Bài giảng Toán kinh tế cung cấp cho sinh viên về một số dạng toán quy hoạch tuyến tính, cách xây dựng mô hình toán học cho một số bài toán thực tế - những hiện tượng kinh tế rất thường gặp sản xuất kinh doanh và các cách đưa bài toán QHTT tổng quát về dạng chính tắc. Trên cơ sở đó để tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!
Trang 2UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
TOÁN KINH TẾ
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CĐ KẾ TỐN- CĐ QTKD)
(SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT))
TỔ BỘ MƠN: TỐN - LÝ
Đồng Tháp – 2017
Trang 3LỜI NÓI ĐẦU
1 Đối tượng sử dụng
Tài liệu toán kinh tế dùng cho sinh viên khối ngành kinh tế, các ngành kế toán, quản trị kinh doanh, và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài giảng xem như một tài liệu tham khảo
2 Cấu trúc bài giảng
Bài giảng toán kinh tế được biên soạn theo đề cương môn học đã được hội đồng khoa học trường thông qua với 30 tiết bao gồm các chương:
Chương 0 Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính
Chương 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính
Chương 2 Phương pháp đơn hình
Chương 3 Bài toán đối ngẫu
Chương 4 Bài toán vận tải Bài toán thế vị
3 Mục tiêu môn học
Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn của Tối ưu hóa, được áp dụng trong kinh tế và nhiều ngành khoa học khác cả lý thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết quả đạt được Kiến thức về quy hoạch tuyến tính rất cần cho sinh viên ở bậc đại học, cao đẳng nói chung và khối ngành kinh tế nói riêng Mục tiêu cụ thể của môn học:
Cung cấp cho sinh viên về một số dạng toán quy hoạch tuyến tính, cách xây dựng mô hình toán học cho một số bài toán thực tế - những hiện tượng kinh tế rất thường gặp sản xuất kinh doanh và các cách đưa bài toán QHTT tổng quát về dạng chính tắc Trên cơ sở đó để tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất
Cung cấp cho sinh viên về cơ sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ đó có thể giúp sinh viên giải quyết các bài toán để tìm được tính tối ưu của từng bài toán cho phù hợp
Giới thiệu cho sinh viên về bài toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu
Giới thiệu cho sinh viên về bài toán vận tải, ý nghĩa kinh tế của bài toán vận tải Các phương pháp giải các bài toán vận tải tổng quát và các bài toán vận tải đặc biệt
4 Phương pháp giảng dạy
Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra
Nghe giảng lý thuyết : 28 tiết
Kiểm tra : 2 tiết
Tự học : 60 tiết
Trang 4MỤC LỤC
MỤC LỤC i
Chương 0 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1
0.1 Ma trận 2
0.1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận 2
0.1.2 Định thức 9
0.1.3 Ma trận nghịch đảo 11
0.1.4 Hạng của ma trận 12
0.2 Vectơ 13
0.2.1 Vectơ 13
0.2.2 Không gian vectơ 14
0.2.3 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính 15
BÀI TẬP CHƯƠNG 0 17
Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 18
1.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT 19
1.2 Phân loại dạng bài toán 23
1.2.1 Dạng tổng quát 24
1.2.2 Dạng chính tắc 25
1.2.3 Dạng chuẩn 26
1.3 Biến đổi dạng bài toán 27
1.3.1 Đưa một bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc 27
1.3.2 Khái niệm tập hợp lồi, điểm cực biên, phương án cực biên 29
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 32
Chương 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 36
2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp đơn hình 37
2.2 Thuật toán đơn hình với vectơ đơn vị có sẵn 38
2.2.1 Trường hợp f x( ) → min 38
Trang 52.2.2 Trường hợp f x( )→ max 40
2.3 Thuật toán đơn hình với vec tơ đơn vị không có sẵn (Bài toán mở rộng) 45
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 53
Chương 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 56
3.1 Khái niệm 57
3.1.1 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng chính tắc 57
3.1.2 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng tổng quát 58
3.2 Quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu 59
3.2.1 Các định lý đối ngẫu 59
3.2.2 Tìm P.A.T.Ư của bài toán đối ngẫu qua P.A.T.Ư của bài toán gốc 60 3.3 Ý nghĩa bài toán đối ngẫu 63
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 65
Chương 4 BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN THẾ VỊ 67
4.1 Bài toán vận tải cân bằng thu phát (bài toán cổ điển) 68
4.1.1 Thiết lập bài toán 68
4.1.2 Đặt bài toán dưới dạng bảng 69
4.1.3 Các tính chất 70
4.2 Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải cân bằng thu phát 71
4.2.1 Lập phương án cơ bản ban đầu 71
4.2.2 Thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn” 73
4.2.3 Phương pháp thế vị 77
4.3 Bài toán vận tải có ô cấm 80
4.4 Bài toán vận tải không cân bằng thu phát 82
4.5 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức 84
4.5.1 Định nghĩa 84
4.5.2 Điều kiện tối ưu 85
4.5.3 Cách giải 85
Trang 6BÀI TẬP CHƯƠNG 4 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91
Trang 7Chương 0 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mục đích yêu cầu
Nhằm củng cố các kiến thức về đại số tuyến tính cho sinh viên để có thể vận dụng tốt và linh hoạt vào các chương sau Sau khi học xong chương này, Sinh viên cần đạt được:
- Sử dụng thành thạo các phép toán của ma trận: phép toán cộng, trừ, nhân
- Tính được định thức của một ma trận cấp 2, cấp 3, …, cấp n theo công thức,
qui tắc Laplace hay bằng phép biến đổi sơ cấp
- Thành thạo kỹ năng “phép biến đổi sơ cấp trên ma trận”, từ đó rút ra phương
pháp tìm hạng của ma trận bất kỳ
- Áp dụng giải các hệ phương trình tuyến tính bằng hai phương pháp cơ bản:
Cramer và Gauss
- Cần hiểu rõ cấu trúc không gian vectơ V, cách xác định một hệ độc lập độc lập
tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
- Làm được các bài tập tương tự
Trang 8a : là phần tử (hay số hạng) nằm ở dòng (hay hàng) i, cột j của A
( , )m n : được gọi là kích thước của A
j j j
mj
a a A
Trang 9Đường chéo của A là {1, 7},
Đường chéo của B là {0, -2, 2}
Trang 101 1
: i m
m
a a
a
a
(0.1.5)
e) Ma trận tam giác và ma trận chéo
Ma trận vuông là ma trận tam giác, nếu các phần tử ở một phía đường chéo bằng 0
* Ma trận A =(a ij n) được gọi là ma trận tam giác trên nếu a ij = 0 (i > j)
* Ma trận A =(a ij n) được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a ij = 0 (i < j)
* Ma trận A = (a ij n n) × được gọi là ma trận tam giác chéo nếu a ij = 0(i ≠ j)
(các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0)
Trang 11Khi:a a a11 22 33 a r r ≠ , ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa 0
Trang 12(0.1.10) b) Phép hiệu hai ma trận
Hiệu hai ma trận A =(a ij m n) × , B =( )b ij m n× là ma trận C = ( )c ij m n× có các phần tử tính bằng công thức:
(0.1.11)
c) Phép nhân một số thực với ma trận
Tích của số thực k với ma trận A = ( )a ij m n× là ma trận C =kA = ( )c ij m n× có các phần tử được tính bằng công thức:
Trang 13Ví dụ 11: Một người có hai cửa dòng bán dòng tin học Số lượng dòng hóa bán ra
trong tháng thứ nhất và tháng thứ hai cho bởi hai ma trận A và B Tìm lượng dòng hóa bán trong cả hai tháng của người đó
?
Trang 14Tích của hai ma trận Cho ma trận A =(a ij m n) × , B =(b jk n p) × là một ma trận
=
?
Trang 15+ Định thức cấp 3 là tổng đầu gồm 3 tích số lấy theo đường chéo chính và 2 đường song song với nó nhân với phần tử đối diện Tổng sau cùng cũng gồm 3 tích số nhưng lấy theo đường chéo còn lại và 2 đường song song với nó nhân với phần tử đối diện
Trang 16Trong đó: M là ma trận vuông nhận từ A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j ij
Đặt A ij = −( 1)i j+ det(M ij), ta gọi là phần bù đại số của phần tử a ij
Khi đó, ta có công thức khai triển định thức A theo dòng thứ i :
n n
Trang 17Giải Khai triển theo dòng 1, ta có:
3 6
−1.( 6) 4.( 3) ( 3).36 126
(khai triển theo dòng 1)
Nhận xét: Do giá trị định thức không đổi dù ta khai triển theo dòng (cột) bất kỳ nên
khi thực hành ta chọn những dòng (cột) có nhiều số 0 nhất rồi khai triển theo dòng (cột) đó
0.1.3 Ma trận nghịch đảo
* Định nghĩa Ma trận vuông A cấp n được gọi là ma trận không suy biến khi
và chỉ khi A ≠0
* Định nghĩa Cho ma trận vuông A cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp
n sao cho AB =BA =I n thì B được gọi là nghịch đảo của A (hoặc A khả nghịch)
2 1
2 - 7
2 1
2 - 7
0 1
2 - 7
2 1
0 1
* Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch ⇔ detA ≠ 0
Trang 180.1.4 Hạng của ma trận
0.1.4.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A
Ký hiệu: rank A( ) hay ( )r A
Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang (không nhất thiết là ma trận bậc thang rút
gọn theo dòng) tương đương ma trận A được gọi là hạng của ma trận A
0.1.4.2 Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp
Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận
Để tính hạng của ma trận A ta thường dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về ma trận B có dạng:
Biến đổi sơ cấp
i) Đổi chỗ hai hàng cho nhau (h ↔ i h j) ii) Nhân một hàng với một số k ≠ 0
iii) Cộng một hàng với k lần hàng khác(h + i k.h j)
Trang 20m
y y y y
Ta gọi V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ (hay
không gian tuyến tính) nếu 8 tiên đề sau được thỏa mãn ∀u v, , w∈V và , k r ∈ ℝ :
1) u v v u+ = +
2) (u v+ ) w+ = +u (v+w)
3) ∃ ∈θ V u: + = , θ u θ được gọi là phần tử không
4) ∃− ∈u V u: + − = ( u) θ , − được gọi là phần tử đối của u u
5) (k u v+ )=ku kv+
6) (k+r u) =ku ru+
7) ( ) ( )k ru = kr u
8) 1.u u=
Mỗi phần tử của một không gian vectơ được gọi là một vectơ
Ta còn viết u + − = − và gọi là hiệu của u và v ( v) u v
Phép toán u + v gọi là phép cộng vectơ
Trang 21Phép toán k.u gọi là phép nhân vectơ với một vô hướng, hay đơn giản là phép
nhân với vô hướng
Ví dụ 18: R n {x x x n x i R i n}
, ,1,) ,,( 1 2 ∈ =
= ta trang bị hai phép toán:
- Phép cộng: (x1,x2, ,x n) + (y1,y2, ,y n) = (x1+y1,x2 +y2, ,x n+ y n)
- Phép nhân: k(x1,x2, ,x n) = (kx1,kx2, ,kx n),k∈R
là một không gian vectơ
0.2.3 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính
* Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của một hệ véctơ
Giả sử S={u u1, 2, ,u n} là một hệ (hay một tập) của không gian vectơ V Vectơ
* Định nghĩa hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tính
Hệ vectơ S ={u u1, 2, ,u n} của không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến
tính nếu có các số k k1, , ,2 k n không đồng thời bằng 0 sao cho
1 1 2 2 n n
k u +k u + +k u = θ
Hệ vectơ S ={u u1, 2, ,u n} được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ
thuộc tuyến tính, tức là nếu k u1 1+k u2 2 + + k u n n = thì suy ra θ k1=k2 = =k n = 0
Ví dụ 19: Trong ℝ3, hệ vectơ {e e e với 1, ,2 3} e =1 (1, 0, 0), e =2 (0,1,0), e =3 (0, 0,1) là một hệ độc lập tuyến tính
