Bài giảng Toán cao cấp nông nghiệp nhằm trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tư duy logic, phương pháp định lượng trong kinh tế và kỹ thuật. Mời các bạn cùng tham khảo, nội dung phần 1 giáo trình!
Trang 1UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
TOÁN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP
TOÁN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV)
ThS Phạm Thị Kiều Anh
Đồ ng Tháp – 2012 (Lưu hành nội bộ)
Trang 2UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
TOÁN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP
TOÁN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV)
(SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT))
ThS Phạm Thị Kiều Anh
Đồ ng Tháp – 2012
Trang 3LỜI NÓI ĐẦU
1 Đối tượng sử dụng
Dùng cho sinh viên ngành Nuôi trồng thủy sản, Dịch vụ thú y, Bảo vệ thực vật và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài giảng như tài liệu tham khảo
2 Cấu trúc bài giảng: Gồm 4 chương
Đề cương học phần Vi Tích Phân được chia làm 4 chương:
Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3 Mục tiêu môn học
Nhằm trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tư duy logic, phương pháp định lượng trong kinh tế và kỹ thuật
Cụ thể
Cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn và các tính chất của hàm số liên tục
Trang bị các kiến thức về đạo hàm, vi phân hàm một biến Ứng dụng được qui tắc L’Hospital khử các dạng vô định trong tính giới hạn và khảo sát một hàm số, tìm cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất Từ đó, vận dụng để giải một số bài toán tối ưu
Cung cấp các kiến thức cơ bản về tích phân (bất định, xác định, suy rộng) và phương pháp tính các loại tích phân đó Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích – thể tích của một vật thể
Nhằm trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân của hàm nhiều biến làm cơ sở cho việc nghiên cứu Toán học hiện đại ở bậc Đại học và các môn học khác có liên quan
Tuy nhiên, bài giảng không khai thác sâu các vấn đề lý thuyết mà chỉ ở mức
độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật Nhiều định lý được phát biểu không chứng minh mà chỉ hướng dẫn sử dụng thông qua hệ thống ví dụ và bài tập Việc giới thiệu nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mô hình hóa các vấn
đề thực tế thành bài toán Toán học
4 Phương pháp giảng dạy
Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra
Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết
Làm bài tập trên lớp : 7 tiết
Trang 4MỤC LỤC
Trang
Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 5
1.1 Hàm số 6
1.1.1 Hàm số và các phép toán trên hàm số 6
1.1.1.1 Định nghĩa 6
1.1.1.2 Các phép toán trên hàm số 6
1.1.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số 7
1.1.2.1 Tính đơn điệu 7
1.1.2.2 Tính chẵn lẻ 7
1.1.2.3 Tính tuần hoàn 8
1.1.3 Hàm số hợp và hàm số ngược 8
1.1.3.1 Hàm số hợp 8
1.1.3.2 Hàm số ngược 9
1.1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản 9
1.1.4.1 Hàm lũy thừa y =xα, ∀ ∈α 9
1.1.4.2 Hàm số mũ y =a x, 0< ≠a 1 10
1.1.4.3 Hàm số logarit 10
1.1.4.4 Các hàm số lượng giác 11
1.1.4.5 Các hàm lượng giác ngược 12
1.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 13
1.2.1 Giới hạn của dãy số 13
1.2.1.1 Định nghĩa dãy số 13
1.2.1.2 Giới hạn dãy số 14
1.2.1.3 Các phép toán 15
1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt của dãy 16
1.2.2 Giới hạn hàm 16
1.2.2.1 Định nghĩa 16
1.2.2.2 Giới hạn một phía 17
1.2.2.3 Các giới hạn vô tận và ở vô tận 18
1.2.2.4 Các tính chất của giới hạn hàm số 18
1.2.2.5 Các phép toán 19
1.2.2.6 Các dạng vô định 0 ; ; 0 ; 0 ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ 19
1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng 22
1.2.2.8 Đại lượng vô cùng bé – đại lượng vô cùng lớn 23
1.2.3 Tính liên tục của hàm số 25
1.2.3.1 Định nghĩa 25
