Bài giảng toán cao cấp

Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận Tích của A và B là ma trận cấp ký hiệu: AB được xác định bởi [AB] ij chính là tích vô hướng của vectơ hàng thứ i của ma trận A với vectơ cột thứ j c

BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

KHOA CƠ BẢN

THS NGUYỄN TRUNG ĐÔNG

Slide bài giảng

TOÁN CAO CẤP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017

KHOA CƠ BẢN

Hình thức đánh giá môn học Điểm quá trình (30%)

Điểm kết thúc học (70%)

Giảng viên : ThS Nguyễn Trung Đông Mail : nguyentrungdong144@gmail.com

ĐÁNH GIÁ ĐIỂM QUÁ TRÌNH

Chương 7 Hàm nhiều biến Chương 8 Phương trình vi phân

4

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1) Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho các nhà

kinh tế, NXB Đại học kinh tế Quốc Dân.

(Phần I: Giải tích và Phần II : Đại số tuyến tính)

2) PGS.TS Lê Văn Hốt,Toán cao cấp, Trường

TÀI LIỆU THAM KHẢO

5) Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình giải tích (Một biến + nhiều biến), NXB ĐHQG TPHCM.

Tiếng Anh 6) Second edition CALCULUS CONCEPTS AND CONTEXTS JAMES STEWART.

7) Edward T Dowling, Ph.D, Introduction to Mathematical economics.

8) Ngoài ra, một số tài liệu khác 6

Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Các phần tử [A]11, [A]22, , [A]nn được

gọi là thuộcđường chéo chínhcủa A

Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2, , [A]1n được

gọi là thuộcđường chéo phụcủa A 5

5

0 3

3 Các ma trận đặc biệt 3.4 Ma trận đơn vị (Identity Matrix)

Là ma trận chéo mà mọi phần tử nằmtrên đường chéo chính đều bằng 1

Ký hiệu : Inlà ma trận đơn vị cấp n

8 n

1 0 0

0 1 0 I

Là ma trận chỉ có một hàng (cột) Cònđược gọi làvectơ hàng (cột ).

Một ma trận cấp có thể được xemnhư được tạo bởi m vectơ hàng haybởi n vectơ cột

k.A là ma trận được xác định bởi

(–1).A hay –A được gọilà ma trận đốicủa A.

4 Các phép toán trên ma trận

4.4 Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận

Tích của A và B là ma trận cấp

ký hiệu: AB được xác định bởi

[AB] ij chính là tích vô hướng của vectơ hàng thứ i

của ma trận A với vectơ cột thứ j của ma trận B.13

c.k(AB) = (kA)B = A(kB)

Lưu ý: Tích của A và B không chắc

tồn tại và không có tính giao hoán

Ký hiệu (i) := (i) + (j)

6 Áp dụng của các phép biến đổi sơ

khác 0 đầu tiên của hàng dưới luôn nằm

bên phải số hạng khác 0 đầu tiên của hàng

Ví dụ 13:

22

(2): (2) (1) (3): (3) 3.(2) (3): (3) 2.(1)

8 Ma trận đối xứng (Symmetric Matrix)

Ma trận vuông A được gọi là một ma

trận đối xứng khi và chỉ khi A = AT

các phần tử trong A đối xứng nhau qua

của A, ký hiệu det(A) hay |A|, là một

số thực được định nghĩa bằng quy nạp

theo n như sau :

cột 1 và cột 2 kế bên cột 3 của A như sau:

3 số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích

các phần tử nằm trên ba đường song song với

đường chéo chính

3 số hạng mang dấu âm trong định thức là tích các

phần tử nằm trên ba đường song song với đường

1 2 3 Det(A) 3 4 0

1 2 5



 

        Det(A) 1.4.5 2.0 1 3.3 2 3.4 1 1.0 2 2.3.5             16

7 Định lý.Cho , khi đó

với mọi 1  i0, j0 n

(1) là công thức khai triển theo hàng i0,

(2) là công thức khai triển theo cột j0.

[C]1j = [A]1j + [B]1j[A]ij=[B]ij=[C]ij i = 2 n, j = 1…n

Ta có: detC = detA + detB

d Định thức của ma trận tam giác trên bằng

tích các phần tử thuộc đường chéo chính.

