Bài giảng toán cao cấp A1 Cao đẳng Ths. Đoàn Vương Nguyên

Tài liệu tham khảo gồm Chương 1. Hàm số một biến số Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số . toán cao cấp A1 là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Để học tốt môn toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh các...

TOÁN CAO CẤP A1 CAO Đ

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH I CH ƯƠ NG TRÌNH

Số tiết: 45 - Chương 1 Hàm số một biến số

Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến số

Chương 3 Phép tính tích phân hàm một biến số

Chương 4 Chuỗi số Chương 5 Đại số tuyến tính

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp

(bậc Cao đẳng) –ĐH Công nghiệp TP HCM

2 Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 1, 2

(Dùng cho SV Cao đẳng)

–NXB Giáo dục

Biên so ạ n:ThS Đo àn V n V ươ ươ ng Nguyên ng Nguyên

T i Slide bài gi ả ng Toán A1 CĐ tạ i

1.1.1 Định nghĩa hàm số

• Cho X Y, ⊂ ℝ khác rỗng

Ánh xạ f X: → với Y x֏y=f x( ) là một hàm số

Khi đó:

– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu D f , là tập X

– Miền giá trị (MGT) của f là:

– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

1.1.2 Hàm số hợp

• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện G g⊂D f

Khi đó, hàm số h x( )=(f g x)( )=f g x[ ( )] được gọi là

• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,

Chương 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố 1.2 Hàm số lượng giác ngược

3arccos

• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Ta nói f(x) có giới

hạn là L (hữu hạn) khi x→x0∈ [ ; ]a b, ký hiệu

0

lim ( )

x x f x L

→ = , nếu ∀ε > cho trước ta tìm được 0 δ > 0

sao cho khi 0 < −x x0 < δ thì ( )f x −L < ε

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)

• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Ta nói f(x) có giới

hạn là L (hữu hạn) khi x→x0∈ [ ; ]a b, ký hiệu

Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)

• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x→ +∞ ,

ký hiệu lim ( )

→+∞ = , nếu ∀ε > cho trước ta tìm 0

được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f x( ) −L < ε

• Tương tự, ký hiệu lim ( )

→−∞ = , nếu ∀ε > 0 cho

trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì f x( ) −L < ε

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)

• Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x →x0, ký hiệu

Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x0

với x >x0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x0

với x<x0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu

0

( ) lim , 0 ( )

2lim

3

x x x

x L

3lim 1

x x

x L

x

x

β = là VCB khi x→ +∞

Chương 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố b) Tính chất của VCB

• Định nghĩa

Cho α( ), ( )x βx là các VCB khi x→ , x0

0

( )lim( )

x k x

– Đặc biệt, nếu k= , ta nói ( )1 αx và β( )x là các VCB

tương đương, ký hiệu ( )αx ∼β( )x

2

x x

x x

Chú ý Nếu u x là VCB khi ( ) x → thì ta có thể thay x0

bởi u x trong 8 công thức trên ( )

• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0

limsin tan

Chương 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố 3.2 Đại lượng vô cùng lớn

3 2

• Định nghĩa

Cho f x( ), ( )g x là các VCL khi x→x0,

0

( )lim( )

f x k

g x

Khi đó:

– Nếu k= , ta nói ( )0 f x là VCL cấp thấp hơn g x ( )

– Nếu k = ∞, ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn g x ( )– Nếu 0≠ ≠ ∞, ta nói ( )k f x và g x là các VCL ( )

cùng cấp

– Đặc biệt, nếu k= , ta nói ( )1 f x và g x là các VCL ( )

tương đương Ký hiệu ( ) f x ∼g x( )

• Số x0∈D f được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu

• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó

• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó

• Nếu hàm số f x không liên tục tại ( ) x thì 0 x được gọi 0

là điểm gián đoạn của f x ( )

• Nếu tồn tại các giới hạn:

nhưng f x( 0−), f x( 0+) và f x không đồng thời bằng ( )0

nhau thì ta nói x là điểm gián đoạn loại một 0

Ngược lại, x là điểm gián đoạn loại hai 0

Nếu f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại ( ) x thì tiếp 0

tuyến tại x của đồ thị 0 y=f x( ) song song với trục Oy

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:

(u±v)′=u′± ; v′ (uv)′=u v′ +uv′;

1( )( )

x y

y x

′

1.3 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

• Cho hàm số y=f x( ) có phương trình dạng tham số

• Giả sử f x có đạo hàm ( ) f x′( ) và f x′( ) có đạo hàm thì

• Cho phương trình F x y( , )= (*) 0 Nếu y=y x( ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì ( )( )

y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*)

• Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được F x′+F y y′ ′ x = 0

• Hàm số y=f x( ) được gọi là khả vi tại x0∈D f nếu

VD 1 Tính vi phân cấp 1 của f x( )=x e2 3x tại x0 = − 1

VD 3 Tính vi phân cấp 1 của hàm số y =2ln(arcsin )x

VD 2 Tính vi phân cấp 1 của y=arctan(x2+ 1)

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 2.2 Vi phân cấp cao

được gọi là vi phân cấp n của hàm y=f x( )

VD 4 Tính vi phân cấp 2 của hàm số y=ln(sin )x

Cho hàm số f x liên tục trong ( ) [ ; ]a b và khả vi trong

( ; )a b Nếu f a( )=f b( ) thì ∃ ∈c ( ; )a b sao cho f c′( )= 0

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 3.1.3 Định lý Cauchy

Cho hai hàm số f x , ( ) g x liên tục trong ( ) [ ; ]a b , khả vi

trong ( ; )a b và g x′( )≠ ∀ ∈0, x ( ; )a b Khi đó, ∃ ∈c ( ; )a b sao cho:

Cho hàm số f x liên tục trong ( ) [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b

Khi đó, ∃ ∈c ( ; )a b sao cho:

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố

3.2 Cực trị của hàm số

3.2.1 Hàm số đơn điệu

a) Định nghĩa

Cho hàm số f x liên tục trong trong ( ) ( ; )a b Khi đó:

• f x được gọi là tăng (đồng biến) trong ( ) ( ; )a b nếu

• Nếu f x đơn điệu trong ( ) ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì

f x đơn điệu trong ( ) ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự)

b) Định lý

Cho hàm số f x khả vi trong trong ( ) ( ; )a b Khi đó:

• Nếu f x′( )> ∀ ∈0, x ( ; )a b thì f x tăng trong ( ) ( ; )a b

• Nếu f x′( )< ∀ ∈0, x ( ; )a b thì f x giảm trong ( ) ( ; )a b

VD 1 Tìm các khoảng đơn điệu của y=ln(x2+ 1)

VD 2 Tìm các khoảng đơn điệu của

2 2

1( )

x

f x x

• Nếu f(2 )n( )x0 > thì ( )0 f x đạt cực tiểu tại x 0

• Nếu f(2 )n( )x0 < thì ( )0 f x đạt cực đại tại x 0

VD 5 Tìm cực trị (nếu có) của f x( )=x4, f x( )=x3

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 3.2.3 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa

b) Phương pháp tìm max – min

Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b

∈ , ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Giải phương trình f x′( )= Giả sử có n 0

nghiệm x1, ,x n∈[ ; ]a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2. Tính f a( ), ( ), , ( ), ( )f x1 f x n f b

• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã

tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm

• Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ

của hàm số trước khi làm bước 1

• Có thể đổi biến số t=t x( ) và viết y=f x( )=g t x( ( ))

Gọi T là miền giá trị của hàm t x thì: ( )

VD 7 Tìm max, min của f x( )= − +x2 5x+ 6

VD 8 Tìm max, min của 2sin 1

x y

+

=

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố

Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)

Cho hàm y=f x( ) liên tục trên ( ; )a b ( a b có thể là , ∞)

• Bước 1. Giải phương trình f x′( )= Giả sử có n 0

nghiệm x1, ,x n∈[ ; ]a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2. Tính f x( ), , ( )1 f x và hai giới hạn n

Ta có thể lập bảng biến thiên của f x thay cho bước 3 ( )

VD 10 Tìm max, min của

=

− trên khoảng (1;+∞ )

