Bài giảng toán kinh tế 2 chương 3 3 trường đh bách khoa hà nội

3 3 Thanh toán nợ thông thường ▪ Thanh toán nợ thông thường, tức khoản nợ chỉ liên quan đến 1 chủ nợ ▪ Cơ sở để nghiên cứu thanh toán nợ trái phiếu trong phần tiếp theo ▪ Các khoản nợ thông thường có[.]

3.3 Thanh toán nợ thông thường

▪ Thanh toán nợ thông thường, tức khoản nợ chỉ liên quan đến 1 chủ

nợ

▪ Cơ sở để nghiên cứu thanh toán nợ trái phiếu trong phần tiếp theo

▪ Các khoản nợ thông thường có thể thanh toán 1 hoặc nhiều lần

▪ Trường hợp thanh toán nhiều lần có thể thanh toán theo chuỗi niên

Tài khoản vãng lai theo lãi gộp

▪ Ví dụ:

Ngày 1/9/1982 A cho B vay 3.000

Ngày 1/9/1985 B trả cho A 1.000

Ngày 1/9/1986 B trả cho A 2.000

Lãi suất quy định 5%/năm (TK cùng lãi suất)

Hãy xác định số dư nợ của B vào ngày 1/9/1987? (ngày tất toán tài khoản)

Tài khoản vãng lai theo lãi gộp

Tài khoản vãng lai theo lãi gộp

Tài khoản của B

Ngày 1/9/1987, TK của B dư Nợ là:

Kỹ thuật thanh toán nợ

▪ Trong phần lớn các trường hợp, việc thanh toán nợ thường thực

hiện trả từng định kỳ bằng niên kim cố định: a1, a2, a3 an

▪ Số tiền mỗi niên kim bao gồm ngoài phần lãi là phần thanh toán

nợ gốc: V = m1 + m2 + m3 + + mn

▪ Ví dụ: Một người vay 1 khoản tiền V (hay D0) trong n thời kỳ

(năm), lãi suất i, thanh toán nợ theo niên kim cố định

Kỹ thuật thanh toán nợ

▪ Cuối năm thứ 1, người đó phải thanh toán nợ bằng 1 niên kim a1, số tiền

này để trả số lãi Vi và một phần nợ gốc m1

a1 = Vi + m1

▪ Số dư nợ vào đầu năm thứ 2: D1 = D0 - m1

▪ Cuối năm thứ 2, người đó thanh toán nợ bằng niên kim a2

a2 = D1*i + m2

▪ Số dư nợ vào đầu năm thứ 3: D2 = D1 – m2

▪ Đến cuối năm thứ n, người đó phải thanh toán niên kim an

Bảng thanh toán nợ

Thời

kỳ

Số dư nợ đầu thời kỳ (D)

Lãi của thời

Kỹ thuật thanh toán nợ

▪ Nếu xem xét việc thanh toán nợ theo tài khoản vãng lai theo lãi gộp

ta cũng có thể lập được bảng như sau:

2 V(1+i) 2 a1(1+i) + a2 V(1+i) 2 - [a1(1+i) + a2]

3 V(1+i) 3 a1(1+i) 2 + a2(1+i) + a3 V(1+i) 3 - [a1(1+i) 2 + a2(1+i) + a3]

n V(1+i) n a1(1+i) n-1 + a2(1+i) n-2

+ + a (1+i) + a

0

Kỹ thuật thanh toán nợ

▪ Số dư nợ ở cuối 1 thời kỳ nào đó sẽ bằng số tiền thu được của khoản nợ

V trừ đi số tiền thu được của số niên kim đã thanh toán của thời kỳ đó

V(1+i) n = a1(1+i) n-1 + a2(1+i) n-2 + + an-1(1+i) + anChia 2 vế cho (1+i) n , ta sẽ có:

V = a1(1+i) -1 + a2(1+i) -2 + + an-1(1+i) -(n-1) + an(1+i) -n

=> Số tiền vay V bằng tổng giá trị hiện tại của những niên kim mà người

3.3.1 Thanh toán nợ thông thường theo chuỗi niên kim cố định

▪ Ta có chuỗi niên kim cố định: a = a1 = a2 = a3 =

V = a1(1+i)-1 + a2(1+i)-2 + + an-1(1+i)-(n-1) + an(1+i)-n

=> 𝑉 = 𝑎 ∗ #'(#,-)!"