(3): (3) 4(2)

1 2 3 4 9 6 2 4 6 1 2 3 a) 4 9 6 45 1 2 3 ;b) 4 9 6 2 4 9 6 90

3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0

1 2 3 1 2 3 c)A 4 9 6 0 1 6

3 2 0 0 4 9

1 2 3

0 1 6 B

0 0 33 det(A) det(B) 1.1( 33) 33

3 Ma trận nghịch đảo

là hai ma trận nghịch đảo của nhau

Bước 1:Lập ma trận là ma trậngồm n hàng và 2n cột, trong đó

T -1

3 Ma trận nghịch đảo

Cho A  Mmxn Hạng của A là r nếu:

a Mọi định thức con của A cấp lớn

hơn r đều bằng 0

b Trong A tồn tại một định thức con

cấp r khác 0

Ký hiệu: rank(A) hay r(A)

Ta quy ước rank(0) = 0

2 5 

4 Hạng của ma trận

3 Tính chất

a Hạng của ma trận không đổi qua các

phép biến đổi sơ cấp

Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

1 Khái niệm chung

tính (Linear Equations System) là một

Hai hệ phương trình gọi là tương

đươngkhi chúng có cùng tập nghiệm

thì ta nhận được hệ mới tương đương với hệ ban đầu.

Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng trên ma trận các hệ số mở rộng cho ta hệ mới tương đương.6

1 Khái niệm chung

bổ sung về sao cho

là ma trận tam giác trên Nghiệm của hệ được giải từ dòng dưới lên trên.

det A x det A det A x det A det A x det A

1 10 4

kết luận hệ vô nghiệm.

b Bỏ đi các hàng toàn 0 trong , trên mỗi dòng

còn lại chọn 1 ẩn cơ sở để giải, các ẩn còn lại

mang giá trị tự do.

1 4 3

7 3

tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả

2 Nghiệm của hệ thuần nhất

Hệ thuần nhất chỉ có hai khả năng:

a Hệ có duy nhất 1 nghiệm là (0,0, ,0) được

gọi là nghiệm tầm thường.

Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chương 3 Không Gian Vectơ

không gian vectơ

2

1 Các khái niệm cơ bản

1 Không gian vectơ

Cho tập hợp V ≠, trên V có hai

là một không gian vectơ trên , kýhiệu nếu hai phép toán trên Vthỏa các tính chất:

1 Các khái niệm cơ bản

1 Không gian vectơ

 V là một không gian vectơ

1 Các khái niệm cơ bản

1 Không gian vectơ

Ví dụ 2:

phép toán:

 R 3 là một không gian vectơ

 R n là một không gian vectơ 6

1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 2 3

k u k u k u = k k ,k k ,k k      

1 Các khái niệm cơ bản

3 Không gian vectơ con

Cho V là một không gian vectơ, W là

một tập con khác rỗng của V

Nếu  u, v  W, k  , ta có

u+v, k.u  W

Thì ta nói W là một không gian vectơ

con của V (gọi tắt là không gian

con), ký hiệu W  V

9

1 Các khái niệm cơ bản

3 Không gian vectơ con

Ví dụ 4:Cho V = 2

Xét W1={(x,0) | x  }, nhận thấyrằng W1≠ và W1V

Xét W2={(m,2m) | m  }, nhậnthấy rằng W2≠ và W2V

10

1 Các khái niệm cơ bản

4 Không gian sinh bởi tập hợp

Cho V là một không gian vectơ,

1 Các khái niệm cơ bản

4 Không gian sinh bởi tập hợp

4 Không gian sinh bởi tập hợp

HPT thuần nhất theo n ẩn là một không

gian vectơ con của  n

1 Các khái niệm cơ bản

4 Không gian sinh bởi tập hợp

Lưu ý: Khi <S> = V, ta nói S sinh ra

V Khi đó với mọi vectơ v thuộc V,

1 Các khái niệm cơ bản

4 Không gian sinh bởi tập hợp

Ví dụ 6: Chứng minh <S> = V

Xét V =  3 , S = {e1,e2,e3}   3 , với

e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1)

Lấy v = (a,b,c) bất kỳ thuộc  3 , chứng minh

S được gọi làđộc lập tuyến tínhnếu

Ngược lại, S không độc lập tuyến tính và S được gọi làphụ thuộc tuyến tính, nghĩa là