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố

§4 CÔNG THỨC TAYLOR 4.1 Công thức khai triển Taylor

a) Khai triển Taylor với phần dư Peano

• Cho hàm f x liên tục trên ( ) [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp

n+ trên ( ; )1 a b với x x, 0 ∈( ; )a b ta có:

( ) 0

b) Khai triển Maclaurin

• Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x0= được 0

gọi là khai triển Maclaurin

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố

Vậy:

( ) 0

(0)

!

k n

6

x

VD 3 Khai triển Maclaurin của y=ln(1−2 )x2 đến x 6

VD 4 Khai triển Maclaurin của hàm số y=2x đến x 4

VD 5 Cho hàm số f x( )=xcos 2x Tính f(7)(0)

Chương 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố

§5 QUY TẮC L’HOSPITAL

VD 1 Tìm giới hạn

2 0

2lim

lim x x

• Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của ( ) f x trên ( )

Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

k k k

• Nếu f x liên tục trên ( ) [ ; ]a b và F x là một nguyên hàm ( ) tùy ý của f x thì: ( )

b

b a a

dx I

n

n n

b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số

Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình

3.2 Tính độ dài l của đường cong

a) Đường cong có phương trình tổng quát

Cho cung 

AB có phương trình y=f x( ),x∈[ ; ]a b thì:

b AB a

VD 6 Tính độ dài cung C có phương trình:

2 2

y =f x , y = , x0 = và x a = quay xung quanh Oy b

còn được tính theo công thức:

∫ khi b→ +∞ được gọi

là tích phân suy rộng loại 1 của f x trên ( ) [ ;a +∞ )

Ký hiệu:

b b

• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo

sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó)

• Định nghĩa tương tự:

a a

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân

hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ

Chương 3 Phép tính tích phân hàm m ộ t bi ế n s ố

• Trường hợp α khác 1:

1 1

x

+∞

α

+∞

−∞

=+

Chương 3 Phép tính tích phân hàm m ộ t bi ế n s ố

VD 7 Xét sự hội tụ của tích phân

1 1 sin

dx I

4.2.1 Định nghĩa

• Cho hàm số f x xác định trên ( ) [ ; )a b và không xác định

tại b , khả tích trên mọi đoạn [ ; a b− ε ε > ] ( 0) Giới hạn (nếu có) của ( )

b

a

f x dx

−ε

∫ khi ε → được gọi là 0

tích phân suy rộng loại 2 của f x trên ( ) [ ; )a b

+ε

=

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân

hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ

VD 10 Khảo sát sự hội tụ của

2 1

6

3

dx I

VD 13 Tính tích phân

2 2 1

dx I

• Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1

Chương 3 Phép tính tích phân hàm m ộ t bi ế n s ố

VD 15 Tích phân suy rộng

1 2 0

1sin

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ

số hạng tổng quát của chuỗi số

§1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số

§2 Chuỗi số dương

§3 Chuỗi số có dấu tùy ý

………

• Tổng n số hạng đầu tiên S n =u1+u2+ + u n được

gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ

VD 1 Xét sự hội tụ của chuỗi nhân 1

1

n n

q

− chuỗi hội tụ

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

VD 3 Xét sự hội tụ của chuỗi số

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

VD 6 Xét sự hội tụ của chuỗi số

5 4

n

n n

∞

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi

nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

§2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.1 Định nghĩa

•

1

n n

u

∞

=

∑ được gọi là chuỗi số dương nếu u n≥0, ∀ n

Khi u n>0, ∀ thì chuỗi số là dương thực sự n

∞

=

∑ phân kỳ

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

VD 1 Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

1.2n

u k v

→∞ =

• Nếu k= thì 0

1

n n

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

VD 3 Xét sự hội tụ của chuỗi số

1 1

.3

n n n

n n

∞ +

=

∑ hội tụ khi α > và phân kỳ khi 1 α ≤ 1

VD 4 Xét sự hội tụ của chuỗi số

5 1

1

n

n n

∞

=

++

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert

Cho chuỗi số dương

1

n n

u D u

+

• Nếu D< thì chuỗi hội tụ 1

• Nếu D> thì chuỗi phân kỳ 1

• Nếu D= thì chưa thể kết luận 1

VD 5 Xét sự hội tụ của chuỗi số

1

13

n n

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

VD 6 Xét sự hội tụ của chuỗi số

2 1

5 ( !)(2 )!