1.2.3.2 Điểm gián đoạn 25
1.2.3.3 Hàm số liên tục trên đoạn – khoảng 26
1.2.3.4 Các phép toán trên hàm số liên tục 27
1.2.3.5 Tính chất của hàm số liên tục 27
Bài tập chương 1 28
Trang 5Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30
2.1 Đạo hàm của hàm số 31
2.1.1 Đạo hàm 31
2.1.1.1 Định nghĩa 31
2.1.1.2 Đạo hàm một phía 31
2.1.1.3 Mối liên tục giữa liên tục và khả vi 32
2.1.1.4 Các qui tắc tính đạo hàm 32
2.1.1.5 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số 33
2.1.2 Đạo hàm cấp cao 33
2.1.2.1 Định nghĩa 33
2.1.2.2 Các phép toán 33
2.1.2.3 Một số đạo hàm cấp cao thông dụng 33
2.1.2.4 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp 2 33
2.2 Vi phân của hàm số 36
2.2.1 Vi phân 36
2.2.1.1 Định nghĩa 36
2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân 36
2.2.1.3 Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) 36
2.2.2 Vi phân cấp cao 37
2.2.2.1 Định nghĩa 37
2.2.2.2 Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao 37
2.3 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 38
2.3.1 Đinh lý Rolle 38
2.3.2 Định lý Lagrange 38
2.3.3 Định lý Cauchy 38
2.3.4 Các qui tắc L’Hospital (Khử dạng vô định) 39
2.3.5 Ứng dụng của phép tính vi phân 41
2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu 41
2.3.5.2 Cực trị địa phương của hàm số 41
2.3.5.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 43
2.3.5.4 Bài toán tối ưu trong thực tế 43
2.3.5.5 Bài toán về mối liên hệ giữa các tốc độ biến thiên 45
Bài tập chương 2 48
Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 50
3.1 Tích phân bất định 51
3.1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 51
3.1.1.1 Định nghĩa 51
3.1.1.2 Định lý 51
3.1.1.3 Tính chất nguyên hàm 51
3.1.2 Các phương pháp tính 52
3.1.2.1 Phương pháp phân tích 52
3.1.2.2 Phương pháp đổi biến số 52
3.1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần 54
Trang 63.1.3 Tích phân một số hàm thường gặp 56
3.1.3.1 Tích phân các hàm hữu tỉ 56
3.1.3.2 Tích phân các hàm vô tỉ 59
3.1.3.3 Tích phân hàm số lượng giác 60
3.2 Tích phân xác định 62
3.2.1 Tích phân xác định 62
3.2.1.1 Định nghĩa 63
3.2.1.2 Tính chất 63
3.2.1.3 Các định lý cơ bản của phép tính tích phân 64
3.2.1.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 64
3.2.1.5 Ứng dụng của tích phân xác định 67
3.3 Tích phân suy rộng 72
3.3.1 Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân cận vô tận) 72
3.3.2 Tích phân suy rộng loại 2 74
3.3.3 Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng 74
Bài tập chương 3 78
Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 80
4.1 Khái niệm về hàm nhiều biến 81
4.1.1 Khái niệm về không gian n 81
4.1.1.1 Định nghĩa 81
4.1.1.2 Các phép toán 81
4.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến 81
4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến 83
4.2.1 Định nghĩa giới hạn dãy 83
4.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến (giới hạn kép hoặc giới hạn bội) 83
4.2.3 Tính chất (Tương tự như hàm một biến) 84
4.2.4 Tính liên tục của hàm số 85
4.2.4.1 Định nghĩa 85
4.2.4.2 Điểm gián đoạn 86
4.3 Đạo hàm của hàm hai biến 86
4.3.1 Đạo hàm riêng 86
4.3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 1 86
4.3.1.2 Cách tính 87
4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 87
4.3.2.1 Định nghĩa 87
4.3.2.2 Định lý (SCHWARTZ) 89
4.3.3 Đạo hàm của hàm hợp 89
4.3.3.1 Định nghĩa 89
4.3.3.2 Định lý (Quy tắc xích) 89
4.3.4 Đạo hàm của hàm ẩn 90
4.3.4.1 Định nghĩa 90
4.3.4.2 Định lý về sự tồn tại hàm ẩn 90
4.3.4.3 Đạo hàm của hàm ẩn 91
4.4 Vi phân của hàm hai biến 93
4.4.1 Sự Khả vi 93
Trang 74.4.1.1.Định nghĩa 93
4.4.1.2 Mối liên hệ giữa liên tục và khả vi 93
4.4.2 Vi phân toàn phần 94
4.4.2.1 Định nghĩa 94
4.4.2.2 Các qui tắc tính vi phân 94
4.4.2.3 Áp dụng vi phân tính gần đúng 94
4.4.3 Vi phân cấp cao 95
4.4.3.1 Định nghĩa 95