-Ví dụ

Hãy xác định khoản tiền có thể cho vay biết rằng khoản tiền đó sẽ

được trả bằng 15 niên kim, mỗi niên kim 4.000 và cứ sáu tháng trả

một lần Niên kim thứ nhất được thực hiện sau 6 tháng Lãi suất 6%

năm

Ví dụ

Một khoản nợ 200000 được hoàn trả trong 10 năm bằng 40 niên

kim cố định Thời hạn mỗi niên kim là 3 tháng Niên kim thứ nhất

được thực hiện sau 3 tháng

Hãy xác định số tiền của mỗi niên kim, biết rằng lãi suất năm là

8,25%

Ví dụ

▪ Lãi suất 3 tháng:

1 + 𝑖 = (1 + 𝑟)/1,0825 = (1 + 𝑟)/ ⇒ 𝑟 = 2%

▪ Số tiền của mỗi niên kim:

𝑎 = 200000 ∗ 0,02

1 − 1,02'/( = 7311,14

Ví dụ

Hãy tính số lượng niên kim n cần thiết để trả một khoản nợ là 100000

(n là số nguyên) biết rằng mỗi niên kim bằng 10000 và lãi suất năm là

4,5%?

Ví dụ

Một người có một khoản tiền 160000 Người đó muốn số tiền đó

sau khi cho vay sẽ trả làm 12 lần mỗi lần 15000 và cứ 6 tháng trả 1

lần, Khoản trả đầu tiên sẽ được thực hiện sau 6 tháng

Muốn thực hiện các điều kiện trên, lãi suất năm sẽ là bao nhiêu?

Định luật về thanh toán nợ gốc

▪ Các khoản thanh toán nợ gốc m1, m2, , mn đều được thực hiện ở

cuối mỗi thời kỳ thanh toán của khoản nợ

▪ Số lãi sẽ biến động theo hướng giảm dần

▪ Các niên kim đều cố định

=> Số tiền thanh toán nợ gốc sẽ biến động theo hướng tăng dần

Định luật về thanh toán nợ gốc

▪ Giả thiết D là số dư nợ gốc ở thời kỳ đầu, mk và mk+1 là số tiền

thanh toán nợ gốc được thực hiện vào cuối mỗi thời kỳ đó

▪ Ta có:

𝑎1 = 𝐷 ∗ 𝑖 + 𝑚1

𝑎1,# = 𝐷 − 𝑚1 ∗ 𝑖 + 𝑚1,#

Định luật về thanh toán nợ gốc

▪ Vì việc thanh toán nợ được thực hiện bằng chuỗi niên kim cố định

nên ta có:

𝑎1 = 𝑎1,#

=> 𝐷 ∗ 𝑖 + 𝑚1 = 𝐷 − 𝑚1 ∗ 𝑖 + 𝑚1,#

=> 𝑚1,# = 𝑚1(1 + 𝑖)

Định luật về thanh toán nợ gốc

▪ Khoản thanh toán nợ gốc ở cuối một thời kỳ nào đó sẽ bằng khoản

thanh toán nợ gốc liền trước nó nhân với (1+i)

▪ Khoản thanh toán nợ gốc ở cuối một thời kỳ nào đó sẽ bằng khoản

thanh toán nợ gốc được thực hiện liền trước nó công thêm số lãi

của chính bản thân khoản thanh toán nợ gốc đó

Tính số tiền thanh toán nợ gốc lần đầu

▪ Các khoản thanh toán nợ gốc kế tiếp nhau tạo thành cấp số nhân với

công bội (1+i)

