Bài giảng toán cao cấp nông nghiệp phần 2 trường cao đẳng cộng đồng đồng tháp

50 Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN C ỦA HÀM M ỘT BIẾN ���� Mục đích yêu cầu Học xong chương này, Sinh viên phải thành thạo Nắm vững công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản Các tính chất của tích[.]

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN



 Mục đích yêu cầu

Học xong chương này, Sinh viên phải thành thạo:

- Nắm vững công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản

- Các tính chất của tích phân bất định, tích phân xác định

- Các phép tính tích phân bất định, tích phân xác định: phân tích, đổi biến

số, từng phần

- Tích phân các hàm số hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác đơn giản qua từng vấn đề

- Nắm vững cách dùng công thức Newton – Leibniz

- Phân biệt được sự khác nhau giữa phép biến đổi trong tích phân bất định và tích phân xác định

- Vận dụng được các phương pháp tính tích phân

- Ứng dụng tính diện tích – thể tích

- Tính các tích phân suy rộng loại 1 và loại 2



 Kiến thức chuẩn bị

Để học được chương này cần trang bị các kiến thức:

- Các công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp

- Các cách tính đạo hàm và vi phân của các hàm một biến

- Các cách tính giới hạn học ở chương 1 và chương 2

3.1 Tích phân không xác định 3.1.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định

3.1.1.1 Định nghĩa

Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( )( ) f x trên ( )a b nếu ;

(3.1.1)

Ví dụ 1: (sinx)' = cosx ⇒ sinx là nguyên hàm của c x os

3.1.1.2 Định lý

* Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó

* Nếu F x là nguyên hàm của ( )( ) f x thì ( ) F x +C cũng là nguyên hàm của

( )

f x (Việc tìm nguyên hàm của hàm số còn gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó)

Định nghĩa

Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số f x được gọi là tích phân không xác ( )

đị nh của f x , kí hiệu là: ( ) ∫f x dx( )

(3.1.2)

3.1.1.3 Tính chất của tích phân không xác định Cho f g là các hàm số có nguyên hàm Khi đó ,

i) ∫λf x dx( ) =λ∫f x dx( ) (λ là hằng số)

ii) ∫ [f x( )±g x dx( )] = ∫f x dx( ) ±∫g x dx( ) iii) ( )'

f x dx = f x

iv) ∫f x dx′( ) = f x( )+C

f x dx = F x +C

∫

( )

Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của các HSCB y = f x( ) Hàm y =ax b+ (a ≠ 0)

dx = +x C

1

1

x

α

+

+

2

x = − +x

∫ (x ≠ 0)

1

2

ln

x

a

= +

e dx =e +C

1

ln

sinxdx = - cosx C+

cosxdx = sinx C+

2

1

tan

2

1

cot

2

1

∫ 2

1

+

∫

arctanx

+

∫

2

ln

x

+

∫

ln 2

x a

−

∫

2 2

1

ln

±

∫

2

∫

2

+

∫

1 ln

a x b

′ +

′

1

a

ln

+

1 sin(ax b dx) - cos(ax b) C

a

∫

1 cos(ax b dx) sin(ax b) C

a

∫ 2

+

2

+

3.1.2 Các phương pháp tính

3.1.2.1 Phương pháp phân tích Biến đổi hàm dấu tích phân về dạng tổng của các hàm đơn giản hoặc dạng một hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 2: a)

3

dx

dx

3.1.2.2 Phương pháp đổi biến số

 Qui tắc 1 Đặt t =ψ( )x , trong đó ψ( )x là một hàm khả vi theo biến t Ta có

(3.1.3)

 Qui tắc 2

Đặt x =ϕ( )t , trong đó ϕ( )t là một hàm khả vi và đơn điệu nghiêm ngặt theo

biến t Ta có

(3.1.4)

 Chú ý: Qui tắc 2 thường áp dụng khi có tích phân có chứa

2 2; 2 2; 2 2

* ∫R x a( , 2 −x dx2) , đặt sin

cos

x



= 

* ∫R x a( , 2 +x dx2) , đặt tan

cot

x = a t

* ∫R x x( , 2 −a dx2) , đặt sin

cos

a t

t





= 





Ví dụ 3: Tính tích phân của các hàm số sau:

a) I = ∫(x2 −3x +1) (25 x −3)dx b)

3

3 2

sin x

x

= ∫ (a > 0)

[ ( ) ( )] ( )

f ψ x ψ′x dx = f t dt

[ ]

f x dx = f ϕ t ϕ′t dt

Giải

a) Đặt t =x2 −3x + ⇔1 dt =(2x −3)dx Khi đó

b) Đặt t = 3x ⇔ t3 = ⇔x 3t dt2 =dx

t

t

= ∫ = ∫ = − + = − + 

Tính các tích phân sau:

a) ∫tan xdx b)

dx

x dx x

+ +

∫

Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I = ∫ a2 −x dx a2 ( > 0)

Giải

Đặt x = a sint ⇒dx =acostdt, với ;

2 2

t ∈ − π π

Khi đó

2

2

a

2

Mà sin x arcsinx

= ⇒ =

2 sin 2 2 sin cos 2 x

a

2

2

1

3.1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u, v là các hàm khả vi Khi đó, ta có:

(3.1.8)

?

 Nhận xét: Nếu ( )P x là một đa thức

Giải:

a) Đặt

⇒

Khi đó I =xsinx −∫sinxdx =xsinx +cosx C+

b) Đặt

2 2

1

2

v

⇒

Khi đó

2

x

 Chú ý

- Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần

- Phép lấy tích phân từng phần liên tiếp nhiều khi đưa về tích phân ban đầu

Đặt

Dạng

( ) sin( )

( ) cos( )

( ) ax b

P x e + dx

( )arcsin( )

( )arccos( )

( ) ln( )

sin( )

ax b

sin( )

ax b

Tính: a) = ∫ sin

3.1.3 Tích phân một số hàm thường gặp

3.1.3.1 Tích phân các hàm hữu tỉ

1

k

k

x a

−

−

c) 2 dx

ax +bx c+

∫



 Nếu ax2 +bx c+ = 0, có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng công thức

ln 2

x a

−

∫

ln

x a

−



 Nếu ax2 +bx c+ = 0, có nghiệm kép

∫

ln

x a

−



 Nếu ax2 +bx c+ = 0 vô nghiệm

Áp dụng công thức: 2 1 2 1

arctanx

+

Ví dụ 6: Tính:

dx I

=

− −

dx J

=

− +

dx K

=

+ +

∫

Giải

2

3

ln

a I

x

−

∫

b)

1

?

c)

Tính

dx I

=

− −

dx J

=

− −

3

dx K

=

−

∫

+ +



 Nếu ax2 +bx c+ = 0, có hai nghiệm phân biệt Ta dùng phương pháp cân bằng hệ số đồng bậc, đưa về cách tính như ở mục a)



 Nếu ax2 +bx c+ = 0 vô nghiệm hay có nghiệm kép Ta phân tích

2

ln

ax b

+ +

* 2 dx

ax +bx c+

∫ thì tính như ở mục c)

x

−

=

− +

1

x

+

=

+ +

∫

Giải

a) Ta phân tích

2

* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta được :

5

B

⇒

=

− − = − 



2

x

2 2

x

+

∫

?

e) Tổng quát ( )

( )

P x

Q x

= ∫

Bước 1: Nếu bậc đa thức P x lớn hơn bậc đa thức ( )( ) Q x thì ta chia ( ) P x cho

( )

m x

Q x = +Q x (trong đó: m x là đa thức và bậc ( )( ) p x < bậc

( )

Q x )

 Bước 2: Phân tích mẫu số của phân thức ra các thừa số tuyến tính và bậc 2:

(trong đó a b, , ∈
, c2 −4d <0,e2 −4f < 0 và m+ + +p 2(l k+ )=n)

 Bước 3: Phân tích phân thức ( )

( )

p x

Q x thành tổng của các phân thức hữu tỉ đơn giản

sau:

( )

l

 Bước 4: Xác định các hệ số A A1, 2, ,M M1, 2, ,N N1, 2, bằng phương pháp

hệ số bất định

Tích phân các hàm hữu tỉ đơn giản

x a

−

*

1

1

K K

− +

−

+

=

+ +

∫

( )

2

2

N

+

+ +

Đặt

2 2

;

2

2

1

t

α

+

∫

2 1 2

p x

+

*

2 2

;

q

Đặt x

α

+

= ta được :

2

dt I

t

=

+

∫ được tính theo công thức truy hồi

Ví dụ 8: Tính

2 2

1

− +

=

+ + +

Giải * Ta phân tích

* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta được :

1

3 1

2

1

A B

A

A B C

A C

=

+ + = − ⇔

= = −



+ =



x

− −

3 ln 1

+

2

3 ln 1

x

x

+ +

+ +

x

Tính a)

2

1

+ −

=

− + −

( 1)

x x

=

−

∫

3.1.3.2 Tích phân các hàm vô tỉ: ,n ax b

cx d

+

Đặt n ax b

t

cx d

+

=

+ , đưa tích phân đã cho về dạng hàm số hữu tỉ

?

Ví dụ 9: Tính 3

dx I

x

= + +

Giải: Đặt t = 3x + ⇔1 t3 = +x 1⇒ 3t dt2 =dx

Khi đó

3( )2

1

2

x

=  − + + + +  +

 Chú ý : Nếu tích phân có dạng ,n1 ax b,n2 ax b, ,n k ax b

đổi biến bằng cách đặt n ax b

t

cx d

+

=

+ với n =BCNN n n( ,1 2, ,n k)

Ví dụ 10: Tính

(3 1)

dx I

=

+

∫ Đặt t = 6x

3.1.3.3 Tích phân hàm số lượng giác Tính I = ∫R(sin , cos )x x dx, trong đó R u v là hàm hữu tỉ theo ,( , ) u v

 Phương pháp chung

t

+

Khi đó

2

,

∫ Đây là tích phân hàm hữu tỷ theo biến t

Một số trường hợp đặc biệt

Bằng phép thế tan

2

x

t = bao giờ cũng đưa về nguyên hàm của hàm hữu tỷ

theo t nhưng nhiều khi phép thế đó đưa đến việc tính toán phức tạp Với một số

dạng đặc biệt ta có tính toán đơn giản hơn

 Dạng 1: ( sin , cos )R − x − x =R(sin , cos )x x thì ta đặt t = tanx (hàm chẵn theo

sin x , os c x )

1

dt

t

+

2

−

2

1

t

 Dạng 2: ( sin , cos )R − x x = −R(sin , cos )x x thì ta đặt t = cosx (hàm lẻ theo

sin x )

 Dạng 3: (sin , cos )R x − x = −R(sin , cos )x x thì ta đặt t = sinx (hàm lẻ theo

cos x )

Ví dụ 11: Tính:

a)

4 sin 3 cos 5

dx I

=

dx J

=

−

c) K = ∫cos3xdx d)

3 sin cos

xdx L

x

= ∫

Giải

tan

t

+

2

2 1

dt

dt t

I

+

2

dt

1

dt

t

+

Khi đó

( )2 2

3

t

−

c) Đặt t = sinx ⇔dt = cosxdx

∫

2

sin

d) Đặt t =c xos ⇔dt = −sinxdx

−

L

Tính : a)

3 5 cos

dx I

x

= +

2 4

os

x

+

c)

3 2

sin

x

=

+

sin cos

dx L

= ∫

?

Ngoài ra trong một số trường hợp việc áp dụng các công thức lượng giác đã học giúp ta nhận được kết quả dễ dàng hơn

Ví dụ 12: Tính I = ∫sin 5 sin 3x xdx

3.2 Tích phân xác định

 Bài toán tính diện tích hình thanh cong Cho hàm số ( ) :C y = f x( ) xác định dương trên [ ]a b , có đồ thị biểu diễn như ;

hình vẽ

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f x x( ); =a x, =b và trục Ox được

gọi là hình thang cong

 Ta tính diên tích hình thang cong AabB đó

 Ta chia đoạn [ ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: ;

x = <a x <x < <x =b

 Tương ứng hình thang cong cũng được chia thành n cột cong nhỏ

 Ta gọi ∆x i đồng thời là đoạn thẳng và là độ dài của đoạn

-1

[x i ,x i i], =1, ,n và d là độ dài lớn nhất của các ∆x i: { }

≤ ≤

1 x

i n

 Trên mỗi đoạn ∆x i lấy điểm tuỳ ý c i

 Nếu ∆x i khá bé có thể xem diện tích của cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích

của hình chủ nhật có hai kích thước ∆x i; f c : ( )i

( )

S = f c ∆x (S là cột cong thứ i ) i

 Do đó diện tích S của AabB có thể xấp xỉ với

1 ( )

n

i

=

= ∑ ∆

* Định nghĩa: Diện tích hình thang cong AabB là

(nếu tồn tại) (3.1.11)

( )

y = f x

y

1

i

x − c i x i

B

A

n

n

S f c x

→ =

3.2.1 Định nghĩa Giả sử y = f x( ) là hàm số xác định và bị chặn trên [ ]a b ;

 Chia [ ]a b thành n đoạn nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia ;

x = <a x < x < <x =b Gọi ∆ =x i x i −x i−1, (i =1;n) và đặt

{ }

≤ ≤

1 x

i n

 Trên mỗi đoạn ∆x i lấy điểm tuỳ ý c và lập tổng tích phân i

1 ( )

n

i

=

= ∑ ∆

 Khi n → ∞ thì d n → 0 nếu tồn tại giới hạn

→∞

= lim n

n

thuộc vào cách chia đoạn [ ]a b và cách lấy điểm ; c i ∈ ∆x i thì giới hạn này được gọi là tích phân xác định của hàm số f x trên ( ) [ ]a b , kí hiệu: ; ( )

b a

f x dx

∫ Khi đó, ta cũng nói f x khả tích trên ( ) [ ]a b ;

(3.2.1)

* Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Diện tích hình thang cong AabB (ở trến) chính là: ( )

b a

S = ∫f x dx 3.2.2 Tính chất

Cho hàm số f g khả tích trên , [ ]a b Khi đó ;

f x ±g x dx = f x dx ± g x dx

kf x dx =k f x dx

iii) Nếu f x( )≤g x( ) ∀ ∈x [ ]a b; thì ta có ( ) ( )

f x dx ≤ g x dx

iv) Nếu f x là hàm chẵn thì ( )

0

a

−

=

v) Nếu f x là hàm lẻ thì ( ) ( ) 0

a a

f x dx

−

=

→ =

0 1

n

d i a

vi) Với c∈[ ]a b; , ta có ( ) ( ) ( )

f x dx = f x dx + f x dx

3.2.3 Các định lý cơ bản của phép tính tích phân

Định lý 1 (Đạo hàm theo cận trên)

Nếu f x liên tục trên ( ) [ ]a b thì với ; x ∈[ ]a b; , hàm số ( ) ( )

x a

F x = ∫f t dt khả vi

tại x và ta có '( ) ( ) ( )

x a

d

dx

Hệ quả : ( ) ( ) [ ( )] ( )

x a

ϕ

′

′

=

( )

( )

x x

ψ ϕ

′

Ví dụ 13: Tính giới hạn:

2

0 3 0

sin

0 lim

0

x

x

tdt L

x

→

∫

 

 

Giải

( )

2

0

sin

3

x

tdt

x

′

Định lý 2 (Công thức Newton – Leibniz)

Nếu f x liên tục trên ( ) [ ]a b và ( ); F x là một nguyên hàm của ( ) f x thì

(3.2.10)

3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định

Có 2 phương pháp như §1

a) Phương pháp đổi biến số (Nhớ đổi cận)

b a

I = ∫f x dx với f là hàm liên tục trên [ ]a b ;

b

b a a

∫

 Qui tắc 1: - Đặt t =ψ( )x sau đó tính dx theo t và dt

- Đổi cận:

α β

= ⇒ =



- Tính f x dx( ) =g t dt( ) (theo t )

Ví dụ 14: Tính a) = ∫

2

ln

e e

dx I

0

sin

1 os

J

π

= +

∫

Giải

a) * Đặt = ln ⇔ = dx

x

* Đổi cận





= ⇒ =



1

Khi đó = ∫2 = 2 =

1 1

dt

b) * Đặt x = − ⇔π t dx = −dt

* Đổi cận

0 0

π

π

= ⇒ =





J

J

π

Suy ra

2

0

arctan(cost)

J

Tính: a) =

−

1

ln

1 ln

e

xdx I

5 2 9

5 3

0 (1 )

x dx K

x

=

+

π

π

−

= ∫2 3 3 2

cos sin

xdx L

x

 Qui tắc 2: - Đặt x =ϕ( )t ⇒dx =ϕ′( )t dt

- Đổi cận:

α β

= ⇒ =



b

a

β α

= ∫ = ∫

?

- Suy ra : (3.2.12)

Ví dụ 15: = ∫1 − 2

0 1

Giải

* Đặt x =sint ⇒dx = costdt , với ;

2 2

t ∈ − π π

* Đổi cận:

π





= ⇒ =



1

2

Khi đó

π

2 2

0

Tính

2

2 0

4

b) Phương pháp tích phân từng phần

Cho u, v là các hàm có đạo hàm liên tục trên [ ]a b Khi đó, ta có: ;

(3.2.13)

Ví dụ 16:

1

2 0

( 1) x

Giải

1

1 2

=



= +

⇒

Khi đó

1

( 1)

Tính: a)

/ 3 2 / 4sin

xdx I

x

π π

1 ln

e

J = ∫x xdx

b a

β α

ϕ ϕ′

= ∫ ( ) = ∫ ( ( )) ( )

b

a

?

?

