Bài giảng Toán cao cấp C2

Học phần Toán cao cấp C2 giới thiệu về ma trận, định thức, hệ phươngtrình tuyến tính và không gian véctơ.Học phần yêu cầu sinh viên đạt được những mục tiêu sau: Về kiến thức: Hiểu biết v

✫ ✪

TS PHAN ĐỨC TUẤN

TOÁN CAO CẤP C2

ĐẠI HỌC SÀI GÒN

Học phần Toán cao cấp C2 giới thiệu về ma trận, định thức, hệ phươngtrình tuyến tính và không gian véctơ.

Học phần yêu cầu sinh viên đạt được những mục tiêu sau:

Về kiến thức: Hiểu biết về ma trận; định thức; các phương pháp giải hệphương trình tuyến tính; ứng dụng trong bài toán kinh tế; các vấn đề trongkhông gian véc-tơ

Về kỹ năng: Biết tính toán trên ma trận; giải hệ phương trình tuyến tính

và các bài toán trong không gian vecto

Về phương pháp học tập: Sinh viên nhận tài liệu và đọc trước các bàigiảng; đặt câu hỏi thảo luận và làm bài tập đầy đủ

Tp Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 03 năm 2022

Phan Đức Tuấn

Rn Không gian véc tơ n chiều trên R

Mn(R) Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số thực

Lời nói đầu iii

Những kí hiệu iv

Chương 1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3

1.1.MA TRẬN 3

1.1.1.Khái niệm về ma trận 4

1.1.2.Các ma trận đặc biệt 5

1.1.3.Các phép toán trên ma trận 8

1.2.Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 16

1.2.1.Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): 16

1.2.2.Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma trận (elemen-tary row operations)

17 1.2.3.Ma trận khả nghịch 18

1.3.Định thức của ma trận vuông 22

1.3.1.Phép thế 22

1.3.2.Khai triển Lapace 25

1.3.3.Tính chất của định thức 26

1.3.4.Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức 27

1.3.5.Hạng của ma trận 28

1.4.Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 31

1.4.1.Phương pháp Gauss: 31

1.4.2.Phương pháp Cramer: 33

1.5.Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 34

1.5.1 Mối liên hệ giữa hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và hệ phương trình tuyến tính tổng quát 35

1.6.Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 35

1.6.1.Mô hình cân bằng thị trường 35

1.6.2.Mô hình Input-Output Leontief 36

Chương 2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ 42

Tài liệu tham khảo 43

Danh mục từ khóa 44

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1.1 MA TRẬN 3

1.1.1.Khái niệm về ma trận 4

1.1.2.Các ma trận đặc biệt 5

1.1.3.Các phép toán trên ma trận 8

1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 16

1.2.1.Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): 16

1.2.2.Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma trận (ele-mentary row operations) 17

1.2.3.Ma trận khả nghịch 18

1.3 Định thức của ma trận vuông 22

1.3.1.Phép thế 22

1.3.2.Khai triển Lapace 25

1.3.3.Tính chất của định thức 26

1.3.4.Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức 27

1.3.5.Hạng của ma trận 28

1.4 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 31

1.4.1.Phương pháp Gauss: 31

1.4.2.Phương pháp Cramer: 33

1.5 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 34

1.5.1.Mối liên hệ giữa hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và hệ phương trình tuyến tính tổng quát 35

1.6 Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 35

1.6.1.Mô hình cân bằng thị trường 35

1.6.2.Mô hình Input-Output Leontief 36

1.1 MA TRẬN

1 Khái niệm ma trận Các loại ma trận

2 Các phép toán đại số trên ma trận

3 Ma trân bạc thang dòng và các phép biến đổi sơ cấp dòng.

4 Ma trận nghịch đảo và cách tìm ma trận nghịch đảo

5 Hạng của ma trận và cách tìm hạng ma trận

1.1.1 Khái niệm về ma trận

Một bảng hình chữ nhật gồm m×nsố thực được sắp thành m dòng và n cộtđược gọi là ma trận cấp m×n

Nói chung một ma trận chỉ có một dòng (m = 1) như ma trận trên thì

Các phần tử a11;a22; ;anntạo thành một đường chéo trên ma trận vuông

và gọi là đường chéo chính

Các phần tử a1 n;a2(n−1); ;a1 n cũng tạo thành đường chéo trên ma trậnvuông và gọi là đường chéo phụ

Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là Mn(R)

là ma trận vuông cấp ba (do ma trận lúc này hình vuông nên người ta gọi là

ma trận vuông) Các phần tử 1; 5; 9 tạo thành một đường chéo gọi là đườngchéo chính và các phần tử 3; 5; 7 tạo thành đường chéo còn lại gọi là đườngchéo phụ

2 Ma trận chéo: Ma trận vuông A = (aij)n được gọi là ma trận chéo nếu

aij =0;∀i ̸= j Ký hiệu dưới dạng tổng quát là A =dig(a11;a22; ;ann)

là ma trận chéo hay ma trận đường chéo

3 Ma trận đơn vị Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử trên đường

chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In

là ma trận tam giác trên

5 Ma trận tam giác dưới Ma trận vuông A = (aij)n được gọi là matrận tam giác dưới nếu nếu các phần tử ở trên đường chéo chính bằng 0, hay

aij =0∀i< j

là ma trận tam giác dưới.

Ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới gọi chung là ma trận tam giác.

dòng) được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT, nghĩa là AT =(aji)n× m Ví dụ ma trận chuyển vị của ma trận cấp 4×3

là ma trận đối xứng.

9 Ma trận phản đối xứng Ma trận vuông A = (aij)n được gọi là matrận phản đối xứng nếu các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chínhthì đối nhau, nghĩa là aij = −aji∀i, j

Từ hệ phương trình trên ta giải ra được x =0;y =1;z=1;t=2

2 Nhân một số với một ma trận Nhân một số với một ma trận là nhân

số đó với tất cả các phần tử của ma trận

Cho A = (aij)m × nthì với mỗi k∈ Rta có kA = (kaij)m × n

Đặc biệt (−1)A = (−aij)m × n được gọi là ma trận đối của ma trận A, kýhiệu−A.

Chú ý từ định nghĩa ta suy ra: A∈ Mm×n(R)thì 0.A=0m×n, 1.A =A

3 Cộng hai ma trận Cộng hai ma trận cùng cấp là cộng các phần tử tương

Ma trận tích có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và có sốcột bằng số cột của ma trận đứng sau.

Phép nhân hai ma trận, nói chung, không có tính giao hoán

Lấy ví dụ ma trận hàng cấp 1×4nhân ma trận cột cấp 4×1như sau:

Trường hợp nhân hai ma trận nhiều dòng nhiều cột ta làm tương tự, lấy

ví dụ nhân hai ma trận cấp 2×3và 3×2sau:

Nếu A∈ Mn(R)(tập các ma trận vuông cấp n) thì AA luôn luôn tồn tại

và khi đó ta định nghĩa A2= AA Tương tự, ta định nghĩa Ak + 1 = AkAvới

Do đó khẳng định đúng với n=k+1và vì vậy đúng với mọi n theo nguyên

a) X−A+BT =0; b) 3BT−2X =2A; c) 3X+AT−2B=0.

4 Cho hai ma trận

A = 4 8 −1 3

7 2 5 0

,

Tính AB và BA Có kết luận gì về tính giao hoán của hai ma trận A, B

B= 7 05 3 −24

,

1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

1.2.1 Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix):

Là ma trận thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây

- Dòng có tất cả các phần tử bằng 0 (nếu có) luôn nằm phía dưới dòng cóphần tử khác 0 (nếu có);

- Đối với hai dòng bất kỳ, nếu tính từ trái qua phải, phần tử khác 0 đầutiên (nếu có) của dòng dưới luôn ở bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên(nếu có) của dòng trên

Câu hỏi: Ma trận 0 (cấp tùy ý), ma trận tam giác bất kỳ, ma trận đơn vị

có phải là ma trận bậc thang (dòng) không? Tại sao?

Ma trận bậc thang rút gọn (dòng): Ma trận bậc thang có các phần tử

khác không đầu tiên của mỗi dòng của dòng bằng một, và là phần tử khác

không duy nhất của cột chứa phần tử đó được gọi là ma trận bậc thang rútgọn.