n

n

n n

∞

=

2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương

1

n n

• Nếu C < thì chuỗi hội tụ 1

• Nếu C > thì chuỗi phân kỳ 1

• Nếu C = thì chưa thể kết luận 1

VD 7 Xét sự hội tụ của chuỗi số

2 1

12

n

∞

=

∑

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy

Cho hàm số f x liên tục, khơng âm và giảm trên nửa( )khoảng [ ;k+∞), k∈ ℕ Khi đĩ:

∑ hội tụ ∫ hội tụ.

VD 9 Xét sự hội tụ của chuỗi số

3 2 1

1ln

∞

=

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

§3 CHUỖI SỐ CĨ DẤU TÙY Ý

( 1)

2

n n n n

∞ + +

=

+

−

∑ là các chuỗi đan dấu

3.1 Chuỗi đan dấu

u

∞

=

−

∑ hội tụ Khi đĩ, ta gọi là chuỗi Leibnitz

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

VD 2 Xét sự hội tụ của chuỗi số

( 1)2

n n n n

Chương 4 Lý thuy ế t chu ỗ i

VD 4 Xét sự hội tụ của chuỗi số

2

( 1)( 1)

n n

∞

=

−+ −

u

∞

=

∑ hội tụ và

1

n n

cos( n)

n

n n

3

n n

n n

a a a

a a a A

7 3

nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng

0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới)

gọi là ma trận đối xứng

0 0

3 1 2

4 4

1 1

b) Ma trận bằng nhau

Hai ma trận A=( )a ij và B=( )b ij được gọi là bằng

nhau, ký hiệu A= , khi và chỉ khi chúng cùng B

1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC;

3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);

A = a × được gọi là ma trận chuyển vị

của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột)

A →λ →A′′ 3) ( ) :e3 Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần

1.4 Ma trận bậc thang

• Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng

0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không)

• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng

trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó

• Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m×n

( , m n≥ thỏa hai điều kiện: 2)

1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng

khác 0;

2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải

phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó

• Ma trận A∈M n( )ℝ được gọi là khả nghịch nếu tồn

tại ma trận B∈M n( )ℝ sao cho:

b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi

sơ cấp trên dòng (tham khảo)

Cho A∈M n( )ℝ khả nghịch, ta tìm 1

A− như sau:

Bước 1. Lập ma trận ( )A I n (ma trận chia khối) bằng

cách ghép ma trận I vào bên phải của A n

Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa

§2 ĐỊNH THỨC 2.1 Định nghĩa

Định thức của ma trận vuông A∈M n( )ℝ , ký hiệu

detA hay A , là 1 số thực được định nghĩa:

(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ

đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt)

3 3

2 2

1 1

07

2

5 3

Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng

(hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác

khai triển Laplace của định thức A:

a) Khai triển theo dòng thứ i

n n

m m

• Bước 1 Tính detA Nếu det A = thì kết luận A 0

không khả nghịch Ngược lại, ta làm tiếp bước 2

VD 20 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:

Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A

được gọi là hạng của ma trận A Ký hiệu là r A ( )

• Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r A( )= 0

c) Thuật toán tìm hạng của ma trận

• Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang

• Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính

Ta có thể hoán vị cột của ma trận rồi đưa về bậc thang

VD 25 Giá trị của tham số m để ma trận

Trong trường hợp hệ AX = có nghiệm thì: B

Nếu r A( )=n: kết luận hệ có nghiệm duy nhất;

Nếu r A( )<n: kết luận hệ có vô số nghiệm

phụ thuộc vào n− tham số r

Hệ AX = có nghiệm khi và chỉ khi ( ) B r A =r A( )

VD 2 Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số

nghiệm của hệ phương trình:

3.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

VD 4 Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng

a) Phương pháp ma trận (tham khảo)

Cho hệ phương trình tuyến tính AX = , với A là B