Bài giảng Toán kinh tế: Chương 3 - Trường ĐH Tôn Đức Thắng

Bài giảng Toán kinh tế: Chương 3 Vi phân hàm hai biến, cung cấp cho người học những kiến thức như: khái niệm hàm hai biến; đồ thị hàm hai biến; đạo hàm riêng; độ co giãn điểm thành phần; thuật toán tìm điểm cực trị; tối ưu trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG 3 VI PHÂN HÀM

HAI BIẾN TỐN KINH TẾ

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 1

KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN

2

Cho , một ánh xạ : gọi là hàm 2 biến , xác định trên Kí hiệu: ( , ).

gọi là miền xác định của

f

( , )x y

D

Ý NGHĨA

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 3

MỘT SỐ VÍ DỤ

2

1) ( , ) f x y  x ln( y  x )

 Tập xác định

2 2 9 2) ( , ) f x y x y

x



MỘT SỐ VÍ DỤ

 Tập xác định

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 5

3) Hàm sản xuất: mô tả những số lượng sản phẩm (đầu ra) tối đa có thể sản xuất bởi một số lượng các yếu tố sản xuất (đầu vào) nhất định, tương ứng với trình kỹ thuật nhất định

Để đơn giản, các yếu tố sản xuất chia thành hai loại

là vốn (K) và lao động (L), hàm sản xuất có dạng:

Q = f(K,L)

MỘT SỐ VÍ DỤ

( , )

Q K L  aK L 

trong đó a, , là hằng số thỏa 1 : chi phí đầu vào (nguyên liệu, máy móc, nhà xưởng, ) : số giờ công lao động trong năm

K L

     

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 7

4) Hàm sản xuất Cobb – Douglas:

MỘT SỐ VÍ DỤ

ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN

ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 9

ĐỒ THỊ HÀM HAI BIẾN

ĐẠO HÀM RIÊNG

 

 

  





  





 

 

'

0 '

0

Cho hàm số ( , )

Đạo hàm riêng cấp 1 của ứng với biến , được định nghĩa như sau:

( , ) ( , ) ( , ) lim

( , ) ( , ) ( , ) lim

Kí hiệäu: , hay ,

x x

f x y

f x x y f x y

f x y

x

f x y y f x y

f x y

y

f f

f f

x y

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 11

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2

 



2

2

Cho hàm số ( , )cócác 1

Đạo hàm riêng cấp 2 của ứng với biến , được địnhnghĩa như sau:

f x y đạohàmriêngcấp

x y x

Năng suất biên của một yếu tố sản xuất biến đổi là phần thay đổi trong tổng sản lượng khi thay đổi một đơn vị yếu tố sản phẩm biến đổi, kí hiệu MP

 Năng suất biên lao động là phần thay đổi trong tổng sản lượng khi thay đổi một đơn vị lao động trong

sử dụng  MP’L = Q’L

NĂNG SUẤT BIÊN

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 13

ĐỘ CO GIÃN ĐIỂM THÀNH PHẦN

 Khái niệm:

đo lường sự thay đổi tương đối giữa chi phí sản xuất theo sản lượng của từng loại sản phẩm

 Công thức:

Cho hàm chi phí TC(Q 1 ,Q 2)

'

( )

( )

CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 15

2 2

f x y  x y  x y

ĐIỂM CỰC TRỊ

ĐIỂM CỰC TRỊ

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 17

( , )

ĐIỂM CỰC TRỊ

THUẬT TỐN TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ

2

Giả sử hàm ( , ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên miền chứa điểm dừng ( , ) Đặt:

( , ) " ( , ) " ( , ) " ( , )

* Nếu ( , ) 0 và " ( , ) 0 thì ( , ) là điểm

xx

f x y

a b f a b f a b f a b

a b f a b a b

   cực đại.

* Nếu ( , ) 0 và " ( , ) 0 thì ( , ) là điểm cực tiểu.

* Nếu ( , ) 0 thì ( , ) không là điểm cực trị.

xx

a b f a b a b

a b a b

 

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 19

CỰC TRỊ RÀNG BUỘC

Cho hàm hai biến ( , ) xác định trên Xét bài toán tìm cực trị của thỏa điều kiện ( , ) 0 Đặt ( , ) ( , ) ( , )

0 B1: Giải hệ pt 0 điểm dừng ( , ) ứng với

( , ) 0

x y

L

x y











 







0

* Nếu ( , ) 0 ( 0) thì ( , ) là điểm cực tiểu.

* Nếu ( , ) 0 ( 0) thì ( , ) là điểm cực đại.

TỐI ƯU TRONG KINH TẾ

 Lợi nhuận nhiều nhất

 Thỏa mãn tiêu dùng nhiều nhất

 Chi phí sản xuất, tiêu dùng ít nhất

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 21

LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT

Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm liên quan với các yếu tố sản xuất như sau:

• Hàm chi phí là C(Qs1;Qs2)

• Doanh thu của doanh nghiệp: R = P1.Qs1 + P2.Qs2

• Lợi nhuận của doanh nghiệp: П(Q s1 ;Q s2 ) = R – C Tìm mức sản lượng Q’s1 và Q’s2 cần sản xuất để lợi

Thị trường cạnh tranh hoàn hảo

Giá sản phẩm do thị trường quyết định  P1 = P’1 ;

P2 = P’2 ấn định trước

Thị trường độc quyền

Giá sản phẩm do doanh nghiệp quyết định nhưng doanh nghiệp luôn muốn tiêu thụ được hết sản phẩm

 Qs1 = Qd1(P1, P2) và Qs2 = Qd2(P1, P2)

 P1(Qs1, Qs2) và P2(Qs1, Qs2)

LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 23

THOẢ MÃN TIÊU DÙNG NHIỀU NHẤT

Người tiêu dùng chi tiêu số tiền I cho hai loại hàng hoá có giá bán là P1, P2

Nhu cầu sử dụng thể hiện qua hàm tiêu dùng:

U(Q1, Q2)

Cần tìm số lượng hàng hoá làm thoả mãn nhiều nhất cho người tiêu dùng với số tiền chi tiêu trên, nghĩa là: P1Q1 + P2Q2 = I

CHI PHÍ SẢN XUẤT ÍT NHẤT

Hàm sản lượng Q(x,y) sản xuất một sản phẩm từ hai nguyên liệu đầu vào, với x và y số lượng hai nguyên

liệu

Hai nguyên liệu này có giá mua vào là P1, P2  hàm

chi phí: C(x,y) = P1x + P2y

Với số lượng sản phẩm cần sản xuất Q(x,y) = Q0

biết trước, hãy tìm số lượng nguyên liệu cần dùng sao cho chi phí sản xuất ít nhất

16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 25