BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP A1 HỆ ĐẠI HỌC GIẢNG VIÊN : THS. HUỲNH VĂN HIẾU

Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3.. Phép tính tích phân hàm một biến số Chương 4.. Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 2.. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm củ

Trang 1

BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP A1

HỆ ĐẠI HỌC

GIẢNG VIÊN : THS HUỲNH VĂN HIẾU

Trang 2

TOÁN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

Số tiết: 45 Chương 1 Hàm số một biến số

Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến số

Chương 3 Phép tính tích phân hàm một biến số

Chương 4 Lý thuyết chuỗi

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1

Giảng viên: ThS Huỳnh Văn Hiếu

Tải Slide bài giảng Toán A1 Đại học tại

Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y là một quy luật

mà mỗi x X xác định được duy nhất một y Y

Khi đó:

 Miền xác định (MXĐ) của f , ký hiệu D , là tập f X

 Miền giá trị (MGT) của f là:

G  yf x x X

BÀI 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ (THAM KHẢO)

BÀI 2 : GIỚI HẠN HÀM SỐ

Trang 3

 Nếu ( )f X  thì f là toàn ánh (hay tràn ánh) Y

 Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh

Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện G g D f

Khi đó, hàm số ( )h x (f g x)( )f g x[ ( )] được gọi là

hàm số hợp của f và g

 Chương 1 Hàm số một biến số 2.1.3 Hàm số ngược

Hàm số g được gọi là hàm số ngược của hàm số f nếu:

Trang 4

3arccos

Trang 5

2.2.1 Các định nghĩa

 Định nghĩa 1. Cho hàm f x xác định trong ( ; )( ) a b

Ta nói f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x tiến đến ( )

 Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)

Cho f x xác định trong ( ; )( ) a b Ta nói ( ) f x có giới hạn

là L (hữu hạn) khi x x0 [ ; ]a b nếu với bất kỳ dãy

{ }x trong n ( ; ) \ { }a b x mà 0 x n x0 thì f x( )n  L

 Chương 1 Hàm số một biến số

 Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)

• Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x  

nếu với mọi   cho trước ta tìm được số 0 M  sao 0

cho khi x M thì ( )f x L  

Ký hiệu là: lim ( )

 

• Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x  

nếu với mọi   cho trước ta tìm được số 0 m  sao 0

cho khi x m thì ( )f x L  

Ký hiệu là: lim ( )

 

Trang 6

 Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)

• Ta nói f x có giới hạn là L   khi ( ) x x0 nếu với

mọi số M  lớn tùy ý, ta tìm được số 0   sao cho 0

• Ta nói ( )f x có giới hạn là L   khi x x0 nếu với

mọi số m  tùy ý, ta tìm được số 0   sao cho khi 0

 Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)

• Nếu ( )f x có giới hạn là L (L có thể là ) khi xx0

(x hữu hạn) và 0 x x0 thì ta nói f x có giới hạn phải( )

• Nếu ( )f x có giới hạn là L (L có thể là ) khi xx0

(x hữu hạn) và 0 x x0 thì ta nói f x có giới hạn trái( )

Trang 7

 nếu nm; b) L  nếu n0  ; m

c) L   nếu nm

 Chương 1 Hàm số một biến số 2.2.3 Một số ví dụ

Trang 8

2 1lim

3

x x x

x L

Trang 9

VD 7 Tìm giới hạn

2 3 2

2

3lim

1

x x

lim 1

x x

x L

coslimcos 2

x x

x L

Le ; C

1 2

Le ; D L  1

§3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN

3.1 Đại lượng vô cùng bé

x

  là VCB khi x  

Trang 10

 Chương 1 Hàm số một biến số b) Tính chất của VCB

• Định nghĩa

Cho ( ), ( )x x là các VCB khi x x0,

0

( )lim( )

– Đặc biệt, nếu k  , ta nói ( )1  x và ( )x là các VCB

tương đương, ký hiệu ( )x ( )x

2

x x

Trang 11

• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0

( )

x x

Trang 12

VD 4 Tính giới hạn

2 2 0

ln(1 2 sin )lim

x

2( )2

Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho

hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử

hoặc mẫu của phân thức

Trang 13

3 2

1cos 4 3

• Định nghĩa

Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi x x0,

0

( )lim( )

x x

f x k

g x

Khi đó:

– Nếu k  , ta nói ( )0 f x là VCL cấp thấp hơn ( ) g x

– Nếu k  , ta nói ( ) f x là VCL cấp cao hơn ( ) g x

– Nếu 0  , ta nói ( )k f x và ( ) g x là các VCL

cùng cấp

– Đặc biệt, nếu k  , ta nói ( )1 f x và ( ) g x là các VCL

tương đương Ký hiệu f x( )g x( )

Trang 14

Chú ý Hàm ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ] a b thì có đồ thị là

một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó

Trang 15

4.2 Định lý

• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại

x là hàm số liên tục tại 0 x 0

• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó

• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và

Trang 16

4.4 Phân loại điểm gián đoạn

• Nếu hàm ( ) không liên tục

tại x0 thì x0 được gọi là

điểm gián đoạn của ( ) f x O x

nhưng f x( 0), f x( 0) và f x không đồng thời bằng ( )0

nhau thì ta nói x0 là điểm gián đoạn loại một

Ngược lại, x là điểm gián đoạn loại hai 0

 Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến số

BÀI 1 : ĐẠO HÀM

BÀI 2 : VI PHÂM

BÀI 3 : CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI – CỰC TRỊ

BÀI 4 : KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN

BÀI 5 : QUY TẮC L’HOSPITAL

Trang 17

§1 ĐẠO HÀM 1.1 Các định nghĩa

đạo hàm vô cùng tại x 0

• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng

một phía

Chú ý

Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x thì tiếp 0

tuyến tại x của đồ thị 0 y f x( ) song song với trục Oy

Trang 18

Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

Trang 19

1.3 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

Cho hàm số y f x( ) có phương trình dạng tham số

VD 3 Tính y x(1) của hàm số cho bởi 2

Trang 20

VD 4 Cho hàm số f x( )sin2x Tính đạo hàm f(6)(0)

VD 7 Tính đạo hàm f( )n ( )x của hàm số ( ) f x sinx

1.5 Đạo hàm của hàm số ẩn

• Cho phương trình ( , )F x y  (*) 0

Nếu yy x( ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó

sao cho khi thế ( )y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì

( )

y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*)

• Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta được F xF y y  x  0

Trang 22

Thay x  vào phương trình (*), ta được: 1

Khi đó, đại lượng A x. được gọi là vi phân của hàm

số y f x( ) tại x Ký hiệu 0 df x( )0 hay dy x( )0

Trang 23

VD 2 Tính vi phân cấp 1 của y arctan(x2 1)

VD 1 Tính vi phân cấp 1 của f x( )x e2 3x tại x   0 1

VD 3 Tính vi phân cấp 1 của hàm số y 2ln(arcsin )x

VD 4 Tính vi phân cấp 2 của hàm số y ln(sin )x

được gọi là vi phân cấp n của hàm yf x( )

Trang 24

Nhận thấy d v  , nên ta suy ra: 4 0

Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ] a b và khả vi trong

( ; )a b Nếu ( ) f a f b( ) thì  c ( ; )a b sao cho ( )f c  0

Trang 25

Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ] a b , khả vi trong ( ; ) a b

Khi đó,  c ( ; )a b sao cho:

• ( )f x được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong ( ; ) a b

f x tăng ngặt hay giảm ngặt trong ( ; ) a b

• ( )f x đơn điệu trong ( ; ) a b và liên tục trong ( ; ] a b thì

( )f x đơn điệu trong ( ; ] a b (trường hợp khác tương tự)

Trang 26

b) Định lý 1

Cho hàm số ( )f x khả vi trong trong ( ; ) a b Khi đó:

• Nếu ( )f x 0, x ( ; )a b thì ( )f x tăng ngặt trong ( ; ) a b

• Nếu ( )f x   0, x ( ; )a b thì ( )f x giảm ngặt trong ( ; ) a b

• Nếu ( )f x 0, x ( ; )a b hay ( )f x   0, x ( ; )a b thì

( )

f x tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong ( ; ) a b

c) Định lý 2

• Nếu ( )f x tăng ngặt trong ( ; ) a b thì ( ) f x  trong ( ; )0 a b

và không tồn tại ( ; )  ( ; )a b sao cho ( )f x  0

• Nếu ( )f x giảm ngặt trong ( ; ) a b thì ( ) f x  trong 0

( ; )a b và không tồn tại ( ; ) ( ; )   a b sao cho ( )f x  0

VD 1 Tìm các khoảng đơn điệu của yln(x2  1)

VD 2 Tìm các khoảng đơn điệu của

2 2

1( )

VD 3 Tìm các khoảng đơn điệu của

2

12

y





VD 4 Tìm các khoảng đơn điệu của ye x34

Trang 27

3.2.2 Cực trị

a) Định nghĩa

• Nếu ( )f x liên tục trong ( ; ) a b chứa x và 0 f x( )0 f x( ),

0( ; ) \ { }

  thì ( )f x đạt cực tiểu tại x 0

• Nếu ( )f x liên tục trong ( ; ) a b chứa x và 0 f x( )0 f x( ),

0( ; ) \ { }

• Nếu f(2 )n( )x  thì ( )0 0 f x đạt cực tiểu tại x 0

• Nếu f(2 )n( )x  thì ( )0 0 f x đạt cực đại tại x 0

Vậy hàm số đạt cực đại tại x  1

Trang 28

b) Phương pháp tìm max – min

 Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b

 , ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Giải phương trình ( )f x  Giả sử có n 0

nghiệm x1, ,x n [ ; ]a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2. Tính f a( ), ( ), , ( ), ( )f x1 f x n f b

• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã

tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm

Trang 29

VD 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ

của hàm số trước khi làm bước 1

• Có thể đổi biến số t t x( ) và viết y f x( )g t x( ( ))

Gọi T là miền giá trị của hàm t x (ta thường gọi là ( )

điều kiện của t đối với x ) thì:

Trang 30

2

x y

 Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)

Cho hàm yf x( ) liên tục trên ( ; )a b ( , a b có thể là )

• Bước 1. Giải phương trình ( )f x  Giả sử có n 0

nghiệm x1, ,x n [ ; ]a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2. Tính f x( ), , ( )1 f x và hai giới hạn n

Trang 31

• Bước 3. Kết luận:

1) Nếu max{ ( ), , ( )}f x1 f x n max{ , }L L1 2 thì

1 ( ; )

min min{ ( ), , ( )}n

x a b f f x f x

3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt

max (hoặc min)

3 2( )

1

x

f x x



 trên khoảng (1; )

3.3 Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn

a) Định nghĩa

• Hàm số ( )f x được gọi là hàm lồi trong ( ; ) a b nếu ( ) f x

tăng trong ( ; )a b Khi đó, đồ thị yf x( ) được gọi là

đồ thị lõm trong ( ; ) a b

• Hàm số ( )f x được gọi là hàm lõm trong ( ; ) a b nếu

( )

f x giảm trong ( ; )a b Khi đó, đồ thị yf x( ) được

gọi là đồ thị lồi trong ( ; ) a b

• Điểm M x y trên đồ thị nằm giữa phần lõm và lồi 0( ;0 0)

được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số yf x( )

Trang 32

• Nếu f x( ) (hay ( )0 f x  ) với mọi 0 x( ; )a b thì

đồ thị hàm số y f x( ) lõm (hay lồi) trong ( ; ) a b

• Nếu f x( )0  và ( )0 f x đổi dấu khi x chuyển từ trái

sang phải qua điểm x thì 0 M x y là điểm uốn của 0( ;0 0)

Cho hàm số ( )f x liên tục trên [ ; ] a b có đạo hàm đến cấp

n  trên ( ; )1 a b với x x, 0 ( ; )a b ta có các khai triển:

• Khai triển Taylor với phần dư Lagrange

( ) ( 1)

