T ừ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô cùng bé, vô cùn
Đị nh ngh ĩ a dãy s ố
Tập hợp các số tự nhiên được ký hiệu là * ={1, 2, 3, } Một ánh xạ f: * → ℝ được gọi là một dãy số thực Nếu đặt x_n = f(n), ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng các phần tử theo thứ tự của tự nhiên, giúp hình dung rõ hơn về sự liên kết giữa chỉ số n và giá trị của dãy số Dãy số thực là công cụ quan trọng trong phân tích toán học, phản ánh sự biến đổi của các giá trị theo từng bước thứ tự.
Trong dãy số, phần tử xₙ được gọi là số hạng thứ n, thể hiện vị trí của nó trong dãy Để thuận tiện, ta ký hiệu dãy số bằng {xₙ}, giúp dễ dàng nhận biết các phần tử theo thứ tự Chỉ số n trong số hạng xₙ xác định chính xác vị trí của phần tử đó trong dãy số, như trong công thức (2.1.1).
Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy:
Các số hạng của dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) đều tiến gần về 0 khi n tăng, cho thấy chúng hội tụ về 0 Trong khi đó, các số hạng của dãy (2.1.4) tiến gần về 1 khi n tăng, thể hiện rằng dãy này hội tụ về 1 Do đó, ta kết luận rằng các dãy (2.1.3) và (2.1.5) có giới hạn bằng 0, còn dãy (2.1.4) có giới hạn bằng 1.
0, còn dãy (2.1.4) có giới hạn 1
Giới hạn của một dãy được định nghĩa chính xác như sau: Một số \(a\) được gọi là giới hạn của dãy \(\{x_n\}\) nếu với mọi số \(\varepsilon > 0\) bất kỳ, ta có thể tìm được một số \(p \in \mathbb{N}\) sao cho với mọi \(n > p\), thì \(x_n\) luôn nằm trong khoảng \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) Điều này giúp xác định rõ ràng và chính xác tính chất giới hạn của dãy số, là phần quan trọng trong phân tích toán học.
Nếu a là giới hạn của dãy {x n } thì ta viết:
Ta chú ý rằng số p trên nói chung phụ thuộc vào việc chọn ε Để nh ấ n m ạ nh đ i ề u đ ó đôi khi thay cho p ta sẽ viết p ε
Lân cận của điểm a, ký hiệu là khoảng m (a−ε, a+ε), được gọi là lân cận của điểm a nếu nó bao gồm điểm a Khi a là giới hạn của dãy {xₙ}, thì bất kỳ lân cận nhỏ nào của a đều chứa tất cả các phần tử của dãy bắt đầu từ một chỉ số nào đó, nghĩa là các phần tử xₙ ngoài lân cận đó chỉ có thể là hữu hạn Điều này thể hiện rằng các phần tử của dãy tiến tới điểm a khi n tăng lên vô hạn, phù hợp với khái niệm giới hạn trong phân tích thực.
Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu không có giới hạn được gọi là phân kỳ
Hãy chứng minh dãy ⎧⎨⎩ +1⎫⎬⎭ n n có giới hạn là 1
| 1| 1 n 1 x n Với mọi ε cho tr ướ c 1
Hãy chỉ ra rằng dãy:
Giả sử rằng dãy có giới hạn là a Khi đó với ε =1, t ồ n t ạ i s ố p sao cho với n>p ta có |x n – a|< ε =1
Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n+1>p, cho nên
Từđó ta suy ra với n>p
|x n – x n+1|= |(x n− a)+ ( a −x n+1)|≤| x n − a|+| x n+1− a|n< 1+1 = 2 điều này mâu thuẫn với tính chất của các số hạng của dãy (2.1.8) là: | x n – x n+1 |= 2 ∀ ∈n *
Các tính ch ấ t c ủ a dãy h ộ i t ụ
a) Tính duy nhất Định lý 2.1.1 Mọi dãy hội tụđều có giới hạn duy nhất
Giả sử dãy: (2.1.1) có hai giới hạn khác nhau a và b với a< b
2 b a B i vì, a là giới hạn của dãy (2.1.1), ta tìm được số p 1 sao cho với n> p 1 ta có:
|x n – a|< ε tức là a – ε < x n < a+ε (2.1.9) nhưng b cũng là giới hạn của dãy (2.1.1), nên với số ε nói trên, ta tìm được p 2 sao cho với n>p 2 ta có:
Nếu lấy n > max(p 1 , p 2 ) thì b – ε < x n < a+ ε ⇒b – ε< a+ε ⇒ b–a < 2ε, đ i ề u này mâu thuẫn với giả thiết b – a = 2ε Định lý 2.1.2 Mọi dãy hội tụđều bị chặn
→∞ = Theo định nghĩa với ε =1, ta tìm được một số tự nhiên p sao cho với mọi số tự nhiên n≥p, ta có: n − x a < 1 Do x n − a ≤ x n − a nên x n < a + 1
Gọi k = max {|x 1|,|x 2|,|x 3|,…,|x n|,|a|+1} Khi đó|x n|≤ k ∀ n=1,2,3,…, tức là dãy {x n } bị chặn
Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ
Dãy có số hạng tổng quát x n= (–1) n là dãy bị chặn nhưng không hội tụ vì:
Tuy nhiên |x n |=1, ∀n b) Dãy con Định nghĩa 2 Giả sử {k n } là dãy tăng các chỉ số, tức là
Khi đó dãy với các số hạng
1, 2, 3, k k k x x x (2.1.12) được gọi là dãy con của dãy (2.1.1) Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con của dãy (2.1.1)
Thật vậy k 1≥1, cho nên k 2>1 và do đó k 2≥2, b i vì k 2 là số tự nhiên
Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được k n ≥n, ta nhận được k n + 1 >n và do đó
+ 1 ≥ +1 k n n Các ví dụ về dãy con là:
1 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , ( n n , n x x x x x x x x p p là số nguyên tố) (2.1.17) Định lý 2.1.3 Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn
Giả sử dãy (2.1.1) có cùng giới hạn a và { k n x } là một dãy con của dãy (2.1.1) Ta hãy chứng minh dãy { k n x } cũng có giới hạn là a Đặt yn k n x
Giả sử cho trước ε>0 vì lim n →∞ x n =a , nên tồn tại số p sao cho với n>p ta có
Mặt khác với n>p thì k n >p (vì k n ≥ n) và do đó
→∞ n n y a, điều phải chứng minh c) Các phép toán về giới hạn Định lí 2.1.4 Cho hai dãy hội tụ
→∞ + = + lim( n ) n c x c a với c là hằng số (2.1.19)
(i) Vì x n → a y , n → b nếu với ε>0 ta tìm được p 1 và p 2 sao cho: khi n>p 1 thì |x n – a|p ta có:
Từđây suy ra điều phải chứng minh
(ii) Chứng minh tương tự như trên
(iii) Ta có đẳng thức:
Vì x n →a y, n →b, nên với ε> 0 cho trước, tìm được p 1, p 2 sao cho: khi n>p 1 thì |x n − a|< ε , khi n>p 2 thì |y n −b|< ε
Gọi p =max(p 1,p 2) thì khi n>p ta có:
(iv) Do y → b n , nên ta có thể chọn m sao cho khi n>m thì |y n − b|m thì
Mặt khác, cũng do y n → b nên với ε >0 cho trước tìm được p >m sao cho khi n > p ta có
Do vậy khi n>p ta có:
− = n − < n − < n n y b y b y b by b ε, điều này chứng tỏ rằng 1 →1 khi → ∞ n y b n
(v) Kết luận này là hệ quả của (iii) và iv d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức Định lý 2.1.5 Giả sử lim lim
→∞ n < →∞ n n x n y Khi đó tìm được một số p sao cho với n>p thì x n < y n
Chứng minh: Đặt lim n , li m n n x a n y b
2 b a ε = − Do đó a+ε= b −ε Theo gi ả thi ế t tìm được p 1 ,p 2 sao cho khi:
Nếu gọi p =max(p p 1 , 2 ) thì bất đẳng thức:
Trư ng hợp đặc biệt khi y n = ∀ ∈b, n * ta có khẳng định sau:
∞ , thì ∃ psao cho ∀ > n p ta có x n < b
Một cách tương tự nếu lim
∞ , thì ∃p sao cho ∀ > n p ta có y n > a. Định lý 2.1.6 Cho hai dãy số {x n } và {y n } Khi đó:
(ii) Nếu {z n } là một dãy thoả mãn
≤ ≤ ∀ và l im = li m = t hì l im = n n n n n n n n n x y z n x z a y a
(i) Hãy chứng minh khẳng định này bằng phản chứng Giả sử a < b, khi đó tồn tại số r thoả mãn a< r p 1 thì x n < r
Tương tự ta tìm được p 2 sao cho khi n > p 2 thì y n > r
Nếu gọi p =max(p 1 ,p 2 ) thì khi n>p ta có x n r, nghĩa là x n0 cho trước tìm được p 1 sao cho khi n >p 1 thì:
Tương tự, vì z n →a, ta tìm được p2 sao cho khi n>p 2 ta có a− < < +ε z n a ε
Từđây, đặt p = max(p 1 ,p 2 ), thì khi n > p ta có
− < n ≤ n ≤ < + n a ε x y z a ε Suy ra a − < ε y n < + a ε, tức là y n →a, điều phải chứng minh.