⇒ 𝑉 = 𝑚# + 𝑚' + ⋯ + 𝑚! = 𝑚# ∗ (1 + 𝑖)!−1

𝑖

(1 + 𝑖) ! −1 Hoặc 𝑚# = 𝑎 − 𝑉+ = 𝑉 ∗ #$ #,++ !% − 𝑉+

+

: gọi là lãi suất thanh toán nợ gốc

Tính số tiền thanh toán nợ gốc ở bất kỳ thời kỳ nào

▪ Theo định luật về thanh toán nợ gốc, ta có thể tính được số tiền

thanh toán nợ gốc bất kỳ nếu biết được thứ hạng của nó

𝑚1 = 𝑚# ∗ (1 + 𝑖)1'#

𝑚1 = 𝑎 ∗ 1 + 𝑖 '! ∗ 1 + 𝑖 1'# = 𝑎 ∗ (1 + 𝑖)'[!' 1'# ]

=> 𝑚! = 𝑎 ∗ (1 + 𝑖)'#

Tính số lãi phải trả ở cuối một thời kỳ nào đó

▪ Nếu ta biết khoản trả nợ gốc ở thời k thì ta có thể tính ngay được

số lãi phải trả của thời kỳ đó

𝐼1 = 𝑎 − 𝑚1

Tính tổng số tiền thanh toán nợ gốc sau khi thực hiện niên

Tính số dư nợ gốc còn lại sau khi thực hiện niên kim thứ

Ví dụ

Một công ty vay 1 khoản tiền 10.000.000 và phải trả bằng 18 niên kim cố định Niên

kim thứ 1 được thực hiện ngay sau 1 năm Lãi suất 6%/năm

a Tính số tiền của mỗi niên kim

b Tính số lãi và số nợ gốc phải thanh toán của niên kim thứ 1 và niên kim thứ 6

c Tính tổng số nợ gốc đã thanh toán sau khi đã thực hiện niên kim thứ 10

d Tính số dư nợ gốc sau khi thực hiện niên kim thứ 17

Ví dụ

a Số tiền của mỗi niên kim là:

𝑎 = 10000000 ∗ 0,06

1 − 0,06'#* = 923565,4

𝐼% = 𝑎 − 𝑚% = 490561,9

Lãi được thanh toán làm nhiều lần trong một thời kỳ

▪ Về cơ bản, mọi phép tính đã nghiên cứu đều có thể áp dụng cho

trường hợp này

▪ Tuy nhiên, lãi suất thực tế đối với người đi vay sẽ cao hơn 1 chút

Lập bảng thanh toán nợ theo chuỗi niên kim cố định

▪ Trong bảng bao gồm những thông tin sau:

▪ Số năm vay tiền

▪ Số lãi phải thanh toán cuối mỗi năm

▪ Số tiền trả nợ gốc niên kim

Ví dụ

Một khoản nợ 800000 được thanh toán theo niên kim cố định trong 4

năm, lãi suất 6% Hãy lập bảng thanh toán nợ?

Thời kỳ Số dư nợ đầu kỳ Tiền lãi của thời kỳ Số tiền trả nợ gốc mỗi kỳ Niên kim cố định

3.3.2 Các chế độ khác trong thanh toán nợ thông thường

▪ Thanh toán nợ gốc 1 lần, thanh toán lãi từng thời kỳ

▪ Thanh toán tiền nợ cả gốc và lãi 1 lần

▪ Niên kim cố định nhưng lãi thanh toán vào đầu mỗi thời kỳ

▪ Thanh toán nợ theo khoản nợ gốc cố định

▪ Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc biến động theo cấp số

cộng, công sai bằng khoản trả nợ gốc lần đầu

Thanh toán nợ gốc 1 lần, thanh toán lãi từng thời kỳ

▪ Cuối năm, số lãi Vi (tính trên số nợ V) được trả cho chủ nợ

▪ Năm cuối cùng, số lãi Vi cộng thêm vào toàn bộ nợ gốc được trả

cho chủ nợ

V.i V.i

Thanh toán nợ gốc 1 lần, thanh toán lãi từng thời kỳ

▪ Việc trả nợ gốc 1 lần sẽ gặp trở ngại khi món vay có giá trị lớn => người

đi vay cần chuẩn bị vào cuối mỗi năm Quỹ trả nợ gốc cố định m

▪ Quỹ trả nợ gốc hàng năm phải tính toán sao cho khi hết thời hạn nợ n

năm, và sau mỗi năm tư bản hóa, quỹ đó với lãi suất năm t, hoàn toàn có

thể bù đắp khoản nợ V

Thanh toán nợ gốc 1 lần, thanh toán lãi từng thời kỳ

▪ V là số tiền thu được theo lãi suất năm t của n niên kim cố định, mỗi niên

kim là m

𝑉 = 𝑚 ∗ #,//%$# ⇒ 𝑚 = 𝑉 ∗ (#,/)/%$#

▪ Niên kim cố định hàng năm mà người đi vay phải chuẩn bị:

Thanh toán nợ gốc 1 lần, thanh toán lãi từng thời kỳ

Thanh toán tiền nợ cả gốc và lãi một lần

▪ Ở trường hợp này, để chuẩn bị cho khoản trả nợ lớn, người đi vay

thường gửi định kỳ một khoản vốn dưới dạng niên kim cố định vào ngân

hàng hoặc 1 tổ chức tài chính với lãi suất t (lãi suất t thường là khác với

lãi suất vay i)

▪ Giả thiết V là khoản vốn vay, trong n thời kỳ với lãi suất i và a là niên kim

cố định được gửi vào ngân hàng cuối từng thời kỳ để chuẩn bị cho việc

Thanh toán tiền nợ cả gốc và lãi một lần

▪ Sau n thời kỳ, món vay sẽ là: 𝑉 ∗ (1 + 𝑖)!

▪ Số tiền thu được của các niên kim a trong n thời kỳ là: 𝑎 ∗ (#,5)5"'#

⇒ 𝑉 ∗ 1 + 𝑖 ! = 𝑎 ∗ (1 + 𝑡)!−1

𝑡

⇒ 𝑎 = 𝑉 ∗ 𝑡

1 + 𝑡 ! − 1 ∗ (1 + 𝑖)!

Ví dụ

Một công ty vay một khoản tiền 10000 và sẽ hoàn trả gốc và lãi một

lần sau 4 năm Lãi suất 5%

Để chuẩn bị cho việc trả nợ, Công ty thực hiện việc gửi vốn định kỳ

vào ngân hàng theo niên kim cố định, lãi suất 6% Niên kim đầu tiên

được thực hiện sau 1 năm kể từ ngày vay tiền

Ví dụ

▪ Ngày thanh toán khoản nợ số tiền là: 10000*1,05 4

▪ Số niên kim a gửi với lãi suất 5% sẽ tạo ra số vốn sau 4 năm: 𝑎 ∗ #,"1","1$$#

⇒ 𝑎 ∗ 1,06* − 1

0,06 = 10000 ∗ 1,05*

⇒ 𝑎 = 2778,5433

Niên kim cố định, nhưng lãi thanh toán vào đầu mỗi thời kỳ

▪ Niên kim ak gồm:

▪ Tiền thanh toán nợ gốc: mk

▪ Lãi thời kỳ sau: 𝐷 − 𝑚1 𝑖

Þ 𝑎1= 𝑚1 + 𝐷 − 𝑚1 𝑖

▪ Niên kim ak+1 gồm:

▪ Tiền thanh toán nợ gốc: mk+1

▪ Lãi thời kỳ sau: 𝐷 − 𝑚1 − 𝑚1,# 𝑖

Niên kim cố định, nhưng lãi thanh toán vào đầu mỗi thời kỳ

#'-Ví dụ

Một khoản nợ 10000 với thời hạn 3 năm, lãi suất 3% Hãy lập bảng

thanh toán của khoản nợ trên biết rằng lãi được trả vào đầu hàng

năm

Ví dụ

Lãi suất danh nghĩa i = 0,03, nhưng lãi được trả vào đầu mỗi năm

nên lãi suất thực tế t sẽ là: 𝑡 = #'-- = 0,030927

Khoản thanh toán nợ gốc lần đầu:

𝑚# = 10000 ∗ 0,030927

1,0309276 − 1 = 3232,334

𝑚0 = 𝑚# ∗ 1,030927

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc cố định

▪ Niên kim ak gồm:

▪ Tiền thanh toán nợ gốc: m

▪ Số lãi dư nợ D: D.i

Þ 𝑎1= 𝐷 ∗ 𝑖 + 𝑚

▪ Niên kim ak+1 gồm:

▪ Tiền thanh toán nợ gốc: m

▪ Số lãi của dư nợ D-m: (D – m).i

Þ 𝑎 = 𝐷 − 𝑚 ∗ 𝑖 + 𝑚 = 𝐷 ∗ 𝑖 + 𝑚 − 𝑚 ∗ 𝑖

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc cố định

▪ Ta thấy các niên kim biến động theo cấp số cộng, công sai là –m*i

▪ Vì các khoản thanh toán nợ gốc đều cố định nên:

𝑉 = 𝑛 ∗ 𝑚 ⇒ 𝑚 = 𝑉

𝑛

▪ Ta có thể viết lại công sai: 𝑏 = − 7∗-!

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc cố định

▪ Niên kim thứ nhất:

𝑎! = 𝑉 ∗ 𝑖 + 𝑚 = 𝑉 ∗ 𝑖 + 𝑉

𝑛 = 𝑉 𝑖 +

1 𝑛

Ví dụ

Một khoản nợ 1000000 với lãi suất 5% phải thanh toán trong 4 năm

Hãy lập bảng thanh toán nợ đó biết rằng các niên kim được thực

hiện theo khoản thanh toán nợ gốc cố định

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc biến động theo

cấp số cộng, công sai bằng khoản trả nợ gốc lần đầu

Một khoản nợ A được thanh toán bằng n niên kim bao gồm các khoản

thanh toán nợ gốc kế tiếp nhau và có quan hệ với khoản thanh toán nợ gốc

thứ nhất

a Tính số tiền của khoản thanh toán nợ gốc lần đầu m1

b Tính niên kim ap, thứ hạng p(n) được thực hiện vào cuối năm và bao

gồm khoản thanh toán nợ gốc mp và số lãi theo lãi suất i của khoản dư

nợ đầu năm

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc biến động theo

cấp số cộng, công sai bằng khoản trả nợ gốc lần đầu

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc biến động theo

cấp số cộng, công sai bằng khoản trả nợ gốc lần đầu

b Niên kim ap bao gồm:

- Số tiền thanh toán nợ gốc mp

- Số lãi Ip của dư nợ vào đầu thời kỳ p

Ta biết: 𝑚9 = 𝑝𝑚# = 𝐴 ∗ !(!,#)09

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc biến động theo

cấp số cộng, công sai bằng khoản trả nợ gốc lần đầu

Để tính số lãi Ip ta phải biết được số dư nợ đầu thời kỳ p mà ta gọi là D, có nghĩa là D

sau khi thực hiện khoản thanh toán nợ gốc thứ hạng (p-1) Ta có thể diễn đạt D như

⇒ 𝐷 = 𝐴 ∗ (𝑛 + 𝑝)(𝑛 − 𝑝 + 1)

𝑛(𝑛 + 1)

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc biến động theo

cấp số cộng, công sai bằng khoản trả nợ gốc lần đầu

▪ Số lãi Ip theo lãi suất i sẽ là:

𝐼2 = 𝐴 ∗ 𝑖 ∗ (𝑛 + 𝑝)(𝑛 − 𝑝 + 1)

𝑛(𝑛 + 1)

▪ Niên kim ap:

𝑎2 = 𝐴 ∗ ! !,#'2 + 𝐴 ∗ 𝑖 ∗ (!,2)(!$2,#)!(!,#)

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc biến động theo

cấp số cộng, công sai bằng khoản trả nợ gốc lần đầu

Trường hợp niên kim cuối cùng p = n, ta có:

𝑎! = 𝐴 ∗ 2(1 + 𝑖)

(𝑛 + 1)

Thanh toán nợ theo khoản thanh toán nợ gốc biến động theo

cấp số cộng, công sai bằng khoản trả nợ gốc lần đầu

Năm Số dư nợ đầu mỗi năm Số lãi theo 5% Số tiền thanh toán nợ gốc mỗi năm Niên kim