4.4.3.2 Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao 95
4.4.4 Công thức Taylor 96
4.5 Cực trị của hàm hai biến 97
4.5.1 Cực trị địa phương 97
4.5.1.1 Định nghĩa 97
4.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị 98
4.5.1.3 Điều kiện đủ của cực trị 99
4.5.2 Cực trị có điều kiện 100
4.5.2.1 Định nghĩa 100
4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện 100
a) Phương pháp thế 101
b) Phương pháp nhân tử Lagrange 102
4.5.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 104
Bài tập chương 4 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO 109
Trang 8Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Mục đích yêu cầu
Chương này cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến Các phép toán tính giới hạn Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào tính giới hạn Các tính chất của hàm số liên tục
Sau khi học xong chương này, Sinh viên cần đạt được:
- Hệ thống hóa kiến thức về giới hạn của dãy số, hàm số, các phép toán
cơ bản khi việc thực hiện tính giới hạn Hiểu và vận dụng được các phương pháp giải được giới thiệu trong mỗi dạng toán, mỗi vấn đề, áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt đã được giảng dạy
- Hiểu và vận dụng được phép tính trên các đại lượng vô cùng bé (VCB),
vô cùng lớn (VCL) Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử
dạng vô định khi tính giới hạn
- Hiểu được khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, các tính chất hàm số liên tục trên đoạn [ ]a b ,
- Làm được các bài tập tương tự
Trang 9Biến x được gọi là biến độc lập
y = f x( ) được gọi là biến phụ thuộc
Tập D ={x ∈| ( )f x có nghĩa} được gọi là miền xác định của hàm số
Tập Y = f X( ) ={f x( ) | x ∈X được gọi là miền giá trị của hàm số }
* Đồ thị hàm số y = f x( ) là tập hợp các điểm có tọa độ ( , ( ))x f x trong hệ tọa
Chú ý: Hàm số y = f x( ) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lượng x và y
Ví dụ 2 : * Xét một chuyển động đều có vận tốc 60 km/h Mối liên hệ giữa thời
gian chuyển động t(h) và quãng đường đi s(km) của chuyển động là hàm số
Trang 10f x tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) trên miền đó
Ví dụ 3: Hàm y = f x( )=x2 tăng nghiêm ngặt trong khoảng (0;+∞)
Thật vậy, giả sử x x1, 2∈(0;+∞) và x1 <x2
Xét f x( )1 −f x( )2 =x12 −x22 =(x1 −x2)(x1 +x2)< 0 vì x1 <x2
Suy ra f x( )1 < f x( )2
Vậy hàm số đã cho tăng nghiêm ngặt trên (0;+∞)
Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hướng từ trái
qua phải
Đồ thị hàm số tăng Đồ thị hàm số giảm
1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ
Cho hàm số f x xác định trên tập đối xứng D ( x( ) ∀ ∈D thì x− ∈D)
Khi đó: f được gọi là chẵn nếu với mọi x ∈D, ta có:
Trang 11Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy
- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O
1.1.2.3 Hàm số tuần hoàn
Hàm số f x được gọi là tuần hoàn trên miền D nếu tồn tại hằng số ( ) T ≠ 0
sao cho với mọi x ∈D, ta có: f x T( + )= f x( ) Số T0 > 0 nhỏ nhất trong định
nghĩa (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f
Ví dụ 5
* Hàm số y = f x( )= sinx ; y = f x( ) =cosx tuần hoàn với chu kì T0 =2π
* Hàm số y = f x( )= tanx ; y = f x( )= cotx tuần hoàn với chu kì T0 =π
* Hàm số y = sin(ax b+ ); y = cos(ax b+ ) tuần hoàn với chu kỳ T0 2
Trang 12x y = f x( ) có miền xác định X và miền giá trị Y thỏa
với x1 ≠ x2 thì f x( )1 ≠ f x( )2 Khi đó, hàm số ngược của f , kí hiệu f−1 được xác định: f−1:Y → X
y x = f−1( )y (thỏa điều kiện y = f x( )) có miền xác định
+ Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng với
nhau qua đường thẳng y =x
+ Có một số hàm nếu xét chung trên miền xác định của nó thì không tồn tại hàm ngược nhưng khi giới hạn lại miền xác định thì sẽ tồn tại hàm ngược, cụ thể :
Trang 13* Luôn đi qua điểm (1;1)
* α >0 hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)
