nh lý: DeThiMau.vn.
Trang 1Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 1
CH 1: GI I H N DÃY S
A : TÓM T C Lụ THUY T
I GI I H N H U H N
1. nh ngh a 1: Ta nói dãy s (un) có gi i h n là 0 khi n d n t i d ng vô c c, n u un có th nh h n m t
s d ng bé tùy ý, k t s h ng nào đó tr đi
Kí hi u: lim un 0 hay u n 0 khi n +
2. nh ngh a 2:Ta nói dãy s (un) có gi i h n là a (hay und n t i a) khi (n ), n u
Kí hi u: lim n hay un khi n +
Chú ý: lim n lim n
3.M t vài gi i h n đ c bi t
lim 0 , lim 0 , n
n
b) lim n 0
q v i q 1 c) Lim(un)=c (c là h ng s ) => Lim(un)=limc=c
4. nh lý v gi i h n h u h n c a dãy s
a) N u: limun=a , limvn=b thì: + lim un vn a b
+ lim u vn. n lim lim un vn a b
+ lim n , 0
n
u a
b
v b
b) N uun 0v i m i n vƠ limu n = a thì a 0 ; lim un a
5.T ng c a c p s nhân lùi vô h n có công b i q ,v i q 1
1
1
u S
q
II GI I H N VÔ C C
1. nh ngh a:
Ta nói dãy s (un) có gi i h n khi n n u unl n h n m t s d ng b t k , k t s h ng nào đó tr đi
Kí hi u: limun= hay un khi n
Ta nói dãy s (un) có gi i h n là khi n n u lim un
Ký hi u: limun= hay un khi n
2.M t vài gi i h n đ c bi t
a)lim nk v i k nguyên d ng
b)lim n
3. nh lý:
DeThiMau.vn
Trang 2I S 11 HK 2 (CB&NC) GI I H N DÃY S VÀ HÀM S
Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 2
N u : lim un a va limvn thì lim n 0
n
u v
N u : lim un a 0, lim =0 vn và vn> 0 v i m i n thì lim n
n
u v
N u : lim un , lim =a>0 vn thì limun.vn =
B PH NG PHÁP GI I TOÁN
D ng 1: lim n
n
u
v
- Cách nh n bi t d ng
là khi nthì un và vn
- Ph ng pháp th ng dùng đ kh d ng
khi g p phân th c đ i s , ta chia c t và m u cho l y
th a b c cao nh t c a n có m t phân th c đó
*BƠi t p áp dung:Tìm các gi i h n
a)
3
2 lim
1
n
b)
2 3
2 lim
1
n
c)
3
d)
2
1 4 lim
n
e) 2
1 2 3
lim
1
n n
f)
1
4.3 7 lim
Gi i
a)
3
2 lim
1
n
Chia t và m u s cho
3
3
1
1 0 0 lim
1
n
=1
b)
2 3
2 lim
1
n
Chia t và m u s cho
3
n ta đ c 2
3
0 0 lim
1
n
=0
c)
3
Chia t và m u s cho
4
3
1 lim
d)
2
1 4 lim
n
Chia t và m u s cho n ta đ c
2
1
lim
3 n
n
e) 1 2 3 2
lim
1
n n
Tr c khi tính gi i h n ta đi tính t ng 1+2+3+…+n
1 2 3
2
n n
DeThiMau.vn
Trang 3Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 3
Khi đó lim 1 2 3 2
1
n n
2
( 1)
( 1) 2
n n
Chia t và m u cho 2
n ta đ c
2
1 1
1 lim
2 n n
f)
1
lim
Áp d ng công th c: limqn 0, q 1 xu t hi n d ng n
q , ta chia t và m u cho 7n:
1
4.3 7
lim
4.3 7 7 lim
3
4.0 7 7
7
n n
n
n
=7
*Bài t p t ng t : Tìm các gi i h n sau:
a)
3 3
lim
n
b)
2
lim
1
c)
5 lim
d)
2
lim
n
e)
1
2.5 9 lim
1 9
n
f)
lim
n
2 D ng 2: lim(u n ậ v n ) ( )
