Bài giảng Toán kinh tế: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Bài giảng Toán kinh tế được biên soạn theo đề cương môn học đã được hội đồng khoa học trường thông qua với 30 tiết bao gồm các chương sau: Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính; Bài toán quy hoạch tuyến tính; Phương pháp đơn hình; Bài toán đối ngẫu; Bài toán vận tải. Bài toán thế vị. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 giáo trình!

Chương 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Trong nhiều trường hợp, nhờ Lý thuyết đối ngẫu mà các vấn đề phức tạp trong khi

giải bài toán gốc sẽ trở nên đơn giản và dễ dàng hơn thông qua giải bài toán đối ngẫu của nó Ta sẽ luôn tìm được phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu từ phương án của bài toán gốc và ngược lại

Mục tiêu của chương là:

- Giúp ta hiểu rõ về bài toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu

- Xét mối quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu từ đó có những phương pháp tìm ra phương án tối ưu nhanh hơn

 Kiến thức chuẩn bị

Để học tốt chương sinh viên cần: nắm vững các chương trước và thành thạo các phép tính

3.1 Khái niệm

3.1.1 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng chính tắc

Định nghĩa: Cho bài toán gốc (P):

- Các ràng buộc ở bài toán (D) đều là bất đẳng thức " " ≤ nếu f x →( ) m ax

(hoặc " " ≥ nếu f x →( ) min)

- Số ẩn của bài toán này là số ràng buộc của bài toán kia và ngược lại

- Các hệ số c j và các số hạng tự do b i ở hai bài toán đối ngược nhau

- Ma trận hệ số các ràng buộc ở hai bài toán là chuyển vị của nhau Hàng i

trong ma trận A= ( )aij mxn xác định ràng buộc thứ i của bài toán gốc ij

1

n

j i j

Bài toán đối ngẫu của bài toán này là:

3.1.2 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng tổng quát

Quy tắc lập bài toán đối ngẫu được cho bởi bảng sau:

Bài toán gốc P (D) Bài toán đối ngẫu D (P)

 Nhận xét: Bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu chính là bài toán gốc Vì vậy

người ta nói cặp bài toán gốc – đối ngẫu là cặp bài toán đối ngẫu nhau

Bài toán đối ngẫu của bài toán này là:

max → min Ẩn → Ràng buộc(cùng dấu) Ràng buộc → Ân (ngược dấu)

min → max Ẩn → Ràng buộc (ngược dấu) Ràng buộc → Ân (cùng dấu)

Định lý 1: Với cặp bài toán P và D, chỉ xảy ra một trong ba trường hợp sau:

1 Cả hai đều không có phương án

2 Cả hai đều có phương án, lúc đó cả hai cùng có phương án tối ưu và giá trị hàm mục tiêu đối với phương án tối ưu bằng nhau

?

3 Một trong hai bài toán không có phương án, còn bài toán kia có phương án Khi đó bài toán có phương án sẽ không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu của nó không bị chặn

Hệ quả 1: Nếu một trong hai bài toán có phương án tối ưu thì bài toán kia cũng có

phương án tối ưu

Hệ quả 2: Điều kiện cần và đủ để hai phương án x* của (P) và y* của (D) tối ưu là:

ij 1

j

 Chú ý: Nếu trong các tích trên nếu thừa số này khác 0 thì thừa số kia bằng 0

3.2.2 Tìm P.A.T.Ư của bài toán đối ngẫu qua P.A.T.Ư của bài toán gốc

Giả sử bài toán gốc có phương án tối ưu x∗ = ( ,x x1∗ 2∗, )x n∗ và giải được bài toán đối ngẫu Theo định lý 2, ta có

m

i j i

j

n

i j

Có phương án tối ưu là x∗ = (0,14, 6, 5), f x( )∗ = 40 Viết bài toán đối ngẫu và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