* α < 0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞)
Một số tính chất của lũy thừa
=
< ( 1)
x
y a a
=
>
Trang 14Miền xác định của hàm logarit là D =(0,+∞) và miền giá trị là T =
Logarit thập phân : lgb = logb =log10b
Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb = loge b(với
n n
* Luôn đi qua điểm (1, 0) , nằm bên
phải trục Oy và tiệm cận với Oy
a
b c
lg
x x e
=
Trang 151.1.4.4 Các hàm số lượng giác
cos x và sin x được xem là tọa độ của điểm P trên đường tròn đơn vị (C), ở x
vị trí cách điểm A(1,0) một độ dài x , được đo dọc theo đường tròn (C) theo ngược
chiều kim đồng hồ nếu x > 0 và cùng chiều nếu x < 0 Khi đó, số đo của góc
AOP =x (radians) Ta cũng định nghĩa sin
tan
cos
x x
giá trị là T = , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0 =π
* Hàm số y = cotx có miền xác định là D = \{ }kπ (k ∈ và miền giá trị )
là T = và tuần hoàn với chu kỳ T0 =π
1.1.4.5 Các hàm lượng giác ngược
Trang 16
(1.1.6)
Ví dụ 11: arc cot 0 = ; arc cot(-1) = 3 ; arc cot 3 =
* Qui ước : arc cot(+∞ =) 0; arc cot(−∞ =) π
1.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số
1.2.1 Giới hạn của dãy số
Trang 171
n n
Chú ý: Nếu dãy { }x n có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngược lại nếu { }x n không
có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ
Trang 18Ta chọn số tự nhiên N sao cho 0 2
0
N > M Khi đó: ∀M > 0, ∃N0 : n∀ > N0 ⇒ n >M Vậy lim
3lim
2 4lim
Trang 19Dãy tăng hoặc giảm được gọi là dãy đơn điệu
ii) Dãy { }x n được gọi là bị chặn dưới (trên) nếu tồn tại A sao cho
,
n
A≤ x ∀n(x n ≤A n,∀ )
Dãy { }x n được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và chặn dưới
1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt của dãy
i) Giới hạn của một dãy { }x n (nếu có) là duy nhất
ii) Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn
Ngoài ra ta còn chứng minh được các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy như sau
Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa)
Cho { }x n , { }y n và { }z n Nếu: lim n lim n
Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn)
Nếu { }x n tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì nó là dãy hội tụ (có giới hạn hữu hạn)
Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để dãy { }x n hội tụ là
Trang 20* Định nghĩa tương đương (ngôn ngữ dãy số)
Hàm số f x có giới hạn là L khi ( ) x → x0 nếu
Trang 21Giới hạn ở vô tận: Giả sử f x( ) xác định trên tập không bị chặn X
Số L được gọi là giới hạn phải của f x khi ( ) x → +∞ nếu
ii) Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất
iii) Cho f x( ), ( )g x và ( ) h x xác định trong lân cận của x (không cần xác 0
Trang 22Nếu ( )f x hay ( ) g x có chứa căn cùng bậc thì ta nhân tử và mẫu của
phân thức với lượng liên hợp
Nếu ( )f x hay ( ) g x có chứa căn không đồng bậc
Trang 235 6lim
+ Nếu f x và ( )( ) g x là đa thức thì chia tử và mẫu của phân thức
cho x với n là số mũ cao nhất của x trong ( ) n f x và ( ) g x
+ Nếu f x và ( )( ) g x có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho
luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp
Trang 24x
x x
* Nếu bậc của P lớn hơn bậc của Q thì f x( )→ ∞
* Nếu bậc của P nhỏ hơn bậc của Q thì f x( )→ 0
* Nếu bậc của P bằng bậc của Q thì giới hạn của f x là một hằng số ( )
+ Nếu có căn ta ta nhân với lượng liên hợp để khử dạng vô định
+ Sau đó chia tử và mẫu cho x (n là số mũ cao nhất của x) nếu cần n
Trang 25x x
1 coslim
x
x x
x→ x x
−+
cos 3lim
x x
e x
Trang 26→ Sử dụng định lý giới hạn của hàm hợp và tính liên tục của
hàm số mũ và hàm số logarithm mà ta sẽ xét ở phần sau, có thể chứng minh được công thức:
2 0
0 0
sin 1
lim 2 sin lim (cos 2 1).
1/
0
x x x
1lim
1
x x
x x
1.2.2.8 Đại lượng vô cùng bé – đại lượng vô cùng lớn
Hàm ( )α x được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x →x0 nếu
lim ( ) ln ( ) ( )
x x u x e →
?