Thật vậy: Giả sử có: k e1 1+k e2 2+k e3 3 = θ
0
) 0 , 0 , 0 ( ) , , (
) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 (
3 2 1
3 2 1
3 2
+
⇒
k k k
k k k
k k
Trang 22) 1 , , 0 , 0 (
) 0 , , 1 , 0 (
) 0 , , 0 , 1 (
2 1
là hệ độc lập tuyến tính
Ví dụ 20: Hệ {u 1 ,u 2 ,u 3 } với u 1 = (1,1,1), u 2 = (1,1,0), u 3 = (2,2,1) là phụ thuộc tuyến
tính Vì u 1 + u 2 - u 3 = (1,1,1) + (1,1,0) - (2,2,1) = (0,0,0) = θ
Nhận xét: Từ định nghĩa trên, suy ra:
Xét phương trình: x u1 1+x u2 2+ + x u n n = , với θ x là các ẩn số thực Phương i
trình này luôn có nghiệm không x1 =0,x2 =0, ,x n = Nếu nghiệm đó là duy nhất thì 0
hệ vectơ {u u1, 2, ,u n} là độc lập tuyến tính Còn nếu phương trình có nghiệm khác nghiệm không thì hệ vectơ {u u1, 2, ,u n} là phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 21: Xétxem hệ vectơ u1 =(1; 3; 2), u2 =(1; 5; 3), = (2; 7; 5)u3 là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
Trang 24Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Mục đích yêu cầu
Tư tưởng tối ưu hóa có từ rất lâu và con người luôn phải suy nghĩ tìm các giải
pháp thực hiện các công việc sao cho có lợi nhất theo những mục đích xác định
Những yêu cầu cấp bách của sự phát triển nền kinh tế và quốc phòng làm nảy sinh ra nhiều ý tưởng về bài toán tối ưu Do đó đã xuất hiện một dạng bài toán cần phải giải
quyết, đó là bài toán tìm phương án tối ưu
Để giải quyết hiệu quả bài toán tối ưu, trước hết sinh viên cần phải:
- Thành thạo việc xây dựng mô hình toán học cho một bài toán đó, trên đó thể
hiện được bản chất của mỗi đối tượng được khảo sát, các mối liên quan giữa chúng và cần chỉ rõ mục tiêu mong muốn đạt được
- Phân biệt được sự khác nhau giữa bài toán QHTT dạng tổng quát, dạng chính tắc và dạng chuẩn
- Thành thạo các biến đổi để đưa một bài toán QHTT tổng quát về dạng chính
tắc
- Nắm vững khái niệm phương án cực biên và biết cách xét một phương án có
phải là phương án cực biên không?
Kiến thức chuẩn bị
Để nắm vững chương này sinh viên cần rèn luyện:
- Các phương pháp phân tích, hiểu rõ các tình huống, các mối quan hệ của các đối tượng khi khảo sát, nắm vững các kỹ năng biến đổi
- Các khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính
Trang 251.1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT
Ví dụ 1: (Bài toán lập kế hoạch sản xuất khi biết trước nguyên vật liệu)
Một xí nghiệp dùng 3 loại nguyên liệu N1; N2; N3 để sản xuất ra một loại sản phẩm theo ba theo ba phương pháp khác nhau: PP1, PP2, PP3 Định mức nguyên liệu
và số lượng sản phẩm sản xuất ra trong một giờ theo các phương pháp cho ở bảng sau:
Nguyên liệu
Dĩ nhiên ta phải có x x1, 2,x3 không âm
Vậy mô hình của bài toán kinh tế được phát biểu như sau:
Tìm các biến x x1, 2,x3 sao cho
Trang 26Hãy lập kế hoạch sản xuất trên cơ sở các yếu tố sản xuất hiện có sao cho tổng giá trị sản phẩm lớn nhất
Gọi x là số sản phẩm j được sản xuất Điều kiện j x j ≥ 0
Ví dụ 2: (Bài toán khẩu phần)
Có hai loại thức ăn I và II dùng trong chăn nuôi Để nuôi một loại gia súc trong
1 ngày đêm cần có khối lượng tối thiểu các chất dinh dưỡng chất béo, đạm, chất
khoáng tương ứng là 130, 90, 10 gram Tỷ lệ phần trăm theo khối lượng các chất trên
có trong các loại thức ăn I và II như sau:
Thức ăn Chất dinh dưỡng
Chất béo đạm khoáng
Cho biết giá 1 kg thức ăn I và II tương ứng là 4000 và 7000 đồng
Hãy lập mô hình bài toán, xác định khối lượng thức ăn cần mua sao cho chi phí
nuôi gia súc là thấp nhất
Giải
Gọi x x1, 2là số gram thức ăn I, II cần mua
Trang 27Ta có mô hình của bài toán như sau:
Hãy xác định khẩu phần thức ăn cho gia súc sao cho chi phí thấp nhất đồng thời đảm bảo các chất dinh dưỡng cho gia súc
Gọi x là lượng thức ăn j có trong khẩu phần Điều kiện j x j ≥ 0
f(x) là giá khẩu phần x ( x ,x , ,x )= 1 2 nKhi đó có mô hình toán học là:
Ví dụ 3: (Bài toán vận tải)
Giả sử có 2 kho hàng chứa 30 tấn và 40 tấn hàng Có 3 cửa hàng có khả năng
tiếp nhận 20 tấn, 25 tấn và 35 tấn Cước phí vận chuyển (ngàn đồng/tấn) từ kho đến
các cửa hàng như sau:
CH Kho C1: 20 C2: 25 C3: 35
Hãy lập mô hình bài toán vận chuyển thỏa hai yêu cầu: chi phí vận chuyển ít
tiền nhất và giải tỏa kho
Trang 28Giải
Gọi x x1, 2,x3 lượng hàng từ kho K1 về các cửa hàng C1, C2, C3
Gọi x4,x x5, 6 lượng hàng từ kho K2 về các cửa hàng C1, C2, C3
Ta có mô hình của bài toán như sau:
Gọi x là số hàng chuyển từ kho i đến cửa hàng j Điều kiện ij x ij ≥ 0
f(x) là tổng chi phí cho kế hoạch vận chuyển x
Khi đó có mô hình toán học là:
i 1 ij
Phương pháp lập mô hỉnh toán học
Để lập mô hình toán học của một bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo
ba bước sau:
Trang 29Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn
Căn cứ vào yêu cầu của bài toán ta xác định được số ẩn và đơn vị tính của ẩn, sau
đó ta đặt cho các ẩn các điều kiện để phù hợp với thực tế (như không âm, nguyên, lớn hơn bao nhiêu, )
Bước 2: Lập hàm mục tiêu
Dựa vào các ẩn đã đặt và yêu cầu tối ưu của bài toán, ta tìm ra được biểu thức diễn tả yếu tố “kinh tế” của bài toán (như tổng doanh thu, tổng lợi nhuận, tổng số tiền phải chi ra, ) và đặt yêu cầu tối ưu cho biểu thức đó
Bước 3: Lập hệ ràng buộc chính
Dựa vào các ẩn đã đặt, ta tính được các số liệu “kĩ thuật” của bài toán (như tổng
số nguyên liệu sẽ sử dụng, tổng khối lượng các chất có trong nguyên liệu, tổng số sản phẩm thu được, ) để được các biểu thức toán học
Dựa theo yêu cầu “kĩ thuật” của bài toán, ta đặt điều kiện cho các biểu thức toán học đó để được các phương trình hay bất phương trình ràng buộc của bài toán
Hãng hàng không Vietnam Airline có nhu cầu vận chuyển 1500 hành khách và
150 tấn hàng hóa tại sân bay Nội Bài Giả sử có hai loại máy bay có thể sử dụng với khả năng vận chuyển mỗi loại như sau:
- Máy bay loại A: Một máy bay có thể chở 180 hành khách và 40 tấn hàng hóa với chi phí tương ứng là 350 triệu đ
- Máy bay loại B: Một máy bay có thể chở 200 hành khách và 20 tấn hàng hóa với chi phí tương ứng là 320 triệu đ
Hãy lập mô hình bài toán tìm phương án sử dụng số máy bay mỗi loại sao cho thỏa mãn yêu cầu vận chuyển với tổng chi phí ít nhất?
1.2 Phân loại dạng bài toán
Mô hình bài toán QHTT gồm có 3 phần
Trang 30Là các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính n ẩn số, nảy sinh do yêu
cầu thực tế,…
Các hạn chế về dấu của các ẩn số
Trong các ví dụ ở mục 1.1 thì các x j không âm (vì nó là số sản phẩm, số vốn, số lợi nhuận,…) Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát x j có thể âm hay dương hoặc tùy ý
Từ đó người ta phân dạng bài toán thành 3 loại:
=
ij 1
Hệ (1.2.3) gọi là hệ ràng buộc về dấu của các ẩn số ( , , )≥ = ≤
Một vectơ x= ( ,x x x1 2, , ,x n) thỏa mãn (1.2.2) và (1.2.3) gọi là một phương án
(P.A) của bài toán
Tập hợp tất cả phương án của bài toán được gọi là miền xác định của bài toán
Ký hiệu D
Một phương án tối ưu (P.A.T.Ư), kí hiệu x* nếu *x là một P.A và thỏa mãn
(1.2.1) hay f x( *)≤ ≥( ) f x( ),∀ ∈x D (bị chặn)