- Cách nh n bi t d ng ( ) là khi nthì un và vn
-Ph ng pháp th ng dùng đ kh d ng( )khi g p phân th c đ i s , ta nhân l ng liên h p (ho c qui
đ ng phân th c) đ đ a v d ng
, sau đó s d ng cách gi i d ng 1
-Các d ng liên h p th ng dùng:
+L ng liên h p b c hai: a – b có l ng liên h p là a + b
a +b có l ng liên h p là a – b
+L ng liên h p b c ba: a – b có l ng liên h p là a2
+ab +b2
a + b có l ng liên h p là a2
- ab +b2
*BƠi t p áp d ng:Tìm các gi i h n sau:
a)lim( n2 n n ) b) 1 1 3
lim
1 n 1 n
lim n 1 n 2 n d) lim3 3 2
n n n
Gi i
a)lim( n2 n n ) ta nhân l ng liên h p 2
n n n , ta đ c:
2
= 1 1
2 1
1
n n
n n
DeThiMau.vn
Trang 4I S 11 HK 2 (CB&NC) GI I H N DÃY S VÀ HÀM S
Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 4
b) 1 1 3
lim
1 n 1 n
Qui đ ng bi u th c gi i h n ta đ c
3
1 1
1
n
lim n 1 n 2 n Nhân l ng liên h p : 2 2
n n n ta đ c;
=
1 2
1 2
d) lim3 3 2
3
3
lim
2
2
= lim
2
2
2
n
= lim
2
2
3
* Bài t p t ng t : Tìm các gi i h n sau:
a) lim( n2 2 n 1 n2 7 n 3) b)lim(1 n2 n4 3 n 1)
c) lim n 1 n d) 2
lim n n 1 n
D NG 3: S d ng qui t c tính gi i h n
* Tìm các gi i h n sau:
a) lim( 3 n3 4 n2 5 n 6) b) lim 3n45n36n1 c) ( 1)2
lim 9
1
n
n
d) os4
5
c n
n
e)
1 lim
3 n 1 n 1 f)lim 3.4 2 1
n
n
Gi i
a) lim( 3 n3 4 n2 5 n 6) = 3 4 52 63
Vì limn3 = và 4 52 63
, nên lim( 3 n3 4 n2 5 n 6)=
DeThiMau.vn
Trang 5Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 5
b) lim 3n45n36n1 =lim 4 5 63 14
n
lim n 3
Vì lim n4 và 5 63 14
Nên lim( 3 n3 4 n2 5 n 6)=
c) ( 1)2
lim 9
1
n
n
=lim 9 + 2
( 1) lim
1
n
n
= 9 + 0 = 9
d) os4
5
c n
n
os4
5
n
lim
3 n 1 n 1 Nhân l ng liên h p 3 n 1 n 1 ta đ c
lim
=
3 1 1 1
2
nn nn
f)lim 3.4n 2 1
n
Vì lim 4n và 2 1
4n 4n
n
Nên lim 3.4n2n1 =
*Bài t p t ng t : Tìm các gi i h n sau;
a)lim(2 n c os2 ) n b) 1 2
c)lim3n3n2 n 1 d)
lim
n
4.D NG 4:V n d ng công th c tính t ng c a m t c p s nhân lùi vô h n
-Ph ng pháp chung là bi n đ i bi u th c c n tính v t ng c a m t dãy s quen thu c
*BƠi t p áp d ng : Tính t ng sau:
a) S= 1 1 1
V i 1 1 1 1 1
3 6 12 3.2n là t ng c a m t c p s nhân lùi vô h n có s h ng đ u
u1 = 1
3 và công b i q =1
2
Do đó 1 1 1 1 1
3 6 12 3.2n = 1
1 2 3 1
1 2
u
V y S = 2 ( 1 1 1 1 1 )
= 2+2 8
3 3 b) S = 1+ 2x +3x2 +4x3+… V i x 1
DeThiMau.vn
Trang 6I S 11 HK 2 (CB&NC) GI I H N DÃY S VÀ HÀM S
Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 6
2 3 4
xS x x x x
S xS x x x
( ây là t ng c a m t c p s nhân lùi vô h n u1 = 1 và q = x, v i x 1)
1
x
(1 )
*Bài t p t ng t : Tính t ng sau:
a) S= 1 1 1 1 1
2 4 8 2.2n