Phần tử khác không đầu tiên của một dòng của ma trận còn được gọi làphần tử cơ sở của dòng đó

1.2.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) trên các ma

trận (elementary row operations)

Đó là một trong ba phép biến đổi sau đây trên mỗi ma trận:

(E1): Đổi chỗ hai dòng cho nhau di ↔dj

(E2): Nhân một dòng với một số khác không di→ a.di(a̸= 0)

(E3): Cộng vào một dòng một bội của dòng khác di →di+a.dj(a tùy ý)Một ma trận nhận được bằng một phép biến đổi sơ cấp nào đó được gọi

là tương đương với ma trận ban đầu

Tính chất quan trọng: Mọi ma trận khác không, sau một số hữu hạn

các phép BĐSC, đều đưa được về một ma trận bậc thang mà được gọi làdạng bậc thang của ma trận ban đầu Chú ý: Dạng bậc thang của mỗi matrận không duy nhất và thường có nhiều cách BĐSC để đưa một ma trận vềdạng bậc thang

Cũng thế, mọi ma trận khác không đều đưa được về một ma trận bậcthang rút gọn

Ví dụ Dùng các phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp.

Bài toán: Cho ma trận vuông A Tìm nghịch đảo của A nếu có

- Bước 1: Lập ma trận[A|I]bằng cách thêm vào bên phải A ma trận đơn

vị cùng cấp

- Bước 2: BĐSC trên các dòng của[A|I]để đưa nó về dạng[I|B](B là matrận nào đó)

+ Nếu không thể biến đổi được như thế, khi đó trong quá trình BĐSC

ma trận A, ma trận bên trái sẽ xuất hiện một dòng không ở một bước nào

đó, thì kết luận ngay A không khả nghịch, tức là A không có ma trận nghịchđảo

+ Nếu biến đổi được như thế thì kết luận A khả nghịch với A− 1 =B

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo nếu có của ma trận sau

thành ma trận đơn vị như sau:

Vậy ma trận nghịch đảo của A là

- Cho A ∈ Mn(R); detA ̸= 0, phương trình XA = B có nghiệm khi vàchỉ khi B ∈ Mq× n(R), đồng thời nghiệm đó là duy nhất và được xác địnhbởi X =BA−1

- Ánh xạ đồng nhất e gọi là phần tử đơn vị của Sn.

- Phép thế đổi chỗ hai phần tử i < jvà giữ nguyên các phần tử còn lại

gọi là phép thế sơ cấp, ký hiệu là(i, j)

- Cho a1, ,aklà các phần tử đôi một khác nhau của{1, ,n} Phép thế σ

giữ nguyên các phần tử khác a1, ,akvà thỏa mãn σ(a1) = a2, , σ(ak−1) =

ak, σ(ak) =a1được gọi là một xích độ dài k, được ký hiệu là a1,a2, ,ak

Hai xích gọi là độc lập nhau nếu giao của chúng bằng ∅.

Mệnh đề 1.1 Mỗi phép thế σ ∈ Snđều phân tích được thành tích của các xích độc lập với nó.

Ví dụ: 1.

σ= 1 2 3 4 5

2 4 5 1 3



Do σ(1) =2, σ(2) =4, σ(4) = 1và σ(3) =5, σ(5) =3nên σ = (124)(35)

Mệnh đề 1.2 Mỗi phép thế bậc n đều là tích của các phép thế sơ cấp.

Ví dụ 2 Phép thế trong ví dụ 1 σ = (124)(35) = (12)(24)(35)

Định nghĩa 1.2 Với mỗi phép thế σ ∈ Sn ta định nghĩa dấu của σ là một số

được ký hiệu và xác định bởi:

1 ≤ i < j ≤ n

σ(i) −σ(j)

i−j ∈ {±1}

Mỗi cặp (i, j) thỏa mãn σ(i) −σ(j) trái dấu với i−j được gọi là một

Định nghĩa 1.4 Cho ma trận vuông cấp n A = (aij)n× n Định thức của A, kí

hiệu là det A hoặc|A|, là một số xác định bởi:

Ví dụ 4 - Định thức cấp 1: det(a11) = a11.

- Định thức cấp 2:

a11 a12

a21 a22

=a11a22−a12a21

- Định thức cấp 3:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Khi đó|A|sẽ bằng tổng các tích trên đường chéo chính (đường chéo dấuhuyền) trừ đi tổng các tích trên đường chéo phụ (đường chéo dấu sắc)

Ví dụ 5 Tính đinh thức sau:

1 2 3

4 2 1

3 1 5

... =a11a22−a12a21

- Định thức cấp 3:

a11 a12 a13

a21...

=1.2.5+2.1.3+3.4.1−3.2.3−1.1.1−2.4.5= −31

- Chú ý quy tắc Sarrus áp dụng với định thức cấp

1.3.2... 1.2 Cho A = (aij)n Gọi Mij là ma trận vuông cấp n−1nhận từ

A cách bỏ hàng i cột j Đặt Aij = (−1)i+jdetMij,