Trong chương này ở phần đại cương về lôgic mệnh đề toán, tập hợp, chúng tôi chỉ trình bày những vấn đề cơ bản, nhằm mục đích củng cố những vấn đề mà học viên đã được trang bị từ đầu cấp
SƠ LƯỢC VỀ LÔGIC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ÁNH XẠ
LÔGIC MỆNH ĐỀ
1.1.1 Mệnh đề và các phép liên kết mệnh đề
Trong mục này, ta chỉ giới hạn nói về các mệnh đề Toán
Một câu khẳng định, phản ánh một điều có thể hoặc đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai là một mệnh đề
Lôgic mệnh đề là một hệ thống lôgic đơn giản nhất, với đơn vị cơ bản là các mệnh đề
Trong logic và toán học, các mệnh đề được phân loại là đúng hoặc sai Ví dụ, mệnh đề "7 9>" là sai; mệnh đề "tam giác đều là một tam giác cân" là đúng; và mệnh đề "tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A khi và chỉ khi BC^2 = AB^2 + AC^2" là đúng nhờ định lý Pythagoras.
“ xM3” không phải là một mệnh đề
Ta sẽ không quan tâm đến nội dung cụ thể của từng mệnh đề, mà chỉ dừng ở tính chất của nó hoặc đúng hoặc sai
Ta dùng ký hiệu các chữ cái , , p q r để chỉ các mệnh đề chưa xác định
Nếu mệnh đề p đúng ta cho p nhận giá trị 1 và nếu mệnh đề psai ta cho nhận giá trị 0 Giá trị 1 hoặc 0 được gọi là thể hiện của p
Phủ định của một mệnh đề p là một mệnh đề được ký hiệu là ¬p, đọc là “không p” hoặc “phủ định của p” Phủ định của p đúng khi mệnh đề p sai, và phủ định của p sai khi mệnh đề p đúng Trong logic, bảng chân lý ghi lại hai khả năng này cho mệnh đề p và phủ định của nó: p và ¬p có giá trị đúng—sai ngược nhau (nếu p đúng thì ¬p sai, nếu p sai thì ¬p đúng).
Giống như ngôn ngữ thông thường, người ta dùng các liên từ để nối các câu đơn thành câu phức hợp, với các liên từ phổ biến như “và”, “hay là”, “hoặc…hoặc ”, “nếu … thì …” Mệnh đề phức hợp được xây dựng từ các mệnh đề đơn giản hơn bằng các phép liên kết lôgic mệnh đề, tức là các phép nối thể hiện quan hệ giữa các ý tưởng như bổ sung, lựa chọn, điều kiện hoặc thời gian Việc nắm vững các phép liên kết lôgic mệnh đề giúp người viết diễn đạt ý nghĩa rõ ràng, tạo sự gắn kết cho bài viết và cải thiện SEO nhờ cấu trúc câu mạch lạc.
1) Phép hội: Hội của hai mệnh đề ,p q là một mệnh đề, được ký hiệu p qÙ (đọc là p và q) Mệnh đề p qÙ chỉ đúng khi p và q cùng đúng, sai trong các trường hợp còn lại Có thể ký hiệu là p q ìí ợ
2) Phép tuyển: Tuyển của hai mệnh đề ,p q là mệnh đề được ký hiệu p qÚ (đọc là p hoặc q) Mệnh đềp qÚ chỉ sai khi p và q cùng sai, đúng trong các trường hợp còn lại Có thể ký hiệu p q éê ở Ở đây “ hoặc p hoặc q” không được hiểu theo nghĩa loại trừ, tách biệt trong đó cả ,p q không thể cùng đúng, mà tất nhiênp qÚ đúng khi cả p, q cùng đúng
3) Phộp kộo theo: Mệnh đề p kộo theo q, ký hiệu pịq, là mệnh đề chỉ sai khi p đúng q sai
- Nếu p sai thì mệnh đề này luôn đúng Hay “ từ điều sai suy ra mọi điều tuỳ ý”
- Hai mệnh đềp q, ở đây phải thuộc cùng một vấn đề, không thể là hai mệnh đề “xa lạ” không có liên quan gì với nhau
- Trong phộp kộo theo pịq, pđược gọi là giả thiết, qlà kết luận
- Phộp kộo theo qị p được gọi là đảo hoặc mệnh đề đảo của phộp kộo theo pịq
Ta cũn diễn tả pịq bằng một trong cỏc cỏch sau:
Ch ươ ng 1: M ở đầ u v ề lôgic m ệ nh đề - T ậ p h ợ p - Ánh x ạ
- Muốn có q thì có p là đủ
- p là một điều kiện đủ của q
- q là một điều kiện cần củap
Phép kéo theo là liên kết lôgic mệnh đề thường gặp nhất trong các định lý
Ví dụ 1.1 (tính chất của tam giác đều) Tam giác ABC là tam đều thì đó là một tam giác cân
Vớ dụ 1.2 (định lý Vi-et thuận) Nếu phương trỡnh bậc hai ax 2 +bx c+ =0,aạ0 cú hai nghiệm x x 1 , 2 thì 1 2 b à 1 2 c x x v x x a a
(định lý Vi-et đảo) Nếu có hai số x x 1 , 2 sao cho x 1 +x 2 =S x x; 1 2 =P v Sà 2 ³4P, thì x x 1 , 2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x 2 -Sx P+ =0
Ví dụ 1.3 (định lý điều kiện cần về cực trị của hàm số)
Cho hàm số y = f x ( ) xỏc định trờn D f , a Dẻ f Nếu hàm số khả vi tại a và đạt cực trị địa phương tại a thì f a ' ( ) = 0
Ta đều đã biết điều ngược lại của các mệnh đề trên chưa chắc đúng
4) Phộp tương đương: Mệnh đề (pịq) (Ù qị p) được gọi là mệnh đề p tương đương q, ký hiệu pÛ q
Như vậy pÛq là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và q cùng đúng hoặc cùng sai và mệnh đề p Ûq sai trong trường hợp ngược lại
Ví dụ 1.4 (định lý Pi-ta-go) Tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A khi và chỉ khi
BC = AC + AB v Từ định nghĩa của các phép liên kết mệnh đề ta có bảng sau: p q p p qÚ p qÙ pịq q ị p pÛq qÚ p
Bảng chân lý thể hiện giá trị các mệnh đề
Chú ý: Mỗi định lý sau khi được chứng minh là một mệnh đề đúng Mỗi định lý đã được chứng minh lại là căn cứ để chứng minh định lý khác Có hai loại mệnh đề được sử dụng làm căn cứ để chứng minh một mệnh đề.
1 Các mệnh đề đã được thừa nhận là đúng : đó là các định nghĩa và tiên đề
2 Các mệnh đề đã được chứng minh là đúng
Trong logic mệnh đề, hằng đúng (tautology) là một công thức mệnh đề luôn đúng với mọi giá trị chân lý có thể gán cho các mệnh đề thành phần Nói cách khác, bất kể giá trị chân lý của các mệnh đề con, kết quả của công thức vẫn đúng, cho thấy tính đúng đắn của công thức không phụ thuộc vào nội dung cụ thể của các mệnh đề liên quan Định nghĩa này cho phép nhận diện các công thức mệnh đề có tính chắc chắn về mặt luận lý và là cơ sở để kiểm tra tính đúng của các tuyên bố trong hệ thống logic.
1.1.2 Các tính chất (hay còn gọi là các luật lôgic)
Ta ký hiệu mệnh đề tương đương hằng đúng là "º" đọc là “đồng nhất bằng” thay cho ký hiệu "Û"
Tính chất 1.1 Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng các mệnh đề hằng đúng sau:
1) luật phủ định kép pº p
2) luật giao hoán : p q qÙ º Ù p p qÚ º Úq p
3) luật kết hợp : pÙ(q rÙ ) (º p qÙ )Ùr pÚ(q rÚ ) (º p qÚ )Úr pÛ(qÛr) (º pÛq)Ûr
4) luật phân phối : pÙ(q rÚ ) (º p qÙ ) (Ú p rÙ ) pÚ(q rÙ ) (º p qÚ ) (Ù p rÚ )
5) luật bài trung : mệnh đề pÚ p luôn đúng luật mâu thuẫn : mệnh đề pÙ p luôn sai
6) luật De Morgan: p qÚ º Ùp q; p qÙ º Úp q
8) luật phản chứng : pị º ịq q p
9) luật lũy đẳng : pÚ ºp p p; Ù ºp p
10) luật hấp thu : pÚ(p qÙ )º p pÙ(p qÚ )º p
Luật lụgic 7) ở trờn cũn cho ta cở sở để chứng minh mệnh đề pịq bằng phương phỏp suy luận phản chứng
Ch ươ ng 1: M ở đầ u v ề lôgic m ệ nh đề - T ậ p h ợ p - Ánh x ạ
Trong nhiều trường hợp, chứng minh bằng cách trực tiếp không thuận lợi hoặc không thực hiện được, vì vậy ta chuyển sang dùng phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp này bắt đầu bằng giả định ngược lại với tuyên bố cần chứng minh và đi đến một mâu thuẫn, từ đó khẳng định tính đúng đắn của phát biểu ban đầu Sự chuyển đổi từ chứng minh trực tiếp sang phản chứng là kỹ năng quan trọng trong toán học, giúp giải quyết các bài toán chứng minh phức tạp và tối ưu hóa quá trình suy luận Việc nhận diện khi nào nên áp dụng chứng minh bằng phản chứng sẽ nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập các khái niệm trong giải tích, lý thuyết số và các lĩnh vực liên quan.