Gi ớ i h ạ n vô h ạ n
Định lý 2.1.7 xác định điều kiện để một dãy số {xₙ} có giới hạn cộng vô cùng Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, luôn tồn tại một số p sao cho với mọi n > p, ta có xₙ > M, thì ta nói rằng dãy {xₙ} có giới hạn cộng vô cùng Ký hiệu của giới hạn này là lim n→∞ xₙ = +∞.
Nếu với mọi M >0 lớn tuỳ ý, bao gi cũng tồn tại một số p sao cho ∀ >n p, ta có x n < –
M, thì ta nói rằng dãy {x n} có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là lim n n x
Một dãy hội tụ là dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là giá trị của các thành phần trong dãy tiến dần đến một số cố định khi n tăng lên vô cùng Ngược lại, nếu dãy có giới hạn là ±∞, thì nó không được xem là dãy hội tụ Do đó, để xác định một dãy hội tụ, ta cần kiểm tra xem giới hạn của nó có tồn tại và là một số thực hữu hạn hay không Việc phân biệt rõ ràng giữa dãy có giới hạn hữu hạn và dãy có giới hạn vô cùng giúp hiểu rõ hơn về tính chất hội tụ của dãy trong phân tích toán học.
Tiêu chu ẩ n h ộ i t ụ
Các đị nh lý
Định nghĩa 1 Dãy x x x 1 , 2 , 3 , gọi là tăng nếu (2.2.1)
< + 1∀ ∈ * n n x x n (2.2.3) ta nói rằng dãy (2.2.1) là dãy thực sự tăng Tương tự, nếu như
> ∀ ∈ n n x x n (2.2.5) thì ta nói rằng dãy (2.2.1) thực sự giảm
Các dãy nói trên được gọi là các dãy đơn điệu, tạo thành một lớp tồn tại quan trọng trong lý thuyết dãy số Trong đó, hai định lý quan trọng về các dãy đơn điệu đóng vai trò nền tảng để xác định kết quả của chúng Cụ thể, Định lý 2.2.1 cho biết rằng nếu một dãy không giảm và không bị chặn trên, thì giới hạn của dãy đó tiến tới +∞ khi n tiến đến vô cùng.
Nếu như dãy bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
Giả sử dãy (2.2.1) không bị chặn trên, ta có thể chứng minh rằng giới hạn của nó tiến tới cộng vô cực bằng cách chọn bất kỳ M > 0 nào và tìm một số tự nhiên p sao cho x_p > M, từ đó thấy rằng dãy là không giảm và x_n ≥ x_p > M với mọi n > p, dẫn đến giới hạn của dãy là +∞ Trong trường hợp dãy bị giới hạn trên, ta cần đặt các tham số phù hợp để phân tích trạng thái của dãy và xác định giới hạn của nó.
Mặt khác, ∀ >ε 0, ta tìm được chẳng hạn phần tử x p của dãy sao cho x p > − a ε Với n>p ta có x n ≥ x p , nên:
Nếu dãy (2.2.1) không giảm và bị chặn trên thì lim *
Tương tự ta có định lý sau Định lý 2.2.2 Giả sử dãy (2.2.1) là không tăng Nếu nó không bị chặn dưới thì lim
Nếu nó bị chặn dưới, thì có giới hạn hữu hạn
Nếu (2.2.1) không tăng và bị chặn dưới thì lim *
≥ →∞ ∀ ∈ k n n x x k (2.2.12) Định lý sau đây suy ra từ hai định lý trên Định lý 2.2.3
Dãy sốđơn điệu là hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn
Dãy hội tụ bất kỳ nào đều bị chặn, đảm bảo tính ổn định trong phân tích toán học Tuy nhiên, dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ, như ví dụ dãy {(1)−n + 1} bị chặn nhưng không hội tụ Trong khi đó, các dãy bị chặn đơn điệu luôn luôn hội tụ, mang ý nghĩa quan trọng trong giải tích và các ứng dụng thực tiễn.
S ố e
Xét dãy ⎧⎪⎨⎪⎩ = +⎛⎜⎝1 1⎞ ⎪⎟⎠ ⎫⎬⎪⎭ n x n n Ta chứng minh rằng lim
= +⎜⎝ ⎟⎠ n y n n Ta thấy rằng dãy {y n }là dãy giảm, tức là
Thật vậy, bất đẳng thức (2.2.13) tương đương với bất đẳng thức:
Mặt khác, theo bất đẳng thức Bernoulli với h >0, k >1, k nguyên ta có:
= = + h + k n n n vào (2.2.18) ta thấy rằng bất đẳng thức (2.2.17) hiển nhiên được chứng minh và do đó dãy {y n } là dãy giảm Hơn nữa dãy {y n } bị chặn dưới (b i vì y n>0 ∀ ∈ n * )
Do đó tồn tại giới hạn lim
1 lim 1 lim lim 1 1 lim lim
Từđây suy ra giới hạn lim n n x
→∞ tồn tại Theo Euler giới hạn này được ký hiệu b i chữ e: e =lim 1 →∞ ⎛⎜⎝ + 1 ⎞⎟⎠ n n n (2.2.19)
Số e là một số vô tỷ, 15 sốđầu trong khai triển thập phân của nó là e =2,718281828459045……
Nguyên lý Cantor v ề dãy các đ o ạ n th ẳ ng l ồ ng nhau và th ắ t l ạ i
Định lý 2.2.4 Giả sử [a b 1, 1]⊃[a b 2, 2]⊃ ⊃ [a b n , n ]⊃ là dãy vô hạn các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại: lim( ) 0.
Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử
Xột cỏc dóy {a n} và {b n}, ta thấy rằng b n≤ ∀ ∈b 1 n * và a n a n ≥ a 1 ∀ ∈n N * nên dãy {b n } cũng dẫn tới một giới hạn hữu hạn lim→∞
Nhưng theo định lý về hiệu của hai giới hạn: lim lim lim( ) 0,
′ − = n b n − n a n = n b n −a n α α do đó α α= ′ và định lý được chứng minh.
S ự h ộ i t ụ c ủ a dãy b ị ch ặ n
Ta biết dãy này bị chặn nhưng không hội tụ trên Ta hãy xét dãy con của dãy trên: {x m }, x m = (−1) m với m= 2n
Dễ dàng thấy rằng dãy con {x m} hội tụ và có giới hạn lim 1.
Ví dụ đơn giản này minh họa một trường hợp đặc biệt của định lý Bolzano – Weierstrass về sự hội tụ của dãy bị chặn Theo định lý 2.2.5, mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ, điều này cực kỳ quan trọng trong lý thuyết phân tích Mặc dù chúng ta không đi vào chứng minh định lý này ở đây (độc giả có thể tham khảo trong cuốn [1]), nhưng cần ghi nhận rằng đây là một định lý có vai trò nền tảng Áp dụng định lý Bolzano – Weierstrass, ta có thể chứng minh nhiều tính chất đặc trưng của hàm liên tục, góp phần nâng cao hiểu biết về thuộc tính của các hàm số trong phân tích thực.
Nguyên lý Cauchy v ề s ự h ộ i t ụ c ủ a m ộ t dãy s ố
Dãy {x_n} được gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu với mọi ε > 0, luôn tồn tại một p sao cho với mọi m, n > p, thì |x_n − x_m| < ε Nguyên lý Cauchy (Định lý 2.2.6) xác nhận rằng một dãy số hội tụ nếu và chỉ nếu nó là dãy cơ bản Đây là khái niệm quan trọng trong phân tích, giúp xác định tính hội tụ của dãy bằng cách kiểm tra tính chất dãy Cauchy.
Chứng minh: i) Điều kiện cần
Giả sử lim n →∞ x n =a Khi đó ∀ >ε 0cho trước tồn tại số p sao cho ∀ > n pta có:
Từđó suy ra ∀n m, > p ta có
Vậy {x n} là dãy cơ bản ii) Điều kiện đủ
Giả sử {x n} là dãy cơ bản Trước hết ta hãy chứng minh dãy {x n} bị chặn Thật vậy
Cốđịnh m=p+1, khi đó | x n −x p + 1 | 1 < ∀ >n p Từđây suy ra: | x n |≤M, ∀ ∈n N *
Như vậy {x n } là một dãy bị chặn, theo nguyên lý Bolzano – Weierstrass tồn tại một dãy con {x n k } hội tụ, giả sử lim →∞ k k n x n a
Khi đó ∀ >ε 0 cho trước, ∃ > n k p 1 ta có | |
Mặt khác do dãy {x n } là dãy Cauchy nên ∃ p 2 sao cho ∀m n, > p 2 ta có
Chọn p = max(p 1 ,p 2 ) và lấy n k >p thì ∀ > n p ta có:
Ví dụ 1: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy
Ta thấy, với n bất kỳ, m = 2n thì:
Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy
Như vậy, khi cho trước ε >0 bé tuỳ ý, nếu chọn số p 1 1
⎢ ⎥⎣ ⎦ là phần nguyên của 1 ε ), khi đó:
Gi ớ i h ạ n trên và gi ớ i h ạ n d ướ i
Cho dãy {x n} Nếu có một dãy con { n k x } của dãy trên hội tụđến a: lim k x n k a
→∞ thì ta nói rằng a là một giới hạn riêng của dãy {x n}
Ví dụ như dãy{(−1) n } có hai giới hạn riêng là 1 và −1 b) Giới hạn trên và giới hạn dưới:
Cho {x n } là một dãy bị chặn Với mỗi n ta đặt
Dễ thấy u n đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn lim inf
Giới hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy{x n } và ký hiệu là lim
Như vậy là lim→∞ n n x =inf sup n k + n k x (2.2.26)
Tương tự, dãy là dãy v n tăng và bị chặn trên nếu tồn tại giới hạn lim n sup n n n v v
Giới hạn này gọi là giới hạn dưới của dãy {x n} và kí hiệu là: lim
Như vậy ta có lim n n
→∞ x =sup i nf n k n k x + (2.2.27) Định lý 2.2.7 Cho dãy {x n } Giới hạn trên lim n n x
→∞ là giới hạn riêng lớn nhất của dãy {x n }, còn giới hạn dưới lim
→∞ n n x là giới hạn riêng nhỏ nhất của dãy đó
Chứng minh: Ta chứng minh cho lim n n x
→∞ n n x được chứng minh tương tự
Giả sử a = lim n →∞ x n Theo định nghĩa a=inf n u n trong đó n =sup n k + k u x Khi đó
∀ >ε u n > − ∀a ε n Theo tính chất của supremun ta có ∀ ∃n, k để a− a, từ đó chứng minh định lý liên quan Định lý 2.2.8 xác định rõ rằng điều kiện cần và đủ để một dãy hội tụ là giới hạn trên và giới hạn dưới của nó bằng nhau, đảm bảo tính hội tụ đúng đắn của dãy số.
Chứng minh: i) Điều kiện cần
= →∞ , lim n n x β = →∞ Khi đú tồn tại cỏc dóy con x n k →α và x n l →β
Vì dãy {x n } hội tụ nên các dãy con cũng hội tụ và có cùng giới hạn, suy ra α = =a β ii) Điều kiện đủ
Khi đó với mọi k cốđịnh inf + + sup +
Cho n → ∞ theo giả thiết lim n li m n n v n u a
→∞ = →∞ = , theo tính chất của giới hạn liên quan đến bất đẳng thức, suy ra lim +
Khái ni ệ m v ề hàm s ố m ộ t bi ế n s ố
Đị nh ngh ĩ a
Cho X Y, :X ⊂ , Y ⊂ Ánh xạ f X : → Y được gọi là một hàm số một biến số thực, tập X gọi là tập xác định của hàm số Ngư i ta còn kí hiệu tập xác định của hàm số f là D f Tập
Y thư ng được gọi là tập giá trị của hàm số
Một phần tử x ∈ X được gọi là biến độc lập hoặc đối số, trong khi đó hàm số f(x) ∈ Y được gọi là biến phụ thuộc hoặc hàm số Để thể hiện mối quan hệ này, người ta viết x ↦ f(x) hoặc y = f(x), thể hiện rằng hàm số f gán mỗi phần tử x trong tập X với một phần tử xác định trong tập Y.
Ví dụ: x x là hàm sốđồng nhất, thư ng kí hiệu là id(x)
3 5 x − +x là hàm số bậc nhất,
3 2 x x + x − x+ là hàm số bậc ba.
Đồ th ị c ủ a hàm s ố
Trên một mặt phẳng có hai trục tọa độ vuông góc là trục Ox (trục hoành) và trục Oy (trục tung), đồ thị của hàm số f được xác định trên tập xác định X là tập hợp các điểm (x, y) thoả mãn phương trình y = f(x) với x ∈ X.