3.2.5 Ứng dụng của tích phân xác định

a) Diện tích hình phẳng

* Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường thẳng x =a , x =b, y = 0

và cung của đồ thị hàm số liên tục y = f x( ) trên [ ]a b được tính theo công thức ;

(3.2.14)

 Nếu ( )f x ≥ 0 thì ( )

b a

S = ∫f x dx

 Nếu ( )f x ≤ 0 thì ( )

b a

S = −∫f x dx

 Lưu ý: Cho ( )f x =0 (1) để tìm nghiệm của nó (i) Nếu (1) không có nghiệm trên [ ]a b thì ;

= ∫ ( ) = ∫ ( )

(ii) Nếu (1) có đúng 1 nghiệm c∈[ ]a b; thì

= ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( )

(iii) Nếu (1) có đúng 2 nghiệm c c1 2, ∈[ ]a b; và c1<c2 thì

= ∫ = ∫1 + ∫2 + ∫

 Chú ý: Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng x =g y( ), g y liên tục ( )

trong [ ]c d thì diện tích S được tính theo công thức ;

(3.2.18)

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

x =a , x =b và cung của hai đồ thị hàm số liên tục

1( ); 2( )

y = f x y = f x trên [ ]a b được tính theo công thức ;

(3.2.19)

1( ) 2( )

b

a

S = ∫ f x −f x dx

( )

y = f x

y

S

= ∫ ( )

b

a

S f x dx

( )

d

c

S = ∫ g y dy

2 ( )

y = f x

y

S

1 ( )

y = f x

 Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho f x1( )−f x2( )= 0 để tìm nghiệm thuộc

[ ]a b , rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của ; đoạn [ ]a b ;

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung có phương trình x = x t( ), y =y t( ), 1

( )

a =x t , b =y t( ),2 y = 0 thì diện tích là

(3.2.20)

Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C1 y2 =2px và

2 2 (C ) :x = 2py p > 0

Giải

* Tìm giao điểm của (C và 1) (C : 2)

2 2

2 2

2

2

x

p



⇔

Từ (1) và (2):

4

2

0

2 4

x x

p

=



=



* Diện tích cần tìm là :

2 0

4 2

p

x

p

=  −  =

Ví dụ 18: Tính diện tích của

E

Giải

Phương trình tham số của (E) là

cos (0 t 2 ) sin



≤ ≤

Do tính đối xứng của hình, ta có

2

π

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2 = 2x +1 và x y− − =1 0 b) Tính diện tích của hình tròn ( ) :C x2 +y2 =R2

?

y

- a

b

O

x

a -b

2

1

( ) '( )

t

t

S = ∫ y t x t dt

2p

2

p

y

2

2

2

2

b) Độ dài cung của đường cong phẳng

* Cung (L) có phương trình y = f x( ), (a ≤ ≤x b )

Độ dài cung của (L) là [ ]2

b a

l = ∫ + y t′ dt (3.2.21)

* Cung (L) có phương trình tham số ( 1 2)

( ) t ( )

=



≤ ≤



=

1

t t

l = ∫ x t′ + y t′ dt (3.2.22)

Ví dụ 18: Tính độ dài cung cycloid: ( sin ) 0( 2 )

(1 cos )

t



≤ ≤



= −

Giải Ta có: x′=a(1−c tos ); y′ =asint

Độ dài cung cần tìm là

2

0

2

t

a) Tính độ dài dây cung parabol

2 2

x

y = từ gốc O(0, 0) đến điểm M ( )2;2 b) Dùng tích phân xác định kiểm chứng chu vi đường tròn bán kính R là 2 Rπ

c) Thể tích của vật thể

Giả sử ta có một vật thể giới hạn hai mặt phẳng x =a và x =b Mặt phẳng

vuông góc với trục Ox tại x ∈( )a b cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích là , ( )

S x và ( ) S x là hàm liên tục tại x Khi đó, thể tích vật thể được tính bởi công

thức

(3.2.23)

d) Thể tích của vật thể tròn xoay

Vật thể tròn xoay là vật thể được tạo nên khi quay một miền phẳng quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa miền đó

Để tính thể tích vật thể tròn xoay, ta xem xét hai phương pháp: cắt lớp và vỏ

hình trụ Việc chọn phương pháp nào thích hợp với một vật thể đã cho dựa và phương trình các đường giới hạn miền được quay và trục quay

( )

b

a

V = ∫S x dx

?

Giải

* Tìm giao điểm (C 1) (C : 2< /sub>)

2 2

2 2

2

2

x... ),2< /sub> y = diện tích

(3 .2. 20)

Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( ) :C1 y2< /sup> =2< i>px

2 2...

2p

2< /i>

p

y

2< /small>

2

2< /small>

2< /h3>