; b) S = 1+ 3x +5x2 +7x3 +9x4+… V i x 1
BÀI TÂP T NG H P Bài 1 Tìm các gi i h n sau:
a 2n 1
lim
n 1
2 2
lim
3 3
lim
d n(2n 1)(3n3 2)
lim
n 1 lim
n(n 1) lim
(n 4)
Bài 2 Tìm các gi i h n sau:
a n 1
lim
n 1
lim
3
2
lim
d
2
lim
n 2
3
2
lim
Bài 2 Tìm các gi i h n sau:
a lim n 1 n b 2 2
lim n 5n 1 n n
lim 3n 2n 1 3n 4n 8 d 2
lim n 4n n
lim n n 3 f 3 2 3
lim n n n
g 3 3
lim n 3n 1 n 4n
Bài 3 Tìm các gi i h n sau:
a
n n
1 4
lim
1 4
lim
lim
Bài 4 Tìm các gi i h n sau:
a sin n
lim
n 1
sin10n cos10n lim
n 2n
Bài 5 Tìm các gi i h n sau:
a 1 3 5 (2n 1)2
lim
3n 4
1 2 3 n lim
n 3
1.2 2.3 n(n 1)
lim n(n 1)(n 2)
Bài 6 Tính các gi i h n sau:
DeThiMau.vn
Trang 7Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 7
lim 1 ( 1)
b lim (2 + 0,3 + 0,3
2
+ 0,33 + + 0,3n)
Bài 7 Tính các gi i h n sau:
1)
3
3
6n 2n 1
lim
n 2n
2)
2 2
1 n 2n
lim
5n n
3)
3
2n 4n 3n 3
lim
n 5n 7
4)
2
4
2n n 2
lim
3n 5
5)
2
n 4n 5
lim
3n n 7
6)
n n n 2
lim
4n 6n 9
7)
2
2
7n 3n 2
lim
n 5
8)
3
2
3n 2n 1
lim
2n n
9)
2
2n 1 5n
lim
5n 1 2n 3
10)
3n 7n 11
lim
n n 3n
11)
2
2n 3
lim
n 5n
12)
2 2
2n n lim
1 3n
13)
3 3
n n lim
n 2
14)
4 2
2n 3n 2 lim
2n n 3
15)
3 6 3
lim
n 12
16)
2
n 1 n 1 lim
3n 2
17) lim 3n 3 7n 11 18) lim 2n4 n2 n 2 19) lim 1 2n3 n3 20)
2
1 2 n lim
n
21)
2
n 2 4 2n lim
3n n 2
22)
1 2 n lim
n n 3n 2
23)
2
n 1 3 (2n 1) lim
25)
lim
26)
n
4 lim 2.3 4
27)
n n
3 1 lim
2 1
28)
n
3 2.5 lim
7 3.5
29)
4 5 lim
2 3.5
30)
( 3) 5 lim
( 3) 5
31) lim 3n 1 2n 1 32) lim n 1 n n
lim n n 1 n
lim n n 2 n 1 35) lim n 3 n 5
lim n n 3 n
lim
n 2 n 1
38) 2 2 lim n n n 1
DeThiMau.vn
Trang 8I S 11 HK 2 (CB&NC) GI I H N DÃY S VÀ HÀM S
Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 8
1 Các cơng th c tính gi i h n c n nh
+
0
0
xlim xx x
+
x
1 lim 0
x
+ k
x
1 lim 0
x
v i k > 0
+ k
xlim x
v i k > 0
+
lim f x L lim f x lim f x L
+
xlim[cf (x)]x c lim f (x)x x
xlim f (x) g(x)x xlim f (x)x xlim g(x)x
xlim f (x)g(x)x xlim f (x) lim g(x)x x x
o
o
x x
x x
x x
lim f (x)
f (x) lim g(x) lim g(x)
n u xlim g(x)x o 0
2 Các đ nh lỦ c b n
nh lỦ 1:
b) N u f(x)≥ 0 và , thì L ≥ 0 và
nh lỦ 2
3 Quy t c tìm gi i h n
a) Quy t c tìm gi i h n c a tích f(x).g(x)
b) Quy t c tìm gi i h n c a th ng
D u c a g(x)
DeThiMau.vn
Trang 9Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 9
CÁC D NG BÀI T P
D ng 1 D ng vô đ nh 0
0
Bài 1: Tìm các gi i h n sau:
a)
2
2
x 2
lim
b)
2 2
x 1
lim
c)
2
2
x 5
lim
d)
2
2
x 2
lim
e)
3
4
x 1
lim
f)
2
x 1
lim
g)
2
3 2
lim
8
x
x x
x
h)
4 2
2
3
72 lim
x
x x
i)
5 3 1
1 lim
1
x
x x
j)
x 3
lim
k)
x 1
lim
l)
3
lim
1
lim
lim
o)
2
x 1
lim
(1 x)
p)
h 0
lim
h
q)
2
3 3
x a
x (a 1)x a lim
r)
x a
lim
x a
s)
h 0
lim
h
x 1
x 2 x 4 lim
x 5x 4 3(x 3x 2)
u)
1992 1990
x 1
lim
k)
n
2
x 1
lim
(x 1)
Bài 2 Tìm các gi i h n sau:
a
x 1
x 1 lim
x 1
x 1 2 lim
x 9
x 2
2x 5 7 x lim
x 2x
3
4x 2 lim
x 2
Bài 3 Tìm các gi i h n sau:
a
3
x 0
1 1 x lim
3x
b
x 2
x x 2 lim
4x 1 3
3
2
x 1 lim
d
3
x 1
x 7 2 lim
x 1
3
x 0
1 x 1 x lim
x
f
x 0
x 1 x 4 3 lim
x
g
x 0
x 9 x 16 7 lim
x
h
2
x 1
lim
x 1
Bài 4: Tìm các gi i h n sau:
a)
2
x 0
lim
x
b) 2
x 7
x 3 2 lim
49 x
c) x 2 2
2 x 2 lim
x 3x 2
DeThiMau.vn
Trang 10I S 11 HK 2 (CB&NC) GI I H N DÃY S VÀ HÀM S
Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 10
e) 3 2
x 1
2x 7 3 lim
f)x 4
lim
x 4
g)
2 2 1
lim
x
x
d) 2
x 2
4x 1 3 lim
x 4
2 lim
8
x
x
3 2 1
1 lim
x
x
i)
2 2
x 1
lim
j) x 4
lim
k) x 1
lim
o)
3 2 0
lim
2
x
x
p) x 2
x x 2 lim
4x 1 3
x)
2
x 1
lim
(x 1)
2 3 1
) lim
x
m
n)
4
x 1
x 1 lim
x x 2
q)
3
2
2x 12 x
lim
x 2x
r)
3
x 1
x 7 2 lim
x 1
s) 0 3
1 1 lim
1 1
x
x x
t)
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
v)
3
4
x 1
x 1 lim
x 1
w)
3 3
x 1
x 1 lim
4x 4 2
Bài 5: Tìm các gi i h n sau:
a
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
b
x 0
x 9 x 16 7 lim
x
c
3
x 0
lim
x
d
3
x 0
lim
x
e
3 2 1
3 3 5 lim
1
x
x
f.
3 2
x 1
lim
Bµi 6: Nh©n l-îng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai)
2
3 5 lim
2
x
2)
7
2 9 lim
4
x
3)
x
x
5
5 lim
5
4)
2
1 5 3 lim
x
x
5)
1 1
lim
x
x
6)
x x
x
1 lim
2
7)
x
x x
x
1 1
lim
2
0
8)
25
3 4 lim 2
x
x
x
x x x
x
1 2
1 lim
2 0
10)
4 10 2
3 lim
x
x
11)
1
2 3 lim
3
x x
x
12)
x
x
n
x
1 1 lim
0
(nN, n 2)
13)
6
2 2 lim
x
x
14)
2 3
2 4
2 3 lim
2 2
x x x
x
15)
1
1 3 2 lim
2
x x
x
16)
2
58 3 lim
3
x x
x
17)
3 2
1 lim 2
x
x
Bµi 7: Nh©n l-îng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai)
DeThiMau.vn
Trang 11Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 11
1)
x
x x
x
5 5
lim
x
x x
x
1 1
lim
0
3)
1
1 2
lim
x x
x
a x a
x
0
lim (a > 0)
5)
x
x x x
x
1 1
lim
2
0
2 3
2 4
2 3
2
x x x
x
7)
2 3
2 4
2 3
3
x x x
x
x x
x
x
1 3
1 lim
2
0
8)
x
a x a
x
3 3
0
lim
1
1 2 lim
2
3
x x x
Bµi 8: Nh©n l-îng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba)
a)
x
x
x
1 4 1
lim
3
0
2
2 4 lim
3
x
x
x
c)
x
x
1 1
lim
3
0
1 1
lim
3
x
x
x
Bµi 9: Nh©n l-îng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu)
1)
x
x
5 3
lim
4
3 1 4
2 lim
x x
x
3)
1 lim
2
x x
4)
2 3
1 lim
2
3
x
x
x
1
1 lim
4 3
x
x
1
1 lim
3
x
x
x
6)
3 9
2 4
lim
2 2
x
x
x
3
5 2 7 lim
x
x
8)
3
644
8 lim
x
x
D ng 2: D ng vô đ nh
- ; 0.
Bài 10: Tìm các gi i h n sau:
a)
x
2x 1 lim
x 1
b)
2 2 x
lim
1 3x 5x
c)x 2
x x 1 lim
d)
2 2 x
lim
e)
3
lim
x
f)
4
lim
x
g)
2
lim
x
x x
h)
3
lim
x
i)
4 x
(x 1) (7x 2) lim
(2x 1)
j)
x
(2x 3) (4x 7) lim
(3x 4) (5x 1)
l)
2 3 2 lim
x
x
k)
2
x
lim 3x 1
m)
2 3 2 lim
x
x
DeThiMau.vn
Trang 12I S 11 HK 2 (CB&NC) GI I H N DÃY S VÀ HÀM S
Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 12
n)
2 2 x
lim
o)
2 2 x
lim
p)
2 2 x
lim
x
x x 3 lim
x 1
r)
3 3 2 2
lim
x
x
s)
3
3
2
lim
x
t)
x
(x x x 1)( x 1) lim
(x 2)(x 1)
Bài 11: Tìm các gi i h n sau
x 1
lim
1 x 1 x
lim
x 1 x 1
lim
x 3x 2 x 5x 6
Bài 12: Tìm các gi i h n sau
xlim 2x 1 4x 4x 3
e 2 3 3
xlim x x 1 x
Bài 13: Tìm các gi i h n sau:
a 3
xlim x 2x
xlim x 2x
2 2 x
lim
d
4 x
lim
2 3 x
lim
2 3 x
lim
g
2
x
lim
x 1
2
2
x
lim 3x 1
j
4 2 x
lim
2
2 x
lim
x
lim
x 1
D ng 3: Gi i h n m t bên
Bài 14: Tìm các gi i h n sau:
a)
2 2
2 lim
x
x
b)
2
lim
2
x
x
c)
1
1 lim
1
x
x x
d)
1
1 lim
1
x
x x
e)
x 0
lim
2x
f)
x 0
2x lim
g)
2
3 3 lim
2
x x
x
h)
2
3 3 lim
2
x x
x
i)
4
3 lim
4
x
x x
j)
2
3 3 lim 2
2
x x
x
DeThiMau.vn
Trang 13Biên so n và h ng d n: Ph m V n L c – 0974477839 Trang 13
k)
2
3 3 lim 2
2
x x
x
l)
3 2
x 1
lim
g)
x 0
1 x lim x
x
h)
2
x 1
lim
x 1
D ng 4: HƠm s liên t c
Bài 15: Xét tính liên t c c a hàm s t i đi m xo
a f(x) =
2
x 25
khi x 5
x 5
9 khi x 5
t i xo = 5 b
x 5
khi x 5 2x 1 3
f x
3 khi x 5 2
t i xo = 5
c
khi x 2
1 khi x 2
t i xo = 2 d
3
khi x 2
f (x)
3 khi x 2 4
t i xo = 2
e
f (x)
3x 2 khi x 1
t i xo = –1 f f x x khi x2 0
1 x khi x 0
t i xo = 0
Bài 16: Ch ng minh các hàm s sau liên t c trên R
a
2
x 2x 3
khi x 1
f (x) x 1
4 khi x 1
b
3 3
khi x 1
f (x)
4 khi x 1 3
Bài 17: Tìm a đ hàm s liên t c trên R
a
2
x khi x 1
f (x)
2ax 3 khi x 1
2 2
a x khi x 2
f (x)
1 a x khi x 2
Bài 18: Cho hàm s f(x) =
4x 1 khi x 0
Xét tính li n t c c a hàm s trên t p xác đ nh
Bài 19: Tìm a đ hàm s liên t c t i xo
a f(x) = 2
khi x 2
a khi x 2
t i xo = 2 b
khi x 1
x 1
f (x)
4 x
t i xo = 1
Bài 20: Xét các hàm s sau cĩ liên t c khơng
2 2
o
(x 1)
a) f(x)
x (x 1) 2
với x 1
2
o
1 2x (x 2) với x 2
Bài 21: Tìm A đ các hàm sau liên t c t i xo:
DeThiMau.vn