1 0

0 0 0

( )

k n

Trang 33

b) Khai triển Maclaurin

• Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x  được 0 0

gọi là khai triển Maclaurin

Vậy

( ) 0

(0

( ))

!

n

k n

k k

VD 1 Khai triển Maclaurin của ( )f x tanx đến x 3

4.2 Các khai triển Maclaurin cần nhớ

Trang 34

Chú ý

Nếu ( )u x là VCB khi x  thì ta thay x trong các 0

công thức trên bởi ( )u x

VD 3 Khai triển Maclaurin hàm

VD 4 Khai triển Maclaurin của yln(1 2 ) x2 đến x 6

VD 5 Khai triển Maclaurin của hàm số y 2x đến x 4

VD 7 Khai triển Maclaurin của hàm số:

2 2

1( )1

Trang 35

VD 8 Cho hàm f x( )x3cos 2x Giá trị của f(7)(0) là:

4.3 Ứng dụng của công thức Taylor

• Từ công thức khai triển Taylor, ta có:

( ) 0

0 0

( )

!

k n

k k

4.3.1 Tính giá trị gần đúng của hàm số (tham khảo)

Trang 36

4.3.2 Tìm giới hạn tỉ số của hai VCB

a) Phần chính của VCB α(x) khi x → 0 (tham khảo)

Nếu ( )x là VCB khi x  thỏa 0 (k1)(0) và 0

x k



được

gọi là phần chính của ( ) x Khi đó,

( )(0)( )

!

k k

3!

x

x  x  x Vậy

3 3

10( )

0( )6

Trang 37

4.3.3 Tìm tiệm cận cong (hay xiên) của đồ thị hàm số

Nếu ( )f x g x( ) ( )x với ( )g x là đa thức và ( )x là

11

y  là tiệm cận xiên của đồ thị ( )x C

VD 14 Tìm tiệm cận xiên của

11

y   là 2 tiệm cận xiên của ( )x C

VD 15 Tìm tiệm cận cong của

4 2

11

Trang 38

x x

f x k

g x

 

Chú ý

 Chiều ngược lại trong định lý là không đúng

 Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần

sinlim

Trang 39

lim x x



………

1 Tìm giới hạn của hàm một biến (giới hạn vô cùng, tại 1

điểm, giới hạn một bên)

2 Hàm số liên tục

3 Tìm đạo cấp n của hàm một biến (dạng tường minh)

4 Tìm đạo hàm cấp 1, 2,3 của hàm theo tham số

5 Tìm đạo hàm cấp 1, 2 của hàm ẩn

6 Tìm vi phân cấp n của hàm một biến (dạng tường minh)

7 Vô cùng bé tương đương (tường minh, tham số)

8 Tìm khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của hàm một biến dạng tường minh; tiếptuyến với đồ thị

hàm tường minh.

Trang 40

 Chương 3 Phép tính tích phân hàm một biến số

BÀI 1 : TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (NGUYÊN HÀM)

BÀI 2 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

BÀI 3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

BÀI 4 : TÍCH PHÂN SUY RỘNG

§1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Định nghĩa

• Hàm số ( )F x được gọi là một nguyên hàm của ( ) f x trên

Trang 42

Giải Biến đổi:



 

1.2 Phương pháp đổi biến

Trang 43

xdx I

Trang 44

Giải Biến đổi I x.2x dx

,

x x

Giải Biến đổi I (1sin2x e) sinxcosx dx

Trang 45

Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

Trang 46

9) Nếu ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì

Trang 47

f x



 liên tục trên đoạn [0; 1]

VD 2 Giá trị trung bình của hàm số 1

( )

f x x

2.2 Công thức Newton – Leibnitz

Cho hàm f x( ) khả tích trên [ ; ]a b, với mỗi x [ ; ]a b thì

hàm số ( ) ( )

x a

Ta có: f t( )e t2 và ( )x f x( )e x2

2.2.1 Tích phân với cận trên thay đổi

Giải Khi x 0 thì sinx 0, tanx  0

VD 4 Tìm giới hạn

sin

0 tan 0 0

2lim

sin

x

x x

t dt L

L

x x

x

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	3,96 MB