuyến tính ta được
C 0 =−3 x ⇒C =−3 ln|x|+K do đó nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính làz =Kx 3 −3x 3 ln|x| Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
+ Mặt khácy = 0 cũng là một của phương trình.
2.3.4 Phương trình vi phân toàn phần.
Là phương trình vi phân có dạng
P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 (2.6) trong đó P(x), Q(x) là các hàm số liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền đơn liên D thỏa mãn điều kiện
∂x Khi đóP (x, y)dx+Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm số u(x, y) nào đó, tức là du(x, y) = P (x, y)dx+Q(x, y)dy
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Cách giải: Với D=R 2 , hàm số u(x, y) được xác định bởi công thức u(x, y) x
Q(x, y)dy trong đó (x 0 , y 0 ) là điểm thuộc miền D.
Vậy tích phân tổng quát của phương trình 2.6 là x
Ví dụ 1.Giải phương trình (3x 2 + 6xy 2 )dx+ (6x 2 y+ 4y 3 )dy= 0.
Giải:Ta có P(x, y) = 3x 2 + 6xy 2 , Q(x, y) = 6x 2 y+ 4y 3 suy ra
P(x, y)dx+Q(x, y)dy là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số u(x, y) Chọn x0 =y0 = 0 ta có x
Chú ý Có những trường hợp phương trình (2.6) không phải là phương trình vi phân toàn phần, nhưng ta có thể chọn hàm sốα(x, y) sao cho phương trình α(x, y)P (x, y)dx+α(x, y)Q(x, y)dy = 0 (2.7) trở thành phương trình vi phân toàn phần, tức là
Khi đó hàm số α(x, y) được gọi là thừa số tích phân của phương trình vi phân (2.6). Nghiệm tổng quát của phương trình (2.7) cũng là nghiệm tổng quát của phương trình Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 29
Cách tìm thừa số tích phân. Ở đây ta chỉ đề cập đến trường hợp thừa số tích phân là hàm số một biếnxhoặc biến y.
Ví dụ 2.Giải phương trình ydx−(4x 2 y+x)dy = 0.
Giải:Ta có P(x, y) = y, Q(x, y) = −(4x 2 y+x) suy ra
Nhân hai vế của phương trình với 1 x 2 ta có y x 2 dx−
∂x Vậy P (x, y)dx+Q(x, y)dy là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số u(x, y) Chọn x 0 = 1, y 0 = 0 ta có tích phân tổng quát của phương trình là x
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
2.4 Một số mô hình phương trình vi phân cấp 1 trong phân tích kinh tế
2.4.1 Phân tích định tính quỹ đạo thời gian của một số biến số kinh tế bằng phương pháp đồ thị
Một trong các đề tài quan trọng của kinh tế học là phân tích xu hướng vận động của các biến số kinh tế theo thời gian Giả sử quy luật vận động của biến số y theo thời gian t được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân cấp 1: dy dt =f(t, y) (2.8)
Nghiệm y=y(t) của phương trình (2.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(0) =y 0 được gọi là quỹ đạo thời gian của biến số y Việc phân tích định lượng quỹ đạo thời gian chỉ có thể thực hiện được khi ta giải được phương trình vi phân (2.8) và biểu diễn nghiệm của nó dưới dạng hàm hiện Phương pháp định tính dưới đây cho phép ta phân tích quỹ đạo thời gian của biến sốy ngay cả khi không tìm được nghiệm của phương trình (2.8) dưới dạng hiện.
Xét trường hợp vế phải của phương trình (2.8) khuyết biến số t: dy dt =f(y) (2.9)
Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân otonom Trong trường hợp này ta có thể phân tích xu hướng vận động theo thời gian của biến số y thông qua hàm sốf(y) ở vế phải. a, Biểu đồ pha
Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn biến số yvà trục tung biểu diễn biến số y 0 , ta lập đồ thị hàm số (2.9) Đồ thị đó được gọi làđường pha Ta đã biếty 0 cho biết xu hướng tăng giảm củay theot, do đó xu hướng vận động củay theo thời gian có thể được xác định theo quy tắc sau:
• Tại những điểm của đường pha nằm trên trục hoành, y 0 nhận giá trị dương, do đó y tăng theo thời gian.
• Tại những điểm của đường pha nằm dưới trục hoành, y 0 nhận giá trị âm, do đó y giảm theo thời gian.
• Tại giao điểm (y,0) của đường pha với trục hoành,y 0 = 0.
Ta gọiy là trạng thái tĩnh, hay trạng thái cân bằng của biến số y Trạng thái cân bằng tồn tại khi và chỉ khi đường pha cắt trục hoành. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 31
Hai trường hợp thường gặp của biểu đồ pha được thể hiện như hình dưới đây.
Hình 2.2: Đường pha 2 b, Quỹ đạo thời gian và tính ổn định động của trạng thái cân bằng
Dựa vào biểu đồ pha chúng ta có thể phân tích định tính quỹ đạo thời gian của biến số y Để minh hoạ, ta biểu diễn quỹ đạo thời gian tương ứng với hai biểu đồ pha trên Trục hoành biểu diễn thời gian t, trục tung biểu diễn biến số y, đường thẳng y =y biểu diễn trạng thái cân bằng.
Quỹ đạo thời gian tương ứng với biểu đồ pha ở hình 2.1 được minh hoạ ở hình 2.3 Nếu tại thời điểm xuất pháty nhận giá trị y1 < y (y=y1 khi t= 0) thì điểm tương ứng trên đường pha nằm phía trên trục hoành, do đóy tăng theo thời gian và tiến dần đến trạng thái cân bằng y Nếu tại thời điểm xuất phát y nhận giá trị y 2 > y thì điểm tương ứng trên đường pha nằm phía dưới trục hoành, do đó y giảm theo thời gian và tiến dần đến trạng thái cân bằng y Như vậy trong trường hợp này mọi quỹ đạo thời gian của biến số y đều hội tụ đến trạng thái cân bằng, điều này có nghĩa là: t→∞lim y(t) = ¯yTrong trường hợp này người ta nói rằng trạng thái cân bằng y ổn định động và y được gọi là trạng thái ổn định.
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Phương trình vi phân cấp 2
2.5.1 Khái quát chung về phương trình vi phân thường cấp 2 a Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng
Phương trình vi phân thường cấp 2 có dạng tổng quát như sau:
F(x, y, y 0 , y 00 ) = 0 (2.21) trong đó F là một hàm số của 4 biến số x, y, y 0 , y 00
Dạng đã giải theo đạo hàm cấp 2: y 00 =f(x, y, y 0 ) (2.22)
Việc giải phương trình vi phân cấp 2 thường phải qua hai lần lấy tính phân bất định, do đó nghiệm của nó có dạng y=ϕ(x, C 1 , C 2 ) (2.23) Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 39
Họ hàm số (2.23) được gọi là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân thường cấp
2 nếu khi gán cho mỗi C 1 , C 2 các giá trị bất kỳ ta được một nghiệm của phương trình. Mỗi nghiệm ứng với các giá trị cụ thể củaC 1 , C 2 được gọi là các nghiệm riêng của phương trình.
Ví dụ: Phương trìnhy 00 = 2x có thể giải như sau:
3x 3 +C 1 x+C 2 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y= 1
Từ nghiệm tổng quát ta có các nghiệm riêng, chẳng hạn: y= 1 3 x 3 (khi C 1 =C 2 = 0) y= 1 3 x 3 +x+ 1 (khi C 1 =C 2 = 1),v.v b Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy trong trường hợp phương trình vi phân cấp 2 được đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (2.22) thoả mãn các điều kiện: y=y 0 , y 0 =y 0 0 (2.24)
Với y 0 và y 0 0 là giá trị tại điểm x=x 0 cho trước. Điều kiện (2.24) được gọi là điều kiện ban đầu Chú ý rằng điều kiện ban đầu bao gồm giá trị riêng của nghiệm và giá trị của đạo hàm của nó tại một điểmx 0 cho trước Bộ ba số thực(x 0 , y 0 , y 0 0 ) được gọi là bộ giá trị ban đầu.
Khi đã tìm ra nghiệm tổng quát của phương trình (2.22), để tìm nghiệm riêng thoả mã điều kiện ban đầu (2.24) ta tìm C 1 , C 2 từ hệ 2 phương trình: ϕ(x 0 , C 1 , C 2 ) = y 0 , ϕ 0 (x 0 , C 1 , C 2 ) =y 0 0
Ví dụ: Nghiệm tổng quát của phương trìnhy 00 = 2x là: y= 1
3x 3 +C 1 x+C 2 Đạo hàm của nghiệm tổng quát lày 0 =x 2 +C 1 Để tìm nghiệm thoả mãn điều kiện y(1) = 1, y 0 (1) = 2 ta giải hệ phương trình:
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Nghiệm riêng thoả mãn điều kiện đã cho là: y= 1
3 Định lý sau đây được gọi là định lý tồn tại và duy nhất đối với phương trình vi phân cấp 2: Định lý 2 Giả sử hàm số f(x, y, y 0 ) ở vế phải của phương trình (2.22) xác định, liên tục trong một lân cận V của điểm M 0 (x 0 , y 0 , y 0 0 ) và tồn tại các hằng số K, L sao cho:
Khi đó, trong một khoảng (x 0 −δ, x 0 +δ) với δ đủ nhỏ tồn tại một và chỉ một nghiệm của phương trình (2.22) thoả mãn điều kiện ban đầu (2.24).
2.5.2 Một số phương trình vi phân giải được bằng phương pháp hạ cấp
Xét phương trình vi phân cấp 2: y 00 =f(x, y, y 0 ) (2.25) a Dạng 1: Vế phải (2.25) không phụ thuộc y,y 0
Ví dụ: Giải phương trìnhy 00 =x 2 +xe x + 1
3 +xe x −e x +C 1 dx= x 12 4 + x 2 2 +xe x +C 1 x+C 2 b Dạng 2: Vế phải (2.25) không phụ thuộc y
Phương pháp giải: Đặty 0 =z(x) Suy ra y 00 =z 0
Thay vào phương trình ta được z 0 = f(x, z) Đây là phương trình vi phân cấp 1 Giải phương trình để tìmz, sau đó tìm y.
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y 00 =x− y 0 x Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 41
Giải: Đặt y 0 = z được y 00 = z 0 , suy ra phương trình: z 0 = x− z x ⇔ z 0 + z x = x Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Nghiệm:z =e −
Do đóy 0 = x 3 2 + C x 1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y = x 3
9 +C 1 lnx+C 2 c Dạng 3: Vế phải (2.25) không phụ thuộc x
Phương pháp giải: Đặty 0 =p, quan niệmylà biến,plà hàm của biếny, ta có:y 00 = dy dx 0 dp dx = dp dy dx dy = p 0 p Thay vào phương trình ta được pp 0 = f(y, p) Đây là phương trình vi phân cấp 1 đối với hàm p Giải phương trình này tìm ra p, rồi tìm được y.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân cấp 2: yy 00 −y 02 = 0
Giải: Đặty 0 =p(y), có y 00 =pp 0 , thay vào phương trình ta có:ypp 0 −p 2 = 0 a,p= 0, suy ra y 0 = 0,y=C 1 là nghiệm. b,yp 0 =p hay dp p = dy y
⇔p=C 1 y Thayp=y 0 ta có y 0 =C 1 y ⇔ dy y =C 1 dx⇔R dy y =R
C 1 dx+ lnC 2 Nghiệm tổng quát: y=C 2 e C 1 x
2.5.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 a Định nghĩa
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng: y 00 +p(x)y 0 +q(x)y=f(x) (2.26) trong đó p(x), q(x), f(x) là các hàm liên tục
Nếuf(x) = 0 thì phương trình y 00 +p(x)y 0 +q(x)y= 0 (2.27) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất.
Nếu f(x) 6= 0 thì phương trình (2.26) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Đặc biệt, nếu trong đóp(x), q(x)là các hằng số thì phương trình (2.26) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số. b Các định lý về cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 Định lý 3 Nếu y 1 (x) ;y 2 (x) là hai nghiệm của phương trình (2.27) thì y =C 1 y 1 (x) +
C 2 y 2 (x) cũng là một nghiệm của phương trình (2.27) Đặc biệt nếu y 1 (x) ;y 2 (x) là hai
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế nghiệm độc lập tuyến tính của (2.27) thìy=C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x) là nghiệm tổng quát của (2.27)
1 Hai hàm số y 1 (x) và y 2 (x) được gọi là độc lập tuyến tính nếu y 1 (x) y 2 (x)k 6=const
2 Đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có hệ số thay đổi, không có phương pháp chung để tìm được hai nghiệm độc lập tuyến tính của nó Tuy nhiên người ta có thể tìm được nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với một nghiệm khác không cho trước. Định lý 4 Nếu biết một nghiệm riêng y 1 (x) 6= 0 của (2.27) thì ta có thể tìm được nghiệm riêng thứ hai y2(x)của (2.27) độc lập tuyến tính với y1(x)bằng cách đặt y2(x) y 1 (x)u(x)
Chú ý: Để tìm nghiệm riêng thứ hai ta có thể sử dụng công thức Liouville: y2(x) = y1(x)
Z e − R p(x)dx y 1 2 (x) dx Định lý 5 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.26) bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (2.27) cộng với một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.26) Định lý 6 (Nguyên lý chồng chất nghiệm)
Nếu vế phải của phương trình (2.26) được viết dưới dạngf(x) n
P i=1 f i (x)và y i ∗ là nghiệm riêng của phương trình y 00 +p(x)y 0 +q(x)y=f i (x) (i = 1, n) thì y ∗ n
P i=1 y i ∗ là nghiệm riêng của phương trình (2.26) Định lý 7 (Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)
Nếu y 1 (x), y 2 (x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2.27) thì một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.27) là y ∗ = C1(x)y1(x) +
C 2 (x)y 2 (x) trong đó C 1 (x) ;C 2 (x) là nghiệm của hệ:
1 Các ví dụ về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (x 2 + 1)y 00 −2xy 0 + 2y = 0 biết một nghiệm Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 43 riêngy 1 =x
Giải: Theo công thức Liouville ta có nghiệm riêng thứ hai y 2 (x) độc lập tuyến tính với y 1 (x) đươc xác định: y 2 (x) =xR x 2 +1 x 2 dx=x x− 1 x
=x 2 −1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình cần giải là: y=C 1 x+C 2 x 2 −1
1−x là nghiệm của phương trình vi phân: x(x−1) 2 y 00 + x(x−1)y 0 −y= 0 Từ đó tìm nghiệm tổng quát của phương trình.
(1−x) 3 Thay vào phương trình ta được đồng nhất thứcx(x−1) 2 (1−x) 2β 3 +x(x−1) (1−x) β 2 −α− 1−x β = 0 hay(α+β)x−(α+β) = 0⇒ α=−β Chọn α= 1 ta được nghiệm riêng của phương trình cần giải: y 1 = 1− 1
1−x = x x−1 Áp dụng công thức Liouville: y 2 = x x−1
2.5.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng a Dạng tổng quát y 00 +a 1 y 0 +a 2 y=f(x) (2.28) Để giải phương trình (2.28) người ta giải phương trình thuần nhất tương ứng y 00 +a 1 y 0 +a 2 y= 0 (2.29)
Sau đó dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất Trong một số trường hợp việc tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.29) được quy về giải các phương trình đại số Dưới đây ta chỉ đề cập các trường hợp đặc biệt ấy. b Tìm nghiệm
Giả sử nghiệm của (2.29) có dạngy=e kx Khi đó thay vào (2.29) ta được phương trình, gọi là phương trình đặc trưng của (2.29). k 2 +a 1 k+a 2 = 0 (2.30)
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Các khả năng có thể xảy ra đối với cấu trúc nghiệm của phương trình đặc trưng và cấu trúc nghiệm của phương trình thuần nhất (2.29) là:
Nếu (2.30) có hai nghiệm thực phân biệt k 1 6= k 2 thì nghiệm tổng quát của (2.29) là y=C 1 e k 1 x +C 2 e k 2 x
Nếu (2.30) có nghiệm kép k 0 thì nghiệm tổng quát của (2.29) là y=e k 0 (C 1 +C 2 x) Nếu (2.30) có nghiệm phức k=α±iβ thì nghiệm tổng quát của (2.29) là y=e αx (C 1 cosβx+C 2 sinβx)
Ví dụ: Giải các phương trình sau y 00 −5y 0 + 6y = 0 y 00 −4y 0 + 4y = 0 y 00 + 4y= 0
Sau khi tìm được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (2.29), ta đi tìm một nghiệm riêng của (2.28) Việc nhẩm nghiệm được tiến hành trong các trường hợp sau đây: a/ Trường hợpf(x) = e αx P n (x)trong đó α là hằng số,P n (x) là đa thức bậc n.
Trường hợp 1: Nếuα không là nghiệm của phương trình đặc trưng (2.30) Khi đó phương trình (2.28) có một nghiệm riêng có dạng y=e αx Q n (x)trong đó Q n (x)là đa thức cùng bậc với Pn(x) Các hệ số của Qn(x) được xác định bằng cách thay nghiệm riêng vào phương trình (2.28) và đồng nhất hệ số hai vế.
Trường hợp 2: Nếuα là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng Xác định nghiệm riêng có dạng: y=xe αx Q n (x)
Trường hợp 3: Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng Xác định nghiệm riêng có dạng: y=x 2 e αx Q n (x)
Ví dụ: Giải các phương trình sau: y 00 −2y 0 +y= 1 +x y 00 −3y 0 + 2y =e x (3−4x) y 00 −4y 0 + 4y = 4e 2x y 00 +y=xe x + 2e −x b/ Trường hợpf(x) = e αx (P n (x) cosβx+Q m (x) sinβx)
Trường hợp 1: Nếu α ±iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (2.28) có dạng y = e αx (Hs(x) cosβx+Ls(x) sinβx) trong đó
H s (x), L s (x)là các đa thức bậc s=max(m,n) có các hệ số cần xác định.
Trường hợp 2: Nếu α±iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (2.28) có dạngy=xe αx (H s (x) cosβx+L s (x) sinβx)
Ví dụ: Giải các phương trình sau: y 00 +y= 4xsinx y 00 −2y 0 = 2cos 2 x Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 45
Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 trong phân tích kinh tế
cấp 2 trong phân tích kinh tế
2.6.1 Điều kiện ổn định động
Giả sử quy luật vận động theo thời giant của biến sốy được thiết lập dưới dạng phương trình: y 00 +py 0 +qy =r (2.31)
Trạng thái cân bằngy = ¯y là một nghiệm riêng của phương trình (2.31) Trạng thái cân bằngy¯tồn tại khi và chỉ khiq 6= 0 Khi đó: ¯ y= r q Điều kiện ổn định động của trạng thái cân bằngy¯là điều kiện để mọi quỹ đạo thời gian hội tụ đếny.¯ Định lý 8 Trạng thái cân bằng y¯ ổn định động khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng k 2 +pk+q= 0 đều có phần thực là số âm.
2.6.2 Mô hình thị trường với kỳ vọng giá
Khi xét biến thời gian t liên tục, thông tin về xu hướng giá P(t) có thể biết được thông quaP 0 (t) (giá tăng hay giảm) và P 00 (t) (tốc độ tăng giảm) Các thông tin đó có thể ảnh hưởng đến quyết định của người tiêu dùng và nhà sản xuất Chẳng hạn nếu cho rằng trong tương lai gần, giá một loại hàng hoá sẽ tăng thì người tiêu dùng sẽ mua nhiều hơn hàng hoá đó Để xem xét ảnh hưởng của kỳ vọng giá (nhận định về xu hướng thay đổi của giá cả trên thị trường) đối với lượng cung và lượng cầu người ta xem xét hàm cung và hàm cầu dưới dạng:
Quỹ đạo thời gian của giá thị trường (giá cân bằng cung cầu) được thiết lập dưới dạng phương trình vi phân cấp 2:
Nếu hạn chế ở mô hình tuyến tính và đơn giản hoá các ký hiệu ta có thể viết:
Q s =−c+dP +γP 0 +δP 00 Để cho đơn giản ta giả thiết rằng chỉ có hàm cầu chứa kỳ vọng giá, tức làγ =δ = 0 Khi đó phương trình (2.32) có dạng:
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Trạng thái cân bằng là:
P¯ = a+c b+d Dựa vào định lý về điều kiện ổn định động của trạng thái cân bằng ta có thể rút ra một số kết luận khái quát về tính ổn định động của trạng thái cân bằng như sau
• Nếu β > 0 thì phương trình đặc trưng có hai nghiêm thực trái dấu, do đó trạng thái cân bằng P¯ không ổn định
• Nếu β 0 trong đó lượng cungQ s và lượng cầu Q d là các hàm số biến số t (thời gian).
Trong mô hình nói trên ta bỏ qua lượng hàng hoá tồn đọng khi có sự dư cung Vấn đề đặt ra là không chỉ lượng dư cung hiện thời mà cả lượng hàng tồn đọng chưa bán được cũng gây áp lực hạ giá Để biểu diễn ý tưởng này ta xét mô hình: dP dt =α(Q d −Q s )−β t
[Q s (x)−Q d (x)]dx (2.34) trong đó α và β là các hằng số dương.
Từ (2.34) ta có: d 2 P dt 2 =α(dQ d dt −dQ s dt )−β[Q s (x)−Q d (x)]
Giả sử hàm cung và hàm cầu là các hàm tuyến tính:
Q s =−c+dP,(C >0, d >0) Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 47
⇔ d 2 P dt 2 +α(b+d)dP dt +β(b+d)P =β(a+c) (2.35) Quỹ đạo thời gian của giá cả được thiết lập gián tiếp dưới dạng phương trình vi phân (2.35) Với giả thiếta, b, c, d, α, β là các hằng số dương, các hệ số của phương trình (2.35) dương, do đó phương trình đặc trưng hoặc có các nghiệm thực âm, hoặc có các nghiệm phức với phần thực âm Trạng thái cân bằng
P¯ = a+c b+d ổn định động Dù xuất phát ở trạng tháiP 0 =P(0)nào, giá thị trường sẽ được điều chỉnh dần đến trạng thái cân bằng.
BÀI TẬP
Bài tập 1.Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau.
Bài tập 2.Giải các phương trình vi phân biến sô phân ly sau.
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Bài tập 3.Giải các phương trình vi phân đẳng cấp sau.
10, y+p x 2 +y 2 dx−xdy = 0 thỏa mãn y| x=1 = 0 Bài tập 4.Giải các phương trình vi phân Becnuly sau.
Bài tập 5.Giải các phương trình vi phân toàn phần sau.
1 xcosy x − x y 2 sinx y + 1 y 2 dy= 0 Bài tập 6.Giải các phương trình vi phân toàn phần sau bằng phương pháp thừa số tích Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 49 phân.
5,(xcosy−ysiny)dy+ (xsiny+ycosy)dx = 0
Bài tập 7.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
Bài tập 8.Dùng nguyên lý chồng chất nghiệm, tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
Bài tập 9.Tìm điểm cân bằng và xét sự ổn định tại điểm cân bằng của quỹ đạo nghiệm các phương trình sau:
Bài tập 10 Giả sử mô hình thị trường với kỳ vọng giá được xây dựng dưới dạng các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 dưới đây Tìm điểm cân bằng và nhận xét về tính ổn định của trạng thái cân bằng trong mỗi trường hợp.
Bài tập 11.Cho mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hoá tồn đọng dưới dạng phương trình d 2 p dt 2 = 0.25 dQ d dt −dQ s dt
Giả sử hàm cung và hàm cầu là các hàm tuyến tính:
Xác định trạng thái giá cân bằng và tính ổn định động tại trạng thái cân bằng đó. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 51