Phương pháp suy luận phản chứng được dùng để chứng minh mệnh đề p → q là đúng bằng cách giả thiết p đúng và q sai, rồi chứng minh rằng giả thiết đó dẫn đến mâu thuẫn Việc này quy về chứng minh rằng (p ∧ ¬q) là sai, tức là mệnh đề p → q đúng.
TẬP HỢP
Trong toán học, tập hợp và phần tử là hai khái niệm cơ bản, không thể định nghĩa chỉ bằng các khái niệm đã biết Những đối tượng có chung một số tính chất nhất định có thể được xem là thành viên của một tập hợp Mỗi đối tượng như vậy là một phần tử của tập hợp đó, và một phần tử bất kỳ chỉ có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp.
Trong toán học, các ký hiệu được dùng để biểu diễn tập hợp và phần tử của nó Các chữ cái in hoa như A, B, X, Y biểu thị các tập hợp, trong khi các chữ cái in thường như x, y biểu thị các phần tử thuộc các tập hợp đó Nếu phần tử x thuộc tập hợp A thì ta viết x ∈ A; còn nếu x không thuộc A thì ta viết x ∉ A Ký hiệu này cho phép mô tả nhanh quan hệ giữa phần tử và tập hợp, và ta cũng thường dùng từ "tập" như sự rút gọn cho từ "tập hợp" khi viết văn bản Hiểu đúng quy ước này giúp người đọc hình dung cấu trúc và mối quan hệ giữa các tập hợp và phần tử một cách rõ ràng và súc tích.
Tập rỗng là tập khụng chứa phần tử nào, ký hiệu ặ Chẳng hạn tập nghiệm của phương trình x 2 + =1 0 nếu xét trong tập hợp số thực
Ta thường mô tả tập hợp theo các cách sau:
- Liệt kê các phần tử của tập hợp
- Nêu đặc trưng tính chất của các phần tử tạo thành tập hợp
Để có hình ảnh trực quan về tập hợp, người ta thường dùng giản đồ Venn Trong giản đồ Venn, mỗi tập hợp được biểu diễn như một miền trên mặt phẳng giới hạn bởi đường cong khép kín và không tự cắt, giúp nhận diện các quan hệ giữa các tập hợp như giao, hợp và hiệu một cách rõ ràng.
Các tập hợp số với qui ước thống nhất trong toán học thường gặp:
- Tập các số tự nhiên Ð ={0, 1, 2, }
- Tập cỏc số hữu tỉ Q = { p q q ạ 0, , p q ẻ 9 }
- Tập cỏc số phức " = { z = + x iy x y , ẻ 3 ; i 2 = - 1 }
▫ Mỗi tập thể lớp là một tập hợp
▫ Bộ ba cán bộ lớp : {lớp trưởng, lớp phó, bí thư chi đoàn} là một tập hợp
▫ Tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10 là {1,3,5, 7,9 }
▫ Tập hợp các nghiệm của phương trình 2 1 0x - = là { } - 1,1
▫ { x ẻ 3 x 2 + = 1 0 } = ặ Tập cỏc nghiệm của phương trỡnh x 2 + =1 0 là tập rỗng
▫ W = { x y z , , ẻ 3 x y z + + = 0 } là tập cỏc số thực , ,x y z thoả món x y z+ + =0
▫ Ký hiệu tập C[ ] a b , là tập các hàm số liên tục trên [ ] a b ,
=ớ ẻ = ẻ ý ù + ù ợ Q éỵ là tập cỏc số hữu tỷ cú dạng 3 2 1
= - + trong đó n là số tự nhiên
1.2.2 Tập con Các phép tính về tập hợp a Tập con Định nghĩa 1.1 Tập A được gọi là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của
B, khi đó ta ký hiệu AÌB hay BÉ A
Khi A là tập con của B thì ta còn nói A bao hàm trong B, hay B bao hàm A, hay B chứa A
Một cách hình thức ta có thể xem tập rỗng là tập con của mọi tập hợp, nghĩa là với mọi tập X : ặ èX
Toàn bộ các tập con của X được ký hiệu P(X), hay còn gọi là power set của X Ta có A ⊆ X nếu và chỉ nếu A thuộc P(X) Trong P(X), X là tập con của chính nó và đồng thời là phần tử lớn nhất, trong khi ∅ là phần tử nhỏ nhất Vì vậy mọi tập con A của X đều thỏa mãn ∅ ⊆ A ⊆ X.
Ta thấyX có 3 phần tử thì P ( )X có 3 2 = 8 phần tử
Ta có thể chứng minh tổng quát rằng nếu X có n phần tử thì P(X) có 2^n phần tử Định nghĩa 1.2: Hai tập A, B bằng nhau, ký hiệu A = B, khi và chỉ khi A ⊆ B và B ⊆ A; nghĩa là mọi phần tử x thuộc A suy ra x thuộc B và ngược lại Để chứng minh A ⊆ B ta chỉ cần chứng minh x ∈ A ⇒ x ∈ B, và như vậy khi chứng minh A = B ta chỉ cần chứng minh A ⊆ B và B ⊆ A Định nghĩa 1.3: Tích Cartesian của hai tập X và Y là một tập hợp, ký hiệu X × Y, gồm các phần tử có dạng (x,y) với x ∈ X và y ∈ Y.
- Mở rộng cho trường hợp: với X X 1 , 2 , , X n là n tập hợp nào đó, ta định nghĩa và ký hiệu tích Đề các của n tập hợp này như sau:
Ch ươ ng 1: M ở đầ u v ề lôgic m ệ nh đề - T ậ p h ợ p - Ánh x ạ
- Khi X 1 = = X n = X thì ta ký hiệu X n thay cho X X n
- Tích Đề các X 1 ´X 2 ´ ´ X n còn được ký hiệu
1 Ta dễ dàng chứng minh được rằng nếu X có n phần tử, Ycó m phần tử thì X Y´ có n m´ phần tử
3 Tích Descartes của các tập hợp không có tính giao hoán
Vớ dụ 1.9 3 n ={( , , ,x x 1 2 x n ) x i ẻ3,i=1, 2, ,n }, vậy thỡ 3 3 2 , 3 tương ứng lần lượt là ký hiệu của mặt phẳng Oxy và không gian Oxyzquen thuộc
1.2.2 Các phép toán và các tính chất trên các tập hợp a Phép hợp: Hợp của hai tập A và B, ký hiệu AÈB, là tập gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A,B Nghĩa là:
Vậy x ẻ ẩ Û ẻ A B ( x A ) ( Ú ẻ x B ) hay x A x A B x B ộ ẻ ẻ ẩ Û ờ ẻở b Phép giao: Giao của hai tập A và B, ký hiệu AÇB, là tập gồm các phần tử thuộc đồng thời cả hai tập A,B Nghĩa là:
Vậy x ẻ ầ Û ẻ A B ( x A ) ( Ù ẻ x B ) hay x A B x A x B ỡ ẻ ẻ ầ Û ớợ ẻ c Hiệu của hai tập: Hiệu của hai tập A và B, ký hiệu \A B hay A B- , là tập gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B Nghĩa là:
- Phép hợp, phép giao còn đươc mở rộng cho một họ các tập hợp
- Trường hợp BÌ X thì tập X B\ được gọi là phần bù của B trong X , ký hiệu là
C Áp dụng lôgic mệnh đề ta dễ dàng kiểm chứng lại các tính chất sau:
1 AÈ = ÈB B A, AÇ = ÇB B A (tính giao hoán)
AÇ(BÇC) (= AÇB)ÇC (tính kết hợp)
AÇ(BÈC) (= AÇB)È(A CÇ ) (tính phân bố)
Giả sử ,A B là hai tập con của X thì:
6 AÈ = ÇB A B; AÇ = ÈB A B (luật De Morgan)
1.2.3 Hàm mệnh đề Lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại a Hàm mệnh đề
Trờn tập hợp D, ký hiệu ( )S x là hàm mệnh đề phụ thuộc vào biến x Dẻ Khi cho biến x một giá trị cụ thể thì ta được mệnh đề
Ta gọi tập D S x ( ):={ x D S xẻ ( )} là miền đỳng của hàm mệnh đề ( )S x
Vớ dụ 1.10 S x( )=x 2 -5x+ Ê6 0 ị DS(x) =[ ]2;3 b Lượng từ
Ký hiệu "(đọc là với mọi) được gọi là lượng từ phổ biến
Ký hiệu $ (đọc là tồn tại) được gọi là lượng từ tồn tại
Ch ươ ng 1: M ở đầ u v ề lôgic m ệ nh đề - T ậ p h ợ p - Ánh x ạ
Cho ( )S x là một hàm mệnh đề xác định trên tập hợp D Khi đó:
- Mệnh đề (" ẻx D S x) ( ) (đọc là với mọi x D S xẻ , ( )) là một mệnh đề chỉ đỳng nếu
D S x = D và sai trong trường hợp ngược lại Khi D đã xác định thì ta thường viết tắt "x S x, ( ) hay ( ) " x S x , ( )
- Mệnh đề ($ ẻx D S x) ( ) (đọc là tồn tại x D S xẻ , ( )) là một mệnh đề chỉ đỳng nếu
D S x ạ ặ và sai trong trường hợp ngược lại
Trong chứng minh toán học, mệnh đề với lượng từ phổ biến (cho mọi x) đòi hỏi chứng minh đúng ở mọi trường hợp để khẳng định tính đúng của mệnh đề Ngược lại, mệnh đề tồn tại (tồn tại một x sao cho) chỉ cần chỉ ra một trường hợp đúng làm bằng chứng Vì vậy, cách chứng minh cho mệnh đề "cho mọi" phải đầy đủ và toàn diện, trong khi với mệnh đề "tồn tại" ta có thể dùng một ví dụ thỏa mãn làm chứng cứ.
- Người ta mở rộng khái niệm lượng từ tồn tại nếu D S x ( ) có đúng một phần tử
Với ký hiệu ( $ ẻ ! x D S x , ( ) ), đọc là: tồn tại duy nhất x D S xẻ , ( )
- Phép phủ định lượng từ
▫ ( " ẻ x [ ] 2;3 ): x 2 - 5 x + Ê 6 0 ; ( $ ẻ x Q x ): 2 - 5 x + ³ 6 0 là cỏc mệnh đề đỳng
▫ Mỗi một phương trình là một hàm mệnh đề, ví dụ:
1.3.1 Các định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật, ký hiệu f , cho tương ứng mỗi một phần tử xẻX với một phần tử xỏc địnhy= f x( ) của Y
Như vậy ánh xạ phải thoả mãn 2 điều kiện sau:
1) Mọi xẻX đều được tỏc động qui luật f ,
2) Mỗi xẻX ứng với duy nhất một phần tửy= f x( )
Ta ký hiệu :f X ắắđY hay X ắắđ f Y xay= f x( ) xa y= f x( )
- X được gọi là tập nguồn (hay còn gọi là tập xác định của ánh xạ),
- Y được gọi là tập đích
- Phần tử xẻX gọi là tạo ảnh, phần tử y= f x( )gọi là ảnh của x qua ỏnh xạ f
- Với , :f g X ắắđY ta núi f và glà hai ỏnh xạ bằng nhau nếu: f x ( ) = g x ( ) , với mọi xẻX
Ví dụ 1.12 Mỗi hàm số y= f x( ) bất kỳ có thể được xem là ánh xạ từ tập D f là miền xác định của y= f x( ) vào 3 Chẳng hạn:
▫ Hàm số bậc nhất y= a x b+ , aạ0 là ỏnh xạ :f 3 đ 3 xa y= a x b+
▫ Qui tắc xác định quê quán của sinh viên trong một tập thể lớp là một ánh xạ từ tập hợp ”tập thể lớp” vào tập “ 63 tỉnh thành”
Quy tắc xác định quan hệ đồng hương giữa sinh viên ở một tập thể lớp với sinh viên ở tập thể lớp khác không phải là một ánh xạ đơn thuần giữa hai tập hợp lớp Định nghĩa 1.5 đưa ra khung chuẩn: cho một ánh xạ f: X → Y và các tập con A ⊆ X, B ⊆ Y, qua đó có thể xác định quan hệ đồng hương dựa trên sự tương ứng giữa A và B qua ảnh của f Cụ thể, ta xem xét các cặp (x, y) với x ∈ A và y ∈ B sao cho y = f(x), hoặc các tính chất đồng hương được bảo toàn bởi f, từ đó mô tả mối quan hệ giữa hai tập thể lớp một cách có hệ thống Phương pháp này hữu ích cho các bài toán về cấu trúc tập hợp và dữ liệu, khi cần phân tích mối quan hệ đồng hương giữa hai tập thể lớp.
- Ảnh của A qua ỏnh xạ f là tập: f A ( ) = { f x x ( ) ẻ A } è Y (1.3) Nói riêng ( ) Imf X = f được gọi là tập ảnh hay tập giá trị của f
- Nghịch ảnh của tập con B của Ylà tập: f - 1 ( ) B = { x ẻ X f x ( ) ẻ B } è X (1.4) v Trường hợp B là tập hợp chỉ có một phần tử { } y thì ta viết: f-1( )y thay cho f - 1 ( ) { } y khi đú f - 1 ( ) y = { x ẻ X y = f x ( ) } (1.5)
1.3.2 Phân loại các ánh xạ a Đơn ánh Định nghĩa 1.6 Ánh xạ :f X ®Yđược gọi là một đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt của Xlà hai phần tử phân biệt của Y
Nghĩa là: " x x1 2, ẻX x; 1ạ x2 ị f x( )1 ạ f x( 2) hay là
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp và ánh xạ Định nghĩa 1.7: Ánh xạ f: X → Y được gọi là toàn ánh (onto) nếu mọi phần tử của Y đều là ảnh của một phần tử thuộc X Nói cách khác, Im f = Y, tức là với mọi y ∈ Y tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y.
" ẻy Y,$ ẻx X sao cho y= f x( ) (1.7) c Song ánh Định nghĩa 1.8 Ánh xạf X: ®Yvừa đơn ánh vừa toàn ánh được gọi là song ánh
- Một ánh xạ hoàn toàn xác định khi biết tập nguồn, tập đích, công thức cho ảnh
Cho ánh xạ f: X → Y được cho dưới dạng y = f(x), ta có thể xác định tính chất đơn ánh và tính chất toàn ánh của f bằng cách giải phương trình y = f(x) với y cho trước và xem x là ẩn, y là tham biến Đối với tính đơn ánh, ta xét các nghiệm của f(x1) = f(x2); nếu tồn tại x1 ≠ x2 có cùng giá trị y thì f không đơn ánh, còn nếu với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất x ∈ X thỏa y = f(x) thì f là đơn ánh Đối với tính toàn ánh, ta yêu cầu mỗi y ∈ Y đều có một nghiệm duy nhất x ∈ X thỏa y = f(x) Quá trình này được thể hiện bằng cách giải phương trình y = f(x) theo ẩn x, với y xem như tham biến, và phân tích sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm x đối với từng y để xác định miền xác định và ảnh của f.
* Nếu với mọi y Yẻ phương trỡnh (1.8) luụn cú nghiệm xẻX thỡ ỏnh xạ f là toàn ánh
* Nếu với mỗi y Yẻ phương trỡnh (1.8) cú khụng quỏ 1 nghiệm xẻX thỡ ỏnh xạ f là đơn ánh
* Nếu với mọi y Yẻ phương trỡnh (1.8) luụn cú duy nhất nghiệm xẻX thỡ ỏnh xạ f là song ánh
Ví dụ 1.14 a) Cho ánh xạ: :f 3 ® 3 xa y= x 2 +x
Nếu 1 y< -4 thì phương trình ( ) * không có nghiệm trong 3 Vậy f không toàn ánh
Nếu 1 y³ -4, phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt trong 3 Vậy f không đơn ánh b) Cho ánh xạ
Biệt số D = +1 4y>0 (vỡ yẻé) Phương trỡnh ( ) ** luụn cú hai nghiệm phõn biệt
Nhưng ( ) ** chỉ có nhiều nhất một nghiệm trong Ð Vậy f đơn ánh
Với y=1, phương trình ( ) ** không có nghiệm trong Ð Vậy f không toàn ánh
Ví dụ 1.15 Các hàm số đơn điệu chặt là các song ánh từ tập xác định lên miền giá trị của nó Đồng biến chặt: x 1 0,a ạ1 là một song ánh (vì hàm mũ đơn điệu chặt) có hàm ngược là hàm lôgarit cơ số a: y a= x Û x=log a y
Ví dụ 1.20 Các hàm số lượng giác ngược a) Xét hàm số sin : ; [ 1; 1 ]
2 2 sin x x é-p pù® - ê ú ở ỷ a Hàm số này tăng nghiêm ngặt và là toàn ánh nên là một song ánh Có hàm số ngược: arcsin : 1; 1[ ] ;
Trong bài toán cơ bản về arcsin và sin, với y là giá trị của hàm và x là đối số, ta viết y = arcsin(sin x) Hàm arcsin có miền giá trị là [-π/2, π/2] và sin x nhận giá trị trong [-1, 1], nên sin x thuộc [-1, 1] Công thức tổng quát để đồng nhất hai hàm trên là arcsin(sin x) = (-1)^k (x − kπ) với x ∈ [kπ − π/2, kπ + π/2], k ∈ Z Trong phạm vi căn bản (k = 0), công thức trở thành arcsin(sin x) = x khi x ∈ [−π/2, π/2], và arcsin(sin x) = π − x khi x ∈ [π/2, 3π/2].
KHÔNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU
KHÁI NIỆM và TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.1.1 Định nghĩa không gian véc tơ Định nghĩa 2.1 Tập V là tập khỏc ặ được gọi là khụng gian vộc tơ thực nếu :
1 Trên V có phép toán trong
2 Trên V có phép toán ngoài ( )
3 Hai phộp toỏn trờn thoả món 8 tiờn đề sau với mọi , ,u v w Vẻ và ,a bẻ3
V2) Tồn tại phần tử khụng qẻV sao cho u+ = + =q q u u
V3) Với mỗi u Vẻ cú phần tử đối - ẻu V sao cho u+ - = - + =( u) ( u) u q
Các phần tử của V được gọi là véc-tơ; các phần tử của R^3 được coi là véc-tơ vô hướng Ta cũng không cần sử dụng ký hiệu mũi tên cho các véc-tơ.
Bằng các tiên đề V1-V4, phép cộng hai véc-tơ trong hình học được chứng minh có bốn tính chất cơ bản: đóng phép, giao hoán, kết hợp và tồn tại véc-tơ 0 làm phần tử trung tính Bằng các tiên đề V5-V8, phép nhân một số với véc-tơ được chứng minh có bốn tính chất quan trọng: đóng phép, phân phối theo hai vế (a·(u+v) = a·u + a·v và (a+b)·u = a·u + b·u), tính kết hợp của hai thừa số (ab)·u = a·(b·u) và tính đồng nhất với số 1 (1·u = u).
Ví dụ 2.1 Tập 3 là không gian véc tơ thực trên chính nó Tập " là không gian véc tơ phức trên 3
Ví dụ 2.2 cho thấy tập R^2 là tập hợp các véc tơ tự do trong không gian hai chiều, nơi ta đồng nhất các véc tơ tương đẳng: cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài Xét phép cộng hai véc tơ theo quy tắc hình bình hành và phép nhân một véc tơ với một số thực theo nghĩa thông thường, R^2 được xem như một không gian véc tơ thực Tương tự, R^3 là tập hợp các véc tơ tự do trong không gian ba chiều và cũng là một không gian véc tơ thực Như vậy, cả R^2 và R^3 đều có cấu trúc của một không gian véc tơ thực với các phép toán tương ứng.
Vớ dụ 2.3 Khụng gian vộc tơ thực 3 n = { x = ( , , ) x 1 x n x i ẻ 3 , i = 1, n }
Khái quát từ phép cộng véc tơ và phép nhân một số với véc tơ hình học ta xác định hai phép toán cơ bản trong không gian véc tơ: phép cộng véc tơ và phép nhân một số với véc tơ Với z = (x1, , xn) và y = (y1, , yn) ta có z + y = (x1 + y1, , xn + yn) Với một số k và véc tơ z = (x1, , xn) thì kz = (k x1, , k xn) Trong không gian véc tơ, véc tơ không bằng không là (0, , 0) và mọi véc t vector có thể được kết hợp bằng hai phép toán này, làm nền tảng cho hình học véc tơ và đại số tuyến tính.
Ch ươ ng 2 Không gian véc t ơ n chi ề u
Ví dụ 2.4 Đặt P x n [ ] là tập các đa thức bậc £n, n là số nguyên dương cho trước:
Trong toán học, phép cộng hai đa thức và phép nhân một đa thức với một số thực đều cho ra một đa thức có bậc không vượt quá n Cụ thể, tổng của hai đa thức có bậc không quá n và tích của một đa thức bậc không quá n với một số thực vẫn là một đa thức có bậc không quá n Véc tơ không tương ứng là đa thức q có tất cả hệ số bằng 0, đóng vai trò là phần tử không gian khởi đầu Vì vậy tập P_n(R) gồm các đa thức thực có bậc không quá n là một không gian véc tơ thực, vì nó đóng dưới phép cộng và phép nhân với số thực.
Chú ý 2.1 Từ đây ta qui ước chỉ nói gọn là không gian véc tơ mà không nói đầy đủ là không gian véc tơ thực nữa
2.1.2 Tính chất cơ bản của không gian véc tơ Định lý 2.1
1) Trong không gian véc tơ, véc tơ q là duy nhất
2) Với mọi u Vẻ , vộc tơ đối -u của u là duy nhất
4) - = - = -ku k u( ) ( ), ku " ẻk 3, " ẻu V Đặc biệt ( 1)u- = -u
Thật vậy : Giả sử có hai véc tơ q q 1 , 2 , khi đó từ V2) ta có q 1 =q q 1 + 2 =q 2
Giả sử u có hai véc tơ đối u u 1 , 2 , khi đó u 1 =u 1+ =q u 1+( u u+ 2 ) (= u 1+u )+u 2 = +q u 2 =u 2 !
( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) kq =kq+ kq+ -kq =kq+kq+ -kq =k q q+ + -kq =kq+ -kq =q
Chứng minh 3) bạn đọc tự chứng minh
Từ định nghĩa và tính chất của không gian véc tơ ta có thể mở rộng các khái niệm sau:
5) Một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u 1 , ,u n của không gian véc tơ V cũng là một véc tơ của không gian véc tơ V
Biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ u1, , un Theo Định nghĩa 2.2, một véc-tơ u bất kỳ được coi là một tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ u1, , un khi u có thể viết dưới dạng một tổng có các hệ số a1, a2, , an nhân với các véc-tơ tương ứng, tức là u = a1 u1 + a2 u2 + + an un Như vậy, u thuộc tổ hợp tuyến tính của u1, , un nếu tồn tại các hệ số a1, , an sao cho u bằng tổng trên; khái niệm này cho biết cách mô tả không gian sinh bởi các véc-tơ u1, , un và mọi véc-tơ trong không gian đó có thể được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của chúng.
KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON
2.2.1 Khái niệm không gian véc tơ con Định nghĩa 2.3 Giả sử ( , ,.)V + là khụng gian vộc tơ Tập con W ạ ặ của V ; Wđược gọi là một không gian véc tơ con của không gian véc tơ V (hay nói tắt: không gian con của V ) nếu
Wlà một không gian véc tơ với hai phép toán trong V thu hẹp vào W
Ví dụ 2.5 giả sử V là một không gian véc tơ và W là một tập con khác rỗng của V Định lý 2.2 cho biết hai mệnh đề sau đây tương đương: (i) W là một không gian véc tơ con của V; (ii) W không rỗng và đóng dưới phép cộng và phép nhân với số thực, tức là với mọi u,v ∈ W và mọi c ∈ F ta có u+v ∈ W và cu ∈ W Nhờ đó để nhận diện một không gian con chỉ cần kiểm tra tính đóng dưới hai phép toán này và sự tồn tại của một phần tử trong W Hai điều kiện này cho thấy khi W có thể đóng hai phép toán giới hạn từ V, các định đề V1–V8 vẫn thỏa mãn và W là không gian véc tơ con của V.
(i) Wkhông gian véc tơ con của V
(ii) Wổn định với hai phép toán của V Nghĩa là
Với mọi ,u v Wẻ , thỡ u v W+ ẻ , (ổn định với phộp cộng) Với mọi u Wẻ , với mọi aẻ3 thỡ au Wẻ , (ổn định với phộp nhõn)
Ch ươ ng 2 Không gian véc t ơ n chi ề u
(i) ị (ii): Hiển nhiờn theo định nghĩa
(ii) ị (i): Do W ạ ặ ị $ ẻu W , và do tớnh ổn định ị q =0u+0u Wẻ (tiờn đề V2), với mọi u Wẻ , - =u 0u+ -( 1)u Wẻ (tiờn đề V3), cỏc tiờn đề cũn lại hiển nhiờn đỳng Vậy
W là không gian véc tơ con của V
Vớ dụ 2.6 a) Tập W 1 ={ u =( , , 0)x x 1 2 x x 1, 2ẻ3}è33 là khụng gian con của 3 3 b) Tập W 2 = { v=(0, , )x x 2 3 x x 2, 3ẻ3}è3 3 là khụng gian con của3 3 c) Tập W 3 = { w=( , 0, 0)x 1 x 1ẻ3}è3 3 là khụng gian con của 3 3
W W 4 , 5 đềulà các không gian con của 3 3
Vớ dụ 2.8 W 5 = { w=( , ,1)x x 1 2 x x 1, 2ẻ3}è3 3 khụng phải là khụng gian con của 3 3
2.2.2 Sự hình thành không gian véc tơ con
Chúng ta sẽ chỉ ra một vài cách hình thành các không gian con của V a) Không gian con được sinh bởi một hệ vectơ Theo Định lý 2.2, cho hệ S = {u1, u2, , um} với ui ∈ V Tập hợp Wg gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc S là một không gian con của V; đó là không gian con nhỏ nhất chứa S.
Gọi W là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của S Ta chứng minh W là không gian con bé nhất chứa S
(i) Với mọi u Sẻ thỡ u =1u Wẻ vậy ặ ạ èS W
=( ga 1+db 1 ) u 1+ + ( ga n +db n ) u n ẻW vậy W ổn định với hai phộp toỏn của V
Do đó W là không gian con của V chứa S Giả sử W' là không gian con của V chứa S Với mọi u Wẻ , u=a 1 1 u + + a n n u u, 1 , ,u n ẻS Vỡ W'chứa S nờnu 1 , ,u n ẻW' ị
Định nghĩa 2.4: Không gian véc tơ con W được xác định là Span(S) của tập S trong V, tức là mọi phần tử của W là tổ hợp tuyến tính của các phần tử thuộc S W là không gian véc tơ con nhỏ nhất của V chứa S, có nghĩa là mọi không gian véc tơ con chứa S đều chứa W Đồng thời, S được gọi là hệ sinh của W.
▫ { e 1 =(1,0, 0 ,) e 2 =(0,1,0 ,) e 3 =(0, 0,1) } là một hệ sinh của 3 3 vì
▫ { e 1 =(1,0, , 0 ,) e 2 =(0,1, , 0 , ,) e n =(0, , 0,1) } là một hệ sinh của 3 n
▫ Ta chứng tỏ tập W 1 ={ u =( , ,0)x x 1 2 x x 1, 2ẻ3} ở Vớ dụ 2.6 là một khụng gian vộc tơ con của 3 3 theo cách biểu diễn W 1 thành một không gian sinh bởi một hệ véc tơ:
- Giả sử S ={ v 1, ,v n } là hệ sinh của V thỡ viẻV," =i 1, 2, , n Đồng thời với mọi u Vẻ : 1 1 1
Cuốn bài giảng này chỉ xét các không gian vector hữu hạn chiều, hay nói cách khác là các không gian vector có hệ chiều hữu hạn Đối với giao của các không gian con, Định lý 2.3 nêu rằng nếu W1 và W2 là các không gian con của V thì giao của chúng, W1 ∩ W2, cũng là một không gian con của V Không gian vector con này được gọi là giao của các không gian con W1 và W2.
PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH , ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
Chứng minh: Áp dụng Định lý 2.1 ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh
Ví dụ 2.10 Ở Ví dụ 2.6 thì:
Tương tự W 2 ầ W 3 = = { v ( x y z , , ) ẻ 3 3 ( v W ẻ 2 ) Ù ẻ ( v W 3 ) } = { ( 0, 0, 0 ) } ; Ở Ví dụ 2.7 thì W 4ÇW 5 ={ q =(0,0, 0) }
2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
2.3.1 Các khái niệm a Biểu diễn véc tơ thành tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ bất kỳ
Theo định nghĩa 2.2 Véc tơ u bất kỳ được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u n u 1 , , , nếu u có thể viết dưới dạng 1 1 1
=ồ = + + ẻ3 Khi đú còn nói u biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u 1 , ,u n Hay u biểu thị tuyến tính qua các véc tơ u 1 , ,u n
Nhận xét 2.1: Từ định lý 2.4, véc tơ u được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1, , un nếu và chỉ nếu u thuộc span{u1, , un} Khi có thể biểu diễn như vậy, cách biểu diễn có thể là duy nhất hoặc không, tùy thuộc đặc điểm của hệ véc tơ cụ thể; nếu các véc tơ u1, , un độc lập thì biểu diễn là duy nhất, ngược lại nếu chúng phụ thuộc thì có nhiều cách biểu diễn Véc tơ q luôn có một cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính qua mọi hệ các véc tơ u1, , un theo dạng q = a1u1 + + anun; đây được gọi là cách biểu diễn tầm thường của véc tơ q khi mọi hệ số a_i bằng 0 và q = 0 Từ đó suy ra cách biểu diễn không tầm thường của véc tơ q: tồn tại một bộ hệ số không bằng 0 sao cho q = a1u1 + + anun.
Ví dụ 2.11 Trên 3 2 cho hệ véc tơ { u 1=(0, 1 ,- ) u 2 =( )1, 4}, và u = ( , ) a b
Hệ phương trình có duy nhất nghiệm với mọi a b ,
Như vậy véc tơ u = ( ) a b , bất kỳ nào cũng chỉ có duy nhất một cách biểu diễn qua hệ véc tơ { u 1 = ( 0, 1 , - ) u 2 = ( ) 1, 4 }
Do đú vộc tơ qẻ3 2 cũng chỉ cú duy nhất một cỏch biểu diễn tầm thường qua hệ vộc tơ đã cho Nghĩa là chỉ có thể viết q =(0, 0) 0= u 1 +0u 2
Ví dụ 2.12 Trên 3 2 xét hệ { u 1 =(0, 1 ,- ) u 2 =( )1, 4 ,u 3 =( )2,3}, và u = ( ) a b ,
+ = = + + Û ớỡợ - + + = hệ cú vụ số nghiệm với " ( ) a b , q =(0, 0) 0= u 1 +0u 2 +0u 3 =5u 1 +2u 2 -u 3 = v=(1, 6) 3= u 1 +3u 2 -u 3 = -2u 1 +u 2 +0u 3 =
Trong ví dụ này ta thấy các véc tơ v=( )1, 6 , , q lại có nhiều hơn một cách biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đã cho
Ví dụ 2.13 xem xét hệ vectơ {u1=(1,-3), u2=(-2,6)} trên ℝ^2 Ta nhận thấy u2 = -2u1 nên hai vectơ này phụ thuộc và chỉ sinh ra một đường thẳng duy nhất; do đó không thể biểu diễn mọi vectơ bằng tổ hợp tuyến tính của {u1,u2} Bất kỳ vectơ u=(a,b) với 3a + b ≠ 0 không thể biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của hệ {u1,u2} Ngược lại, vectơ q=(0,0) và các vectơ v=(a,b) thỏa mãn điều kiện 3a + b = 0 lại có vô số cách biểu diễn dưới dạng c1u1 + c2u2, tức là tồn tại vô số c1,c2 thỏa mãn c1u1 + c2u2 = v Điều này cho thấy tính phụ thuộc tuyến tính của hai vectơ khiến không gian do chúng sinh ra là một đường thẳng, và trên đường thẳng đó vẫn có vô số tổ hợp tuyến tính để biểu diễn các vectơ.
Hệ S = {u1, , un} gồm n véc tơ của không gian véc tơ V (các véc tơ có thể trùng nhau) được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình a1 u1 + a2 u2 + + an un = 0 chỉ có nghiệm duy nhất là a1 = a2 = = an = 0 Ngược lại, nếu tồn tại một bộ hệ số khác không thỏa mãn phương trình trên, thì S bị phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa này cho phép đánh giá tính độc lập của các véc tơ dựa trên khả năng diễn tả một véc tơ bằng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại.
Hệ S được gọi là độc lập tuyến tính khi véc-tơ q có duy nhất một cách biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính tầm thường qua hệ S Phụ thuộc tuyến tính xảy ra khi hệ không độc lập tuyến tính; theo Định nghĩa 2.6, một hệ không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Vậy hệ S ={ u 1, ,u n } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ta có thể tìm được
1, , n a a ẻ3 khụng đồng thời bằng 0, ($ ạa i 0 ), sao cho a 1 1 u + + a n n u =q
Phụ thuộc tuyến tính của hệ S xảy ra khi tồn tại một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong S với các hệ số không đồng thời bằng không sao cho tổng các hệ số nhân với các phần tử đó bằng vector 0 Nói cách khác, ngoài biểu diễn tầm thường, tồn tại một biểu diễn không tầm thường cho một vector q bằng các phần tử của S, cho thấy các thành phần của S có sự phụ thuộc lẫn nhau Điều này trái ngược với khái niệm độc lập tuyến tính, trong đó mọi tổ hợp tuyến tính với hệ số khác không đều cho ra vector 0 duy nhất.
Ch ươ ng 2 Không gian véc t ơ n chi ề u
1) Hệ chứa véc tơ q là hệ phụ thuộc tuyến tính Thật vậy 0u 1 + + 0u n +1q q=
2) Hệ chứa một vộc tơ uạq là hệ độc lập tuyến tớnh
3) Hệ hai véc tơ { u u 1, 2 } là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỷ lệ, nghĩa là u 1 =au 2 hoặc u 2 =a au 1 ; ẻ3
1) Trong 2 R , hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai véc tơ đó cùng phương
2) Trong 3 R , ba véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng đồng phẳng
3) Trong Ví dụ 2.12 hệ véc tơ { u 1=(1, 3 ,- ) u 2 = -( 2,6) } là hệ phụ thuộc tuyến tính
4 ) Trong Ví dụ 2.11 hệ véc tơ { u 1=(0, 1 ,- ) u 2 =( )1, 4} là hệ độc lập tuyến tính
5 ) Hệ { v 1 =(1,1,1),v 2 =(1, 1, 1),- - v 3 =(1,3,1)}Ì3 3 là hệ độc lập tuyến tính
2.3.2 Tính chất của các hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
1) Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc tuyến tính Vì vậy, mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính là hệ độc lập tuyến tính
2) Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại
3) Giả sử hệ véc tơ { v 1, ,v n } độc lập tuyến tính, và u là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ{ v 1, ,v n }, khi đó cách biểu diễn của u qua { v 1, ,v n }là duy nhất
4) Giả sử vộc tơ uẽ{ v 1, ,v n } Khi đú hệ { v 1, , ,v u n } độc lập tuyến tớnh khi và chỉ khi cỏc vộc tơ { v 1, ,v n } độc lập tuyến tớnh đồng thời uẽSpan v { 1, ,v n }
Chứng minh: Ta chứng minh 3) Bạn đọc tự chứng minh các tính chất còn lại xem như những bài tập
Giả sử tồn tại cỏc số b 1 , ,b n ẻ3 sao cho u =b 1 1 v + + b n n v , vỡ hệ { v 1, ,v n }độc lập tuyến tính nên: q = - =u u (a 1 -b 1 )v 1 + + (a n -b n )v n ịa 1 -b 1 = = a n -b n =0
CƠ SỞ - CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.4.1 Hạng của hệ véc tơ a Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ hữu hạn véc tơ Định nghĩa 2.7 Cho hệ S gồm hữu hạn các véc tơ của không gian véc tơ V Hệ con S ' của hệ S được gọi là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S nếu S ' là hệ độc lập tuyến tính và không nằm trong bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào khác của S
Nói cách khác S ' là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S nếu: S ' độc lập tuyến tính đồng thời thêm bất kỳ véc tơ nào của S vào S ' thì ta nhận được hệ phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 2.16 Trên 3 2 cho hệ véc tơ { u 1 =(0, 1 ,- ) u 2 =( )1, 4 ,u 3 =( )2,3 ,u 4 =( )3,8 }
- Các hệ một véc tơ khác không đều độc lập tuyến tính
- Xét các hệ hai véc tơ, chẳng hạn { u u 1, 2 }, đây là hệ độc lập tuyến tính Nhưng { u u u 1, ,2 3 }là hệ phụ thuộc tuyến tính vì u 3 = -2u 1 -11u 2 , và { u u u 1, ,2 4 }là hệ phụ thuộc tuyến tính vì
4 4 1 3 2 u = u + u Tất nhiên { u u u u 1, , ,2 3 4 }là hệ phụ thuộc tuyến tính Mọi hệ con của hệ
{ u u u u 1, , ,2 3 4 }chứa { u u 1, 2 }đều phụ thuộc tuyến tính Vậy { u u 1, 2 } là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho
- Tương tự các hệ { u u 1, 3 }, { u u 1, 4 }, { u u 2, 3 },{ u u 2, 4 },{ u u 3, 4 }cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho
Tính chất của hệ con độc lập tuyến tính tối đại
1) Nếu S ' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc tơ của S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S ' và cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất
2) Giả sử { v 1, ,v n } là hệ con độc lập tuyến tính của một hệ hữu hạn S Khi đó ta có thể bổ sung thêm để được một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S chứa { v 1, ,v n }
Thật vậy, nếu {v1, ,vn} không tối đại về độc lập tuyến tính thì tồn tại một vector vn+1 thuộc S sao cho {v1, ,vn, vn+1} độc lập tuyến tính Quá trình bổ sung này có thể lặp lại và do S hữu hạn nên sẽ dừng lại, cho ta một hệ con tối đại độc lập tuyến tính của S, ký hiệu {v1, ,vn, , vn+k} Định lý dưới đây nêu lên một tính chất quan trọng của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại trong một hệ hữu hạn véc tơ.
Chương 2 Không gian véc-tơ và định lý 2.4: Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ hữu hạn các véc-tơ thuộc không gian V đều có số phần tử bằng nhau Từ đó, với S là một tập hữu hạn các véc-tơ của V, mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S đều có cùng số phần tử; số phần tử này chính là chiều của span(S), tức là kích thước của cơ sở của không gian do S sinh ra.
Bổ đề 2.1 (Định lý thế Steinitz, hay còn gọi là Định lý tráo véc tơ)
Nếu hệ S độc lập tuyến tính có n véc tơ và mỗi véc tơ của S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của hệ R có k véc tơ thì n k£
Chứng minh: Giả sử S = {v1, , vn}, R = {u1, , uk} Ta sẽ chứng minh rằng có thể dần thay các véc tơ của hệ R bằng các véc tơ của hệ S để có các hệ R1, R2, , Rp sao cho mỗi véc tơ của S vẫn là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ R1, R2, , Rp Mỗi u_j có thể được viết thành một tổ hợp tuyến tính của các v_i, và qua từng bước thay thế u_j bằng một v_i hoặc bằng một tổ hợp từ S ta xây dựng được một chuỗi các hệ R1, R2, , Rp mà span(R1, , Rp) vẫn chứa S Do đó span(R1, , Rp) bằng span(S), tức là mọi v_i có thể biểu diễn bằng các tổ hợp tuyến tính của các hệ R1, R2, , Rp và ngược lại.
Thật vậy, ta cú v 1 =a 1 1 u + + a k k u , v1ạ0 (vỡ S độc lập) nờn a 1 , ,a k ẻ3 khụng đồng thời bằng 0, ta giả sử a 1 ạ0 (cú thể đỏnh lại số thứ tự của R ), suy ra
Xét hệ R 1 ={ v u 1, , ,2 u k } Rõ ràng mọi véc tơ của S vẫn còn là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của R 1
Tương tự ta cú v2 =b 1 1 v +b 2 2 u + + b k k u , vỡ { v v 1, 2 } độc lập tuyến tớnh, nờn b 2 , ,b k ẻ3 khụng đồng thời bằng 0, ta giả sử b 2 ạ0
Xét hệ R 2 ={ v v u 1, , ,2 3 u k }, mọi véc tơ của S cũng là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của R 2
Giả sử n_k > 0 và tiếp tục quá trình này, ta thu được mọi vectơ của S là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ R_k = {v, v_1, , v_k, v_{2k}}, vốn là một hệ con của S Điều này mâu thuẫn với giả thiết S độc lập tuyến tính Vì vậy n_k > 0 không thể xảy ra.
Chứng minh định lý (Đây chính là hệ quả của bổ đề 2.1)
Giả sử {v_i1, , v_ik} và {v_j1, , v_jn} là hai hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S Từ tính tối đại của mỗi hệ, mọi véc tơ của hệ này là một tổ hợp tuyến tính các véc tơ của hệ kia Do đó mỗi véc tơ của {v_j1, , v_jn} thuộc vào tổ hợp tuyến tính của {v_i1, , v_ik}, và ngược lại, nên n ≤ k và k ≤ n Vì vậy n = k Điều này cho thấy hai hệ con tối đại của S có cùng số phần tử, tức là hai cơ sở của S có cùng kích thước.
Khái niệm hệ con ĐLTT tối đại được mở rộng sang các không gian véc tơ có hệ sinh hữu hạn Một hệ như vậy là một tập hợp các vector độc lập tuyến tính và không nằm trong bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào khác của không gian véc tơ đó Nói cách khác, nó là một tập độc lập tối đa về tính chất tuyến tính; trong không gian có kích thước hữu hạn, mọi hệ con ĐLTT tối đại đều là cơ sở của không gian và cho phép biểu diễn mọi vector bằng tổ hợp tuyến tính của các vector trong hệ con đó.
Trong không gian véc-tơ, mọi véc-tơ được biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua hệ con độc lập tuyến tính tối đại của chính không gian đó Định nghĩa 2.8: Số các véc-tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S được gọi là hạng (rank) của S, ký hiệu rank(S) hoặc r(S) Quy ước: hệ chỉ có véc-tơ 0 có hạng bằng 0, hay rank(S) = 0.
Ví dụ 2.17 Hệ véc tơ ở Ví dụ 2.16 có hạng bằng 2
Trong đại số tuyến tính, hạng của một hệ véc tơ là số lượng véc tơ độc lập tối đa có thể sinh từ hệ đó Hạng của hệ véc tơ không đổi khi thực hiện một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp lên hệ S, như hoán vị các véc tơ, nhân mỗi véc tơ với một hằng số khác không, hoặc cộng một véc tơ với bội của một véc tơ khác Dù các phép biến đổi sơ cấp có thể thay đổi hình thức và thứ tự của các véc tơ, chúng không làm suy giảm khả năng sinh các véc tơ độc lập, do đó hạng hệ được bảo toàn Đây là tính chất bất biến của hạng hệ véc tơ dưới các phép biến đổi sơ cấp, giúp phân tích cấu trúc của hệ vectơ và tối ưu hóa ma trận.
1) Đổi chỗ các véc tơ của hệ (hạng của hệ véc tơ không phụ thuộc vào thứ tự các véc tơ trong hệ)
2) Thêm (bớt) một số véc tơ là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của hệ
3) Nhân một số khác 0 với một véc tơ của hệ S;
4) Cộng vào một véc tơ của hệ S S một tổ hợp tuyến tính các véc tơ khác của S; thì hệ S biến thành hệ 'S có ( )r S =r S( ')
Các phép biến đổi sơ cấp trên một tập vectơ không làm thay đổi số vectơ trong một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ, do đó hạng của hệ véc tơ được bảo toàn Để tìm hạng của hệ véc tơ {v1, v2, , vn}, ta có thể sử dụng hai cách sau:
Cách 1 Áp dụng định nghĩa: chỉ ra hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đó, theo từng bước như sau:
2) Giả sử v 1 ạq, loại cỏc vộc tơ v i tỉ lệ với v 1 ,
3) Giả sử { 1, , } i i k v v độc lập, khi đó { 1, , , } i i k j v v v độc lập khi và chỉ khi v j không biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của { v i 1, ,v i k }
Cách 2: Áp dụng tính chất của hạng hệ véc tơ bằng cách thực hiện các phép biến đổi sơ cấp lên hệ véc tơ đã cho để đưa về một hệ có hạng dễ nhận diện Khi thực hành, ta có thể ghép tọa độ các véc tơ vào thành một bảng, mỗi véc tơ nằm trên một hàng (hoặc một cột), sau đó thực hiện các biến đổi để bảng số thu được có dạng bậc thang theo hàng (hoặc theo cột) Việc chuyển đổi này cho phép xác định hạng của hệ véc tơ nhanh chóng và chính xác bằng cách nhìn bảng bậc thang.
Ví dụ 2.18 Tìm hạng của hệ véc tơ sau:
Ch ươ ng 2 Không gian véc t ơ n chi ề u
Giải: v Cách 1: v v 1 , 2 không tỉ lệ nên độc lập Nếu v 3 =xv 1 +y v 2 thì
; Vậy v 3 =2v 1 -v 2 Nghĩa là { v v v 1, ,2 3 } phụ thuộc
, hệ vô nghiệm Vậy { v v v 1, ,2 4 } độc lập tuyến tính
2 2 v = v - v Nghĩa là { v v v v 1, , ,2 4 5 } phụ thuộc tuyến tính
TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG MỘT CƠ SỞ
Giả sử B ={ e 1, ,e n } là một cơ sở của khụng gian vectơ V , khi đú " ẻu V đều viết được một cỏch duy nhất u = x e 1 1 + + x e n n , x 1 , ,x n ẻ3 (cụng thức (2.2) Định lý 2.8 chương 2)
Ch ươ ng 2 Không gian véc t ơ n chi ề u Định nghĩa 2.11 Bộ gồm n số thực ( , , )x 1 x n được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở
Ta ký hiệu [ ] u B là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở B ={ e 1, ,e n }
Vậy nếu u thỏa mãn (2.2) thì [ ] u =( , , )x 1 x n
Có thể còn dùng ký hiệu [ ]
Nhận xét 2.3 s Như vậy trong hai cơ sở khác nhau thì một véc tơ sẽ có toạ độ không giống nhau [ ] [ ] u ạ u '
Trong mọi không gian vectơ, dù véc-tơ thuộc loại nào đi nữa, tọa độ của một véc-tơ luôn là một dãy các số thực Số thành phần của các tọa độ chính là số chiều của không gian vectơ đó, nghĩa là mỗi chiều tương ứng với một thành phần tọa độ.
Sau khi học chương 3 ta sẽ có công thức liên hệ giữa hai toạ độ của cùng một véc tơ trong hai cơ sở khác nhau
Ví dụ 2.22 xem xét vectơ v = (1, 6) trên không gian R^2 Với cơ sở chuẩn {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} ta có v = 1·e1 + 6·e2, nên tọa độ của v trong cơ sở chuẩn là (1, 6) Với một cơ sở khác của R^2, ta có thể viết v = -2·f1 + 1·f2, nên tọa độ của v trong cơ sở này là (-2, 1) Trong không gian R^3, xét vectơ u = (2, 2, 6) và một cơ sở {v1, v2, v3} của R^3, ta có u = 6·v1 − 2·v2 − 2·v3, và tọa độ của u trong cơ sở này là (6, −2, −2).
2.1) Với các phép toán được định nghĩa trong 3 n Hãy chứng tỏ các tập hợp sau là không gian véc tơ a) W ={ u=( x x 1, , 2 x n )ẻ3 n x 1= x 2 = = x n } b) W = { u = ( 0, , x 2 x n ) ẻ 3 n x 1 + x 2 + + x n = 0 } c) W ={ u=( x x 1, , 2 x n )ẻ3 n x 1+x n =0}
2.2) Các tập hợp sau trong 3 n có phải là không gian véc tơ con của 3 n không? Vì sao? a) W = { u = ( x x 1 , , 2 x n ) ẻ 3 n x 1 = x 2 = = x n = 1 } b) W ={ u =(0, , x 2 x n )ẻ3 n x 2 >0} c) W = { u = ( x x 1 , , 2 x n ) ẻ 3 n x 1 + x n = 1 }
2.3) Xét tập 3×3 với các phép toán được định nghĩa như sau trong các trường hợp sau: có phải là một không gian véc-tơ hay không? Cần chỉ ra tiên đề nào bị vi phạm khi các phép toán không thỏa mãn a) Với A = (aij) và B = (bij) là hai ma trận 3×3, phép cộng được định nghĩa bằng cách cộng từng phần tử A+B = (aij + bij); với mỗi số thực c, phép nhân vô hướng được định nghĩa là cA = (c·aij).
Xét các tập hàm xác định trên đoạn [a,b] với hai phép cộng hàm số và nhân hàm với số thực, ta xem xét liệu các tập sau có phải là không gian vectơ hay không: a) Tập C[a,b] gồm các hàm liên tục trên [a,b] là một không gian vectơ; b) Tập các hàm khả vi trên [a,b] (có đạo hàm tại mọi điểm) cũng là một không gian vectơ; c) Tập các hàm bị chặn trên [a,b] là một không gian vectơ; d) Tập các hàm trên [a,b] sao cho f(b)=0 là một không gian vectơ; e) Tập các hàm trên [a,b] sao cho f(b)=1 không phải là một không gian vectơ; f) Tập các hàm không âm trên [a,b] không phải là một không gian vectơ.
2.5) Hãy biểu diễn véc tơ v thành tổ hợp tuyến tính của u u u 1 , , 2 3 : a) v=(7, 2,15);- u 1 =(2,3,5),u 2 =(3, 7,8),u 3 =(1, 6,1)- b) v=(1,3,5); u 1 =(3, 2,5), u 2 =(2, 4, 7),u 3 =(5, 6,0)
2.6) Hãy xác định l sao cho u là tổ hợp tuyến tính của u u u 1 , , 2 3 : a) u=(7, 2, );- l u 1 =(2,3,5),u 2 =(3, 7,8),u 3 =(1, 6,1)- b) u=(1,3,5); u 1 =(3, 2,5),u 2 =(2, 4, 7),u 3 =(5, 6, )l
2.7) Chứng minh hệ véc tơ { v v v 1, 2, 3 } là một cơ sở của 3 3 , tìm toạ độ của u trong cơ sở này
Ch ươ ng 2 Không gian véc t ơ n chi ề u a) u=(6,9,14); v 1 =(1,1,1),v 2 =(1,1, 2),v 3 =(1, 2,3) b) u=(6,9,14); v 1 =(1,1, 2), v 2 =(1, 2,3),v 3 =(1,1,1) c) u=(6, 2, 7),- v 1 =(2,1, 3),- v 2 =(3, 2, 5),- v 3 =(1, 1,1)-
2.8) Mỗi hệ véc tơ sau có sinh ra 3 3 không? a) u=(1,1,1),v=(2, 2, 0), w=(3, 0, 0) b) u =(3,1, 4), v=(2, 3,5),- w=(5, 2,9),- s=(1, 4, 1)-
2.9) Các hệ véc tơ dưới đây độc lập hay phụ thuộc tuyến tính a) u=(4, 2, 6),- v=(6, 3,9)- trong 3 3 b) u =(2, 3,1),- v=(3, 1,5),- w=(1, 4,3)- trong 3 3 c) u=(5, 4,3),v=(3,3, 2), w=(8,1,3) trong 3 3 d) u =(4, 5, 2, 6),- v=(2, 2,1,3),- w=(6, 3,3,9),- s=(4, 1,5, 6)- trong 3 4
2.10) Tìm chiều và một cơ sở của không gian con của 3 4 a) Các véc tơ có dạng (a,b,c,0) b) Các véc tơ có dạng (a,b,c,d)với d =a+b và c=a-b c) Các véc tơ có dạng (a,b,c,d) với a=b=c=d
2.11) Tìm chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ các véc tơ sau: a) v 1 =(2, 4,1),v 2 =(3,6, 2),- v 3 = -( 1, 2, 1 2)- b) v 1 =(1, 0, 0, 1),- v 2 =(2,1,1, 0),v 3 =(1,1,1,1),v 4 =(1, 2,3, 4),v 5 =(0,1, 2,3)
Xét tập F gồm các hàm khả vi trên [a,b] thỏa mãn phương trình vi phân 5f'(x) - f(x) = 0 với mọi x ∈ [a,b] Vì mọi hàm thỏa mãn phương trình này đều liên tục nên F là một không gian con của C[a,b] Giải phương trình vi phân cho f: f'(x) = f(x)/5, nghiệm tổng quát là f(x) = C e^{x/5} với C ∈ R Do đó F = { C e^{x/5} : C ∈ R }, cơ sở của F là { e^{x/5} } và số chiều của F bằng 1.
2.13) Cho 3 véc tơ v v v 1 , , 2 3 của không gian véc tơ V Chứng minh: a) Nếu { v v 1, 2 }độc lập thì { v 1+v v 2, 1-v 2 } cũng độc lập b) Nếu { v v v 1, ,2 3 } độc lập thì { v 1+v v 2, 2+v v 3, 3+v 1 } cũng độc lập
2.14) Chứng minh cho hai hệ véc tơ {v1, , vn} và {u1, , um} thuộc không gian véc tơ V: nếu mỗi véc tơ của hệ này có thể biểu diễn được thành một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của hệ kia (v_i = a_{i1}u1 + + a_{im}u_m và u_j = b_{j1}v1 + + b_{jn}v_n cho mọi i, j), thì hai hệ có cùng hạng Bởi Span{v1, , vn} = Span{u1, , um} nên hạng của hai hệ, bằng kích thước của span, là bằng nhau; từ đó hai hệ véc tơ {v1, , vn} và {u1, , um} có cùng hạng.
2.15) Chứng minh rằng các tập con sau là các không gian con của 33
V = { ( , , ) x y z ẻ 3 3 x y z + + = 0 } , W = { ( , , ) x y z ẻ 3 3 x y z - - = 0 } a) Tìm một cơ sở của ,V W V, ÇW. b) Tìm số chiều của các không gian ,V W V, ÇW.
2.16) Chứng minh rằng các tập con sau là các không gian con của 3 3
V = { ( , , ) x y z ẻ 3 3 x + 2 y z - = 0 } , W = { ( , , ) x y z ẻ 3 3 3 x y z - + = 0 } a) Tìm một cơ sở của ,V W V, ÇW. b) Tìm số chiều của các không gian ,V W V, ÇW.
MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
MA TRẬN
3.1.1 Khái niệm ma trận Định nghĩa 3.1 Một ma trận cấp m n´ là bảng chữ nhật gồm m n´ số được xếp thành m hàng n cột (1Ên m, ẻé) Mỗi ma trận được ký hiệu bởi chữ cỏi in hoa
Ma trận Ađựơc ký hiệu là
Ma trận A cấp m n´ cú thể được viết tắt là A= ở ỷộ ựa ij m n ´ hay 1,
Tuỳ theo a_ij là số nguyên, thực hoặc phức tương ứng mà ta có ma trận nguyên, ma trận thực hoặc ma trận phức Nếu không có quy ước về loại của các phần tử a_ij, ta quy ước A là ma trận thực, nghĩa là mọi phần tử a_ij là số thực a_ij là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; i là chỉ số hàng, i = 1, 2, , m; j là chỉ số cột, j = 1, 2, , n Ma trận A có kích thước m × n.
- Hai ma trận A= ở ỷộ ựa ij m n ´ ,
B= ở ỷộ ựb ´ goi là bằng nhau, viết làA B= , nếu chỳng có cùng cấp, đồng thời các phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau
' ' , 1, ; 1, ij m n ij m n ij ij m m a b n n a b i m j n ´ ´ ỡ =ùù é ù =é ù Û í ở ỷ ở ỷ ù = " = ùợ
- Khi m n= ta nói A là ma trận vuông cấp n Các a ii là phần tử ở hàng thứ i và cột i gọi là các phần tử trên đường chéo chính
- Tập hợp tất cả các ma trận cấp m n´ được ký hiệu M m n ´
- Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu M n
Chú ý 3.1 cho biết tên gọi riêng của từng ma trận phụ thuộc vào hình thức và đặc điểm của các phần tử bên trong ma trận Sau này người ta còn đưa ra các định nghĩa và tên gọi ma trận tùy theo các phép toán mà ma trận đó thỏa mãn.
Dưới đây là tên các ma trận thường gặp được định nghĩa thông qua hình thức của ma trận
Ma trận hàng là ma trận có 1 hàng Ma trận cột là ma trận có 1 cột
Ma trận không là ma trận có mọi phần tử là 0 , ký hiệu là q
Ma trận đối của ma trận A a ij m n é ù ´
Ma trận A có kích thước m × n Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A^T, được tạo bằng cách đổi các hàng của A thành các cột và ngược lại, nên A^T có kích thước n × m Tại mỗi vị trí (i, j) của A^T, giá trị bằng a_{ji} của A, tức t_{ij} = a_{ji} Quá trình này phản ánh sự đối xứng giữa hàng và cột và được ứng dụng rộng rãi trong giải hệ phương trình tuyến tính, biến đổi ma trận và các bài toán tối ưu.
Một số ma trận vuông cấp n có dạng đặc biệt
- ma trận đường chéo ij : ij 0
- ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu I n , 1
Ch ươ ng 3 Ma tr ậ n và Đị nh th ứ c
- ma trận tam giác trên (tam giác dưới) : a ij =0 " >i ; j ( a ij =0 "