Tập xác định của hàm số này là tập D= −[ 3, 3 ]
Số y được xác định b i phương trình y = 3 − x 2 là số không âm thoả mãn
Đồ thị của hàm số này là hình nửa đường tròn phía trên và nửa đường tròn phía dưới, thể hiện bằng nét đứt, chính là đồ thị của hàm y = -√(3x^2) (Hình 2.3.1), giúp hình dung rõ về đặc điểm hình học của hàm số.
Ví dụ 2: Phương trình y = 1 2 x tương ứng mỗi x≠0 với một giá trị xác định y Nói một cách khác, hàm f x( )= 1 2 x được xác định với mọi x≠0(Hình 2.3.2)
Ví dụ 3: x→E x( )=[ ]x trong đó [ ]x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x, là hàm số phần nguyên của x
Vì trong khoảng [−2,−1), [−1,0), [0,1), [1,2), [2,3)… hàm nhận giá trị hằng số… −2,
−1,0,1,2… cho nên đồ thị là một dãy các đoạn thẳng nằm ngang, không kể các đầu mút bên phải (Hình 2.3.3a)
Ví dụ 4: Cho x là số tự nhiên, gọi T(x) là số lượng ước số dương của x, ví dụ như T(1)=1,
T(6)=4 (ước số dương của 6 là 1,2,3,6)…
Cho nên x→T x( )là hàm số mà tập xác định của nó là tập hợp các số tự nhiên Đồ thị của hàm này gồm những điểm r i rạc (Hình 2.3.3b)
Theo định nghĩa trên cho hàm số f : X → Y nghĩa là i) Cho tập xác định X của hàm này, ii) Cho quy luật tương ứng mỗi x∈Xvới một số xác định f x( )∈Y
Hai hàm f, g được xem là như nhau nếu như có cùng tập xác định X và nếu f(x)=g(x) x X
∀ ∈ Nói một cách khác hai hàm xem là như nhau nếu như có đồ thị như nhau.
Hàm s ố h ợ p
Cho X ⊂ ,Y ⊂ , ⊂ ngoài ra cho hàm số f : X →Y và hàm số g Y : → Xét hàm số h X : → được định nghĩa b i
Hàm số h được gọi là hàm số hợp của hàm số g và hàm số f Ngư i ta thư ng kí hiệu hàm số hợp là h = gof, cụ thể
Ví dụ 5: Cho X=Y=Z= và xét các hàm số:
Hàm s ố ng ượ c
Cho hàm số f : X →Y X Y , , ⊂ Giả sử Y là tập giá trị của hàm số, tức là tập
Hàm f là ánh xạ từ tập X sang tập Y, đồng thời giả thiết rằng f là đơn ánh, tức là mỗi phần tử y trong Y tương ứng với duy nhất một phần tử x trong X Khi đó, mỗi phần tử y ∈ Y xác định duy nhất một phần tử x ∈ X, cho phép ta đặt tương ứng mỗi phần tử y với một phần tử x Tương ứng này đã xác định một hàm số từ tập Y sang tập X, gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu là f^{-1}: Y → X.
Từđịnh nghĩa hàm số ngược ta có
Cho nên trong cùng một hệ trục toạđộđồ thị hàm số y= f x ( ) và x= f − 1 ( )y trùng nhau
Trong ngữ cảnh toán học, ta có thể ký hiệu đối số của hàm ngược bằng chữ x hoặc y để biểu thị biến số phụ thuộc Theo quy ước này, hàm số ngược của hàm số f được định nghĩa là sự đổi vai của biến độc lập và biến phụ thuộc, giúp làm rõ mối quan hệ giữa các biến trong quá trình xác định hàm ngược Việc sử dụng ký hiệu phù hợp giúp đơn giản hóa cách trình bày và hiểu các phép biến đổi trong toán học, đồng thời hỗ trợ tối ưu hóa quá trình tìm hàm ngược cho các hàm số phức tạp.
Do đó nếu (x,y) là một điểm của đồ thị hàm số y=f(x) (2.3.1) thì (y,x) một điểm của đồ thị hàm số ngược (2.3.7)
Điểm (x, y) và (y, x) đối xứng qua đường phân giác thứ nhất của góc tọa độ, cho thấy rằng đồ thị của hàm số nghịch đảo y = f⁻¹(x) đối xứng với đồ thị hàm số y = f(x) qua đường phân giác này Đặc biệt, sự đối xứng này thể hiện rõ ràng khi xét các điểm phản xạ qua đường phân giác thứ nhất, giúp xác định mối liên hệ giữa hàm số và hàm số nghịch đảo trong không gian tọa độ Hiểu rõ đặc điểm đối xứng này không chỉ giúp phân tích đồ thị các hàm số một cách chính xác mà còn hỗ trợ trong việc xác định các phép biến đổi hình học liên quan đến hàm số và hàm nghịch đảo.
Hàm số luỹ thừa x^α với α > 0 xác định trong khoảng [0, +∞) và ánh xạ khoảng này lên khoảng [0, +∞) Vì với x ≥ 0, ta có x^α ≥ 0, nên hàm số này luôn cho kết quả không âm Đặc biệt, đối với mỗi y ≥ 0, tồn tại x ≥ 0 sao cho x^α = y, chứng tỏ hàm số này là ánh xạ đồng biến từ [0, +∞) sang [0, +∞).
1 x y α Như vậy hàm số y α 1 là hàm ngược của hàm số x α trong miền [0,+∞), tức là phương trình x α = y nghiệm đúng với x≥0, y≥0và khi và chỉ khi
1 x= y α Đồ thị của hàm số y=x α , α >0luôn đi qua gốc toạđộ và điểm (1,1)
Tương tự ta có thể xét hàm số y=x α với α 0,a≠1) ánh xạ khoảng (−∞ +∞, ) lên khoảng
(0,+∞) Ngược lại, đối với mỗi y > 0 tồn tại x sao cho a x =y, ta đặt x=log a y Hàm ngược f − 1 được xác định như sau:
Bây gi hãy vẽ đồ thị của hàm số y=log a x Hàm số này nhận được từ hàm số
Hàm số y = log a x có đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm số y = a^x qua đường phân giác thứ nhất, khi đổi x thành y Điều này xuất phát từ mối quan hệ giữa hàm số logarit và hàm số mũ, giúp hiểu rõ hơn về tính đối xứng của chúng trên đồ thị Có hệ thức quan trọng liên quan đến hai hàm số này, góp phần giúp phân tích và hình dung rõ hơn các đặc điểm của đồ thị hàm số logarit.
Ví dụ như với a≥0,a≠1 ta có log a a x = ∀x xvà a l og x a = ∀ >x, x 0.
Các hàm l ượ ng giác ng ượ c
Hàm số y=sinx được xác định trong khoảng X=(−∞ +∞, ) và giá trị của nó lấp đầy đoạn
Hàm số y = sinx có tập giá trị từ -1 đến 1, với đồ thị cắt trục Ox tại vô số điểm Mỗi giá trị y trong khoảng [-1, 1] tương ứng với vô số giá trị của x trong miền xác định Do đó, hàm nghịch đảo arcsin x sẽ là hàm đa trị, phản ánh tính chất này của hàm số sinx.
Thụng thư ng ta chỉ xột một “nhỏnh” của hàm sốđú ứng với x biến thiờn giữa và
Mỗi giá trị y∈[−1,1] sẽứng với một giá trị , x∈ −⎡⎢⎣ π π2 2⎤⎥⎦, nó được kí hiệu bằng x = arcsiny và gọi là nhánh chính của hàm Arcsiny
Bằng cách lấy đối xứng qua đường phân giác thứ nhất của sin, ta xác định đồ thị của hàm đa trị y = ArcSinx Khi thu hẹp đồ thị này trong khoảng y ∈ [−π/2, π/2], ta được đồ thị của hàm số y = arcsin x giới hạn trên đoạn [−1, 1], với tập giá trị y ∈ [−π/2, π/2], đồng thời hàm số này là hàm số tăng trong tập xác định.
Ta có công thức cho tất cả các giá trị của hàm ngược ar csin 2
Ta thấy y = cosx, 0≤ ≤ x π ar ccos⇔ = x y
Hàm số ngược của hàm số y = cosx là hàm số y = arccosx Hàm số y = arccosx có miền xác định là tập [-1, 1], miền giá trị là [0, π], và là hàm số giảm trên toàn bộ khoảng này (Xem hình vẽ Hình 2.3.5 để hình dung rõ hơn.)
= 2− x π x nên dễ dàng suy ra công thức: ar csin ar ccos
Hàm số y=tgx là một đơn ánh tập ,
⎝ ⎠ π π lên tập , hàm số ngược của nó là x=arctgy:
Do đó hàm số y=arctgx có tập xác định là tập và tập giá trị là khoảng m ,
⎝ ⎠ π π và là hàm số tăng d) Hàm số y=arccotgx
Hàm số y = arccotgx là một đơn ánh tập X=(0,π) lên tập Y=(−∞ +∞, ) nên có hàm ngược là x = arccotgy, y∈(−∞ +∞, ), x∈X=(0,π)
Do đó hàm số y = arccotgx có tập xác định là X= , và tập giá trị là Y∈(0,π) và là m ộ t hàm số giảm
Ta có thể chứng minh công thức ar ct g ar ccot g x+ x=2π (2.3.12)
Hình 2.3.6 Hình 2.3.7 e) Khái niệm các hàm sơ cấp
Các hàm số sơ cấp cơ bản trong toán học bao gồm hàm số luỹ thừa \( x \to x^\alpha \) với \(\alpha \in \mathbb{R}\), hàm số mũ \( x \to a^x \) với \( a > 0, a \neq 1 \), hàm logarithm \( x \to \log_a x \), cùng các hàm số lượng giác như \( \sin x \), \( \cos x \), \( \tan x \), \( cotangent x \), và các hàm số lượng giác ngược Các hàm sơ cấp được định nghĩa là những hàm số được xây dựng từ các hàm sơ cấp cơ bản thông qua một số hữu hạn phép toán như cộng, trừ, nhân, chia, hoặc phép hợp hàm Trong bài viết này, ngoài các hàm sơ cấp đã nêu, chúng ta còn nghiên cứu lớp các hàm số hyperbolic để mở rộng phạm vi ứng dụng của các hàm số này trong toán học.
Các hàm s ố hypebol
Xét tổ hợp tuyến tính của hàm số mũ
Ta thu được đồ thị của hàm số y bằng cách cộng các đồ thị của các hàm 1
Đường cong đi qua điểm (0,1) và đối xứng qua trục Oy, thể hiện tính chất hàm số chẵn Khi x tiến đến +∞ trong góc tọa độ thứ nhất, đồ thị của hàm số (2.3.1) dần hội tụ với đồ thị của đường cong này, phản ánh đặc điểm liên tục và đối xứng của hàm số.
2 a x và trong góc toạđộ thứ hai, khi x→ −∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị hàm số
2 2 2 x x x x a a y a a a > (2.3.14) là một hàm số lẻ Đồ thị của hàm số này đi qua gốc toạđộ và đối xứng qua gốc 0 Đặt:
= ta có thể thiết lập những hệ thức đơn giản như sau:
Hàm h x 1 ( ) có những tính chất tương tự với cosx, còn h x 2 ( ) có đặc điểm tương tự với sinx Khi a = e, hàm thứ nhất được gọi là hàm coshypebol (ch x), còn hàm thứ hai là hàm sinhypebol (sh x) Các hàm này có vai trò quan trọng trong toán học, đặc biệt trong giải tích và các phép biến đổi liên quan.
Ta còn có các hàm hypebol khác xác định tương tự như các hàm lượng giác tương ứng, chẳng hạn sh ch t h , ct h ch sh x x x x x x
Trên hình vẽ Hình 2.3.10 biểu diễn đồ thị của các hàm thx và cthx t h y = x ct h y = x ct h y = x
Từđịnh nghĩa ta suy ra các công thức nêu dưới đây, mang tên là những định lý cộng:
2 2 ch sh 1 ch sh ch2 ch( ) ch ch sh sh sh( ) sh ch ch sh a a a a a a b a b a b a b a b a b
Ví dụ, ta có thể chứng minh hai công thức cuối của (2.3.18) nếu viết: ch( ) , sh( )
+ = + = và sử dụng hệ thức: ch sh , ch sh ch sh , ch sh a a b b e a a e a a e b b e b b
Các hàm hypebol ng ượ c
Hàm số shx ánh xạ tập lên nên nó có hàm ngược, ta ký hiệu là y=Argshx Vậy y=Argshx ⇔ x=shy với x∈ ,y∈
Bây gi ta biểu diễn hàm y=Argshx dưới dạng lôga Ta thấy y=Argshx tương đương với sh 2 y y e e x y
= t t t x t Vậy nếu x cho trước thì t là nghiệm của phương trình bậc hai t 2 − 2tx −1=0
Với mọi x∈ , phương trình trên có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm dương (t = e y >0) :t = +x x 2+1
Vậy với mọi x∈ ta có
Ar gshx=ln(x+ x 2+1 ) (2.3.19) b) Hàm y =Argchx
Hàm y=chx ánh xạ khoảng [0,+∞) lên khoảng [1,+∞), vậy ta có thể xác định một hàm ngược, ký hiệu là Argchx
Hàm số y = Argch x, với x ∈ [1, +∞), y ∈ [0, +∞), tương đương với y = arccosh x Đồ thị của hàm số y = Argch x được suy ra từ đồ thị của y = cosh x bằng phép đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất, giúp dễ dàng hình dung và phân tích đặc điểm của hàm.
Bây gi ta hãy biểu diễn ngược dưới dạng lôga Ta thấy
= ⇔ = = e y e y ≥ y x x y y Đặt e y =t hay y=lnt, ta có
Vậy với x≥1 cho trước thì t là nghiệm của phương trình bậc hai t 2 −2tx+1=0
Với x≥1 phương trình trên có hai nghiệm dương mà tích của chứng bằng 1 Vậy trong hai nghiệm thì nghiệm lớn hơn có lôga dương và ta có e y = t =x+ x 2 −1 y=Argchx =ln(x+ x 2 −1)
Với x≥1 đồ thị của hàm số y=Argchx trùng với đồ thị hàm số y= ln(x+ x 2 −1)
Một cách tương tự, do hàm thx ánh xạ khoảng (−∞ +∞, ) lên khoảng (−1,1) ta có thể xét hàm ngược của nó y=Argthx Trong khoảng (−1,1) hàm y=Argthx tương đương với hàm
= +− y x x còn trong khoảng x 1, hàm y=Argcthx tương đương với hàm y= Argcthx= 1ln1
Gi ớ i h ạ n c ủ a hàm s ố
Lân c ậ n c ủ a m ộ t đ i ể m
a) Lân cận của một điểm
Cho một điểm x 0∈ Một tập hợp con U ∈ đựơc gọi là lân cận của điểm x 0 nếu có một số ε >0 sao cho (x 0 −ε,x 0 + ⊂ε) U
Một tập hợp là lân cận của điểm \( x_0 \) nếu mọi tập chứa nó đều là lân cận của \( x_0 \) Nếu \( U \) là lân cận của \( x_0 \), thì mọi tập chứa \( U \) cũng là lân cận của \( x_0 \) Khi \( U_1 \) và \( U_2 \) là lân cận của \( x_0 \), thì giao \( U_1 \cap U_2 \) cũng là lân cận của \( x_0 \) Khoảng mở \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\) là lân cận của \( x_0 \) và thường ký hiệu là \( (0, \varepsilon)_{x_0} \) Các khoảng này được xem là lân cận của mọi điểm nằm bên trong chúng.
Điểm tụ (điểm giới hạn) của tập A là điểm a sao cho trong mọi lân cận (a−δ, a+δ) của a đều chứa ít nhất một điểm của A khác chính nó Tập hợp A có thể có điểm tụ nằm trong chính A hoặc nằm ngoài tập hợp đó, ví dụ như trong trường hợp A = [a, b] Hiểu rõ điểm tụ giúp xác định tính chất giới hạn của tập hợp, một khái niệm quan trọng trong phân tích toán học.
A=(a,b], điểm a, trong cả hai trư ng hợp, là điểm tụ của A, nhưng trong trư ng hợp đầu nó thuộc A, còn trong trư ng hợp thứ hai thì không
Nếu A = (0,1), thì mọi điểm a∈(0,1)đều là điểm tụ của A, ngoài ra các điểm
0 0, 1 1 a = a = tuy không thuộc A nhưng vẫn là điểm tụ của A
Một dãy điểm {x n } được gọi là dãy phân biệt nếu như mọi cặp phần tử bất kỳ của dãy đều khác nhau, tức là x m ≠x n nếu m ≠n
Nếu a là điểm tụ của tập A, ta có thể trích ra từ A vô số dãy điểm phân biệt x₁, x₂, x₃, x₄, khác a, hội tụ đến a Cụ thể, bằng cách chọn một dãy các số dương δₙ → 0, trong mỗi lân cận (a−δₙ, a+δₙ), ta chọn một điểm xₙ thuộc A khác a sao cho |xₙ − a| < δₙ, đảm bảo rằng các điểm này hội tụ về a.
Nếu có một dãy điểm phân biệt {x n }⊂ A và lim
→∞ n = −∞ n x ) thì ta cũng nói rằng ±∞ là điểm tụ của tập hợp A d) Tập đóng tập m
Tập hợp A⊂ gọi là tập m nếu nó là lân cận của mọi điểm của nó Nếu phần bù
C B của tập hợp B là tập m thì ta nói rằng B là tập đóng trong
Ví dụ (0,1) là tập m , [0,1] là tập đóng.
Các đị nh ngh ĩ a gi ớ i h ạ n
a) Định nghĩa 1 Giả sử hàm f(x) xác định trên tập A ⊂ và a là một điểm tụ của A Ta nói rằng f(x) có giới L (hữu hạn) khi x dần đến a và viết là lim ( ) x a f x L
→ = , nếu với mọi dãy {x n}⊂ A mà x n →a thì dãy các giá trị tương ứng của hàm số {y n}={f(x n )} đều dần đến giới hạn L
Thay cho kí hiệu lim ( ) x a f x L
Giới hạn của hàm số có thể được định nghĩa theo cách chuyển đổi từ giới hạn của hàm sang giới hạn của dãy số, giúp đơn giản hóa việc chứng minh, nhưng điều này yêu cầu chứng minh rằng tất cả các dãy số tiến tới a đều làm hàm số tiến tới L Để khắc phục, ta đưa ra định nghĩa giới hạn tương đương: Nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu x thuộc tập A và 0 < |x - a| < δ, thì |f(x) - L| < ε, thì ta kết luận rằng L là giới hạn của hàm số f khi x tiến tới a Hai định nghĩa này được chứng minh là tương đương trong lý thuyết toán học.
= → theo định nghĩa 2 và giả sử x n →a ta hãy chứng minh ( n ) f x →L
Thật vậy, theo giả thiết ∀ > ∃ >ε 0, δ 0 sao cho ∀ ∈x A, | x − < a | δ thì | f x ( )− < L | ε
Vì x n →a nên ∃p sao cho ∀ >n p,| x n − n p f x,| ( n )− 0 và δ j →0 khi j → ∞, khi đó ta chọn được dãy {x j } có tính chất x j →a khi j → ∞ nhưng f(x j ) không tiến đến L, trái với giả thiết
Ví dụ 1: Cho f(x)= x Ta chứng minh rằng
→ Thật vậy, do | f x( )−x 0 | |= −x x 0 | nên cho trước ε >0, ta cần chọn δ ε= thì khi
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
∀ > , giả sử δ là m ộ t s ố sao cho | x−x 0|K 0 sao cho ∀ ∈x A x, > K , ta có f x( )− M 0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀ ∈x A x, > K ta có f(x) > M thì ta nói rằng f có giới hạn là +∞ khi x→ +∞ và kí hiệu là lim ( )
Nếu ∀ >M 0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀ ∈x A x, > K ta có f(x) < – M thì ta nói rằng f có giới hạn là −∞ khi x→ +∞ và kí hiệu là lim ( )
→+∞ = −∞ x f x Định nghĩa 4 Cho tập A có điểm tụ là −∞, :f A→ Ta nói rằng f(x) có giới hạn hữu hạn là
L khi x→ −∞ nếu ∀ >ε 0 cho trước, ∃ >K 0 sao cho ∀ ∈x A x, < −K, ta có | f x( )− M 0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀ ∈x A x, < −K ta có f(x) > M thì
Nếu ∀ >M 0 lớn tuỳ ý cho trước, bao gi cũng tồn tại một số K > 0 sao cho
Ví dụ 7: Chứng minh rằng sin x không có giới hạn khi x→ +∞
Thật vậy, chọn dãy số (2 1)
= 2 + x n π n Rõ ràng rằng khi n→ ∞ thì x n → +∞
Khi đó dãy {sin x n } nhận các giá trị
Dãy số này phân kì, từđó suy ra lim sin
→∞ x x không tồn tại Tương tự lim cos
Các tính ch ấ t c ủ a gi ớ i h ạ n
Bạn có thể dễ dàng chuyển các kết quả về giới hạn của dãy sang trường hợp giới hạn của hàm bằng cách áp dụng các lý thuyết phù hợp Theo Định lý 2.4.3, nếu hàm số \(f(x)\) có giới hạn tại điểm \(a\), thì giới hạn đó là duy nhất, đảm bảo tính xác thực và tính khả thi của các phép tính giới hạn Đặc biệt, Định lý 2.4.4 cho biết rằng nếu trên tập \(A\), các hàm \(f(x)\) và \(g(x)\) đều có giới hạn hữu hạn tại điểm tụ \(a\) (có thể là vô hạn hoặc hữu hạn), thì giới hạn của chúng tại điểm đó cũng có thể được so sánh dễ dàng, giúp ích trong việc phân tích và chứng minh các tính chất của hàm.
Khi đó các hàm cf(x) với c là hằng số f x ( ) ± g x ( ), f x g x ( ) ( ), ( )
( ) f x g x cũng có giới hạn hữu hạn (trong trư ng hợp thương có thêm giả thiết L 2 ≠0), cụ thể là: a 1
Chú ý rằng định lý trên chưa có kết luận gì trong các trư ng hợp sau:
Trong trư ng hợp ii), khi L 1=+∞ và L 2=−∞về mặt hình thức ta có dạng vô định ∞ −∞
Trong trư ng hợp iii), khi L 1=0(∞) và L 2=∞(0) về mặt hình thức ta có dạng vô định
Cuối cùng trư ng hợp iv), khi L 1=0(∞) và L 2=0(∞), về mặt hình thức ta có dạng vô định 0
Tiêu chu ẩ n t ồ n t ạ i gi ớ i h ạ n c ủ a hàm s ố
Trong bài viết này, chúng ta trình bày các định lý về sự tồn tại giới hạn của hàm số Cụ thể, Định lý 2.4.5 cho biết rằng nếu A là một tập con của các số thực R và x₀ là điểm tụ của tập A, thì với giả sử ba hàm số thỏa mãn đẳng thức liên quan, ta có thể xác định rõ hơn về giới hạn của hàm số tại điểm này Những kết quả này đóng vai trò quan trọng trong phân tích toán học, đặc biệt trong việc nghiên cứu tính liên tục và tính giới hạn của các hàm số.
→ x x g x L Định lý 2.4.6 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Hàm số f có giới hạn tại x 0 khi và chỉ khi ∀ >ε 0, 0∃ >δ sao cho ∀x′ và
Định lý 2.4.7 về tiêu chuẩn giới hạn của hàm đơn điệu cho biết rằng nếu hàm f(x) là hàm tăng trên khoảng [x₁, 0), và f bị chặn trên cùng khoảng đó, thì hàm f có giới hạn trái tại điểm x₀ Ngược lại, nếu hàm f(x) là hàm giảm trên cùng khoảng và bị chặn dưới, thì hàm f cũng có giới hạn trái tại x₀ Điều này khẳng định tính liên tục và tính xác định của giới hạn của các hàm đơn điệu trong phạm vi xác định.
Giả sử f(x) là hàm tăng trên [ x x , 0 )
Khi đó ∀ > ∃ ∈ ε 0, x 1 [ x x , 0 ) sao cho L − < ε f x ( 1 ) ≤ L Do hàm t ă ng n ế u ∀ ∈ x ( x x 1 , 0 ) ta có L− ∃ >ε 0, 0δ sao cho ∀ ∈x (x 0 −δ,x 0 ) thì
Vô cùng bé Vô cùng l ớ n
Cho A⊂ R, x 0 là điểm tụ của A, f : A→ (x 0 có thể là hữu hạn hay vô hạn) Ta nói rằng f là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x→x 0 , nếu
Ta nói f là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x→x 0 nếu
0 lim | ( )| x x f x Ta có thể dễ dàng kiểm tra các tính chất sau
Nếu f, g là những VCB khi x→x 0 , thì f ±g fg, cũng là những VCB khi x→x 0
Nếu f, g là những VCL khi x→x 0 , thì fg cũng là VCL khi x→x 0
Nếu f là VCB khi x→x 0 , thì1 f là VCL khi x→x 0 Ngược lại, nếu g là VCL khi x→ x 0, thì 1 g là một VCB khi x→ x 0
Cho A⊂ , x 0 là điểm tụ của A, f :A → là VCB khi x→x 0 và g A: → là hàm bị chặn, thì f.g là VCB khi x→x 0
= − −1 f x x x là VCB khi x→1, tức là
→ − x x nên hàm x−1 là VCB khi x→1
Hàm số \(f(x)\) là Vùng Cực Biến (VCB) khi \(x \to 1\), cho thấy sự biến đổi không giới hạn của hàm tại điểm này Để so sánh tốc độ hội tụ của các VCB khi \(x \to x_0\), chúng ta cần phân tích các vô cùng bé của chúng Việc xét tỉ số giữa các VCB giúp đánh giá chính xác hơn về tốc độ hội tụ về số không của chúng trong cùng một quá trình giới hạn, từ đó làm rõ đặc điểm của từng hàm khi tiến tới điểm giới hạn.
Cho f f 1 , 2 là hai VCB khi x→x 0 , ta nói rằng i) f 1 có bậc cao hơn f 2 (hoặc f 2 có bậc thấp hơn f 1 ) nếu
1= ( 2) f ο f , x → x 0 ii) f 1 có cùng bậc với f 2 trong quá trình x→x 0 nếu
→ ( )= ≠ x x f x c f x , trong đó c là hằng số, và kí hiệu là f 1 =O f( 2 ), x→x 0 iii) Đặc biệt, nếu
→ ( ) x x f x f x , thì ta nói rằng f 1 tương đương với f 2 khi x → x 0 và viết là f 1 ∼ f 2 , x → x 0
Ví dụ: Ta có sinx~x, tgx~x nên sinx∼t gx
Chú ý: Nếu không tồn tại
Trong phân tích giới hạn, ta thường nói rằng hai hàm số vô cùng bé không thể so sánh được với nhau khi x tiến về một điểm cụ thể, ví dụ như \(f(x) = x \sin 1\) và \(f(x) = x^2\) khi \(x \to 0\) Để thuận tiện trong việc khử các dạng vô định trong giới hạn, chúng ta thường sử dụng các tính chất của các hàm vô hướng, như trong Định lý 2.4.8, khi \(x \to x_0\), nếu \(f \sim f\) và \(g \sim g\), thì các giới hạn của chúng có thể được so sánh dễ dàng hơn.
Khi đánh giá nhiều đại lượng VCB, chúng ta chọn một trong số đó làm cơ sở để so sánh các đại lượng VCB còn lại với các luỹ thừa của đại lượng này Đây là quy ước giúp xác định rõ ràng các mối tương quan và tỷ lệ giữa các đại lượng, từ đó hỗ trợ phân tích chính xác và hiệu quả trong nghiên cứu Việc chọn đại lượng làm cơ sở này đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các công thức và biểu thức liên quan đến VCB, góp phần nâng cao hiệu quả trong việc ứng dụng các phương pháp toán học và thống kê.
→0 x là VCB cấp k (đối với VCB cơ s x khi x→0 nếu f và x k (k>0)) là các vô cùng bé cùng bậc
Chẳng hạn VCB 1- cosx là VCB cấp hai đối với VCB x khi x→0 và VCB tgx – sinx là VCB cấp ba đối với VCB x khi x→0 b i vì
− = − x x x x x x x c) So sánh các vô cùng lớn
Ta hãy quay lại trư ng hợp xét các vô cùng lớn
Ví dụ 1: Hàm số ( )= 2 sin + x f x x là VCL khi x→0
Ví dụ 2: Xét hàm số f x ( )=1 cos 1 x x khi x→0 Tại các điểm 1
= + y k π kπ , k=1,2,3…, f(yk)=0 ∀ =k 1,2,3 Khi k → ∞, y k →0, ( f y k )→0, cho nên f(x) không phải là VCL khi 0 x→
Cho A⊂ và x 0 là điểm tụ của A Ngoài ra cho các hàm f g A, : → là VCL khi
→ 0 x x i) Nếu f g là VCL khi x → x 0 có nghĩa là nếu
0 lim→ = +∞ x x f g , thì ta nói f là VCL bậc cao hơn g khi x → x 0 ii) Nếu
Trong phân tích hàm số, ta nói rằng hai VCL f và g có cùng bậc khi tỷ lệ giới hạn của chúng bằng một số xác định khi x tới x₀ Nếu l = 1, thì f và g được gọi là VCL tương đương khi x tiến đến x₀ Khi xét nhiều đại lượng VCL, ta thường chọn một đại lượng làm cơ sở và so sánh các VCL khác với luỹ thừa của đại lượng đó để xác định mối quan hệ tỷ lệ giữa chúng.
Chẳng hạn, nếu tất cả các đại lượng đó đều là hàm của x và tr thành VCL khi x→x 0 thì dùng làm VCL cơ s ngư i ta lấy|x|nếu x 0 = ±∞ và lấy
Các gi ớ i h ạ n đ áng nh ớ
Giới hạn a) đã được trình bày bậc phổ thông Bây gi ta hãy chứng minh giới hạn b)
Giới hạn b): Thật vậy, ta đã chứng minh được lim 1 1
Bây gi ta để ý rằng với số dương bất kì x nào cũng tồn tại số tự nhiên n (n≠0) sao cho
Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức kép trên ta suy ra lim 1 1
Giới hạn c): Sử dụng phép biến đổi x = − y ta được:
Từđây suy ra giới hạn c) được chứng minh
Giới hạn d): Để chứng minh giới hạn d) ta đặt 1 y= xvà áp dụng giới hạn b) và giới hạn c)
Hàm h x 1 ( ) có những tính chất tương tự với hàm cos x, trong khi h x 2 ( ) có đặc điểm giống với hàm sin x Khi a = e, ta gọi hàm thứ nhất là hàm coshypebol (chx), còn hàm thứ hai là hàm sinhypebol (shx) Các hàm này có vai trò quan trọng trong giải tích và toán học, đặc biệt trong các phép biến đổi và nghiên cứu các hàm số mũ.
Ta còn có các hàm hypebol khác xác định tơng tự nh các hàm lợng giác tơng ứng, chẳng hạn sh ch t h , ct h ch sh x x x x x x
= = (2.3.16) Trên hình vẽ Hình 2.3.10 biểu diễn đồ thị của các hàm thx và cthx t h y = x ct h y = x ct h y = x
Từđịnh nghĩa ta suy ra các công thức nêu dới đây, mang tên là những định lý cộng:
2 2 ch sh 1 ch sh ch2 ch( ) ch ch sh sh sh( ) sh ch ch sh a a a a a a b a b a b a b a b a b
Ví dụ, ta có thể chứng minh hai công thức cuối của (2.3.18) nếu viết: ch( ) , sh( )
+ = + và sử dụng hệ thức: ch sh , ch sh ch sh , ch sh a a b b e a a e a a e b b e b b
2.4.9 Các hàm hypebol ng ượ c a) Hàm y= Argshx
Hàm số shx ánh xạ tập lên nên nó có hàm ngợc, ta ký hiệu là y=Argshx Vậy y=Argshx ⇔ x=shy với x∈ ,y∈
Bây gi ta biểu diễn hàm y=Argshx dới dạng lôga Ta thấy y=Argshx tơng đơng với sh 2 y y e e x y
= t t t x t Vậy nếu x cho trớc thì t là nghiệm của phơng trình bậc hai t 2 − 2tx −1=0
Với mọi x∈ , phơng trình trên có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm dơng (t =e y >0) :t = +x x 2+1
Vậy với mọi x∈ ta có
Ar gshx=ln(x+ x 2+1) (2.3.19) b) Hàm y = Argch x
Hàm y=chx ánh xạ khoảng [0,+∞) lên khoảng [1,+∞), vậy ta có thể xác định một hàm ngợc, ký hiệu là Argchx
Vậy y=Argchx, x∈ +∞[1, ),y∈ +∞[0, )⇔ =x ch ,y y∈ +∞[0, ), x∈ +∞[1, ) Đồ thị của hàm số y = Argchx suy từđồ thị của y=chx, x≥0bằng phép lấy đối xứng qua đ ng phân giác của góc phần t thứ nhất
Bây gi ta hãy biểu diễn ngợc dới dạng lôga Ta thấy
= ⇔ = = e y e y ≥ y x x y y Đặt e y =t hay y=lnt, ta có
Vậy với x≥1 cho trớc thì t là nghiệm của phơng trình bậc hai t 2 −2tx+1=0
Với x≥1 phơng trình trên có hai nghiệm dơng mà tích của chứng bằng 1 Vậy trong hai nghiệm thì nghiệm lớn hơn có lôga dơng và ta có e y = t =x+ x 2 −1 y=Argchx =ln(x+ x 2 −1)
Với x≥1 đồ thị của hàm số y=Argchx trùng với đồ thị hàm số y= ln(x+ x 2 −1)
Một cách tơng tự, do hàm thx ánh xạ khoảng (−∞ +∞, ) lên khoảng (−1,1) ta có thể xét hàm ngợc của nó y=Argthx Trong khoảng (−1,1) hàm y=Argthx tơng đơng với hàm
− y x x còn trong khoảng x 1, hàm y=Argcthx tơng đơng với hàm y= Argcthx= 1l n1
Bài t ậ p ch ươ ng 2
2.1 Chứng minh rằng dãy x n (n=1,2,3, ) có giới hạn bằng không bằng cách sử dụng ngôn ngữ " "ε
2.2 Sử dụng định nghĩa hãy chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn vô cực khi n→ +∞
2.4 Tìm các giới hạn sau
2.6 Tìm các giới hạn sau
2.8 Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh sự hội tụ của dãy
2.9 Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh sự phân kỳ của dãy
2.10 Sử dụng định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu và giới nội, xét sự hội tụ của các dãy sau:
2.11 Cho dãy x n (n=1,2,3,…) đợc xác định nh sau:
= − n Hóy tỡm lim và lim
, , , , n n x x x y y y đợc xác định bằng công thức:
1) {x n } là dãy tăng, {y n } là dãy số giảm
2) Các dãy số trên hội tụ và có giới hạn bằng nhau
2.15 Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm sau
2.16 Cho f xác định trên tập A=(0,1) Tìm tập xác định của hàm số
2.17 Tìm cận dới đúng và cận trên đúng của hàm số
2.18 Cho hàm f(x) xác định trên khoảng (−∞ +∞, ) và thỏa mãn đẳng thức
( ) ( ) f x+T =kf x , trong đó k và T là những số dơng Chứng minh rằng khi đó ( ) x ( ) f x =aϕ x , trong đó a là hằng số dơng và ϕ( )x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T
2.19 Xét tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số sau
2 2 x x f x 3) ( )f x =sinx+sinαx vớ i là số α vụ tỉ
2.22 Giả sử f n ( )x = f f( ( ( )))f x Hãy tính f n ( )x nếu
2.23 Tìm hàm số ngợc của các hàm số sau
2.24 Tìm hàm số ngợc g: → của hàm số f : → cho b i
2.25 1) Cho hàm số f : → đợc xác định b i
Chứng minh hàm số f(x) có hàm ngợc và tìm hàm ngợc nó
2.26 Tìm hàm số f(x) biết rằng nó đợc xác định với mọi giá trị x và thoả mãn hệ thức
2.27 Tìm các giới hạn sau
1 m x n x x (m,n là những số nguyên dơng)
4 − si n 2 cos2 1 l im x cos si n x x x x
2.28 Tìm các giới hạn sau
2.29 Tìm các giới hạn sau