1 Các khái niệm cơ bản

1 2

k 2k 7k3 0 2k k 4k 0

u 1 =(1,-2,1), u 2 =(2,1,-1), u 3 =(7,-4,1) Xét k 1 u 1 + k 2 u 2 + k 3 u 3 = 0,

1 Các khái niệm cơ bản

S phụ thuộc tuyến tính

2 Cơ sở và số chiều của KGVT

Khi đó, số chiều của V, ký hiệudimV = n

Ta nói rằng V là KGVT hữu hạn chiều,

và mọi cơ sở khác của V cũng đều có

ký hiệu

20

 

1 2 S n

k k v k

2 Cơ sở và số chiều của KGVT

2 Tọa độ của vectơ

Ví dụ 9: Cho cơ sở

Ta có

Vậy

S ở trên được gọi là cơ sở chính tắc trong

ĐN tương tự cho cơ sở chính tắc trong

a b 2

4 Tính chất của ma trận đổi cơ sở

Cho 3 cơ sở trong không gian

được gọi là hạng của S

Ký hiệurankS = dim<S>

Số phần tử của tập con độc lập tuyến tính

lớn nhất của S được gọi làsố vectơ tối

• Hoán vị hai vectơ

• Nhân một vectơ với một số khác 0

• Thay một vectơ bằng vectơ đó cộngvới một hằng số nhân vectơ khácThì ta thu được hệ mới S’ và <S’>=<S>28

3 Hạng của hệ vectơ

2 Giải thuật tìm hạng của hệ vectơ

Cho V là KGVT, S={v 1 ,…,v n }  V, W=<S>

Bước 1: Lập ma trận A với

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp

trên hàng để đưa A về ma trận bậc thang,

ta nhận được hệ S’ mới sinh ra W Hạng

của S chính là số các vectơ của S’ 29

1 2

n

v v A

v 1 3 0 1 3 0 1 3 0

v 0 2 4 0 2 4 0 2 4 A

4 Khảo sát cơ sởvàsố chiềucủakhông

gian nghiệmcủa HPTTT thuần nhất

u1, u2độc lập tuyến tính Vậy {u1, u2} là cơ sở của

không gian nghiệm W Số chiều của W = 2

Bài Giảng PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN

  

p(n)

đúngđúng p(n 1) đúng

2 n(n 1)(2n 1) 2) 1 2 3 n

6 n(n 1) 3) 1 2 3 n

Bài Giảng PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN

 Các khái niệm tổng quát

giá trị tương ứng gần tùy ý

Định nghĩa trừu tượng bằng ngôn ngữ:

13

f (x)

f : D  

x a limf (x) L 

1) lim x 2x 5 4 2) lim x

1 3) lim 0 x

Với điều kiện vế phải không xuất hiện dạng vô định

Các dạng vô định thường gặp

16

0 ; ; 0 ;0

1 2) lim sin x

x 1

2.1 Giới hạn của hàm số

x 2

2 x

2x

3 4

x 0

x 2 1) lim

Định nghĩa trừu tượng bằng ngôn ngữ:

2.2 Hàm số liên tục

2 Định nghĩa

Cho hàm sốfxác định trênvới Ta nói hàm sốf liên tục bêntrái tạia khi

Cho hàm sốfxác định trênvới Ta nói hàm sốfliên tục bênphải tạiakhi

Ví dụ 8: Cho hàm số

25

x khi x 0x

tục tại a Nói khác đi, tổng, hiệu,

tích, thương, hợp nối của các hàm liên

2 Đạo hàm của hàm ngược

Cho là hàm liên tục và đơnđiệu ngặt cũng là hàm liêntục và đơn điệu ngặt Hơn nữa khả vitrên thì cũng khả vi trên và

2.3 Đạo hàm của hàm số

Ví dụ 11: Cho hai hàm số sau

Nếu khả vi tại , ta viết

Qui nạp: giả sử khả vi trên

14) f (x)

3.1 Hàm lũy thừa – Hàm căn thức

a Hàm lũy thừa: với

b  a   a b , a,b   

n n

3.1 Hàm lũy thừa – Hàm căn thức

Đồ thị hai hàm ngược của nhau

limsin x sin a; limcos x cosa

sin(a k2 ) sin a; cos(a k2 ) cosa

/ /

(sin x) cos x (cos x) sin x

b Các hàm lượng giác ngược:

Hàm số thu hẹp trên miền

cho hàm lượng giác ngược

3.3 Hàm lượng giác – LG ngược

b Các hàm lượng giác ngược:

 Hàm số thu hẹp trên miềncho hàm lượng giác ngược

cos x 1 (cot x) 1 cot x

d Các hàm lượng giác ngược:

Hàm số thu hẹp trên miền

cho ta hàm lượng giác lượng

3.3 Hàm lượng giác – LG ngược

d Các hàm lượng giác ngược:

d Các hàm lượng giác ngược:

 Hàm số thu hẹp trên miềncho ta hàm lượng giác lượng

3.3 Hàm lượng giác – LG ngược

d Các hàm lượng giác ngược:

Nếu hàm hàm đạt cực tiểu tại điểm

Nếu hàm hàm đạt cực đại tại điểm

63

/ 0 //

thì tồn tại sao cho

Định nghĩa:

Biểu thức: được gọi

là số gia của hàm f, cònđược gọi là vi phân của hàm tạiứng với số gia

0 , 0



 2x

0 , 0



 x

ln(1 2x) lim

2 ln(1 2x) 1 2x

1 x

5.3 Công thức khai triển Taylor

Cho hàmf khả vi vô hạn lần trên khoảng

1) Viết công thức Laylor của hàm số trên

tới số hạng bậc 5 ở lân cận của

5.4 Công thức khai triển Maclaurin

Khi thì công thức khai triển Taylor gọi là công thức khai triển MaclorentPhần dư và đa thức Taylor

( 1) ( 1) ( n 1) 5) (1 x) 1 x x x

gần đúng với sai số không quá

1) e 2) sin31 3) ln 2 4) cos61

Bài Giảng PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN

(với C là hằng số)

Họ tất cả các nguyên hàm của trên được gọi là tích phân bất định của hàm 4

f (x)

F(x) (a,b) F (x) f (x), x (a,b) /   

G(x)

f (x) (a,b) G(x) F(x) C, x (a,b)    

f (x) (a,b)

Các công thức nguyên hàm cơ bản

1 dx cotx C sin x

1.2 Công thức đổi biến

Với hàm đổi biến

2 2

2 Tích phân xác định

cong giới hạn bởi đường thẳng

và đường cong liên tục trên

đoạn

17

x a; x b   (C) y f (x) 

a a     a a  b a ai i 1 b a , i 1,n 

n

a ,ai 1 i xi

Trong đó: a là cận dưới, b là cận trên, f(x)

f (x)dx F b F a    F x



0 0

e 1

 Nếu một tích phân vi phạm mộttrong hai điều kiện trên được gọi là

3.2 Phân loại

Gồm hai loại:

1 dx

x

1 lim x

 Nếu giới hạn này

không tồn tại hay

b Loại 2 Nếu là hàm liên

dx 4)

1 x 1 5) dx x

3.5 Khảo sát sự hội tụ của tích

phân suy rộng sau

liên tục trên Giả sử

1) Nếu hội tụ thì hội tụ

2) Nếu phân kỳ thì phân kỳ





liên tục trên Giả sửKhi đó, ta có

b Định lý 2 Trường hợp đặc biệt

3.5 Khảo sát sự hội tụ của tích

phân suy rộng sau

L 0 

phân suy rộng sau

38

 

3 1

2 1

2 0

liên tục trên Giả sử

1) Nếu hội tụ thì hội tụ

2) Nếu phân kỳ thì phân kỳ

39

(a,b] f (x) g(x), x   b

3.5 Khảo sát sự hội tụ của tích

phân suy rộng sau

liên tục trên Giả sửKhi đĩ, ta cĩ

phân suy rộng sau

41

1

x 0

1

sin x 0

1

e 1 x

+ a

1) Nếu f(x) dx hội tụ thì f(x)dx hội tụ

và ta nói f(x)dx hội tụ tuyệt đối

2) Nếu f(x)dx hội tụ mà f(x) dx phân kỳ

thì ta nói f(x)dx bán hội tụ

Ví dụ 17: Khảo sát sự hội tụ của tích

phân suy rộng sau

43

2

3 2 1

1 2

x 0

Bài Giảng PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN

số thực hay vắn tắt là hàm nhiều biếnD: là tập xác định của f

T=T(D): là miền giá trị của f

1 Các định nghĩa

1.4 Khoảng cách giữa hai điểm trong

Cho hai điểm

Cho Ta nói tiến về

ký hiệu:

Khi đó các giá trị đủ gần A, cácgiá trị tương ứng gần tùy ý

hàm số liên tục tại điểm

x y

4 Đạo hàm riêng cấp 1

f x,y f(x,y)

x x x

2

f : D x,y f x,y

f x,y f(x,y)

y y y

Đạo hàm riêng cấp 2 của f theo biếny

Định lý: (Điều kiện đủ của cực trị)

1) Nếu thì là điểm cực tiểu

i, j

0

X4) Trường hợp chưa kết luận  i, Hi  0

8 Cực trị hàm nhiều biến

3) Nếu thay đổi dấu thì

không là cực trị của f(x,y)

Lưu ý: Nếu ràng buộc là một miền đóng và bị chặn ví dụ như: hình chữ nhật, hình vuông, tam giác, đường tròn, …, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm tất cả các điểm dừng trong miền đóng và bị chặn.

Bước 2: Tính giá trị hàm số tại các điểm dừng

Bước 3: So sánh tất cả các giá trị đó GTLN (GTNN) là lớn nhất (nhỏ nhất) trong các GT đó.

Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau trên miền D

f x,y x 2xy 2y, D (x,y)/0 x 3,0 y 2        

31 32

Bài Giảng PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN

Chương 8

Phương trình vi phân

GV : ThS Nguyễn Trung Đơng

Chương 8 Phương trình vi phân

2

1 Các Khái niệm cơ bản

1.1 Định nghĩa phương trình vi phân

Nghiệm PTVP là một hàm số trên khoảng

dy về một vế rồi lấy tích phân hai vế

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân sau

Phương phápĐổi biến: u y y ux y/ u x u/

/

y 1) y 1

x

2) y

xy 3x y 1 3) y

v(x)y a(x)v(x)y v(x)b(x) v(x)y v(x)b(x) (*)

Nghiệm tổng quát của (1) bằng nghiệm

tổng quát của (2) cộng với nghiệm

y y   a(x)y   b(x)Bước 2: Đặt

/ //

Nghiệm TQ của (1) bằng nghiệm TQ

của (2) cộng với nghiệm riêng của (1)

a) Giải phương trình thuần nhất

a) Giải phương trình thuần nhất

b) Tìm nghiệm riêng của (1) bằng

phương pháp thừa số bất định

25

x n

f (x) e P (x) Trường hợp 1 :

x

r n

y (x) e Q (x) 

Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng:

Nếu không là nghiệm của PT (3)

(với là đa thức tổng quát của )Q (x) n P (x)n

( với là đa thức bậc n của x)P (x) n

26

x

y (x) xe Q (x) 

Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng:

Nếu là nghiệm kép của PT (3)

2 x

y (x) x e Q (x) 

Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng:

Nếu là nghiệm đơn của PT (3)

b) Tìm nghiệm riêng của (1) bằng phương pháp thừa số bất định

x

y (x) e A (x)cos x B (x)sin x     

Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng:

Nếu không là nghiệm của PT (3)  i

(với là đa thức TQ của )A (x),B (x) n n P (x),Q (x) n n

(với là hai đa thức bậc n của x)P (x), Q (x) n n

b) Tìm nghiệm riêng của (1) bằng

x

y (x) xe A (x)cos x B (x)sin x     

Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng:

Nếu là nghiệm của PT (3)  i

(với là đa thức TQ của

b) Tìm nghiệm riêng của (1) bằng

phương pháp thừa số bất định c) Tìm nghiệm riêng của (1) bằng phương pháp biến thiên hằng số

30

Từ nghiệm TQ của PT thuần nhất, ta thay

Tìm nghiệm riêng của(1) dưới dạng: y (x) A(x)y (x) B(x)y (x) r  1  2

Nghiệm TQ của (1): y(x) y (x) y (x)  0  r

c) Tìm nghiệm riêng của (1) bằng

phương pháp biến thiên hằng số

Thỏa điều kiện

Bước 2 Tìm nghiệm riêng dưới dạng

r

y (x) A(x)e   B(x)e / x / 2x

B (x)e sin x B (x) e sin x

A (x)e B (x)e 0 A (x) e sin x

c) Tìm nghiệm riêng của (1) bằng

phương pháp biến thiên hằng số

Thì là một một nghiệm riêngcủa PT: