Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 7: Hàm nhiều biến và bài toán cực trị

Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 7: Hàm nhiều biến và bài toán cực trị. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: hàm 2 biến; đạo hàm riêng của hàm 2 biến; ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thức; ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2

CHƯƠNG 7

HÀM NHIỀU BIẾN VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

I Hàm 2 biến

1 Định nghĩa

Ví dụ:

2 Tập xác định của hàm 2 biến

Định nghĩa: là tập hợp các điểm (x,y) sao cho hàm số có

nghĩa

Ví dụ: Tìm tập xác định và biểu diễn hình học TXĐ của

hàm số sau

II Đạo hàm riêng của hàm 2 biến

1 ĐHR cấp 1:

Nhận xét: trong thực hành, muốn tính ĐHR cấp 1

theo biến x thì coi y là hằng số và đạo hàm như đối với hàm 1 biến Tương tự, tính ĐHR theo y thì coi

x là hằng số

2 ĐHR cấp 2:

Nhận xét: f(x,y) là hàm 2 biến và các ĐHR cấp 1 của nó

cũng là những hàm 2 biến, Vì thế, chúng lại có thể có các ĐHR Khi đó ta xác định các ĐHR cấp 2 của f nhƣ sau:

III Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thức

Bài toán: Giả sử ta cần tính giá trị của hàm 2 biến f tại

một điểm (x,y) nhƣng không tính đúng đƣợc Ta lại biết giá trị của f tại điểm (x0,y0) rất gần (x,y) Khi đó ta có công thức tính gần đúng sau:

IV Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến

1 Cực trị tự do

Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị

a Điều kiện cần của cực trị

Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên đƣợc gọi là một điểm dừng (hay điểm tới hạn)

b Điều kiện đủ của cực trị

2 Cực trị có điều kiện

Phương pháp giải: Phương pháp nhân tử lagrang