2 3

3 2

23

x

x x

a) Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên

b) Tìm phương án tối ưu của bài toán gốc biết P.A.T.Ư của bài toán đối ngẫu là

5

33

3.3 Ý nghĩa bài toán đối ngẫu

Một bài toán quy hoạch tuyến tính gốc được lập nên từ những vấn đề của sản xuất và kinh doanh, khi đó mọi tham số ( a ,b ,c ) , ẩn số, hàm mục tiêu, các ràng buộc đều ij i j

chứa đựng những nội dung rõ rệt về kinh tế Khi chuyển sang bài toán đối ngẫu đôi lúc

ta sẽ khó có thể giải thích ý nghĩa kinh tế của các yếu tố trong bài toán đối ngẫu Tuy nhiên không phải vì vậy mà bài toán đối ngẫu không có tầm quan trọng to lớn

Theo các khái niệm trên ta thấy: giải được một trong hai bài toán coi như đã giải được bài toán kia Vì vậy nếu gặp bài toán khó giải thì rất có thể bài toán đối ngẫu

Nếu giải trực tiếp, ta cần đưa vào m ẩn phụ với hệ số -1, rồi lại thêm m ẩn giả với hệ số

1 mới đưa về dạng chuẩn để giải bằng thuật toán đơn hình Còn nếu đưa về bài toán đối ngẫu:

thì chỉ cần đưa m ẩn phụ vời hệ số 1 là có ngay bài toán dạng chuẩn để giải

Ngoài ra người ta còn chứng minh được: khi đã có phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu, tức là ở bảng ∆j ≥0 ∀ Lúc đó j x ( * ∆m 1+ ,∆m 2+ , ,∆m n+ ) chính là phương

án tối ưu của bài toán gốc (Trong đó ∆m j+ là ước lượng của ẩn phụ y m j+ )

Bẳng lý thuyết của bài toán đối ngẫu người ta đã đưa ra các thuật toán giải một số bài toán quan trọng trong kinh tế như “phương pháp thế vị” giải bài toán vận tải và

phương pháp “ Điều chỉnh nhân tữ” giải bài toán sản xuất đồng bộ

a) Lập bài toán đối ngẫu

b) Giải bài toán đối ngẫu và suy ra kết quả của bài toán gốc

4 Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu Biết bài toán gốc có phương án tối ưu

f x = x + x + x →

Có phương án tối ưu là X∗ = (15, 0,12, 0), f X( ∗) = − 30

Viết bài toán đối ngẫu và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

6 Cho bài toán (P)

Kiểm tra tính tối ưu của phương án x =(5 / 2, 7 / 2, 0, 0,5 / 2, 0) của bài toán (P)

7 Cho bài toán gốc

a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình

b) Viết bài toán đối ngẫu và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Chương 4 BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN THẾ VỊ

 Mục đích yêu cầu

Bài toán vận tải là bài toán quan trọng nhất trong các bài toán quy hoạch tuyến tính Thuật ngữ bài toán vận tải thường được hiểu là bài toán vận chuyển sao cho cước phí nhỏ nhất

Trong chương này, sinh viên cần nắm vững các nội dung sau:

- Nhận biết dạng bài toán vận tải cân bằng thu phát và các dạng đặt biệt khác (như không cân bằng thu phát, bài toán vận tảii ô cấm, bài toán vận tải có hàm mục tiêu max) để từ đó đó ra phương pháp giải phù hợp

- Biết cách đặt bài toán dưới dạng bảng

- Thành thạo phương pháp chi phí bé nhất đề tìm phương án cơ bản ban đầu cho

bài toán vận tải

- Nắm vững thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn” và phương pháp thế vị để

tìm phương án tối ưu cho bài toán vận tải

 Kiến thức chuẩn bị

Để học tốt chương này sinh viên cần nắm vững: phương pháp đơn hình, phương pháp đối ngẫu, nhận dạng và phân tích đúng các trường hợp

4.1 Bài toán vận tải cân bằng thu phát (bài toán cổ điển)

4.1.1 Thiết lập bài toán

Giả sử có m địa điểm A1, A2, ,A m cung cấp một loại hàng hóa (xi măng, sắt, thép,…) với khối lượng lần lượt là a a1, 2, … ,a m Cùng lúc đó có n địa điểm tiêu thụ

hàng hóa đó là B1, B2, ,B n với khối lượng yêu cầu lần lượt là b b1, ,2 … , b n (đơn vị khối lượng tính bằng tấn)

Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa sao cho tổng chi phí vận tải thấp nhất

và thỏa mãn yêu cầu thu-phát

(Để đơn giản, ta giả thiết tổng lượng hàng cần phát đi ở các trạm phát bằng tổng lượng hàng thu về ở các trạm thu

n

ij i j

4.1.2 Đặt bài toán dưới dạng bảng

Bài toán vận tải là bài toán QHTT nên có thể dùng thuật toán đơn hình để giải Nhưng do tính chất đặc biệt của bài toán vận tải, nên ta có thể có một phương pháp giải đơn giản và hiệu quả hơn

Trước hết ta trình bày bài toán dưới dạng bảng:

Thu BjPhát Ai

- Mỗi hàng đặc trưng cho một trạm phát và mỗi cột đặc trưng cho một trạm thu

- Mỗi ô nằm trên hàng i và cột j đặc trưng cho tuyến đường từ A i đến B gọi j

là ô ( , )i j

+ Chi phí vận chuyển: cij được ghi ở góc bên trái của ô ( , ) i j

+ Lượng hàng hóa cần vận chuyển: xij được ghi ở góc bên phải của ô ( , ) i j

- Một ô được gọi là ô treo nếu nó là ô duy nhất trên dòng hay cột

- Những ô ứng với x >ij 0 trong Bảng vận tải được gọi là ô chọn Những ô còn lại được gọi là ô loại Ô chọn đặc trưng cho tuyến đường có vận tải

- Một dãy các ô chọn, trong đó 3 ô liên tiếp không nằm trong cùng 1 dòng hay

một cột được gọi là một dây chuyền

1 1 1 2 2 2 1

( , )( ,i j i j )( ,i j ) (i k−, j k)( ,i j k k)

(Số ô trong một dây chuyền là một số chẵn, không nhỏ hơn 4)

- Một dây chuyền khép kín được gọi là một vòng (lưu ý: tổng số ô trên vòng

luôn là số chẵn và ít nhất là 4 ô)

( , )( ,i j i j )( ,i j ) (i k− , j k)( ,i j k k)( , )i j k

Ví dụ 1

- Các ô chọn có dấu “x”, tạo thành dây chuyền; hình 2 tạo thành một vòng

- Hình 1, ô (3,1) là ô treo; hình 2, không có ô treo

Định nghĩa

- Một phương án mà các ô chọn không tạo thành vòng gọi là P.A cơ bản

- Một phương án cơ bản có đủ m n+ − 1 ô chọn gọi là P.A cơ bản không suy biến, nếu ít hơn m n+ − 1 ô chọn gọi là P.A cơ bản suy biến

a b x

 Chú ý: Trường hợp P.A cơ bản suy biến, ta có thể bổ sung một số ô loại sao cho

P.A cơ bản có m n+ − 1 ô chọn Các ô loại được bổ sung này gọi là các “ô chọn 0”

Ví dụ 2: Trong bảng dưới đây có tập F gồm m n+ − = + − = 1 4 3 1 7 ô chọn không chứa vòng có đánh dấu “x”

Ô (4, 4) của bảng không thuộc F

Khi bổ sung ô (4, 4) vào F ta sẽ có vòng duy nhất: (1, 3) (1, 4) (4, 4) (4, 3)

4.2 Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải cân bằng thu phát

4.2.1 Lập phương án cơ bản ban đầu

Áp dụng phương pháp chi phí bé nhất cho trường hợp cân bằng thu phát

 Bước 1: Kiểm tra

 Bước 3: Chọn xij như sau: ij min( , )

- Nếu xij=a i thì trạm phát i đã phát hết hàng, xóa hàng i của bảng và số

lượng thu còn lại tại trạm thu j chỉ còn là b j−a i;

- Nếu xij=b j thì trạm thu j đã nhận đủ hàng, xóa cột j của bảng và số

lượng phát còn lại tại điểm phát i là a i−b j

- Nếu xij=a i =b j thì trạm phát i và trạm thu j đều phát và nhận đủ hàng,

xóa hàng i và cột j của bảng

 Bước 4: Trong bảng còn lại với số hàng và số cột ít hơn, ta lại tiếp tục phân

phối như trên cho đến khi hết hàng

 Bước 5: Kiểm tra lại các ô chọn

- Nếu m n+ − = 1 “số ô chọn” là P.A C.B của bài toán

- Nếu m n+ − ≠ 1 “số ô chọn” thì ta bổ sung thêm một số “ô chọn 0” cho

Thứ tự phân phối như sau:

Ô (1,3) được phân vào 50 Hàng 1 bị xóa, cột 3 còn cần 10

Ô (2,2) được phân vào 20 cột 2 bị xóa, hàng 2 còn 20

Ô (2,1) được phân vào 20 Hàng 2 bị xóa, cột 1 còn cần 60

Ô (3,1) được phân vào 60 cột 1 bị xóa, hàng 3 còn 10

Ô (3,3) được phân vào 10 Hết hàng

Ta thấy có 5 ô chọn và m n+ − = + − = 1 3 3 1 “số ô chọn” nên chúng tạo thành

một phương án cơ bản không suy biến

Phương án cơ bản ban đầu là:

4.2.2 Thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn”

Định lý: Nếu ta cộng vào hàng i và cột j của ma trận cước phí C =( )c ij mxn một số tuỳ ý

c =c + +r s tương đương với bài toán ban đầu

 Thuật toán: gồm 3 bước:

 Bước 1: Quy 0 cước phí các ô chọn

- Xác định được một phương án cơ bản ban đầu (xem mục 4.3.1)

- Với m n+ − 1 ô chọn, ta cộng vào hàng i và cột j của ma trận cước phí

 Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu

1 Sau khi quy 0 cước phí các ô chọn, nếu các ô loại đều có cước phí ≥ 0

thì phương án đang xét là tối ưu

2 Sau khi quy 0 cước phí các ô chọn, nếu có ít nhất một ô loại có cước

phí < 0 thì phương án đang xét không phải tối ưu Ta chuyển sang bước 3

 Bước 3: Xây dựng phương án mới tốt hơn

1 Chọn ô đưa vào: Ô đưa vào là ô (i*,j*) có cước phí âm nhỏ nhất

2 Tìm vòng điều chỉnh: Bổ sung (i*,j*) vào m n+ − 1 ô chọn ban đầu sẽ

xuất hiện vòng duy nhất, gọi là vòng điều chỉnh V

3 Phân ô chẵn lẻ của vòng điều chỉnh V: Ta đánh số thứ tự các ô của

vòng V bắt đầu từ ô (i*,j*) Khi đó, V phân thành hai lớp:

V C : các ô có số thứ tự chẵn

V L: các ô có số thứ tự lẻ

4 Chọn ô đưa ra và lượng điều chỉnh:

- Tính giá trị nhỏ nhất trong 2 ô chẵn : min(c c21, 33)

- Ô nào có phân ít hàng nhất làm ô đưa ra, còn lượng hàng ở ô

này là lượng điều chỉnh

5 Lập phương án mới: Phương án mới được tính như sau:

- Ô có thứ tự chẵn được bớt đi lượng điều chỉnh

- Ô có thứ tự lẻ được cộng thêm lượng điều chỉnh

- Ô ngoài vòng điều chỉnh không thay đổi

Ví dụ 4: Giải bài toán vận tải được cho trong ví dụ trên

 Bước 1: Quy 0 cước phí các ô chọn

- Phương án cơ bản ban đầu của bài toán (xem ví dụ 3)

- Ta thấy:

 Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu

Phương án chưa tối ưu vì còn ô loại (2, 3) có cước phí − < 1 0 Ta chuyển sang bước 3

 Bước 3: Xây dựng phương án mới tốt hơn

1 Chọn ô đưa vào: Ô loại (2, 3) là ô được đưa vào

(do (2, 3) có cước phí − < 1 0 nhỏ nhất)

4 Chọn ô đưa ra và lượng điều chỉnh:

Ta có : min(c21,c33) = min(20,10) 10 = =c33⇒ Ô đưa ra là (3,3), lượng điều chỉnh là 10

 Bước 1: Quy 0 cước phí các ô chọn

Theo định lý đối ngẫu thứ 2 ta có dấu hiệu tối ưu:

Điều kiện cần và đủ để X = { }xij tối ưu là tồn tại một hệ thống {u , }i v j

(i= 1, ;m j= 1, )n thỏa mãn các điều kiện sau:

a) u i+v j =cij nếu x >ij 0 (4.2.10)

b) u i+v j ≤cij với mọi i, j (4.2.11) (Các u v i, j gọi là thế vị của dòng i và cột j)

 Thuật toán

 Bước 1: Xây dựng phương bán cơ bản cho bài toán vận tải

- Lập bảng vận tải

- Kiểm tra điều kiện cân bằng thu-phát

- Xác định P.A.C.B (bằng phương pháp chi phí bé nhất)

- Kiểm tra lại có đúng m n+ − 1 ô chọn, rồi chuyển qua bước 2

 Bước 2: Xây dựng hệ thống thế vị u v i, j

- Lấy một hàng i nào đó (chọn hàng có nhiều ô chọn) và gán cho nó một giá trị

u i tuỳ ý (thường cho u = i 0)

- Tính các u v i, j còn lại theo công thức:

 Bước 3: Kiểm tra tính tối ưu

Tính ∆ =ij v j− −u i cij cho các ô loại (dương thì ghi rõ số, âm thì ghi dấu (-)), các

ô chọn thì ∆ =ij 0

+ Nếu ∆ ≤ij 0 ∀ ( , )i j thì phương án tối ưu

+ Nếu tồn tại ∆ >ij 0 thì chưa tối ưu chuyển sang bước 4

 Bước 4: Điều chỉnh phương án để tìm phương án mới tốt hơn

1.Chọn ô đưa vào: Ô loại có cước phí dương (∆ >ij 0) lớn nhất

2 Xác định vòng điều chỉnh

3 Phân ô chẵn lẻ

4 Tìm ô đưa ra và lượng điều chỉnh

5 Lập phương án mới tốt hơn

Các việc 2, 3, 4, 5 làm tương tự như ở thuật toán “Quy 0 cước phí ô chọn”

Sau khi có phương án mới, quay về bước 1 và cứ tiếp tục cho đến khi tìm được phương án tối ưu

 Nhận xét: Thuật toán này dựa trên khái niệm bài toán đối ngẫu và định lý độ lệch

bù yếu khá trừu tượng đối với các bạn không nắm chắc cơ sở toán Về tiến trình tính

toán thì không gọn nhẹ bằng thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn” vì các ∆ij tính ở bước này không được dùng ở bước sau Còn ở thuật toán trước cij ở các bước sau thường rất nhỏ, hầu hết là bằng 0 Về mức độ hiệu quả thì hai phương pháp là như nhau

Ví dụ 5: Giải bài toán vận tải với các số liệu sau đây:

12

75

23 (-)

34 (-)

0

175 24

70

19 (+8)

22 (0)

16

70

27 (-)

j v

12

75

23 (-)

34 (-)

16

85

27 (-) Kết thúc bảng 2, có ∆ ≤ij 0 ( ij) ∀ nên phương án tối ưu là

4.3 Bài toán vận tải có ô cấm

Trong thực tế có một số tuyến đường không thể vận chuyển hàng hóa qua được: cầu, phà, đường sá bị hư hỏng, hoặc không có phương tiện vận tải thích hợp, kế hoạch vận tải phải đảm bảo cho một trạm phát nào đó phát hết hàng hoặc trạm thu nào đó phải thu đủ hàng khi không cân bằng thu phát,…Các ô ứng với các tuyến đường này gọi là các “ô cấm”

?

x = ≠ Do đó bài toán không có phương án

Giải bài toán vận tải với các số liệu sau đây:

Với điều kiện A3 và A4 phải bán hết hàng

4.4 Bài toán vận tải không cân bằng thu phát

- Các ô trên hàng ứng với điểm phát giả này đều có cước phí bằng 0: c(m+1)j = 0 (j= 1, )n

 Chú ý: Khi tìm phương án cơ bản ban đầu, thì phân phối vào các ô chính trước Các

ô trên hàng hoặc cột ứng với các điểm thu và phát giả khi nào còn thừa hàng thì mới phân vào

Ví dụ 7: Giải bài toán vận tải cho bởi bảng dưới đây:

Ta thêm trạm thu giả B4 với lượng hàng b =4 160 120 − = 40

Các ô nằm trên dòng của trạm thu giả có c ij = 0