Bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số53919

PH NG PHÁP GI I TOÁN... Câu b theo bài ra ta có:.

NGU N KHÁC )

CH : GI I H N C A DÃY S

A KI N TH C C B N

1 nh ngh a:

a) nh ngh a 1: Ta nói r ng dãy s (un ) có gi i

h n là 0 khi n d n t i vô c c, n u un có

th nh h n m t s d ng bé tùy ý, k t s

h ng nào đó tr đi Kí

hi u:

 

b) nh ngh a 2:Ta nói dãy s (un ) có gi i h n

là a hay (u n ) d n t i a khi n d n t i vô c c

(n ), n u lim n  0

   Kí hi u:

 Chú ý: lim n lim n

 

2 M t vài gi i h n đ c bi t

n

b) lim n 0

q  v i q 1

c) Lim(u n )=c (c là h ng s ) => Lim(u n )=limc=c

3 M t s đ nh lý v gi i h n c a dãy s

a) nh lý 1: Cho dãy s (un ),(v n ) và (w n ) có :

* n

v u n w n n  và

lim v n lim w n  a lim u a

b) nh lý 2: N u lim(un )=a , lim(v n )=b thì:

lim u n v n lim u n lim v n  a b

lim u v n n lim limu n v n a b

 

n

lim

lim

n n

u

b

lim u n  lim u n  a , u n 0 ,a 0

4 T ng c a c p s nhân lùi vô h n có công

b i q ,v i q 1

1

lim lim

1

n

u S

q





5 Dãy s d n t i vô c c:

a) Ta nói dãy s (u n ) d n t i vô c c

u n   khi n d n t i v c c

n  n u u n l n h n m t s d ng b t

k , k t s h ng nào đó tr đi Kí hi u:

lim(u n )= hay u n   khi n  b) Ta nói dãy s (u n ) có gi i h n là  khi

n  n u lim u n  .Ký hi u: lim(un)= hay un  khi n 

c) nh lỦ:

n

lim u n 0 u 0 , n  thì

1 lim

n

u  

o N u : lim u n   thì lim 1 0

n

u 

B PH NG PHÁP GI I TOÁN

1 Gi i h n c a dãy s (u n ) v i  

 

n

P n u

Q n



v i P,Q là các đa th c:

o N u b c P = b c Q = k, h s cao nh t c a P

là a 0 , h s cao nh t c a Q là b 0 thì chia t s

và m u s cho n k đ đi đ n k t qu :

  0

0

lim u n a

b



o N u b c P nh h n b c Q = k, thì chia t và

m u cho n k đ đi đ n k t qu :lim(u n )=0

o N u k = b c P > b c Q, chia t và m u cho n k

đ đi đ n k t qu :lim(u n )=

2 Gi i h n c a dãy s d ng:  

 

n

f n u

g n

 , f

và g là các bi n th c ch a c n

o Chia t và m u cho n k

v i k ch n thích h p

o Nhân t và m u v i bi u th c liên h p

Bài t p

DÃY S Cị GI I H N H U H N

Tính các gi i h n sau :

Tính lim2n 1

n



Ta có :

1 2

n

  

    

n

n





Gi i

Ta có:

1 3

1

2

n

n

n

n

  

 

2 2

lim

Gi i

Ta có

2

2 2

2 2

n n

n n

n n

n n n

 

3

2 1

5 2 3

n

n n







Gi i

Ta có

3

2 1

5 2 3

n

n n







=lim

) 2

1 (

) 5 2 3 (

3 3

3 2 3







n n

n n n

=lim

2

3 2 1

5 2 3

3

3 2









n

n n

Tính

3

Gi i

Ta có :

3 3

3

3

3

3

1 1

n

n

n

 



Tính

2 2

lim

3 2

n

 



Gi i

Ta có

2

2

2 2

4

3

2

n

n

n n

   

Tính

2 2

lim

1 2

n

 



Gi i

Ta có :

2

2

2

1 3

3

1 2

n

n

 

  

 



2  

NGU N KHÁC )

gi i

Ta có :

lim

n

n n

2

1

1

4 2







=lim

n

n n n

2 1

1

4 2







=lim

2

1

2

1

1

1

4 2









n

n



2 1 4 lim

3 2

n

Gi i

 







2 2

2

1 4

1 4

3 2

3 2

1

lim

3

n n

n n

n

Tính

lim(n-1

7 3

2







n

n n

)

gi i

Ta có :

lim

7 2

1

n

n

n

        

 

 

Tính lim 22

1

n n

Gi i

2

2

2

2

1 2

1

n

n

5

lim

1 4

n



Gi i

5

5

5 5

1

4

n

n

n n

     

   

Tính

2

2

lim

n

 



Gi i

Ta có :

2

2

2

1

n

n

   

Tính

2

lim

 

 

Gi i

Ta có :

2

2

2

n

Tính

1 lim

 

Gi i

Ta có :

5

5

1 1

1

n

n

   

Tính lim 2 3

4

n n n



   

Gi i

Ta có :

n n

       

        

       

 

 

Gi i

Ta có

4 1

n

n

    

 

    

    

     

     

2

n n

cos n



Gi i

Ta có :

5

n

cos n cos n





Gi i

Ta có :

7

4

n

n

  

      

 

Tính lim 5.21 31

n  n 





Gi i

Ta có :

2

lim

3 2

3

n n

n n

 

    

   

   

    

   

   

Tính lim 3 ncos2 n

n

Gi i

Ta có :

2

     

Vì

cos

n

Tính

2 3

cos5

n



Gi i

Ta có :

2 3

Vì

cos5

n

Tính lim( n2  1  n2  n )

Gi i

Ta có : lim( n2  1  n2  n )

=lim

n n n

n n n

n n n



















2 2

2 2

2 2

1

) 1

)(

1 (

NGU N KHÁC )

=lim

n n n

n n n













2 2

2 2

1

) (

)

1

(

=lim

n n n

n







 2 2

1

1

=lim

2

1 1 1

1

1

1 1

2











n n

n

lim n  n n 1

Gi i

Ta có :

lim

1



2

1 1

2

1

n

n

  

 

Tính lim n2 2n 3 n

Gi i

  



  

  



  

2

2

2

lim

2 3

2 3

lim

2 3

2

2

n

n n





  2 

3

1 1

2 3

n

n n

limn n  1 n 2

Gi i

Ta có :

lim

  



  

 2   2 

lim

2

n

n



Tính

lim

3

n



Gi i

Ta có

lim

3

lim

lim

n

   





   



   2 2 

lim

  



2

2

2

3

n

n

   

      

limn n  1 n 2

Gi i

Ta có :

lim

2

n

n

  

   

  



  

Tính lim3 n 2 3 n

Gi i

 

 



3

lim

n n

n n n n



 



3 3

2 3 3 3 2 3

2 3 3 3 2 3

2 lim

2 lim

 2 3 3 3 2

3

2

Ch ng minh các dãy s có s h ng t ng quát sau đây có gi i h n 0 :

sin 1

n

n u

n n





Gi i

Ta có :

1

n

n



 2

1 2

n

u n







Gi i

Ta có :

1

!

n

u n



Gi i

Ta có

2

1 cos

n

n u

n







Gi i

Ta có :

 



2

n





5

n



Gi i

Ta có :

NGU N KHÁC )

n

n

n n

 

   

 

 

2

sin 2

n

u







Gi i

2

2

1





3

n

n

u

n





Gi i

Ta có :

 

 

1 2

3

1

2 3

3

1

n

n

n

    

 

 

n

Gi i

Ta có :

 

 

1

n

n n

 





 

 

5

n

u







Gi i

Ta có :

1





n

Gi i

Ta có :

2

2

1

2

  

 

 

 

1

n

u  n n

Gi i

Ta có :

1 2

1

1

2

n

  

 

         

n

 

  Tìm gi i h n c a dãy s  un v i

n

u

Gi i

Ta có s h ng t ng quát là :

1, 2, ,

k

n

Nên

1 0

1

k

k

n

u

n n

n

Cho dãy s  un xác đ nh b i

1

2

1

1

4

2

n

u

u

 







CMR

4

n

u

4

n

n

u

u

 

T đó suy ra limun 0

Gi i

Câu a) SD ph ng pháp quy n p

V i n = 1 ta có 1

0

u

   (đúng)

Gi s (1) đúng v i n   k 1

Ngh a là 0 1

4

k

u

  (đúng)

Theo gi thuy t quy n p ta c n CM (1) đúng

v i n= k +1

Th t v y, ta có :

2 2

1

k

u

0

4

k

u

k

u 

V y (1) luôn đúng v i m i n

Câu b)

Ta có :

2

n n

n

n

u

u

u

u

 

      ( PCM)

V y 1

3

4

T đó suy ra

2

3 4



 





  







     



Mà

1

1 3

4 4

n

n

u



  

 

 

Cho dãy s  un xác đ nh b i

1 1

10

u











CMR a) un  1 , n 1

2

n n

u

c) Tìm limu n

Gi i Câu a) SD ph ng pháp quy n p

V i n =1 ta có :u1 10 1 (đúng)

Gi s (1) đúng v i n  k k  Ngh a là 1

1

k

Theo gi thuy t quy n p ta c n CM (1) đúng

v i n= k+1, hayuk1 1

Th t v y ta có :

V y (1) luôn đúng v i m i n

Câu b) theo bài ra ta có:

NGU N KHÁC )

1

1

1

2 1

n

n

u

u











Câu c)

t

v u   v   và v u  

Theo câu b ta có :

1

1

2

V y

2

1

2

9



 





  







     



Mà

1

1

2

n

n

u



 

 

Cho dãy s  un xác đ nh b i

1

1

5

2

6 3

u

 







G i  v n là dãy s xác đ nh b ivn un 18

a) CMR  v là n c p s nhân lùi vô h n

b) Tìm limun

Gi i

Câu a) theo bài ra ta có:

1

2 12 3



M t khác un  vn 18

V y 1  

V y  vn là CSN lùi vô h n v i công b i

2 3

q

Câu b)

3

2

2 3

13



 





  







     



Mà

1

2

3

n

n

n

u



 

 

Cho dãy s xác đ nh b i

1

1

2

1

1 2

n n

u

u







    



Tính limun

Gi i

Ta nh n xét

D đoán 1 1  

1 2

n

u









Ta ch ng minh d đoán b ng quy n p

Ki m tra v i n=1, ta có u1  đúng v i bài 2

cho

- Gi s (1) đúng v i nk k 1 Ngh a là

1

1

2

k

u









- Theo gi thuy t quy n p ta c n CM (1)

đúng v i n = k+1.hay 1

2

k

- Th t v y ta có:

1

1 1

1

k

k k

u

u







 

V y

1

1

n

u



  

Cho dãy s  un xác đ nh b i

1

1

1

2

1

1 2

n

n

u

u



 









Tính limu n

Gi i

Nh n xét 1 2 3 4

D đoán  1

1

n

n u

n





Ta ch ng minh d đoán b ng quy n p

- V i n=1, ta có : 1

1 2

u  (đúng)

- Gi s (1) đúng v in  k k  1

Ngh a là

1

k

k u

k





- Theo gi thuy t quy n p ta c n CM (1)

đúng v i n = k+1 Hay 1 1

2

k

k u

k









- Th t v y theo bài ra ta có:

1

1

k

k

k u

k

k







Suy ra

1

n

n u

n



 đúng v i m i n 1

1 1

1

n

u

n

n

n

Tính t ng 2 2 1 1 1

2 2

Gi i Dãy s vô h n 2 2 1 1 1

2 2

m t CSN lùi vô h n v i công b i

1

1

2

u S

q

Tính t ng

1

n

S



 

    

 

Gi i Dãy s vô h n

1

n 

 

   

 

Là 1 CSN lùi vô h n v i 1

2

q 

1

2

u S

q

Tìm d ng t ng quát c a CSN lùi vô h n

 un Bi t t ng c a nó b ng 32 và u2  8

Gi i

1

u S

q



M t khác 2 1 1

8 8

q

    th vào (1)

NGU N KHÁC )

ta có

2

1

8

1

q

q         



v y s h ng t ng quát là

1

1 16 2

n n

u



 

   

DÃY S Cị GI I H N VÔ C C

Tính lim(2n3+3n-1)

gi i

Ta có lim(2n3+3n-1)=lim n3(2+ 32 13

n

n  )=+

Tính lim(-2n2+n n-n+4)

Gi i

Ta có : lim(-2n2+n n-n+4)

=limn2(-2+ 1 1 42)  

n n

Tính lim 5n3 n3

Gi i

Ta có :

3

2

5

n

     

Tính lim n2  n 1

Gi i

Ta có

2

2

Tính lim 2n3n2  1

Gi i

Ta có :

3

lim  n n n 1

Gi i

Ta có :

2

         

Tính

3

3 lim

n





Gi i

Ta có :

3

3

3 1 3

n

n

n

  

Vì

2

3

n

và

    

  





Tính

2 2

11 lim

 

 

Gi i

Ta có :

2

2

1 11

1

n

n

   

vì

2

và

    







Tính lim( n2  1  n2  n )

Gi i

Ta có :lim( n2  1  n2  n )

=limn( 1  12  1 1)  

n n

Tính lim 2n 1

n

  

Gi i

Ta có :

2

n

      

Tính

3 2

lim

4

n

 



Gi i

Ta có :

3

2

3

3

3 5

4

n

n

n

   

Vì

và



     



1

n

n

Gi i

Ta có :

2

3

3

3

1 lim

n

n

n

 

  

   

  

Vì

3

và

     





 

3 2

2 1 lim

Gi i

3

2 2

3

n n

n n

n n

n n n n

 

Vì

và

     





1

n n

Gi i

2

3

3

3

1 lim

n

n

n

 

  

   

  

Vì

NGU N KHÁC )

3

và

     





3

lim

Gi i

Ta có :

3

3

    

vì

3

và

       







Tính lim

1 4

3 2 5





n

n n

Gi i

Ta có :lim

1 4

3 2 5



 n

n n

=lim

) 5

1 ) 5

4 ((

5

) ) 5

3 (

2 1 ( 5

n n n

n n









n n

n

5

1 )

5

4

(

) 5

3 (

2

1

(vìlim(1+2.( ) ) 1

5

3

 n

5

1 ) 5

4



 n n

5

1 )

5

4

( n  n 

)

lim n  1 2n 1

Gi i

Ta có :

lim



2

2

2

2 1 lim

n

n

n

   

Vì

2

2

n

và

     

   





1

Gi i

Ta có :

1

n

 



 

lim 2n 4n 1

Gi i

Ta có :

4

lim 4

n

n

      

    

       

Vì

lim 4

n

  



    

    



1 2.2

n

n





Gi i

Ta có :

2

5 1

n

n n

  



   

   

Vì

2

5

n

    



         



Tính

1

lim

  



Gi i

Ta có :

1

n n

n

n





Vì

n

n

và

       

    

 



            

         

          



Tính limu n

V i 1 1 1 1

n

u

n

Gi i

Ta có :

n là s nh nh t trong n s

Nên

n

Mà lim n   limun  

2

n n

n n





Gi i

3

n

n n

n n

  



   

   

Vì

3

3

n

n

n n

và







    



       



NGU N KHÁC )

GI I H N C A HÀM S

Tính các gi i h n sau :

2

  

Gi i

Ta có :

2

2

Gi i

2

Tính

3

1 lim

2

x

x

x







Gi i

3

lim

x

x x



   

Tính

3

3 lim

1

x

x x







Gi i

Ta có :

3

3

1

x

x x









Tính

3

2 lim

x

x x









Gi i

3

lim

x

x x





   

Tính

2 3

lim

2

x

x



 



Gi i

Ta có :

3

x

x



     

Tính

4

2 lim

4

x

x x







Gi i

Ta có :

4

4

x

x

x





  







Nên

4

2 lim

4

x

x x



  



Tính

2

2 lim

2

x

x x







Gi i

Ta có :

 

2

2

x

x

x





  







Nên

2

2 lim

2

x

x

x



  



Tính

 2

3

5 lim

3

x

x

x







Gi i

3

3

x

x

x





   







Nên

3

5 lim

3

x

x

x



  



Tính

3 2 2

1 lim

2

x

x

x







Gi i

Ta có :

3 3

2

2

x

x

x





       







Nên

3 2 2

1 lim

2

x

x

x



  



    

Gi i

Ta có :

 

3

x

x

x





  

Gi i

Ta có :

2

       

1

x

x x







Gi i

Ta có :

2 2

2

1

1

x

x

 





0

1

x  x x

Gi i

Ta có :

2

2

x

x

   

  

5

lim

1

x

x





Gi i

Ta có :

5

5

5

5

lim

1

1 1

x

x

x x

x

x







     

  

6

1 1 2 lim

1

x

x





Gi i

Ta có :

 2  4

6

6

6

6

1 1 2 lim

1

1 1

x

x

x x

x

x







     

  

NGU N KHÁC )

Tính

2

1 lim

1

x

x

x







Gi i

Ta có :

1

1 1

1

x

x

x

x x

Tính

2

lim

2

x

x x







Gi i

Ta có :

2 2

1

x

x

x

x x

   

Gi i

Ta có :

2

2

x

x



    

   

Gi i

Ta có :

2

2

x

x



    

   

Gi i

Ta có :

2

2

2

2

2

lim

1

1 1

1 lim

2

x

x

x

x x

x









  

  

   

Gi i

lim

2 1

1 lim

2

x

x

x

x x

x







  



  

  

 

 

  

   

Gi i

Ta có :

 

lim

2 1

1 lim

2

x

x

x

x x

x







  



  

  

 

 

     

Tính

0

1 1

lim

1 1

x

x x







Gi i

Ta có :

1

1

1

x

x







1 3

x

x

x







Gi i

Ta có :

3 2

1

3

x

x

x x

 

  

Tính

lim

x



 

Gi i

Ta có :

3

6

3 3

2

3

2

3

x

x

x

x



   

 



   

x

x x





Gi i

Ta có :

3

1 2

3

x x

x x

x

  

 

Tính

2

lim

x

x x







Gi i

Ta có :

2

3 2

x

x

 

  

       

Tính

   

3

1 lim

x



 

Gi i

Ta có :

   

4

3

4

3

1 1

x

x

NGU N KHÁC )

Tính

2

lim

x

x





 

Gi i

Ta có

2

2

2

1 3

1

1 3

1

x

x

x

x

x

x

x



  

  

  

Tính

2

14 lim

1

x

x





Gi i

2

2

2

14 1 14

1

14 1

1 lim

2 1

x

x

x

x

x

x

x



  

  

 

0

 

 

GI I H N M T BÊN

3

3 lim

x

x





 

Gi i

Ta có :

2

3

x

x x





Tính

2

2

 

Gi i

Ta có :

2 2

1

1

2

2

2

x

x

x x



  



  

Tính

2 2 1

2 lim

1

x

x



 



Gi i

Ta có :

2 2

1

2

x

x

x x



  





0

lim

x

x x



 

Gi i

x

x

 

 

Tính

3 2 2

8 lim

x

x





Gi i

Ta có :

2 3

2

2 2

8

x

x

x x



 



0

lim

x

x x



 

Gi i

Ta có :

 

2

0

x

x x





 

Tính

3

lim

x



Ta có :

3

2 2

lim

3

x

x



 

 

1

lim

   

Gi i

Ta có :

2 2

1

1 1

x

x x

 

Tính

5

5 lim

5

x

x x







Gi i

Ta có :

5

x

x



Tính

2 2

lim

2

x

x

x



 



Ta có :

2

2

2 2

5 3

5 9

3

5 3

x

x

x

x

x x



  

 



 

Tính

1

1 lim

x

x x





 

Gi i

Ta có :

1

x

 

1

3 2

1

x

x

x x



 



Tính

2

2 lim

x

x x





 

Gi i

Ta có :

2

x

2

x x



Tính

1

lim

1

x

x x



 



Ta có :